Đề thi thử THPT quốc gia năm 2022 môn TOÁN penbook hocmai đề 2 (file word có giải) image marked

PENBOOK

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ SỐ 2

NĂM HỌC: 2021 – 2022
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. f ( x) nghịch biến trên khoảng (; 1) .

B. f ( x) đồng biến trên khoảng (0;

C. f ( x) nghịch biến trên khoảng (3; ) .
D. f ( x) đồng biến trên khoảng (1;3) .
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y  ex
A. D   .

2

2x

C. D     2   0;   . D. D   .

B. D   2; 0 .

Câu 3. Cho cấp số cộng  un  có u1  5 và d  3 . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. Thứ 15.

B. Thứ 20.

Câu 4. Kết quả của giới hạn lim

x 

2x  3

x2  1  x

B.  .

A. 2 .

C. Thứ 35.

D. Thứ 36.

C. 3.

D. 1 .

là

Câu 5. Cho hàm số y  loga x, y  logb x với a, b là hai số thực dương, khác 1
có đồ thị lần lượt là  C1  ,  C2  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 0  b  a  1 .

B. a  1 .

C. 0  b  1  a .

D. 0  b  1 .

Câu 6. Cho một ô tô chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S 





1 4
t  3t 2 , trong đó thời gian t
2

tính bằng giây  s và quãng đường S được tính bằng mét  m . Vận tốc của chuyển động tại thời điểm

t  4s bằng
A. 280m/s.

B. 232m/s.

C. 140m/s.

D. 116m/s.

Câu 7. Cho hình trụ có thể tích bằng  a3 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường cao của hình trụ đã cho
bằng
A. a.

B. 2a.
1

1

0

0

Câu 8. Cho   f  x   2g  x   dx  12 và  g  x  dx  5 , khi đó
A. 2 .

B. 12.

D. 2 2a .

C. 3a.

C. 22.

1

 f  x  dx bằng
0

D. 2.
Trang 1




Câu 9. Trong không gian tọa độ Oxyz, độ dài của véctơ u  (1;2;2) là
A. 3.

B. 5.

C. 2.

D. 9.

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng

Oyz

và đi qua điểm

A(1; 1; 1) có phương trình là
A. y  1  0 .
Câu

11.

B. x  y  z  1  0 .

Trong

không

gian

với

hệ

C. x  1  0 .
tọa

độ

Oxyz

D. z  1  0 .
cho

tam

giác

ABC

với

A  1;2; 4 , B  3; 4;2 , C  2; 6; 6 . Tìm tọa độ điểm G là trọng tâm ABC .
A. G 1;3; 3

B. G  1;3;2

C. G 1;3;2

D. G  0; 0; 0

Câu 12. Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Phần ảo của số phức w  3z1  2z2 là
A. 12.

B. 11.

D. 12i .

C. 1.

Câu 13. Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng?
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x2  sin x là
B. 6x  cos x  C .

A. x3  cos x  C .

D. sin x  1 .

C. x3  cos x  C .

Câu 15. Hàm số y  x 4  4 x 2  1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2

B. 0

C. 1

D. 4

Câu 16. Cho hàm số y  f ( x) . Hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y  f ( x) có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y  f ( x) có một điểm cực trị.
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2;0; 2  và B  0; 4;0  . Mặt cầu nhận đoạn thẳng AB
làm đường kính có phương trình là
A.  x  1   y  2    z  1  36

B.  x  1   y  2    z  1  6

C.  x  1   y  2    z  1  6

D.  x  1   y  2    z  1  36

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 x  1  3t

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M  2; 6;3 và đường thẳng d :  y  2  2t .
z  t


Tọa độ hình chiếu vng góc của M lên d là
A. 1; 2; 0 .

B.  8; 4; 3 .

C. 1;2;1 .

D.  4; 4;1 .

Trang 2


Câu 19. Cho hàm số y 

3x2  13x  19
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có
x3

phương trình là
A. 5x  2y  13  0 .

B. y  3x  13 .

C. y  6x  13 .

D. 2x  4y  1  0 .





Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V  32 cm3 , tam giác BCD vng cân có cạnh huyền

CD  4 2  cm . Khoảng cách từ A đến  BCD  bằng
A. 8 cm .

