Đề thi thử THPT quốc gia năm 2022 môn TOÁN penbook hocmai đề 3 (file word có giải) image marked

PENBOOK

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ SỐ 3

NĂM HỌC: 2021 – 2022
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ;  

B.  ; 2 

C.  ;0 

D.  \ 2

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau
x

1



y'



y

0


1



1


0









3



2

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 3. Cho hàm số y  a x , với 0  a  1. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. y '  a x ln a
B. Hàm số y  a x có tập xác định là  và tập giá trị là  0;  
C. Hàm số y  a x đồng biến trên  khi a  1.
D. Đồ thị hàm số y  a x có tiệm cận đứng là trục tung
Câu 4. Phương trình log 3  x  1  2 có nghiệm là
A. x  4

B. x  8

C. x  9

D. x  27

Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x.
A.
C.

x2
 sin x  C
2



f  x  dx 



f  x  dx  x sin x  cos x  C

B.
D.

 f  x  dx  1  sin x  C



f  x  dx 

x2
 sin x  C
2

Trang 1


3

Câu 6. Nếu



f  x  dx  5,

1

5



f  x  dx  2 thì

3

5

 f  x  dx bằng
1

B. 2

A. 2

C. 3

D. 4

Câu 7. Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i. Phẩn ảo của số phức w  3z1  2z 2 là
B. 1

A. 12

D. 12

C. 1

Câu 8. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 9. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón có bán kính đáy r  3 và độ dài đường sinh l  5
B. S xq  24

A. S xq  18

C. S xq  30

D. S xq  15

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0; 2  , B  2;1; 1 . Tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác OAB.
 1 
A. G  1; ;1
3 


1 


B. G 1;  ;1
3 


 1

C. G 1; ; 1
 3


Câu 11. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
d:

1

D. G  ;1; 1
3


  : x  2 y  z  3  0

và đường thẳng

x  3 y 1 z  4


. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
1
2
1

A. d song song với  

B. d vuông góc với  

C. d nằm trên  

D. d cắt  

Câu 12. Mặt phẳng đi qua 3 điểm M 1;0;0  , N  0; 1;0  , P  0;0; 2  có phương trình là
A. 2 x  2 y  z  2  0

B. 2 x  2 y  z  2  0

C. 2 x  2 y  z  0

D. 2 x  2 y  z  0

Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 6 chỗ?
A. 6! cách

C. A66 cách

B. 6 cách

D. C66 cách

Câu 14. Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  1 và cơng sai d  2. Tổng của 2020 số hạng đầu bằng
A. 4 080 400
Câu 15. Cho hàm số y 

B. 4 800 399

C. 4 399 080

D. 4 080 399

x3
 2 x 2  3 x  1. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
3

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Câu 16. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  x 2  2 x  5 trên  0;3 . Giá trị
của biểu thức M  m bằng
A. 7

B. 2





2 1

C. 12

D. 2





2 1

Trang 2


Câu 17. Gọi M  a, b  là điểm thuộc đó thị  C  của hàm số y  

 C  tại M có hệ số góc lớn nhất. Tồng
A. 5

x3 x 2
4
  2x  sao cho tiếp tuyến của
3 2
3

2a  4b bằng

B. 5

C. 0

D. 13

Câu 18. Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d    . Đồ
thị của hàm số y  f  x  như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực cùa phương trình 3 f  x   4  0 là
A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

4



x

y'



y

0



0


0



4




0

5
3

3
3

Hàm số g  x   f  x   2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ; 3

B.  0;  

C.  3; 2 

D. 1;3

Câu 20. Ông B dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%/năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm
số tiền lãi sẽ gộp vào vốn ban đầu. Hỏi số tiền A (triệu đồng, A ) nhỏ nhất mà ông B cần gửi vào ngân
hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua xe máy trị giá 48 triệu đồng là
A. 230 triệu đồng

B. 231 triệu đồng

C. 250 triệu đồng

D. 251 triệu đồng

Câu 21. Với mọi số thực dương a và b thoả mãn a 2  b 2  8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log  a  b  

1
 log a  log b 
2

B. log  a  b  

1
1  log a  log b 
2

C. log  a  b   1  log a  log b
D. log  a  b  

1
 log a  log b

2

Câu 22. Cho hai hàm số y  a x và y  log b x có đồ thị như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a, b  1

B. 0  a, b  1
Trang 3


C. 0  a  1  b

D. 0  b  1  a

Câu 23. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên bằng
bao nhiêu?
A. 4

B.

