Đề thi thử THPT quốc gia năm 2022 môn TOÁN penbook hocmai đề 4 (file word có giải) image marked

PENBOOK

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ SỐ 4

NĂM HỌC: 2021– 2022
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81;... . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số
nhân đã cho.
A. un  3n1

B. un  3n

C. un  3n1

D. un  3  3n

Câu 2. Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A. y 

x
x 1

B. y 

x 1
x 1

C. y 

2 x  1
2x 1

D. y 

x  2
x 1

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x.cos 2 x là
A.
C.

1

1

 f  x  dx  6 cos3x  2 sin x  C


f  x  dx 

cos3 x
 cos x  C
3

B.
D.

1

1

 f  x  dx  6 cos3x  2 sin x  C


f  x  dx 

2cos3 x
 cos x  C
3

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình bên dưới
x



f  x
f  x



+
1

1

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  là
A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Câu 5. Một lơ hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 80 sản phẩm tốt và 20 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
4 sản phẩm từ hộp, tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.

A804
A. 4
A100

C804
B. 4
C100

80!
C.
100!

C204
D. 4
C100

Câu 6. Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vng có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của
hình trụ đó bằng
Trang 1

A. S   a 2

B. S 

 a2

D. S  2 a 2

C. S  2a 2

2

Câu 7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu của điểm M 1; 3;5  trên mặt phẳng  Oxy  có
tọa độ là
A. 1; 3;5 

B. 1; 3;0 

C. 1; 3;1

D. 1; 3;2 
1

1

a3 b  b3 a 3
Câu 8. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức P  6
 ab là
a6b

B. 1

A. 0

D. 2

C. 1

Câu 9. Cho f  x  là hàm số lẻ và liên tục trên  a; a  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
a

A.



a
a

C.



a

a

a

f  x  dx  2  f  x  dx

B.

 f  x  dx  0

a

0

a

a

f  x  dx  2  f  x  dx

D.

a



a

a

f  x  dx  2  f  x  dx
0

Câu 10. Cho đồ thị hàm số y  a x và y  log b x như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 0  a 

1
b
2

C. 0  b  1  a

B. 0  a  1  b
D. 0  a  1,0  b 

Câu 11. Điểm biểu diễn của số phức z 

12.

1
là:
2  3i

2 3
B.  ; 
 13 13 

A.  3; 2 

Câu

1
2

Trong

không

gian

Oxyz,

 P  : m2 x  2my   6  3m  z  5  0 . Tìm m để
m  1
A. 
 m  6

 m  1
B. 
m  6

C.  2;3

cho

đường

thẳng

D.  4; 1

x  2  t

d :  y  3  t

z  1 t


và

mặt

phẳng

d / /P

 m  1
C. 
 m  6

D. m  6

Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần
lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Phương trình mặt phẳng  ABC  là
A.

x y z
  1
2 4 6

B.

x y z
  1
2 4 6

C.

x y z
  0
2 4 6

D.

x y z
  1
2 4 6

Trang 2


Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a. Biết cạnh bên SA  2a và
vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.

4a 3
3

B. 2a 3

C.

a3
3

D.

2a 3
3

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:
x

1



y
y

+



0



3
0

+


5



1

Đồ thị của hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 16. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t  

3
m / s 2 , trong đó
t 1

t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất
với kết quả nào sau đây?
A. 13 m/s.

B. 14 m/s.

C. 11 m/s.

D. 12 m/s.

x  m2
Câu 17. Cho hàm số f  x  
với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để
x 8

hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;3 bằng 3 . Giá trị m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho
dưới đây?
A.  2;5 

B. 1;4 

C.  6;9 

D.  20;25 

Câu 18. Cho số phức z  a  bi , với a, b là các số thực thỏa mãn a  bi  2i  a  bi   4  i , với i là đơn vị
ảo. Tìm mô đun của   1  z  z 2
B.   13

A.   229

C.   229

D.   13

Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a, AB tạo với mặt phẳng đáy
góc 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.

3a 3

2

B.

a3
4

C.

3a 3
4

D.

3a 3
8

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  biết f   x   x 2  x  1  x 2  x  2   x  5  . Số
3

4

điểm cực trị của hàm số là
A. 4

B. 3



2

3

Câu 21. Cho A  2a. 2a.2a .2a ...2a

C. 2
9



a 1

D. 1
5

. Giá trị của a khi A  22 ?
Trang 3


B. a  2

A. a  2

C. a  5

D. a  4

Câu 22. Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là
A. S xq 

 a2 3

B. S xq 

3

 a2 2

C. S xq 

3

 a2

D. S xq 

3

 a2 3
6

Câu 23. Cho a, b, c là các số thực dương, khác 1 và thỏa mãn log a b 2  x , log b2 c  y . Giá trị của

log c a bằng
A.

