Luận văn thạc sĩ tìm hiểu về phân tích chuỗi thời gian

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

PHAM THU HANG

TÌM HIEU VE PHÂN TÍCH CHUŐI THèI GIAN

LUắN VN THAC S TON HOC

H NđI - NM 2014


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU
NHIÊN

PHAM THU HANG

TÌM HIEU VE PHÂN TÍCH CHUŐI THèI GIAN

Chun ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC
Mã so: 60 46 01 06

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Ngưèi hưéng dan khoa HQC:
PGS. TS. PHAN VIET THƯ

HÀ N®I - NĂM 2014

Mnc lnc
1 Các yeu to cua phân tích chuői thài gian thăm dị
1.1 Mơ hình c®ng tính cna chuoi thịi gian . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mơ hình vói xu hưóng khơng tuyen tính . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hàm Logistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hàm Mitscherlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Đưòng cong Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Hàm tương quan sinh trưong (the Allometric Function) . . . .
1.2 B® LQc tuyen tính cna chuoi thịi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các b® LQc tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Đieu chinh theo mùa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Chương trình đieu tra dân so X - 11 . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Đa thúc đ%a phương phù hop nhat . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 B® LQc sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Làm trơn hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tn hi¾p phương sai và tn tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
.2
.3
.4
.5
.6
.6
.9
.9
.11
.11
.13
.15

.16
.18

2 Mơ hình chuői thài gian
20
2.1 B® LQc tuyen tính và q trình ngau nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.1.1 Quá trình dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.1.2 Sn ton tai cna q trình tuyen tính tőng quát . . . . . . . . . .22
2.1.3 Hàm sinh hi¾p phương sai (The Covariance Generating
Function)28 2.1.4...................................................................................a
thỳc ắc trng......................................................................................29
2.1.5 Bđ LQc ngoc...................................................................................30
2.1.6 Bđ LQc nguyờn nhõn (Causal Filters)........................................ 31
2.2 Trung bình trưot và quá trình tn hoi quy...............................................33
2.2.1
Quá trình kha ngh%ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.2.2 Quá trình tn hoi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.2.3
Đieu ki¾n dùng cna quá trình tn hoi quy . . . . . . . . . . . . .36
2.2.4
Phương trình Yule - Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.2.5
H¾ so tn tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
2.2.6 Quá trình - ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
2.2.7
Hàm tn hi¾p phương sai cna quá trình - ARMA . . . . . . . . .42
2.2.8 Quá trình - ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.3 Nh¾n dang mơ hình ARMA: Phương pháp Box - Jenkins . . . . . . . .46
2.3.1 Lna cHQN b¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
. .

2.3.2
Ưóc lưong h¾ so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
i


2.3.3 Kiem đ%nh sn phù hop cna mơ hình........................................52
2.3.4 Dn báo.......................................................................................53
3 Mơ hình khơng gian - trang thái (State - Space Models)
58
3.1 Bieu dien không gian - trang thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.2 B® LQc Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
. .
68
Ket lu¾n
Tài li¾u tham khao
69


Lài ma đau
Trong các bài tốn kinh te, ky thu¾t cng nh trong cuđc song hng
ngy, viắc biet trúc oc các giá tr% cna tương lai se vô cùng quan TRQNG.
Nó se giúp chúng ta hoach đ%nh đưoc ke hoach, tránh nhung rni ro không
can thiet cũng như lna cHQN nhung phương án toi ưu. Chuoi thòi gian
đang đưoc su dung nh mđt cụng cu huu hiắu e phõn tớch và dn báo
trong kinh te, xã h®i cũng như trong nghiờn cỳu khoa HQc. Mđt chuoi thũi
gian l tắp hop các quan sát cna các du li¾u đưoc xác đ%nh rõ thu đưoc
thơng qua các phép đo l¾p đi l¾p lai theo thịi gian. Phân tích chuoi thịi
gian bao gom các phương pháp đe phân tích du li¾u chuoi thịi gian, tù
đó trích xuat đưoc các thu®c tính thong kê có ý nghĩa và các đ¾c điem
cna du li¾u. Nhị đó, ta có cơ so đe dn báo các ket qua cho tương lai.