9
2

7
3

D.

5
2

C.

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z 

1  5i
 7  10i
1 i

Môđun của số phức w  z 2  20  3i là
A. 5

B. 3

C. 25

D. 4

Câu 25. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  10  0. Tính A  z12  z22 .
A. A  20

B. A  10

C. A  30

D. A  50

Câu 26. Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD biết AB  a, SA  a.
A.

a3 2
2

B.

a3 2
6

C.

a3
3

D. a 3

Câu 27. Cho hình vng ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lẩn lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình
vng ABCD xung quanh MN được hình trụ T  . Diện tích tồn phần của hình T  là
A. 64  cm 2 

B. 80  cm 2 

C. 96  cm 2 

D. 192  cm 2 

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm

M 1; 2;5  và vng góc với mặt phẳng   : 4 x  3 y  2 z  5  0 là
A.

x 1 y  2 z  5


4
3
2

B.

x 1 y  2 z  5


4
3
2

C.

x 1 y  2 z  5


4
3
2

D.

x 1 y  2 z  5



4
3
2

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A  0;1; 1 ; B 1;1; 2  ;

C 1; 1;0  ; D  0;0;1 . Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD.
A. 3 2

B. 2 2

C.

2
2

D.

3 2
2

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
BC ' và CD ' là

A.

a
2

B.

a 3
2

C.

a 3
3

D.

a 3
4

Trang 4


Câu 31. Mỗi bạn An, Bình chọn ngẫu nhiên 3 chữ số trong tập 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 . Tính xác suất để
trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
A.

7
40

B.

9
10

C.

6
25

D.

21
40

Câu 32. Cho hàm số f  x  , hàm số y  f '  x  liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

f  x   3 x  m có nghiệm thuộc khoảng  1;1 .
A. f 1  3  m  f  1  3
B. f  1  3  m  f 1  3
C. f 1  3  m  f  1  3
D. f  0   1  m  f  0   1
Câu 33. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f   f  sin x  
  
trên đoạn   ;0  . Giá trị của M  m bằng
 2 

A. 6

B. 3

C. 6

D. 3

Câu 34. Cho phương trình 9 x

2

 2 x 1

 2m.3x

2

 2 x 1

 3m  2  0. Tập tất cả các giá trị của tham số m để

phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là
A.  2;  
Câu 35. Cho hàm số

B. 1;  

C.  2;  

D.  ;1   2;  

y  f  x  liên tục trên đoạn  3;6 và có đồ thị đường gấp khúc ABCD như hình

bên dưới. Biết F là nguyên hàm của f thỏa mãn F  4   6. Giá trị của F  3  2 F 1  F  6  bằng

Trang 5

A. 10.

B. 9.

D. 10.

C. 1.

Câu 36. Cho hàm số y  x 4  3x 2  m có đồ thị  Cm  với m là tham số thực.
giả sử  Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi S1 , S 2 và S3
là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1  S 2  S3
A. m  
C. m 

5
2

5
2

B. m  
D. m 

5
4

5
4

Câu 37. Tập hợp các số phức w  1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1  1 là hình trịn. Tính diện
tích hình trịn đó.
A. 4

B. 2

D. 

C. 3

Câu 38. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần
đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là
một khối cầu có đường kính bằng đường kính phía trong của cốc nước. Người ta từ từ
thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra
ngồi. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ
qua bể dày của lớp vỏ thủy tinh).
A.

1
2

B.

2
3

C.

4

9

D.

5
9

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

S  :

 P :

x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu

x 2  y 2  z 2  10 x  6 y  10 z  39  0. Từ một điểm M thuộc mặt phẳng  P  kẻ một đường thẳng

tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng MN  4.
A. 5

B. 3

C.

6

D. 11

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng
a3

. Tính góc  giữa đường thẳng SB và mặt
vng góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là
3

phẳng  SCD  .
A.   45.

B.   60.

C.   30.

D.   90.

Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên x   10;10 thỏa mãn

log 4  x  5   log16  5 x 2  12   .  54 x 1  125 x   0?