2
.
xy

B. 2xy .

C.

xy
.
2

D.

1
.
2xy

Câu 24. Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên  \ 1 . Hàm số có bảng biến thiên như
hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y  f  x  có bao nhiêu tiệm cận?
x

1



f  x
f  x

0


+
1

0

+



2
B. 4

+


3

A. 1



1

3



C. 3

D. 2

Câu 25. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  9  0 . Giá trị của z1  z2  z1  z2

bằng
A. 2  4 2

B. 2  4i 2

C. 6

D. 2

Câu 26. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a , SA   ABCD  , SC tạo với mặt đáy một
góc 45. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A. 2a 3 .

B. 2a 3 3 .

C.

a3 3
.
3

D.

2a 3 3
.
3

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;2;3 , gọi A, B, C lần lượt là hình
chiếu vng góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz . Khi đó khoảng cách từ điểm O  0;0;0  đến mặt
phẳng  ABC  có giá trị bằng

A.

1
2

B.

6

C.

6
7

D.

1
14

Câu 28. Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số

y  a x , y  b x , y  log c x . Hãy chọn mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau đây?
A. a  c  b

B. c  a  b
Trang 4


C. a  b  c

D. b  c  a

Câu 29. Cho tập A có n phần tử. Biết rằng số tập con có 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con có 3
phần tử của A. Hỏi n thuộc đoạn nào dưới đây?
A.  6;8 .

B. 8;10 .

C. 10;12 .

D. 12;14 .

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : x  3 y  z  0
và    : x  y  z  4  0 . Phương trình tham số của đường thẳng d là

x  2  t

A.  y  t
 z  2  2t


x  2  t

B.  y  t
 z  2  2t


x  2  t


C.  y  t
 z  2  2t


 x  2  t

D.  y  t
 z  2  2t


Câu 31. Cho khối chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông tại B, AC  2a, BC  a,

SB  2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  .
A. 45

B. 30

C. 60

D. 90

Câu 32. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên.
Hỏi hàm số g  x   f  x 2  5  có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 33. Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000
đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm 1 nghìn đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg. Số
rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất
trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?
A. 32420000 đồng

B. 32400000 đồng

C. 34400000 đồng

D. 34240000 đồng

Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  2 x 2  5 x  2  log x  7 x  6   2   0 bằng
A.

17
2

B. 9

Câu 35. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng

C. 8

D.

19
2

3 quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích

V của khối trịn xoay được tạo thành.
7
A. V  
8

B. V  

7
C. V  
4

D. V  2

Câu 36. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của
BC, biết góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng  ABC  bằng 60 (tham khảo hình bên). Khoảng cách
từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  bằng
Trang 5


A.

3a .

B. 2a .

C. a .

D. 3a .

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 và số phức  3  2i  .z là số thực?
A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2a .
Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp tam giác S.ABC.
A. 6 a 2

C. 3 a 2

B. 10 a 2

D. 5 a 2

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho điểm A  0; 1; 6  và đường thẳng d :

 P

x  4 y  2 z  11


. Gọi
2

1
6

là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  lớn nhất. Khoảng cách từ điểm

M  5;1;1 đến mặt phẳng  P  bằng
A. 2.

B. 1.

C. 4.

Câu 40. Cho hai đường thẳng d1 :

D. 8.

x  5 y z 1
x y z 1
 
, d2 :  
và A 1;0;0  . Đường thẳng d
3
1
2
1 2
1

vng góc với mặt phẳng tọa độ

 Oxy  ,

đồng thời cắt cả d1 và d 2 tại điểm M và N. Tính

S  AM 2  AN 2 .
A. S  25 .
Câu

 log

41.
2
2

B. S  20 .
Tổng

tất

cả

các

giá

C. S  30 .
trị

nguyên

của

số

m

để

bất

phương

trình

x  5log 2 x  4   m  x   0 có đúng 2 nghiệm nguyên bằng

A. 32.

B. 64.

C. 0.

 x 2  5 x  3 khi x  7
Câu 42. Cho hàm số f  x   
. Tích phân
khi x  7
2 x  3
A.

tham

D. S  33 .

1148
.
3

B.