B. 4  cm .

C. 9  cm .

Câu 21. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 1.

D. 12  cm .

x32
là
x2  1

C. 2.

D. 0.

Câu 22. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm
phân biệt. Số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này là
A. 5690.

B. 5960.

C. 5950.

D. 5590.

Câu 23. Có tất cả bao nhiêu giá trị khác nhau của tham số m để đồ thị hàm số y 

x 1
có 2

x  mx  4
2

đường tiệm cận?
A. 1

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 24. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Cho x, y là hai số phức thì số phức x  y có số phức liên hợp x  y .
B. Cho x, y là hai số phức thì số phức x  y có số phức liên hợp x  y .
C. Cho x, y là hai số phức thì số phức xy có số phức liên hợp xy .





2



D. Số phức z  a  bi thì z2  z  2 a2  b2 .
Câu 25. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a. Tính
diện tích xung quanh của hình nón.
A.

 a2 2
2

.

B.

 a2 2
4

.

C.  a

2

2.

2 a2 2
D.
.
3

Câu 26. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm   4  3i ;   2  i là
A. z2   2  4i  z  11  2i   0 .

B. z2   2  4i  z  11  2i   0 .

C. z2   2  4i  z  11  2i   0 .

D. z2   2  4i  z  11  2i   0 .

Trang 3


 a  a  với a  0, a  1a , Tính giá trị f  2019
Câu 27. Cho hàm số f  a 
a  a  a 
a

2
3

3

1

3

2018

1
8

8

3

8

1

B. 20191009  1.

A. 20191009 .

C. 20191009  1 .

.

D. 20191009  1 .

Câu 28. Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y  ax , y  bx , y  cx
(0  a, b, c  1) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. a  b  c .
B. c  b  a .
C. a  c  b .
D. b  a  c .
Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng
a. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng

 ABC 

bằng 45°. Tính thể tích của khối lăng trụ

ABC. ABC  .

A.

a3 3
.
24

B.

a3 3
.
4

C.

Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2x 
A.  cot x  x 
2

2
16

a3 3
.
6

D.

 
1
thỏa mãn F    1 là
2
sin x

 4
B. cot x  x 
2

.

C.  cot x  x  1 .

2
16

D. cot x  x 

2

a3 3
.
12

2

.

2
16

.



Câu 31. Cho P  5  2 6

 5 2 6 
2018

2019

. Khẳng định nào sau đây

đúng?
A. P   2; 7 .

B. P   6;9 .

C. P   0;3 .

D. P   8;10 .

Câu 32. Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số
1

y3

 x2  mx  2 m1

A. 1.

xác định với mọi x  1;2 .
B. Vô số.

C. 4.

D. 10.

Câu 33. Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị f   x  như hình vẽ bên. Đặt g  x   f  x   x .
Hàm số g  x  đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

3 
A.  ;3 .
2 

B.  2; 0 .
Trang 4


C.  0;1 .

1 
D.  ;2  .
2 

Câu 34. Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln  x  1 ,
đường thẳng y  1 và trục tung (phần tơ đậm trong hình vẽ).
Diện tích của  H  bằng
A. e  2

B. e  1

C. 1

D. ln 2

x  1 t

Câu 35. Trong không gian Oxyz, đường vng góc chung của hai đường thẳng d:  y  0
và d  :
 z  5  t

x  0

 y  4  2t  có phương trình là
 z  5  3t 

A.

x4 y z2
 
.
1
3
1

B.

x4 y z2


.
2
3

2

C.

x4 y z2
x4 y z2
 
 
. D.
.
2
3
2
2
3
2

x2
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y   mx  ln  x  1 đồng biến
2

trên khoảng 1;   ?
A. 3.

B. 4.

Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn

C. 2.

D. 1.

z i
là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là
z i

A. Đường trịn tâm O, bán kính R  1 .
B. Hình trịn tâm O, bán kính R  1 (kể cả biên).
C. Hình trịn tâm O, bán kính R  1 (khơng kể biên).
D. Đường trịn tâm O, bán kính R  1 bỏ đi một điểm  0;1 .
Câu 38.
A.