A. 10.

B. 13.

C. 3.

D. 17.
Trang 6


Câu 42. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình 2 f  x  1  m  1  0 có nghiệm.

 m  1
A. 
.
 m  23

 m  1
B. 
.
 m  23

m  1
C. 
.
 m  25

m  3
D. 
.
 m  21

Câu 43. Cho hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó
hàm số y  f  4x  4x 2  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 44. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2  az  b 2  ab  2  0 ( a, b là các tham số thực).
Có bao nhiêu cặp số thực

 a; b 

sao cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

3 z1  4iz2  2  6i ?
A. 2.

B. 5.

Câu 45. Cho hàm số f  x  

C. 4.

D. 1.

a 4
x  bx3  cx 2  4 x và g  x   mx3  x  n với a, b, c, m, n, p  . Biết
4

hàm số y  f  x   2 g  x   x có ba điểm cực trị là 2;  1; 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường

y  f   x  và y  2 g   x   1 bằng
A. 1.

B.

17
.
343

C.

4
.
5

D.

343
.
24

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực x  1; 4  thỏa mãn

 3x  2  e x  y  e x  xy 


A. 4.

3 2

x  x  2?
2


B. 1.

Câu 47. Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn

C. 10.

D. 7.

z1  z2  5 2; z1  z2  10. Giá trị nhỏ nhất của

P  z  z1  z  z2  z bằng
A. 10 1  3.

B. 5 2  3.

C. 6 2  3.

D. 5 1  3.

Trang 7


Câu 48. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ', trên các cạnh AA ', BB ' lấy các điểm M, N sao cho

AA '  4 A ' M , BB '  4 B ' N . Mặt phẳng  C ' MN  chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi V1 là thể
tích của khối chóp C '. A ' B ' NM , V2 là thể tích của khối đa diện ABCMNC '. Tỉ số
A.

V1 2


V2 5

B.

V1 1

V2 5

C.

V1 3

V2 5

V1
bằng
V2
V1 1

V2 6

D.

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 2  y 2  z 2  2mx  2  m  1 y  mz  m  2  0 là
phương trình của mặt cầu  S m  . Biết với mọi số thực m thì  S m  ln chứa một đường trịn cố định. Tìm
bán kính I của đường trịn đó.
A. r 

1
2

B. r  2

D. r 

C. r  3

1
2

3

7
3
3 x
Câu 50. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  2  x  2    x 2  x  m  2  , x  .
2
 3 4


Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số g  x   f  x  có đúng 7 điểm cực trị?
A. 9.

B. 1.

C. 2.

D. 11.

Đáp án

1-B

2-B

3-D

4-B

5-A

6-C

7-A

8-D

9-D

10-C

11-B

12-A

13-A

14-A

15-A

16-D

17-C

18-C

19-D

20-B

21-B

22-D

23-B

24-A

25-A

26-B

27-C

28-B

29-D

30-C

31-D

32-A

33-B

34-C

35-A

36-D

37-B

38-D

39-D

40-C

41-B

42-A

43-C

44-C

45-D

46-A

47-A

48-B

49-B

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm không xác định tại x  2 và cả hai nhánh của đồ thị đều đi từ dưới
đi lên (nhìn theo hướng từ trái sang phải), do đó hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  và  2;  
Câu 2: Đáp án B
lim f  x   3  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  3 khi x  

x 

lim f  x     đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang khi x  

x 

lim f  x     đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1

x 1

lim f  x   lim f  x     đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1

x 1

x 1

Trang 8


Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3.
Câu 3: Đáp án D
Đồ thị hàm số y  a x , với 0  a  1 có tiệm cận ngang là trục hồnh và khơng có tiệm cận đứng.
Câu 4: Đáp án B
Điều kiện. x  1  0  x  1
Ta có log 3  x  1  2  x  1  32  x  1  9  x  8
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  8
Câu 5: Đáp án A
Ta có



x2
f  x  dx    x  cos x  dx   sin x  C
2

Câu 6: Đáp án C
5

3

5

1

1

3

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  5  2  3
Câu 7: Đáp án A

w  3z1  2z 2  3 1  2i   2  2  3i   1  12i. Vậy phần ảo của số phức w là 12
Câu 8: Đáp án D