Vói mong muon tìm hieu ve phân tích chuoi thịi gian nham dn báo
các ket qua trong tương lai, lu¾n văn nghiên cúu ve đe tài "Tìm hieu
ve phân tích chuői thài gian". Lu¾n văn cung cap kien thúc chính cho
vi¾c phân tích chuoi thịi gian trong mien thịi gian. Các kien thúc cơ
so can có là sn h®i tu trong phân phoi, h®i tu ngau nhiên, ưóc lưong
hop lý cnc đai cũng như kien thúc cơ ban cna lý thuyet kiem đ%nh.
Lu¾n văn gom ba chương:
Chương 1 đưa ra các yeu to cna vi¾c phân tích chuoi thịi gian thăm dị
bao gom các mơ hình phù hop (Logistic, Mitscherlich, đưịng cong Gompertz) cho m®t chuoi các du liắu, bđ LQ c tuyen tớnh cho ieu chinh theo
mùa và xu hưóng đieu chinh (b® LQ c sai phân, chương trình đieu tra dân
so X – 11) và bđ LQ c m cho theo dừi hắ thong. Tn hi¾p phương sai và tn
tương quan se đưoc giói thi¾u trong chương này.
Chương 2 cung cap phép toán cna các mơ hình tốn HQc ve dãy őn đ%nh
cna bien ngau nhiên (on trang, trung bình trưot, quá trình tn hoi quy, mơ
hình ARIMA) cùng vói các kien thúc cơ so (sn ton tai cna q trình dùng,
hàm sinh hi¾p phương sai, b® LQ c ngưoc và b® LQ c nguyên nhân, đieu ki¾n
dùng, phương trình Yule – Walker, tn tương quan riêng). Chương trình
Box – Jenkins cho mơ hình ARMA se đưoc nghiên cúu m®t cách cu the


(tiêu chuan thơng tin AIC, BIC và HQ). Q trình Gaussian và ưóc
lưong hop lý cnc đai trong mơ hình Gaussian đưoc giói thi¾u cũng
như ưóc lưong bình phương toi thieu như là m®t kha năng loai trù
khơng có tham so. Ket qua đưoc kiem tra bang Box – Ljung.
Chương 3 giói thi¾u mơ hình chuoi thịi gian đưoc nhúng trong mơ hình
khơng gian trang thái. B® lQc Kalman là m®t phương pháp dn đốn thong
nhat gan vói các phân tích cna chuoi thịi gian trong mien thịi gian.
Ban lu¾n văn này đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nghiêm
khac và chi bao t¾n tình cna PGS.TS Phan Viet Thư. Thay đã dành
nhieu thịi gian hưóng dan cũng như giai đáp các thac mac cna tơi

trong suot q trình làm lu¾n văn. Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu
sac đen ngưịi thay cna mình.
Qua đây, tơi xin gui tói các thay cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng
Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, cũng như các
thay cơ đã tham gia giang day khóa cao HQc 2011- 2013 lịi cam ơn sâu
sac nhat đoi vói cơng lao day do trong suot q trình giáo duc đào tao
cna Nhà trưịng.
Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè và tat ca MQI ngưịi đã quan tõm, tao
ieu kiắn, đng viờn c v tụi e tụi cú the hon thnh nhiắm vu cna
mỡnh.
H Nđi, ngy 11 tháng 02 năm 2014
HQc viên
Pham Thu Hang


Chương 1
Các yeu to cua phân tích chuői thài
gian thăm dò
Chuoi thòi gian là chuoi các quan sát đưoc sap xep theo thịi gian. Ví
du, thu hoach hàng năm cna cn cai đưòng và giá cna chúng/tan đưoc ghi
lai trong nơng nghi¾p. Thơng báo ve giá cő phieu hàng ngày, ty l¾ đau tư
hàng tuan, ty l¾ so ngưịi that nghi¾p hàng tháng và doanh thu hàng năm
trong các tị báo kinh te. Khí tưong hQc ghi lai toc đ® giú hng giũ, nhiắt
đ cao nhat v thap nhat hng ngày, mnc nưóc mưa hàng năm. Đ%a lý
HQc liên tuc theo dõi sn thay đői cna trái đat đe dn oỏn kha nng đng
at. Mđt iắn nóo o ghi lai dau vet súng nóo thnc hiắn boi mđt mỏy iắn
tu đe phát hi¾n b¾nh não, đi¾n tâm đo dau vet súng tim. Nhung ieu tra
xó hđi ve ty lắ sinh và ty l¾ chet, các tai nan trong nhà và hành vi pham
t®i. Tham so trong m®t q trình san xuat đưoc theo dõi thưòng xuyên
đe kiem tra trnc tuyen, đam bao chat lưong.