B.

C.

Câu 39. Cho hàm số f  x  xác định trên  0;   \ e , thỏa mãn f   x  

 

 1

D.

1
1
, f  2   ln6 và
x  ln x  1
e 

 

f e2  3 . Giá trị biểu thức f    f e3 bằng
 e
A. 3 ln2  1 .

B. 2ln2 .

C. 3ln2  1 .

D. ln2  3 .

Trang 5


Câu 40. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và có đồ thị là hình bên. Gọi M, m theo thứ tự là GTLN,





GTNN của hàm số y  f  x   2  3 f  x   2  5 trên đoạn  1;3 . Tính M .m bằng
3

A. 2.

B. 3.

C. 54.

D. 55.
5

2

1

0

2

Câu 41. Cho I   f  x  dx  26 . Khi đó J   x.  f  x 2  1  1 dx bằng
A. 13.

B. 52.

C. 54.

D. 15.

Câu 42. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Hàm số y  f   x  có đồ thị
như hình bên. Bất phương trình 3 f  x   x3  3 x 2  m đúng với mọi

x   1;3 khi và chỉ khi
A. m  3 f  3
B. m  3 f  3
C. m  3 f  1  4
D. m  3 f  1  4
Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Giá trị lớn nhất của

z  2i bằng
A. 10.

B. 5.

C. 10 .

D. 2 10 .

  ASC
  90, BSC
  60 . Tính diện tích mặt cầu
Câu 44. Cho hình chóp SABC có SA  SB  SC  a, ASB
ngoại tiếp hình chóp.
A.

7 a2
.
18

B.

7 a2
.
12

C.

7 a2

.
3

D.

7 a2
.
6

 x  1  at

Câu 45. Trong không gian, cho đường thẳng d :  y  2  bt trong đó a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2 . Tập
 z  ct


hợp tất cả các giao điểm của d và mặt phẳng I (0;2;1) là
A. Đường trịn tâm I  0;2;1 , bán kính R  3 nằm trong mặt phẳng  Oyz
B. Đường trịn tâm I  0;2; 0 , bán kính R  3 nằm trong mặt phẳng  Oyz
C. Đường tròn tâm I  0;2; 0 , bán kính R  3 nằm trong mặt phẳng  Oyz
D. Đường tròn tâm I  0;2;1 , bán kính R  3 nằm trong mặt phẳng  Oyz
Trang 6


Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f 1  1 và f  2 x   xf  x 2   5 x  2 x3  1
2

với mọi x   . Tính tích phân I   xf   x  dx .
1

B. I  1 .

A. I  3 .

C. I  2 .

Câu 47. Cho x,y là các số thực thỏa mãn (2 x  y ) 2 .25 x
thức P 
A.

2

D. I  5 .

 2 xy  2 y 2 9

 ( x  y )2  9 . Giá trị lớn nhất của biểu

x 1
bằng
4x  y  9

1
.
6

B.

1
.
4

C.

1
.
3

D.

1
.
2

Câu 48. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Đồ thị của hàm số y  f 1  x 
được cho trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình

 1 x 
f
  m 1
 x2

có

đúng

3

nghiệm

phân

biệt

thuộc

 1;1 ?

A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 49. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A  3;1;1 , B 1; 1;5  và mặt phẳng

 P :

2 x  y  2 z  11  0 . Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với  P  tại điểm C. Biết C ln thuộc
một đường trịn T  cố định. Tính bán kính r của đường trịn T  .
A. r  4

B. r  2 .

D. r  2 .

C. r  3 .

Câu 50. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 và z1  z2  6 . Tìm mơđun của số
phức w  z1  z2  6  10i .
A. w  10 .