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng.
Câu 9: Đáp án D
Diện tích xung quanh S xq của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là

S xq   rl   .3.5  15 (đvdt).
Câu 10: Đáp án C

Trang 9


0 1 2

1
 xG 
3

0  0 1 1

 1


Giả sử G  xG ; yG ; zG    yG 

 G 1; ; 1
3
3
 3



0  2   1
 1
 zG 
3

Câu 11: Đáp án B




Ta có n  1; 2; 1 , u d   1; 2;1  n  u d     d
Câu 12: Đáp án A
Phương trình viết theo đoạn chắn đi qua 3 điểm M 1;0;0  , N  0; 1;0  , P  0;0; 2  là
x y z
   1  2x  2 y  z  2  0
1 1 2

Câu 13: Đáp án A
Có 6! cách xếp 6 học sinh vào bàn ngang 6 chỗ
Câu 14: Đáp án A

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:
Sn 

n  u1  un 
n  n  1
 nu1 
d  2020.1  2020.2019  4080400
2
2

Câu 15: Đáp án A
TXĐ: D  

y '  x 2  4 x  3, y '  0  x  1, x  3 .
Ta có bảng biến thiên sau:
x



y'

1


0



3




0

7
3

y





1

 yCT  1
Câu 16: Đáp án D
y' 

2x  2
2. x 2  2 x  5

; y '  0  2x  2  0  x  1

y 1  2; y  0   5; y  3  8  2 2
So sánh 4 giá trị trên với nhau  M  2 2; m  2  M  m  2





2 1

Trang 10


Câu 17: Đáp án C
Tính y '   x 2  x  2
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm M  a; b  là
2

2

1 9 9 
1 9

y '  a   a  a  2    a       a   
2 4 4 
2 4

2

2

1
1

 Hệ số góc y '  a  lớn nhất (dấu = xảy ra) khi chỉ khi  a    0  a  
2

2

3

2

1
1 1 1 1
 1 4 1
Thay x  a   và hàm số đã cho, ta có: b           2     
2
3 2 2 2
 2 3 4
 2a  4b  0

Câu 18: Đáp án C
4
Ta có 3 f  x   4  0  f  x    , do đó số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của
3

đồ thị hàm số y  f  x  với đường thẳng y  

Dựa vào đồ thị, ta có đường thẳng y  

4
3

4
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 1 điểm.
3

Câu 19: Đáp án D
Ta có g '  x   f  x  , suy ra bảng biến thiên của hàm g  x   f  x   2020 chính là bảng biên thiên của
hàm số y  f  x 
Câu 20: Đáp án B
Trang 11


Sau 3 năm số tiền ơng B có được cả gốc lẫn lãi là: A 1  0, 065  . Theo giả thiết ơng B có số tiền lãi 48
3

triệu đồng nên ta có phương trình:

A 1  0, 065   A  48  A 

48

3

1, 065

3

1

 231

Câu 21: Đáp án B
Ta có a 2  b 2  8ab  a 2  2ab  b 2  10ab  (a  b) 2  10ab

 log(a  b) 2  log 10ab 
 2 log  a  b   1  log a  log b 
 log  a  b  

1
1  log a  log b 
2

Câu 22: Đáp án D
Từ hình vẽ ta có:
Hàm số y  a x đồng biến trên  nên a  1
Hàm số y  log b x nghịch biến trên  0;   nên 0  b  1  0  b  1  a

Câu 23: Đáp án B
Ta thấy x   3;0 thì x  1  x 2  4 x  1 nên
0

S    x  1   x 2  4 x  1 dx 
3

0

 x

2

 3x dx 

3

9
2

Câu 24: Đáp án A
Ta có

2  i z 

1  5i
 7  10i   2  i  z  3  2i  7  10i   2  i  z  4  8i
1 i

Suy ra z 

4  8i
2
 4i nên w   4i   20  3i  4  3i. Vậy w  5
2i

Câu 25: Đáp án A
Phương trình z 2  2 z  10  0 1 có hai nghiệm phức là z1  1  3i và z2  1  3i.
Ta có: A  1  3i   1  3i   8  6i  8  6i  20.
2