Hien nhiên, có rat nhieu lý do đe ghi lai và phân tích nhung du li¾u
ve chuoi thịi gian. Trong so đó, đ¾c bi¾t là sn mong muon cú mđt hieu
biet tot hn ve cỏc du liắu tao ra cơ che, dn đoán ve ket qua trong
tương lai hoắc ieu khien toi u mđt hắ thong. Tớnh chat đ¾c trưng
cna chuoi thịi gian là du li¾u khơng oc sinh ra mđt cỏch đc lắp, sn
sai khỏc cna chúng thay đői theo thòi gian, chúng thưòng b% đieu
chinh boi xu hưóng và chúng có các thành phan chu kỳ. Do đó, các
q trình thong kê mà ngưịi ta gia su du liắu cú tớnh đc lắp v cựng
phõn phoi, se loai trù khoi phân tích cna chuoi thịi gian. Đieu này địi
hoi nhung phương pháp thích hop đưoc t¾p hop lai dưói cái tên Phân
tích chuői thài gian.

1


1.1

Mơ hình c®ng tính cua chuői thài gian

Mơ hình c®ng tính đoi vói m®t chuoi thịi gian y1, y2, . . . , yn là gia
thiet rang nhung du li¾u trên là phép the hi¾n cna các bien ngau
nhiên Yt sao cho Yt là tőng cna bon thành phan
Yt = Tt + Zt + St + Rt, t = 1, ..., n,

(1.1)

trong đó Tt là hàm (đơn đi¾u) cna t , GQI là xu hưáng. Zt phan ánh
m®t so tác đ®ng dài han khơng ngau nhiên có chu kỳ. Ví du, chu kỳ női
tieng trong kinh doanh thưòng bao gom suy thối, phuc hoi, tăng trưong
và suy giam. St mơ ta m®t so anh hưong khơng ngau nhiên theo chu kỳ

ngan han như là m®t thành phan theo mùa trong khi Rt là m®t bien ngau
nhiên bao gom tat ca đ lắch tự mụ hỡnh khụng ngau nhiờn lý tong yt =
Tt + Zt + St . Các bien Tt và Zt thưòng đưoc viet GQN thành
Gt = T t + Z t ,

(1.2)

Gt mô ta dien bien dài han cna chuoi thòi gian. Chúng ta se gia thiet rang
kỳ vQNG E (Rt ) = 0 cna bien sai so ton tai và bang 0, đieu đó phan ánh
gia thiet đ lắch ngau nhiờn trờn hoắc dúi mụ hỡnh khụng ngau nhiên
cân bang lan nhau ve trung bình. Chú ý rang E (Rt ) = 0 có the ln đat
đưoc bang cỏch thay i thớch hop mđt hoắc nhieu thnh phan khơng
ngau nhiên.
Bieu đo dưói đây cna du li¾u that nghiắp 1 chi ra mđt thnh phan
theo mựa v mđt xu hưóng giam. Chu kỳ tù tháng 7 năm 1975 tói
tháng 9 năm 1979 có the hơi ngan đe cho biet ve chu kỳ kinh doanh
dài han.


Bieu đo 1.1.1: Du li¾u that nghi¾p 1.
1.1.1

Mơ hình vái xu hưáng khơng tuyen tính

Trong mơ hình c®ng tính Yt = Tt + Rt, o đó chi có thành phan khơng
ngau nhiên là xu hưóng Tt phan ánh sn phát trien cna h¾ thong và gia
thiet rang E (Rt) = 0, ta có:
E (Yt) = Tt = f (t) .
Gia thiet chung là hàm f phu thu®c vào nhieu tham so (chưa biet)
β1, ..., βp túc là

f (t) = f (t; β1, ..., βp) ,
(1.3)
tuy nhiên đã biet dang cna hàm f . Các tham so chưa biet β1, ..., βp
can đưoc ưóc lưong tù t¾p các the hi¾n yt cna bien ngau nhiên Yt.
Cách tiep c¾n thơng thưịng là su dung phương pháp ưác lưang bình
phương toi thieu βˆ1 , ..., βˆp thoa mãn
. ˆ
ˆ ΣΣ2
Σ .
Σ
2
= min
yt − t; β1,
(yt − f (t; β1, . . . (1.4)
β ,...,β
t
t
f
. , βp))
Neu các
. phép tốn trên ton tai thì bài toán đưa ve bài toán so .Giá tr%
yˆt = f t; βˆ1 , . . . , βˆp có the dùng đe dn báo giá tr% tương lai yt .
Hi¾u yΣ
t −yˆt đưoc GQI là phan dư. Chúng chúa các thơng tin ve sn
phù hop cna mơ hình vói du liắu.
Sau õy ta se liắt kờ mđt so vớ du thơng dung cna hàm xu hưóng.
1

p

1.1.2

Hàm Logistic

Hàm so
(t) =
flog f

lo
g

(t;
β1

β3
, , )=
1 + β2exp
β2 β3
(−β1t)

,

t ∈ R,

(1.5)

vói β1, β2, β3 ∈ R\{0} là hàm Logistic đưoc su dung r®ng rãi.