B. w  32 .

C. w  16 .

D. w  8 .

Đáp án
1-B

2-A

3-D

4-D

5-A

6-D

7-A

8-C

9-A

10-C

11-D

12-A

13-D

14-C

15-C

16-B

17-B

18-D

19-C

20-D

21-B

22-C

23-C

24-D

25-A

26-B

27-D

28-D

29-B

30-A

31-D

32-B

33-B

34-C

35-D

36-A

37-D

38-C

39-A

40-D

41-D

42-C

43-B

44-C

45-C

46-A

47-A

48-A

49-A

50-D

Trang 7


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Trên khoảng  0;6 , hàm số đồng biến trên  0;3 và nghịch biến trên  3;6 nên đáp án B sai.
Câu 2: Đáp án A
Hàm số y  ex

2

2x

xác định khi x2  2x , mà x2  2x là đa thức bậc hai nên nó xác định trên tồn trục số

thực  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D   .
Câu 3: Đáp án D
u1  5
 100  un  u1   n  1 d  3n  8  n  36 .

d  3

Câu 4: Đáp án D
lim

x

2x  3

x 1 x
2

 lim

x

2

3

x
1

 1

x2

 1 .
1

Câu 5: Đáp án A
Từ đồ thị  C1  ta có hàm số y  loga x đồng biến trên tập xác định do đó a  1 nên A sai.
Câu 6: Đáp án D
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là v  t   S 



1 4
t  3t 2
2



/

 2t 3  3t .

Do đó v  4  2.43  3.4  116m / s .
Câu 7: Đáp án A

V   r 2h  h 

V
 a3


 a.
 r 2  a2

Câu 8: Đáp án C
1

1

1

0

0

0

Ta có   f  x   2g  x   dx   f  x  dx  2 g  x  dx
1

1

1

0

0

0

  f  x  dx    f  x   2g  x   dx  2 g  x  dx  12  2.5  22 .

Câu 9: Đáp án A

Ta có: u  12  22  22  3 .
Câu 10: Đáp án C

Trang 8



Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) và đi qua A  1; 1; 1 nhận i  1; 0; 0 làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là x  1  0 .
Câu 11: Đáp án D
Gọi G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC.

xA  xB  xC 1  3  2

0
 xG 
3
3

y y y

2 4 6
Ta có  yG  A B C 
0
3
3


zA  zB  zC 4  2  6


0
 zG 
3
3


Vậy G  0; 0; 0 .
Câu 12: Đáp án A

w  3z1  2z2  31  2i   2  2  3i   1  12i . Vậy phần ảo của số phức w là 12.
Câu 13: Đáp án D
Hình lập phương ABCDABCD có 9 mặt phẳng đối xứng đó là:
+) Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA .
+) Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương.
Câu 14: Đáp án C
Ta có

  3x

2



 sin x dx  x3  cos x  C .

Câu 15: Đáp án C

Ta thấy hàm số y  x 4  4 x 2  1 có ab  1.4  0 nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 16: Đáp án B
Ta có đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, mà qua các điểm đó đạo hàm đổi dấu.
Nên đạo hàm đổi dấu ba lần qua ba nghiệm. Do vậy hàm số y  f ( x) có ba điểm cực trị.
Câu 17: Đáp án B
Có A  2;0; 2  , B  0; 4;0   I 1; 2;1 là trung điểm của AB
Và AB 

 2 

2

 42   2   2 6 .
2

Khi đó mặt cầu đường kính AB có tâm

 x  1   y  2    z  1
2

2

2

I 1; 2;1 và bán kính

R

AB
 6

2

trình là:

6.

Câu 18: Đáp án D
Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d.

Trang 9



Suy ra H  d nên H 1  3t; 2  2t; t   MH   3t  1; 4  2t; t  3 .

Đường thẳng d có một VTCP là u   3; 2;1 .
 
Ta có MH  d nên MH .u  0  3 3t  1  2  4  2t    t  3  0  t  1  H  4; 4;1 .
Câu 19: Đáp án C


9  21
x 
3x  18x  20
3
Phương pháp tự luận y 
 0 
2

9  21

 x  3
x 
3

2

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  6x  13 .
Phương pháp trắc nghiệm
Tại điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức ở dạng bậc 2 trên bậc 1, ta có:

f  x

g x



f   x

g  x 

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

 3x
y

2

 13x  19

 x  3

  y  6x  13 .