2

Vậy A  20
Câu 26: Đáp án B
Ta có SO  SA2  OA2  a 2 

a2 a 2

2
2
Trang 12


1
Ta có VS . ABCD  SO.S ABCD
3

1 a 2 2 a3 2
 .
a 
(đvtt)
3 2
6

Câu 27: Đáp án C
Quay hình vng ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ. Khi đó:

AB
 4cm, l  h  AD  8cm
2
Stp  2 rh  2 r 2  2 .4.8  2 .42  96  cm 2 

r

Câu 28: Đáp án B
Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   : 4 x  3 y  2 z  5  0 nên d có vectơ chỉ phương là


u d  4; 3; 2  .
Trang 13


Do đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là

x 1 y  2 z  5


4
3
2

Câu 29: Đáp án D



Ta có BA   1;0; 3 ; BC   0; 2; 2  ; BD   1; 1; 1 .

 
  
 BC , BD    0; 2; 2    BC , BD  .BA  6




1    1
VABCD  .  BC , BD  .BA  .6  1 (đvtt)
6

6
1  
1
2
2
S BCD  .  BC , BD   . 02   2    2   2 (đvdt)
2
2

3V
1
3
3 2
Ta có VABCD  . AH .S BCD  AH  ABCD 

3
S BCD
2
2
Câu 30: Đáp án C
Ta có  D ' AC  / /  BA ' C ' nên d  CD '; BC '  d   D ' AC  ;  BA ' C ' 

 d  D ';  BA ' C '   d  A ';  BA ' C ' 

Từ đây ta tính d  A ';  BA ' C '  

a
3

Câu 31: Đáp án D

Không gian mẫu   C103 .C103  14400 .
Gọi A là biến cố “Trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau”.
Chọn số giống nhau ở cả hai bạn An và Bình là: 10 cách.
Chọn hai số cịn lại của An là: C92 cách.
Chọn hai số cịn lại của Bình là: C72 cách.

Trang 14


Vậy A  10.C92 .C72  7560  P  A  

A 21

 40

Câu 32: Đáp án A
Ta có f  x   3 x  m  f  x   3 x  m.
Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  1;1 thì đường thẳng y  m phải cắt đồ thị hàm số

g  x   f  x   3 x, x   1;1 .
Xét hàm số g  x   f  x   3 x, x   1;1 .
Có g '  x   f '  x   3.
Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy, với x   1;1 thì 1  f '  x   3  g '  x   f '  x   3  0.
Do đó, ta có bảng biến thiên như hình bên
x

1

g ' x
g  x

1


g  1
g 1

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị cần tìm là g  1  m  g 1  f  1  3  m  f 1  3 .
Câu 33: Đáp án B
  
x    ;0   sin x   1;0
 2 

Nhìn đồ thị f  x  ta thấy, với x   1;0 thì 2  f  x   1.
Vì sin x   1;0  2  f  sin x   1

 1   f  sin x   2
Mặt khác, nhìn đồ thị f  x  ta thấy với 1  x  2 thì 2  f  x   1.
Vì 1   f  sin x   2  2  f   f  sin x    1  M  1, m  2  M  m  3.
Câu 34: Đáp án C
Đặt t  3 x 1  1.
2

Phương trình trở thành t 2  2mt  3m  2  0  m 
(t 

t2  2
 *
2t  3

3
không phải là nghiệm của phương trình).
2

Trang 15


Xét hàm f  t  
Ta có f '  t  

t2  2
3
trên 1;   \  
2t  3
2

2t 2  6t  4

 2t  3

2

t  1
, f 't   0  
t  2

Bảng biến thiên
x

1

1,5

y'



y



0



1





2




2

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn
hơn 1 và khác

3
. Dựa vào bảng biến thiên ta có m  2
2

Câu 35: Đáp án A
Ta có hình vẽ sau

Dựa vào hình vẽ ta có
4

F  5   F  4    f  x  dx  S 4 
1

1.2
 1  F  5   7.
2

6

F  6   F  5    f  x  dx  S5  1.2  2  F  6   9.
5

4

F  4   F  3   f  x  dx   S3  
3

1.2
 1  F  3  7.