Bieu đo 1.1.2: Hàm Logistic flog vói các giá tr% khác nhau β1 , β2 , β3 .

Hien nhiên ta có lim flog (t) = β3 neu β1 > 0. Giá tr% β3 thưòng giong sn
t→∞

san sinh cnc đai ho¾c sn phát trien cna h¾ thong. Chú ý rang:
1
flog
(t)

=

1 + β2exp (−β1t)
β

)

1 + β2exp (−β1 (t − 1))

3

=

=

1 − exp (−β1)

β3
1 − exp (−β1)

+ exp
1

β3
1
+ exp (−β
)
1 flog (t − 1)

β3
b
= a + flog (t − .
1)
Nh vắy ton tai mđt moi liờn hắ tuyen tớnh
giua

(1.6)
1

flog . Đieu này có the
(t)
dùng làm cơ so đe ưóc lưong các tham so β1, β2, β3 bang m®t ưóc lưong
bình


phương toi thieu thích hop. Trong ví du sau, ta se khóp mơ hình xu
hưóng (1.5) vói du li¾u ve sn phát trien dân so cna phía bac RhineWestphalia (NRW) là m®t bang cna Đúc.


Ví dn 1.1.1 (Du li¾u dân so 1) Bang 1.1.1 đưa ra so dân (tính theo đơn
v% hàng tri¾u) cna bang NRW các bưóc chu kỳ 5 năm, tù năm 1935
đen năm 1980 và đưa ra giá tr% dn báo cna yˆt , xác đ%nh bang phương

pháp ưóc lưong bình phương toi thieu như mơ ta (1.4) cho mơ hình
Logistic.
Năm

t

So dân yt
(tri¾u ngưịi)

1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11.772
12.059
11.200
12.926
14.442
15.694
16.661
16.914
17.176
17.044

Giá tr% dn báo
yˆt
(tri¾u ngưịi)
10.930
11.827
12.709
13.565
14.384
15.158
15.881
16.548
17.158
17.710

Bang 1.1.1: Du li¾u dân so 1.
Như m®t dn báo so dân o thịi gian t, ta nh¾n đưoc trong mơ hình
Logistic
yˆt =

ˆ

β ˆ3
. ˆΣ

1+
−β1
21.5016
=
t
1 + 1.1436exp (−0.1675t)
vói kích thưóc bão hồ ưóc lưong l 3 = 21.5016.
1.1.3

Hm Mitscherlich

Hm Mitscherlich l mđt dang ắc trưng, thưịng đưoc su dung
trong mơ hình tăng trưong dài han cna h¾ thong:
fM (t) = fM (t; β1, β2, β3) = β1 + β2exp (β3t) , t ≥ 0,
(1.7)
trong đó β1, β2 ∈ R và β3 < 0. Vì β3 là so âm nên ta có dáng đi¾u
ti¾m c¾n lim fM (t) = β1 và do đó tham so β1 là giá tr% bão hồ cna
h¾ thong.
t→∞
Giá tr% (khoi tao) cna h¾ thong tai thịi gian t = 0 là fM (t) = β1 + β2.


1.1.4

Đưàng cong Gompertz

M®t hàm khá thơng dung dùng đe mơ hỡnh hoỏ sn tng hoắc giam
cna mđt hắ thong l đưàng cong Gompertz
.
Σ
fG (t) = fG (t; β1 , β2 , β3 ) = exp β1 + β3 2 β t , t ≥ 0,
(1.8)
trong đó β1, β2 ∈ R và β3 ∈ (0, 1). Hien nhiên ta có
log (fG (t)) = β1 + β2βt = β1 + β2exp (log (β3) t) ,
3

và do đó log (fG) là hàm Mitscherlich vói tham so β1, β2 và log (β3). Giá
tr% bão hồ là exp (β1).