220
.
3

C.

115
.
3

D. 16.
ln 4

 f  2e

x

 3 e x dx bằng

0

D.

287
.
3

Câu 43. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m thuộc  5;5 để hàm số y 

1 3
f  x   mf 2  x   3 f  x   2 đồng biến trên  1;1 bằng
3

Trang 6


A. 15.

B. 0.

D. 14.

C. 14.

1 
Câu 44. Cho hàm số f  x  liên tục trên  ;2  và thỏa mãn f  x   2 f
2 
2

I 
1

2

1
   3 x . Tính tích phân
x

f  x
dx .
x

A. I 

1
2

B. I 

3
2

C. I 

5
2

D. I 

7
2

Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên  SAC  là tam giác cân tại
3
. Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính
2

S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, SA  SC 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A.

3 34
.
8

B.

3 34
.
4

C.

34
.
8

D.

3 34
.
16

Câu 46. Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip
được cắt bởi trục lớn có độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục
bé bằng 60 cm và đáy trống là hình trịn có bán kính bằng 60
cm. Tính thể tích V của chiếc trống (kết quả làm tròn đến hàng
đơn vị).
A. V  344963 cm3

B. V  344964 cm3

C. V  208347 cm3

D. V  208346 cm3

Câu 47. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ.
Phương trình f  x 4  2m 2 x 2  3  x có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực
A. 9.
B. 12.
C. 11.
D. 10.
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với

m  2021 để phương trình

2 x 1  log 4  x  2m   m có nghiệm?
A. 2020.

B. 4041.

C. 0.

D. 2.
Trang 7


Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng

 Q  : x  2 y  z  2  0,  R  : x  y  2 z  2  0

 P  : 2x  y  z  2  0 ,

và T  : x  y  z  0 . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm

thuộc T  và tiếp xúc với  P  ,  Q  ,  R  ?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn z  z  2  2 z  z  2i  12 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức P  z  4  4i . Tính M  m .
A.

5  10 .

B. 5  61 .

C. 10  130 .

D. 10  61 .

Trang 8


Đáp án
1-B

2-B

3-D

4-D

5-B

6-A

7-B

8-A

9-B

10-B

11-B

12-A

13-B

14-D

15-B

16-A

17-A

18-A

19-C

20-D

21-B

22-A

23-D

24-B

25-A

26-D

27-C

28-A

29-C

30-D

31-B

32-C

33-A

34-C

35-D

36-D

37-A

38-D

39-C

40-D

41-A

42-D

43-A

44-B

45-D

46-B

47-D

48-A

49-D

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B

u1  3

 un  u1q n1  3.3n1  3n
Cấp số nhân 3;9;27;81;...  
9
q  3  3
Câu 2: Đáp án B
Dựa vào hình vẽ đề cho ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 . Vậy loại phương án C.

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  1 . Vậy loại phương án A, D.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 3: Đáp án D

2
2
 sin x.cos2 xdx    2cos x  1 sin xdx    2cos x  1 d  cos x  

2cos3 x
 cos x  C
3

Câu 4: Đáp án D

 lim f  x   1
 x
Từ bảng biến thiên ta có 
f  x  1
 xlim

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  1 .
Câu 5: Đáp án B
4
Số cách chọn ra 4 sản phẩm từ hộp là C100
.

Để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt thì số cách là C804 .

C804
Vậy xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt là 4 .

C100
Câu 6: Đáp án A
Ta có cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là S  2 rl ;
a
Mà r  , l  a .
2

Trang 9


Vậy S  2

a
a   a2 .
2

Câu 7: Đáp án B
Hình chiếu của M 1; 3;5  lên mặt phẳng  Oxy  thì sẽ có độ cao zM  0 hay tọa độ hình chiếu H của M
lên mặt phẳng  Oxy  là H 1; 3;0  .