2

Trang 16


3

F  3  F 1   f  x  dx   S 2  
1

1

F 1  F  3 

 f  x  dx  S

1



3

2.2
 2  F 1  9.
2

4.4
 8  F  3  1.
2

Vậy F  3  2 F 1  F  6   10.
Câu 36: Đáp án D
Giả sử x  b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 4  3x 2  m  0. Khi đó ta có

b 4  3b 2  m  0 1 .
Nếu xảy ra S1  S 2  S3 thì
b

b5
b4
3
2
0  x  3x  m  dx  0  5  b  mb  0  5  b  m  0  2  (do b  0)
4

2

Từ (1) và (2) , trừ vế theo vế ta được
Thay trở lại vào (1) ta được m 

4 4
5
b  2b 2  0  b 2  (do b  0)
5
2

5
4

Câu 37: Đáp án B

Ta đặt w  x  yi  x, y    thì w  1  i  z  1  w  1  i  z  1  i  2

 w  i  2   z  11  i 
 w  i  2  z 1 . 1 i
  x  2    y  1 
2

2



2. z  1



2

2

R 2

 S   R 2  2
Câu 38: Đáp án D
Gọi R là bán kính khối trụ, 6R là chiều cao khối trụ, chiền cao khối nón là 4R.
4
1
8
Thể tích khối cầu và khối nón là V1   R 3   R 2 .4 R   R 3
3
3

3

Thể tích khối trụ V2   R 2 .6 R  6 R 3

Tỉ số thể tích nước còn lại và nước ban đầu là

V2  V1

V2

8
35
6
9

6

Câu 39: Đáp án D
Xét mặt cầu  S  :

 x  5    y  3   z  5 
2

2

2

 20  I  5; 3;5  , R  2 5.

Trang 17

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  P  : d  I ;  P   



Khi đó MN 2  IN 2  MN 2  R 2  42  2 5
Suy ra phương trình của IM:



2

5  2.  3  2.5  3
12   2   22
2

6

 36  d 2  IM  (P)

x 5 y 3 z 5


; M  IM  M  t  5; 3  2t ; 2t  5 
1
2
2

Mà M   P   t  5  2  2t  3  2  2t  5   3  0  t  2  M  3;1;1  OM  11

Câu 40: Đáp án C
Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vng góc với mặt phẳng  ABCD 
nên SA   ABCD  .
Do đó SA 

3VS . ABCD
 a.
S ABCD

Tam giác SAD vng tại A nên SD  SA2  AD 2  a 2.
Ta có CD  AD, CD  SA  CD   SAD   CD  SD.
Vậy diện tích tam giác SCD là: S SCD

1
a2 2
 SD.CD 
.
2
2

.
Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng  SCD  khi đó 
SB,  SCD    
SB, SI   BSI
Mặt khác, BI 

3VB.SCD 3VS . ABCD a 2


S SCD

2 S SCD
2

Tam giác SAB vuông tại A nên SB  SA2  AB 2  a 2.

Tam giác SIB vuông tại I nên sin BSI

BI 1
  300.
  BSI
SB 2

Vậy 
SB,  SCD    30.
Câu 41: Đáp án B
Điều kiện x  5.
Trường hợp 1:
log 4  x  5   log16  5 x 2  12   0
log 4  x  5   log16  5 x 2  12 

 4 x 1
x
4 x 1
 53 x
5  125  0
5

4 x 2  10 x  13  0
5  77
 x  5  5 x 2  12



1 x 
.
4
4 x  1  3 x
x  1
Mà x nguyên nên x  1; 2;3 .
Trường hợp 2:
Trang 18


log 4  x  5   log16  5 x 2  12   0
log 4  x  5   log16  5 x 2  12 

 4 x 1
 4 x 1
x
 53 x
5  125  0
5

5  77
 x 
4
 
 x  5  5 x 2  12
4 x 2  10 x  13  0
5  77



 
.
5  77  x 
4
x  1
 x 
4 x  1  3 x
4

 x  1

Mà x nguyên và x   10;10 nên x  10; 9;...; 1 .
Vậy có tất cả 13 nghiệm nguyên x.
Câu 42: Đáp án A
Đồ thị y  f  x  1 nhận được từ tịnh tiến sang trái 1 của đồ thị y  f  x  .
Khi đó 2 f  x  1  m  1  0 có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị y  f  x  1 và đồ thị y 

1 m
có giao
2

điểm.
1  m
 2 1
 m  1

.
Từ đó yêu cầu đề bài tương đương 
1  m  11  m  23

 2

Câu 43: Đáp án C
Theo đề bài thì y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và y  f '  x  liên tục trên 

x  0
x  1
 f ' x  0  
; với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,
x  2

u  x   0
còn u  x   0 chỉ có nghiệm bội chẵn khơng thuộc tập  0;1; 2
Đặt g  x   f  4 x  4 x 2  , ta có:
g '  x    4  8x  f '  4 x  4 x2  .