Bieu đo 1.1.3: Đưịng cong Gompertz vói các tham so khác nhau.
1.1.5

Hàm tương quan sinh trưang (the Allometric Function)

Hàm tương quan sinh trưang
fa (t) = fa (t; β1, β2) = β2tβ1 , t ≥ 0,

(1.9)

vói β1 ∈ R, β2 > 0 là hàm xu hưóng thơng dung trong sinh v¾t HQc và
kinh te HQc. Nó có the oc xem nh l mđt hm Cobb-Douglas ắc
biắt, l mđt mơ hình kinh te lưong thơng dung đe mơ ta so lưong san
pham đau ra phu thu®c đau vào. Vì
log (fa (t)) = log (β2) + β1 log (t) , t > 0,

l mđt hm tuyen tớnh cna log (t) vúi hắ so góc β1 và điem cat vói truc
tung là log (β2) nên ta có the gia thiet m®t mơ hình hoi quy tuyen tính
cho du li¾u loga log (yt)
log (yt) = log (β2) + β1 log (t) + εt, t ≥ 1,
trong đó εt là các bien sai so.
Ví dn 1.1.2 (Du li¾u ve thu nh¾p). Bang 1.1.2 đưa ra thu nh¾p tích luy
tăng trung bình hàng năm cna thu nh¾p trưóc thue (Gross) và thu
nh¾p sau thue (Net) tính theo đơn v% nghìn DM (đơn v% tien t¾) tai
Đúc tù năm 1960.
Thu nh¾p trưóc thue
Thu nh¾p sau thue
Năm
xt
yt
t
1960
0
0
0
1961
1
0.627
0.486
1962
2
1.247
0.973
1963

3
1.702
1.323
1964
4
2.408
1.867
1965
5
3.188
2.568
1966
6
3.866
3.022
1967
7
4.201
3.259
1968
8
4.840
3.663
1969
9
5.855
4.321
1970
10
7.625

5.482
Bang 1.1.2: Du li¾u thu nh¾p.
Ta gia thiet rang sn tăng cna thu nhắp rũng sau thue yt l mđt
hm
tng quan sinh trưong cna thịi gian t và ta có
log (yt) = log (β2) + β1 log (t) + εt.

(1.10)

Ưóc lưong bình phương toi thieu cna β1 và log (β2) trong mô hình hoi
quy tuyen tính trên là
Σ .log (
Σ
Σ1
=
yt) − log
0 .
1.019,
(y)
βˆ1
log (t) − log
t
(t)
==
Σ2
10
Σ
1
.log (t) − log (t)
1

trong đó log (t) 1
0
=
=

t=1
10

Σ

log (t) = 1.5104, log (y)

t=1

1
1
0

10

Σ log (yt) = 0.7849
t=
1


và cuoi cùng lo^g (β2 ) = log (y) − βˆ1 log (t) = −0, 7549. Do đó ta ưóc
lưong
β2 boi
βˆ2 = exp (−0, 7549) = 0.4700.

V¾y giá tr% dn đốn yˆt tương úng vói thịi gian t
yˆt = 0.47t1.019 .

(1.11)

yt − yˆt
0,0159
0,0201
-0,1176
-0,0646
0,1430
0,1017
-0,1583
-0,2526
-0,0942
0,5662

t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Bang 1.1.3: Phan th¾ng dư cna du li¾u thu nh¾p.

Bang 1.1.3 li¾t kê phan dư yt − yˆt , các phan dư này có the đánh giá sn
phù hop cna mơ hình (1.11).
M®t đ® đo phő thơng đe đánh giá sn phù hop là h¾ so tương quan nhieu
chieu bình phương ho¾c giá tr% R2
n

Σ (y −
t=1
t
R2 = 1 −
Σyˆt )

2

,

(1.12)

n (yt − y¯)
t=
1 Σn
1
n
trong đó y¯
yt là trung bình cna các quan sát yt. Trong mơ hình
t=
=
1
quy tuyen tính vói yˆt dna trên ưóc lưong bình phương toi thieu cna
2

n
Σ
tham so,
= 1 neu và chi
= 0.
(y
nam
giua
0
và
1
suy
ra
2
t −
R
neu
t=
yˆt )
R2
1

Mđt giỏ tr% R2 gan túi 1 l thuắn loi cho mơ hình. Mơ hình (1.10) có
R2 = 0.9934 trong khi (1.11) có R2 = 0.9789. Tuy nhiên ta phai chú ý


rang mơ hình đau tiên (1.9) khơng tuyen tính và βˆ2 khơng phai là ưóc
lưong bình phương toi thieu, trong trưịng hop này R2 khơng nhat thiet
phai nam giua 0 và 1 và do đó ta can phai xem xét can thắn nú nh l
mđt đ o thụ cna sn phù hop.