Câu 20: Đáp án D





Ta có BC  BD  4  cm  SBCD  8 cm2 .
Khoảng cách từ A đến ( BCD ) là d 

3VABCD

SBCD



3.32
 12  cm .
8

Câu 21: Đáp án B
Ta có:
+) lim y  lim
x1

x1

x32 1

x32 1
 , lim y  lim 
 .
2
x1
8 x1
8
x 1
x2  1




Suy ra x  1 không phải là đường tiệm cận đứng.
+) lim  y  lim 
x 1

x 1

x32
  . Suy ra x  1 là đường tiệm cận đứng.
x2  1

Câu 22: Đáp án C
1
2
.C20
TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2  có C17
tam giác.
1

TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2  có C172 .C20
tam giác.
1
2
1
.C20
 C172 .C20
 5950 tam giác cần tìm.
Như vậy, ta có C17

Câu 23: Đáp án C
Trang 10


x 1
 0 nên đồ thị hàm số ln có 1 TCN là y  0 .
x  x  mx  4

Ta có lim y  lim
x 

2

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì nó chỉ có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng

 phương trình x 2  mx  4  0 có nghiệm x  1 hoặc phương trình x 2  mx  4  0 có nghiệm kép (có
thể bằng 1).

12  m.1  4  0
 m  5

 2

 m  4
 m  4.4  0
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Câu 24: Đáp án D
Gọi z  a  bi  z  a  bi .



2





Khi đó z2  z   a  bi    a  bi   2a2  2b2i 2  2 a2  b2 .
2

2

Câu 25: Đáp án A
Theo giả thiết, SA  SB  a và tam giác ASB vuông cân tại S  AB  a 2 .
Nếu gọi O là tâm đường trịn đáy thì O là trung điểm của AB, SO là chiều cao của hình nón và

SO  R 

a 2
2

.

Khi đó Sxq   .R.SB 

 a2 2
2

.

Câu 26: Đáp án B

S      2  4i
Áp dụng định lý Viet, ta có 
.
 P   .  11  2i
Do đó  ,  là hai nghiệm của phương trình z2  Sz  P  0  z2   2  4i  z  11  2i   0 .
Câu 27: Đáp án D
Ta có
1
 32

3
3 2
a
a

a
3



a
a  a


  1 a 
f  a  1
 1 3
1
1


a8 8 a3  8 a1
a8  a8  a 8  a2  1


2
3









2018

Khi đó f 2019

2
3

1
2018 2

    2019 

 12   12 
  a  1  a  1
1


   a 2  1.
1
a2  1

 1  20191009  1 .

Câu 28: Đáp án D
Ta có y  ax , y  bx là hai hàm số đồng biến, hàm số y  cx là hàm số nghịch biến nên ta có

Trang 11


a  1

b  1  c  a, b .
0  c  1


Thay x  1 vào hai hàm số y  ax , y  bx ta được: a  b
Do đó, ta có: c  a  b .
Câu 29: Đáp án B

Theo giả thiết, ta có AA   ABC   BA là hình chiếu vng góc của AB trên  ABC 

 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  ABC  là 
ABA  45 .
Do ABA vuông cân tại A  AA  AB  a .
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là V 

a3 3
4

Câu 30: Đáp án A


1 
Ta có F ( x)    2x  2  dx  x2  cot x  C
sin x 

2

 
 

2
F    1     cot  C  1  C  
4

16
 4
 4

Vậy F ( x)   cot x  x2 

2
16

.

Câu 31: Đáp án D



Ta có P  5  2 6

 
2018

5 2 6



2019



 5 2 6



  5  2 6    5  2 6 






  5 2 6


2018

 
2018

5 2 6

 5 2 6 
2018

2018

  5  2 6   1  5  2 6   5  2

  5 2 6 5 2 6 



2018

2018

6

Vậy P   8;10 .
Câu 32: Đáp án B

Trang 12


Yêu cầu bài toán   x2  mx  2m  1  0, x  1;2

x2  1
 m x  2  x  1, x  1;2  m 
, x  1;2 .
x2
2

x2  1
Xét hàm số f  x  
, với x  1;2
x2

f ( x) 

x2  4 x  1

 x  2

2

 x  2  3  1;2
, f   x  0  
 f   x   0, x  1;2
 x  2  3  1;2


Dựa vào bảng biến thiên có m 
Vậy m 

x2  1
3
, x  1;2 khi m  .
x2
4

3
.
4

Câu 33: Đáp án B
Ta có g  x   f   x   1 .