4  8x  0
g ' x  0  
2
 f '  4 x  4 x   0
4  8x  0
x  0
 2x  1  0

2
x  1

4 x  4 x  0
x  x  1  0




2
1
g '  x   0  4 x  4 x  1


2
x
2
x

1

0




4 x  4 x2  2
2

u 4 x  4 x 2  0


u  4 x  4 x 2   0
 
u  4 x  4 x 2   0



Trang 19


+) Xét phương trình u  4 x  4 x 2   0.
Giả sử a là một nghiệm của phương trình u  x   0 thì từ a  0;1; 2 ta thấy phương trình 4 x  4 x 2  a
1
 1 
khơng có nghiệm nào thuộc tập 0; ;1 . Suy ra các nghiệm x  0; x  1 là nghiệm đơn cịn x 
là
2
 2 

nghiệm bội 3 của phương trình f '  4 x  4 x 2   0
+) Nếu phương trình u  4 x  4 x 2   0 có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của
phương trình f '  4 x  4 x 2   0
 1 
Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình g  x   0 là 0; ;1 . Do đó, hàm số
 2 
g  x   f  4 x  4 x 2  có 3 điểm cực trị.

Câu 44: Đáp án C
2

 z1  3
.
TH1: z1 , z2 là hai nghiệm thực. Ta có 3 z1  4iz2  2  5i  
 z  3
 2 2

5

a

6
5


a  6
 z1  z2  a

3
Khi đó 

  b  .
2
2
 z1 z2  b  ab  2
b 2  5 b  2  2 . 3


2
6
3 2

 b  3

TH2: z1 , z2 là hai nghiệm phức. Đặt z1  x  iy  z2  x  iy.
18


x


3 x  4 y  2
25

.
Ta có 3 z1  4iz2  2  6i  3  x  iy   4i  x  iy   2  6i  
26
3 y  4 x  6
y 

25
36

a  25
36


a

 z1  z2  a
  18  574

25
Khi đó 

  b 
.
2

36
8
25
2
 z1 z2  b  ab  2
b  b  2 


  18  574
25
5
 b 
25


Vậy có 4 cặp  a; b  thỏa mãn.
Câu 45: Đáp án D

Trang 20


Ta có f   x   ax3  3bx 2  2cx  4; g   x   3mx 2  1.
Khi đó f   x   2 g   x   1  ax3   3b  6m  x 2  2cx  1.
Do hàm số y  f  x   2 g  x   x có ba cực trị là 2;  1; 5 nên ta suy ra a  0 và

f   x   2 g   x   1  a  x  2  x  1 x  5  .
Ta có f   0   2 g   0   1  10a  1  a 

1
.

10

Suy ra f   x   2 g   x   1 

1
 x  2  x  1 x  5 .
10

Vậy

phẳng

diện
5

S

tích

hình

1

 10  x  2  x  1 x  5 dx 

2

giới

hạn

bởi

đường

y  f  x

và

y  2g  x 1

bằng

343
.
24

Câu 46: Đáp án A
3


Phương trình đã cho tương đương  3 x  2  e x  y  e x  xy  x 2  x  2   0.
2


3


Xét hàm số f  x    3 x  2  e x  y  e x  xy  x 2  x  2  ta có
2



f   x   3e x   3 x  2  e x  y  e x  y  3 x  1
  3 x  1 e x  y  e x  y  3 x  1
  e x  y   3 x  y  1

TH1: Nếu 0  y  4  x 

y 1
 1, do đó ta có bảng biến thiên sau:
3

1

Với f 1  e  y  e  y   và f  4   10e 4  y  e 4  4 y  26   e 4 10  y   2 y 13  2 y   0.
2

1

Khi đó u cầu bài tốn tương đương f 1  0   y 2  y  e    e  0.
2


Mà y nguyên dương nên khơng có giá trị nào của y thỏa mãn.