Câu 8: Đáp án A

P

a

1
3

1

3

1
3

1
2

1
3

1
 16

a b b  a6 
1 1
1
1

  ab 3  a 3 b 3  ab 3  0





1
1
6
a  b6
1

3

1
2

1
b b a 3
a b b a
3

ab


ab


1
1
6
a6b
a6  b6

1
3

Câu 9: Đáp án B
a



Ta có

0

f  x  dx 

a



a

a

f  x  dx   f  x  dx
0

x  a  t  a


 f  x  dx . Đặt t   x  dx  dt . Đổi cận  x  0  t  0
0

Xét tích phân

a

Do f  x  là hàm số lẻ và liên tục trên  a; a  nên f   x    f  x   f  t    f  t 
Khi đó
0



a

0

0

0

a

a

a

a

a

0

0

f  x  dx    f  t  dt      f  t   dt   f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx
a

Vậy



f  x  dx 

a

0



a

a

a

a

0

0

0

f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  0

Câu 10: Đáp án B
Xét hàm số y  a x đi qua  0;1 suy ra đồ thị hàm số 1 là đồ thị của hàm nghịch biến nên 0  a  1 .
Xét đồ thị hàm số y  log b x đi qua 1;0  suy ra đồ thị của hàm số (2) là đồ thị của hàm đồng biến suy ra
b  1.

Vậy 0  a  1  b
Câu 11: Đáp án B

Trang 10


z

1
2  3i
2 3

  i
2  3i  2  3i  2  3i  13 13

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z 

1
2 3
là:  ;  .
2  3i
 13 13 

Câu 12: Đáp án A


Ta có d đi qua M  2; 3;1 và có VTCP u  1;1;1

Và  P  có vectơ pháp tuyến: n  m 2 ; 2m;6  3m 

 

2
u  n
u.n  0
 1 .m  2m  6  3m  0
Để d / /  P  thì 

 2
 M   P 
 M   P 
2m  2  3 m  6  3m  5  0
2
m  5m  6  0
 2
 m  6 và m  1 .
2m  3m  1  0

Câu 13: Đáp án B
Do cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C
(khác O) nên A  2;0;0  , B  0;4;0  , C  0;0;6  .
Phương trình mặt phẳng  ABC  là:

x y z
   1.
2 4 6

Câu 14: Đáp án D
Ta có VS . ABCD

1
1 2
2a 3
 S ABCD .SA  a .2a 
3
3
3

Câu 15: Đáp án B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị y  f  x  có 2 điểm cực trị nằm phía trên trục Ox và cắt trục Ox tại 1
điểm duy nhất. Suy ra đồ thị y  f  x  sẽ có 3 điểm cực trị.
Trang 11


Câu 16: Đáp án A
Ta có vận tốc của vật là v  t    a  t  dt  

3
dt  3ln t  1  C .
t 1

Mà v  0   6  3ln1  C  6  C  6 suy ra v  t   3ln t  1  6 .
Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là v 10   3ln11  6  13, 2  m / s  .
Câu 17: Đáp án A
x  m2
8  m2

Xét hàm số f  x  

trên  0;3 ; f  x  
 0 nên hàm số đồng biến trên  0;3 . Suy ra
2
x 8
 x  8
min f  x   f  0   
0;3

m2
8

m  2 6
m2
Ta có min f  x   3  
 3  
0;3
8
 m  2 6
 m0  2 6   2;5  .
Câu 18: Đáp án A

a  2b  4
a  2
Ta có a  bi  2i  a  bi   4  i  
. Suy ra z  2  3i .

b  2a  1
b  3
Do đó   1  z  z 2  2  15i . Vậy  

 2    15
2

2

 229 .

Câu 19: Đáp án C
Góc giữa AB và  ABC  là 
ABA  60 .

A A  AB.tan 60  a 3 .
S ABC 

a2 3
3a 3
 VABC . ABC  A A.S ABC 
.
4
4

Câu 20: Đáp án D
Ta có: f   x   x 2  x  1  x  2   x  5  .
4

3

4

f   x   0  x  0 (nghiệm bội 2), x  1 (nghiệm bội 4), x  5 (nghiệm bội 4), x  2 (nghiệm bội 3).

Bảng xét dấu đạo hàm
x

f  x

2




0

0
+

0

1
+

0



5
+

0

+

Như vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.
Câu 21: Đáp án B
Ta có:

S  a  a 2  ...  a 9  a.S  a 2  a 3  ...  a10   a  1 S  a10  a
Trang 12


A  2a.  2 S 

a 1

 2 S . a1a  2a  22  a10  25  a10 
10

5

 2

10

a 2

Câu 22: Đáp án A
Giả sử hình nón ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a như hình vẽ bên. Ta có:
2 a 3 a 3

+) Bán kính đáy R  OC  .
.