g  x   0  f   x   1 . Từ đồ thị, ta được x  1, x  1, x  2 .
Từ đồ thị, ta có bảng xét dấu của g( x) .
1

x

g( x)

+

0

1





2



0

0

+

Vậy hàm số g( x) đạt cực đại tại x  1 .
Câu 34: Đáp án C
Phương trình hồnh độ giao điểm của hàm số

ln  x  1  1  x  e  1 . Diện tích của  H  là S 

y  ln  x  1

và đường thẳng

y  1 là

e 1

 ln  x  1 dx
0

Đặt

1

dx
u  ln  x  1 du 

x 1 .

dv  dx
v  x  1

S   x  1 ln  x  1

đó

e 1

e 1


0

Khi

 dx  e   e  1  1 .
0

Câu 35: Đáp án D
Giả sử AB là đường vng góc chung của d và d  với A  d , B  d  .




 A  a  1;0; a  5 
Ta có ud  1;0;1 , ud    0; 2;3 , 
 BA   a  1; 2b  4; a  3b  10  .
b  0; 4  2b;3b  5 
 
ud .BA  0
 a  1   a  3b  10   0
d  AB
a  3
Khi đó 
   


d   AB
b  1
2  2b  4   3  a  3b  10   0

ud  .BA  0
Trang 13


 A  4;0; 2  


 BA   4; 6; 4   u   2;3; 2  là một VTCP của AB.
 B  0;6; 2 
Kết hợp với AB qua A  4;0; 2   AB :

x4 y z2
 
2
3
2

Câu 36: Đáp án A
Ta có y  x  m 
Để hàm số y 

1
x 1

x2
 mx  ln  x  1 đồng biến trên khoảng 1;   thì
2

y  0 với x  1;  
 x

1
 m với x  1;    m  min f  x  .
1; 
x 1

Xét hàm số f  x   x 
f  x  x 1

1
trên khoảng 1;   ta có
x 1

1
1  2
x 1

 x  1

1
 1  3  min f  x   3
1; 
 x  1

Do m    nên m  1; 2;3 .
Câu 37: Đáp án D
Gọi M  a, b là điểm biểu diễn số phức z  a  bi (a, b  )

z  i a  (b  1)i a2  b2  1
2ai

Ta có:

 2
 2
2
z  i a  (b  1)i a  (b  1) a  (b  1)2
 a2  b2  1
a2  b2  1
a2  b2  1
z i
 0  2

Để
là số thuần ảo thì
.
2
2
z i
a2   b  1
a   b  1  0 a  0, b  1
Câu 38: Đáp án C
Đặt t  3  ln x  2tdt 
e

I 
1

2

dx

. Đổi cận: x  1  t  3 ; x  e  t  2 .
x

3  ln x
2
dx  2  t 2 dt  t 3
x
3
3

2


3

16  6 3
3

 a  16 , b  6 , c  3  S  a  b  c  25

Câu 39: Đáp án A
Ta có f   x  

1
x  ln x  1

Trang 14


 f  x  

ln 1  ln x   C1 khi x   0; e
1
.
dx  ln ln x  1  C  
x  ln x  1
ln  ln x  1  C2 khi x   e;  

1
+) f  2   ln6  C1  ln2 .
e 

 

+) f e2  3  C2  3 .