Tőng thu nh¾p tăng trung bình trong năm 1960 là 6148 DM và tương úng


thu nh¾p rịng là 5148 DM. Do đó tőng thu nh¾p trung bình hi¾n tai
và thu nh¾p rịng là x˜t = xt + 6.148 và y˜t = yt + 5.178 vói mơ hình
ưóc lưong dna trên giá tr% dn đốn yˆt
yˆ˜t = yˆt + 5.178 = 0.47t1.019 + 5.178.
Chú ý rang giá tr% th¾ng dư y˜t − yˆ˜t = yt − yˆt khơng b% anh hưong
boi hang so c®ng 5.178 vào yt . Mơ hình o trên có the giúp đánh giá tình
trang ngưịi đóng thue trung bình tù năm 1960 đen năm 1970 và dn đoán
HQ o tương lai. Rõ ràng tù giá tr% th¾ng dư trong bang 1.1.3 cho thay thu
nhắp rũng yt gan nh l bđi so hồn hao cna t vói t nam giua 1 và 9
trong khi năm 1970, y10 tăng manh nhat dưòng như là giá tr% ngoai lai.
Th¾t v¾y, trong năm 1969 chính phn Đúc đã có sn thay đői và trong năm
1970 có m®t cu®c đình cơng lón o Đúc là ngun nhõn cho viắc thu nhắp
cna cụng chỳc tng manh.

1.2

Bđ LQC tuyen tính cua chuői thài gian

Sau đây ta se xem xét mơ hình c®ng tính (1.1) và gia thiet rang
khơng có thành phan chu kỳ dài han. Tuy nhiên ta cho phép m®t xu
hưóng, trong trưịng hop này, làm trơn thành phan khơng ngau nhiên
Gt bang hàm xu hưóng Tt . Do đó, mơ hình đưoc phân tích dưói dang
Yt = Tt + St + Rt, t = 1, 2, . . .

(1.13)

vói E (Rt) = 0. Cho the hi¾n yt, t = 1, 2, . . . , n trong chuoi thịi gian,

muc
đích cna phan này là ưóc
Tˆt , Sˆt cna các hàm không ngau nhiên Tt
lưong
và St và loai bo chúng ra khoi chuoi thòi gian bang cách xét yt − Tˆt ho¾c
yt − Sˆt thay vào đó. Chuoi nh¾n đưoc sau khi loai bo xu hưóng theo
mùa trong chuoi thòi gian GQI là "chuői đưac đieu chinh theo mùa".
1.2.1

Các b®

LQC

tuyen tính

Lay a−r, a−r+1, . . . , as là các so thnc bat kỳ, trong đó r, s ≥ 0,
r+s+1 ≤
n. Phép bien đői tuyen tính
s

Y t∗ =
uΣ=−r


auYt−u, t = s + 1, .
. . , n − r,
đưoc GQI là b® LQC tuyen tính vói các TRQNG so a−r , a−r+1 , . . . , as .
Yt
đưoc gQI là đau vào, Yt∗ đưoc gQI là đau ra.

De thay rang du li¾u đau ra ít hơn du liắu au vo neu (r, s) = (0, 0).
Mđt giỏ tr% dương s > 0 ho¾c r > 0 là nguyên nhân cat bo điem bat
đau ho¾c ket thúc cna chuoi thịi gian. Đe thu¾n ti¾n, ta GQI véctơ cna
các TRQNG so (au ) = (a−r , . . . , as )T là m®t LQc (tuyen tính).
s
Σ
au = 1 GQI là trung
M®t LQc (au ) mà các TRQNG so có tőng bang
u=−
r

1,
1

bình trưat. Trưịng hop riêng au =
, u = −s, . . . , s vói m®t so le
2s + 1
1
1
TRQNG so bang nhau, ho¾c au =
,, u = −s + 1, . . . , s − 1, a−s = as =
2s
4s
muc đích cHQN m®t so lưong chan TRQNG so đe trung bình trưat đơn
gian có b¾c tương Éng là 2s + 1 và 2s.
LQc chuoi thòi gian là đe làm san bang nhung thành phan bat thưịng cna
chuoi thịi gian, do đó tìm ra xu hưóng ho¾c thành phan theo mùa, mà nó
có the b% che khuat boi nhung bien đ®ng. Ví du, trong khi đong ho toc đ
ky thuắt so trong ụ tụ cú the cung cap v¾n toc túc thịi cna xe, cũng cho