Trang 21


TH2: Nếu y  13  x 

y 1
 4, do đó ta có bảng biến thiên như sau:
3

1

Ta thấy f 1  e  y  e  y    0, y  13.
2


Từ đó suy ra phương trình vơ nghiệm.
TH3: 4  y  13  1  x 

y 1
 4, từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
3

1

Ta thấy f 1  e  y  e  y    0, y   4;13 .
2


Do đó để phương trình có nghiệm ta cần
f  4   10e 4  y  e 4  4 y  26   4 y 2  y  26  e 4   10e 4  0.

Suy ra 15, 79  y  8, 64, kết hợp với y nguyên dương và 4  y  13 ta được y  5;6;7;8 .
Vậy có 4 giá trị của y.

Câu 47: Đáp án A

Gọi M , M 1 , M 2 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z , z1 , z2 .
Suy ra M 1 , M 2 đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R  5 2.
Do z1  z2  10 nên M 1M 2  10.

Trang 22


Tóm lại ta có P  z  z1  z  z2  z  OM  MM 1  MM 2 .
Xét Q M



2 ,60

o



M   M ; Q M



2, 60

o



O   O theo tính chất của phép quay ta có MM 2  MM ; OM  OM 

 P  OM  MM 1  MM 2  M 1M  MM   M O  M 1O .

Dấu bằng xảy ra khi các điểm M 1 , M , M , O thẳng hàng
 Pmin  M 1O  50  50  2.5 2.5 2 cos150o  10 1  3.

Câu 48: Đáp án B
Đặt V  VABC . A ' B 'C '
Lấy điểm E trên CC ' sao cho CC '  4C ' E.
Suy ra

A'M B ' N C ' E 1


   MNE  / /  ABC  .
A ' A B ' B C 'C 4

1
Ta có: VC ' MNE  VA ' B 'C '.MNE (chóp và lăng trụ có chung đáy, đường cao)
3
2
 V1  VA ' B 'C '.MNE
3

Trang 23


Mặt

khác

1
VA ' B 'C '.MNE  V
4

d  M ,  A ' B ' C ' 
d  A,  A ' B ' C ' 



(hai

lăng

trụ

có

chung

đáy

và

tỉ

lệ

đường

cao

bằng

MA ' 1

AA ' 4

V 1
2 1
1
1
5
Suy ra V1  . V  V  V2  V  V  V  1 
3 4
6
6
6
V2 5

Câu 49: Đáp án B
Gọi M  x; y; z  là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:

x 2  y 2  z 2  2mx  2  m  1 y  mz  m  2  0 đúng với m
 m  2 x  2 y  z  1  x 2  y 2  z 2  2 y  2  0 đúng với m

2x  2 y  z  1  0
 2
2
2
x  y  z  2 y  2  0

Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng

2x  2 y  z 1  0

và mặt cầu

x 2  y 2  z 2  2 y  2  0 có tâm I  0; 1;0  , bán kính R  3

2
2 1
2
Do đó bán kính đường tròn r  R   d  I ,  P     3  
 22  22  1 2
 


2


  2



Câu 50: Đáp án C

 x  2
3


7 2 3

3 x
Ta có f   x    x  2  x  2    x  x  m  2   0   x  2
2
 3 4

 x3 7
  x2  3 x  m  2  0
 3 4
2

Hàm số g  x   f  x  có đúng 7 cực trị khi và chỉ khi hàm số y  f  x  có đúng 3 điểm cực trị dương.
Từ đó u cầu bài tốn tương đương với f   x   0 có 3 nghiệm dương phân biệt và f   x  đổi dấu khi
qua 3 nghiệm này
x3 7 2 3
  x  x  m  2  0 có hai nghiệm đơn, dương phân biệt và khác 2.
3 4
2
x  3
x3 7 2 3
7
3
2
Đặt y   x  x  2  y  x  x   0  
.
x  1
3 4
2
2
2


2

x3 7 2 3
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm y   x  x  2 như sau:
3 4
2

Trang 24


Hơn nữa y  0   2, yêu cầu đề bài tương đương

10
10


m  3
m  3




79
79
   m 
.
  m 
48
48





17
17
  2  m  4
  2  m  4


Kết hợp với m nguyên suy ra m  3; 4 .

Trang 25