  1
ln 1  ln x   ln2 khi x   0; e  f    ln2  ln2
   e
Do đó f  x   
ln
ln
x

1

3
khi
x


e
;





 f e3  ln2  3



 

 1

 f    f e3  3 ln2  1 .
 e

 

Câu 40: Đáp án D
Trên  1;3 , ta có 1  f  x   7  0  f  x   2  5 .

t  0
Đặt t  f  x   2 với t   0;5 . Khi đó y  t 3  3t 2  5  y  3t 2  6t  0  
.
t  2
 M  55
 M .m  55 .
Ta có y  0  5; y  2  1; y  5  55 . Suy ra 

m

1

Câu 41: Đáp án D
Đặt u  x 2  1  du  2 xdx .
5
5
5
 1
1
1
Khi đó J    f  u   1 du    f  u  du   1du    26  x

21
21
1
 2

 1
   26  5  1  15 .
2
1 
5

Câu 42: Đáp án c
Ta có 3 f  x   x3  3 x 2  m  m  3 f  x   x3  3 x 2 * với x   1;3 .
Xét g  x   3 f  x   x3  3 x 2 trên  1;3 .
Ta có g ( x)  3 f   x   3 x 2  6 x  3  f   x    x 2  2 x   .
Xét đổ thị hàm số y  f   x  và y  x 2  2 x với x   1;3 trên cùng một hệ trục tọa độ như sau:

Trang 15


Nhận thấy trên  1;3 thì f   x    x 2  2 x   0 nên g   x   0 trên  1;3 .
Ta có BBT của g  x  trên  1;3 như sau
x

–1

g x

3
–

g  1

g  x

g  3

Câu 43: Đáp án B
Gọi z  x  yi ,  x, y    .
Khi đó z  1  i  z  3  2i  5   x  1   y  1 i   x  3   y  2 i  5 1 .
Trong mặt phẳng Oxy, đặt A 1;1 ; B  3;2 ; M  a; b .

 Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm M  a; b trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn

MA  MB  5 .
Mặt khác AB 

 3  1   2  1
2

2

 5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có z  2i  a   b  2 i . Đặt N  0; 2 thì z  2i  MN .
Gọi H là hình chiếu vng góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB: x  2y  1  0 .
Ta có H  1; 0 nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.
 AN  12  32  10

Ta có 
.
2
 BN  32   2  2  5


Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có AN  MN  BN  5 .
Vậy giá trị lớn nhất của z  2i bằng 5 đạt được khi M  B  3;2 , tức là z  3  2i
Câu 44: Đáp án C
Ta có AB  AC  a 2, BC  a , suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.
Gọi I  SM  CN thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy SA   SBC  nên d   SBC  , suy ra d là trục
đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trang 16

Trong mặt phẳng  SAM  dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó

OA  OS  OB  OC nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC .
Ta có SM 

a 3
2

 SI 

2
a
SM 
. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật
3
3

nên

OS2  SI 2  SP2 

a2
3



a2
4



7a2
a 21
 SO 
.
12
6

Diện tích mặt cầu S  4 .SO2  4 .

7a2 7 a2

.
12
3

Câu 45: Đáp án C
Ta có tọa độ giao điểm M  x; y; z thỏa mãn hệ phương trình

1
 x  1  at
t   a


 y  2  bt
  y  2  bt

 z  ct

 z  ct
 x  0

 x  0
2

 1
(vì a  b  c nên a  0 )   y  2  z  b  c     1.
 a
2

2

2

2

2



2

2



Hay tập hợp tất cả các giao điểm là đường tròn tâm I  0;2; 0 , bán kính R  1 nằm trong mặt phẳng

Oyz .

Câu 46: Đáp án A

 f t   m  1
 f  t   1  m 1
Xét I   xf   x  dx . Đặt f  t   m  1  

1
 f  t   m  1  f  t   1  m  2 
2

Khi đó, ta có
2

2

2

1

1

1

I  xf  x    f  x  dx  2 f  2   f 1   f  x  dx
2

 2 f  2   1   f  x  dx
1

Ta có f  2 x   xf  x 2   5 x  2 x3  1 .