thay sn bien đ®ng khá lón. M®t cơng cu tương tn dùng tay và m®t b® LQc
xây dnng làm m%n có the giam tai các bien đ®ng nhưng mat m®t ít thịi
gian đe đieu chinh. Cơng cu thú hai thì rat de ĐQc và các thông tin cna
chúng phan ánh xu hưóng là đn trong hau het các trưịng hop.
Đe tính đau ra cna trung bình trưot đơn gian có b¾c 2s + 1 ta su dung
phương trình sau:
1
(Y t+s+ − Yt− ) .
2s
+
1
s
1
1
LQc này là ví du riêng cho LQc thơng thap, bao tồn thành phan xu hưóng
bien đői ch¾m cna chuoi và loai khoi nó thành phan bien đ®ng nhanh hoắc
tan so cao. Do ú, cú mđt sn thoa hi¾p giua hai yêu cau trên là nhung bien
đői bat thưịng nên đưoc giam boi m®t b® LQ c, ví du cHQN nhieu s
trong trung bình trưot đơn gian, và do ú sn bien đng di han trong
du liắu se khơng b% bóp méo boi làm trơn q múc, túc là có q nhieu
lna cHQN
s. Ví du, neu ta gia su rang chuoi thòi gian Yt = Tt + Rt khơng có thành
phan theo mùa, trung bình trưot đơn gian b¾c 2s + 1 dan tói
1 Σs
∗
Y =
Y
t−u
t
2s + u=−

ss
s
1
∗
Y t+
= Y t∗ +

t−
u

2s +
1


=

1 Σ
2s +
1

u=−
s

+

1 Σ
t−
u=− u
s

= T ∗ + R∗ .
t

t


trong đó theo lu¾t so lón Rt∗ ∼ E (Rt) = 0 neu s đn lón. Nhưng Tt∗ có the
sau đó khơng cịn phan ánh Tt . Tuy nhiên, neu cHQN s nho, ta thay hi¾n
tưong
khơng cịn gan vói kỳ vQNG cna nó.
∗
Rt
1.2.2

Đieu chinh theo mùa

Trung bình trưot đơn gian cna chuoi thòi gian Yt = Tt + St + Rt
phân tích thành
Yt∗ = Tt∗ + St∗ + Rt∗ ,
trong đó
là trung bình trưot liên quan cna thành phan theo mùa. Hơn
∗
St
nua, gia su rang St là hàm chu kỳ p , túc là St = St+p, t = 1, . . . , n
p.
Vớ du nhiắt đ trung bình hàng tháng Yt đo đưoc tai nhung điem co đ
%nh, trong trưịng hop này có the gia thiet chu kỳ thành phan theo
mùa St có chu kỳ p = 12 tháng. Trung bình trưot đơn gian b¾c p cho
giá tr% bat bien St∗ = S, t = p, p + 1, . . . , n − p . Bang viắc cđng
thờm hang so S vo hm

xu húng Tt và đ¾t TtJ = Tt + S , ta có the gia thiet S = 0. Do đó ta có
hi¾u Dt = Yt − Yt∗ ∼ St + Rt . Đe ưóc lưong St ta tính trung bình hi¾u này
vói đ® tre p (chú ý rang chúng dao đ®ng xung quanh St )
nt−1

Σ
D¯ t =1
Dt+j ∼ St, t = 1, . . . , p,
n
p
t

j=0

D¯ t = D¯ t−p , vói t > p,
trong đó nt là so chu kỳ dùng đe tính D¯ t . Do đó
S ˆt

p

1
=
Σ
D¯j ∼
St
D¯ t p−j=1

p
=
1

Σ
Sj St
p−
j=1

(1.14)

là m®t ưóc lưong cna St = St+p = St+2p = . . . thoa mãn
p−1

p−1
Σ
Σ1 ˆ
1S .
S t+ = 0 =
t+
p
p
j
j
j=

j=

Hi¾u Yt − Sˆt vói thành phan theo mùa gan 0 là chuoi thòi gian đưoc đieu
chinh theo mùa.


1.2.3

Chương trình đieu tra dân so X - 11

Trong nhung năm 50 cna the ky 20, văn phòng US – đieu tra dân so
đã phát trien m®t chương trình đieu chinh theo mùa cna chuoi thòi gian
kinh


te, đưoc GQI là chương trình đieu tra dân so X – 11. Chương
trình này phu thu®c vào các quan sát hàng tháng và gia thiet mơ hình
c®ng tính
Yt = Tt + St + Rt
giong như (1.13) vói thành phan theo mùa St chu kỳ p = 12.
Ta đưa ra m®t ban tóm tat chương trình boi Wallis (1974), đó là ket qua
cna trung bình trưot vói TRQng so đoi xúng. Phương pháp đieu tra
dân so đưoc trình bày trong Shiskin và Eisenpress (1957); m®t mơ ta
đay đn đưoc đưa ra boi Shiskin et al (1967). Chúng minh lý thuyet đưoc
dna trên mơ hình ngau nhiên đưoc cung cap boi Cleveland và Tiao
(1976). Chương trình X - 11 thnc chat làm vi¾c như đieu chinh theo
mùa đưoc mơ ta o trên, nhưng chương trình này có thêm các phép l¾p
và nhieu trung bình trưot khác nhau.
Nhung bưóc khác nhau trong chương trình này là:
(i)