2

Thay x  1  f  2   f 1  2  f  2   3  I  5   f  x  dx .
1

Hơn nữa f  2 x   xf  x 2   5 x  2 x3  1  2 f  2 x   2 xf  x 2   10 x  4 x3  2 .
Lấy tích phân 2 vế ta có:
Trang 17


1

1

1

0

0

0

2  f  2 x  dx   2 xf  x 2  dx   10 x  4 x3  2  dx  2
1

1

0

0

  f  2x  d  2x    f  x2  d  x2   2
2

1

0

0

  f  t  dt   f  u  du  2
2

1

0

0

  f  x  dx   f  x  dx  2
2

  f  x  dx  2
1

Vậy I  5  2  3
Câu 47: Đáp án A
Ta có: (2 x  y ) 2 .25 x

2

 2 xy  2 y 2 9

 ( x  y )2  9   2 x  y  .2 2 x  y   9   x  y   .29 x  y  *
2

2

Xét hàm đặc trưng g  u   u.2u với u  0 , ta có g   u   2u 

2

u.2u
 0u  0
ln 2

Do đó * xảy ra khi  2 x  y   9   x  y    2 x  y    x  y   9
2

2

2

2

2 x  y  3sin t
sin t  cos t  1
Đặt 
suy ra P 
, t  R 1 .

3sin t  6 cos t  9
 x  y  3cos t
Ta có 1   3P  1 sin t   6 P  1 ct  9 P  1 do 3sin t  6 cos t  9  0t  R .
Phương trình 1 có nghiệm khi

 3P  1   6 P  1
2

2

  9 P  1  36 P 2  1  0 
2

Suy ra giá trị lớn nhất của P là

1
1
P
6
6

1
.
6

Câu 48: Đáp án A
Từ đồ thị hàm số y  f 1  x  ta suy ra BBT hàm số y  f  x  như sau:
x



0

1

2



3

f  x

1
–2

Đặt t 

1 x x 1
3

 t 
 0x  2  Với x   1;1  t   0; 2
2
x2 x2
 x  2

Ta có BBT hàm số f  t  như sau:
Trang 18

x

0

1

2

3

f t 

1
–2

Khi đó bài tốn trở thành: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f  t   m  1 * có đúng
3 nghiệm phân biệt thuộc  0; 2 ?

 f t   m  1
 f  t   1  m 1
f t   m  1  

 f  t   m  1  f  t   1  m  2 
Để * có 3 nghiệm phân biệt.
TH1: 1 có 2 nghiệm phân biệt và  2  có 1 nghiệm

2  1  m  1
2  m  3



  1  1  m  3    4  m  2  m  1
  1  m  2
m  1


TH2: 1 có 1 nghiệm và  2  có 2 nghiệm phân biệt

 1  1  m  3
  2  m  0


  1  m  2
   m  3
 2  m  0
2  1  m  1 2  m  1


 m   2;0   1 . Mà m    m  2; 1;1 .
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 49: Đáp án A


Ta có AB   4; 2; 4  và m  P  có vec tơ pháp tuyến n   2; 1; 2  . Do đó AB vng góc với  P  .
Giả sử mặt cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . Mặt cầu  S  đi qua hai điểm
A, B nên ta có

9  1  1  6a  2b  2c  d  0
6a  2b  2c  d  11



1  1  25  2a  2b  10c  d  0
2a  2b  10c  d  27
Suy ra 8a  4b  8c  16  2a  b  2c  4 .
Mặt cầu  S  tiếp xúc với  P  nên ta có d  I ,  P   

2a  b  2c  11
5
3

Trang 19



Ta có AB   4; 2; 4   AB  16  4  16  6 .
Gọi M là trung điểm AB ta có d  C , AB   IM  52  32  4 .
Vậy C ln thuộc một đường trịn T  cố định có bán kính r  4 .
Câu 50: Đáp án D

Giả sử số phức z có dạng z  x  yi

 z  3  5i  z   3  5i    x  3   y  5   52
2

2

2

2

 z là tập hợp những số phức có tọa độ là những điểm thuộc đường tròn tâm I  3; 5  có bán kính R  5
. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên hệ trục tọa độ. Gọi H là trung điểm AB.
  

Vì z1  z2  OA  OB  BA  AB  BA  z1  z2  6 . Ta có

 
   

w  z1  z2  6  10i   z1   3  5i     z2   3  5i    OA  OI  OB  OI  IA  IB  2OH



 




 AB 2 
 w  2 OH  2 IA2  AH 2 2 IA2  
 8
 2 

Trang 20