Tính trung bình trưot đơn gian
Yt ∗
xu hưóng Yt∗ ∼ Tt.

b¾c 12 đe loai bo ve cơ ban mđt

(ii) Hiắu Dt = Yt Yt St + Rt sau đó bo qua m®t cách xap xi

thành phan bat thưịng c®ng theo mùa.
(iii) Áp dung trung bình trưot b¾c 5 cho moi tháng riêng re bang cách tính
=
D¯
.t
9
(1)
D¯
(1)

1
t−2
4

¯ + 3Dt¯ (1) +
+ 2Dt−1
(1)
2
(1)
2D¯

t+1 + D
2
(1)

Σ∼

.

¯

S
t

t+2
4

Cơng thúc trên cho ưóc lưong cna các thành phan theo mùa St . Chú
ý rang trung bình trưot vói TRQNG so (1, 2, 3, 2, 1) /9 là trung bình
trưot đơn gian có đ® dài bang 3.
(iv)

¯ đưoc đieu chinh bang c®ng xap xi dan ve 0 trên bat kỳ chu kỳ

(1)
Dt

12 tháng bang cách đ¾t
Sˆ

(1)

t

1

−

= D¯
t

(1)

.

1

(1)
D¯

+ D¯
(1)

+...+
(1)
D¯

+

1

Σ
D¯

(1)

.


12

2

t−
6

t−
5

t+
5

2

t+
6

(1)
(v)Hi¾u Yt(1) = Yt − Stˆ ∼ Tt + Rt là chuoi đieu chinh theo mùa sơ b®,
giong như trưóc đó.

(vi)Du li¾u đieu chinh Yt (1) se đưoc làm trơn hơn boi trung bình trưot
b¾c 9,13 ho¾c 23.
Henderson
Yt∗∗


(vii)Hi¾u D(2) = Yt − Y
t

∗∗

t

∼ St + Rt sau đó loai ưóc lưong thú hai cna

tőng thành phan theo mùa và thành phan bat thưịng.
(viii) Trung bình trưot b¾c 7 oc ỳng dung cho moi thỏng mđt cỏch
riờng biắt
3

D

(2)
t

=

(2)

u Σ=

auDt−

−3

trong đó TRQNG so au lay tù trung bình trưot đơn gian b¾c 3 áp dung
cho trung bình trưot đơn gian b¾c 5 cna du li¾u goc túc là véctơ
TRQNG so là (1, 2, 3, 3, 3, 2, 1) /15 . Đây chính là ưóc lưong thú hai
cna thành phan theo mùa St .

(ix)Bưóc (iv) đưoc l¾p đi l¾p lai cho ra ưóc lưong xap xi trung
tâm cna thành phan theo mùa.
(x)Hi¾u Y (2) = Yt −
(2)
t
Sˆ

t

ˆ(2)
S
t

cho ta chuoi đieu chinh theo mùa.

Tùy thu®c đ® dài cna trung bình trưot Henderson đưoc su dung trong
bưóc (vi),
Y (2) là trung bình trot cú đ di 165, 169 hoắc 179 cna du li¾u
t
goc. Nh¾n thay rang, đieu này dan đen vi¾c lay trung bình tai thịi gian t
dao đ®ng trưóc và sau 7 nm l mđt dang đ di ắc trng cna chu kỳ
kinh doanh đã đưoc quan sát trong kinh te (chu kỳ Juglar). Văn phòng
US – đieu tra dân so gan đây đã phát hành m®t phiên ban mo r®ng cna
chương trình X – 11 GQI là Census X – 12 – ARIMA. Nó đưoc thnc
hi¾n trong SAS phiên ban 8.1 và cao hơn là PROC X12 (đ®c gia tham
khao các tài li¾u trnc tuyen SAS đe biet chi tiet).
1.2.4

Đa thÉc đ%a phương phù hap nhat

Trung bình trưot đơn gian hoat đ®ng tot trong chuoi thịi gian hau
tuyen tính đ%a phương, nhưng nó se g¾p phai mơt so van đe khi lm
viắc vúi tỡnh trang hỡnh dang xoan. Mđt goi ý đưa ra là ta nên làm
vi¾c vói đa thúc đ%a phương có b¾c cao hơn.
Xét 2k + 1 du li¾u liên tuc yt−k, . . . , yt, yt+k tù chuoi thịi gian. M®t ưác
lưang đa thÉc đ%a phương b¾c p < 2k + 1 là cnc tieu hóa β0, . . . ,
βp