3 2
3

+) Độ dài đường sinh l  AC  a .
Vậy diện tích xung quanh hình nón
S xq   Rl   .

a 3
 a2 3
a
.
3
3

Câu 23: Đáp án D
1
1
Ta có log a b 2 .log b2 c  log a c  log a c  log a c  2 xy  log c a 
.
2
2 xy

Câu 24: Đáp án B
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng là x  1, x  1 và hai tiệm cận ngang là

y  3; y  3 .
Câu 25: Đáp án A
Phương trình có   8  0 , nên phương trình có 2 nghiệm phức là z1  1  2i 2; z2  1  2i 2 . Ta có

z1  z2  2, z1  z2  4i 2 .

Do đó z1  z2  z1  z2  2  4 2 .
Câu 26: Đáp án D
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC.
Khi đó OI   ABCD   IA  IB  IC  ID mà SAC vuông cân tại A  IA  IS  IC  .
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA  a 2  SC  2a 2 .
Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABCD 

  45 .
 
SC ;  ABCD    
SC ; AC   SCA
Suy ra SAC vng cân.
Do đó SA  SC  2a  VS . ABCD

1
1
2a 3 3
 .SA.S ABCD  .2a.a.a 3 
.
3
3
3

Câu 27: Đáp án C

A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz .
 A 1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3

 Phương trình mặt phẳng  ABC  là

x y z
   1  6x  3y  2z  6  0
1 2 3

Trang 13


 d  O;  ABC   

6
6 3 2
2

2

2



6
.
7

Câu 28: Đáp án A
Hàm số y  a x nghịch biến trên  nên ta có: 0  a  1 .

b  1
Các hàm số y  b x , y  log c x đồng biến trên tập xác định của nó nên ta có: 
c  1
Xét đồ thị hàm số y  log c x , ta có: log c 2  1  c  2 .

Xét đồ thị hàm số y  b x , ta có: b1  2  b  2 .
Do đó: 0  a  c  b .
Câu 29: Đáp án C
Số tập con có 7 phần tử của tập A là Cn7 , số tập con có 3 phần tử của tập A là Cn3 .
Theo giả thiết, ta có Cn7  2Cn3 

n!
2  n!

 n  11 .
7! n  7  ! 3! n  3 !

Câu 30: Đáp án D

 x  z  3t
 x  2  t
Đặt y  t , ta có 

 x  z  4  t  z  2  2t

 x  2  t

Vậy phương trình tham số của d là  y  t
 z  2  2t

Câu 31: Đáp án B
Kẻ AH  SB  H  SB  (1)

 BC  SA
Theo giả thiết ta có 

 BC   SAB   BC  AH (2).
 BC  AB
Từ (1) và (2) suy ra, AH   SBC  . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng

 SBC 

bằng góc giữa SA và SH bằng góc 
ASH

Ta có AB  AC 2  BC 2  a 3
Trong tam giác vng SAB ta có sin A SB 

AB a 3 1

 .
SB 2a 3 2

Vậy 
A SB  
A SH  30 . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  bằng 30 .
Câu 32: Đáp án C
Ta có g   x   2 x. f   x 2  5  ;

Trang 14


x  0
x  0

 x  1

2
x  0
x  5  4
theo do thi f  x 


g  x  0  
 2

2
 x  5  1
 x  2

f
x

5

0





 x 2  5  2
 x   7

Bảng biến thiên
x

g



2

 7


0

+

0

1


0

0
+

0



1

2

0

+ 0



7


0

+

g
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 33: Đáp án A
Trang trại đó bán tăng x nghìn đồng thì số tiền bán mỗi một kg rau là  30  x  (nghìn đồng)  x  0  .
Số rau thừa là 20 x,  x  50  .
Tổng số rau bán được là 1000  20x  kg.
Tổng số tiền thu được là: T  1000  20 x  30  x   20 x.2  20 x 2  440 x  30000
Ta có T  20 x 2  440 x  30000  32420  20  x  11  32420 nghìn đồng.
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  11 .
Vậy số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là 32420000 đồng.
Câu 34: Đáp án C

0  x  1
6


Điều kiện 
6   x  1* .
7
 x  7
2 x2  5x  2  0
Phương trình  2 x  5 x  2  log x  7 x  6   2   0  
log x  7 x  6   2  0
2

x  2
+ Phương trình 2 x  5 x  2  0  
. Kết hợp với điều kiện *  x  2 .
x  1

2
2

x  1
+ Phương trình log x  7 x  6   2  0  7 x  6  x 2  x 2  7 x  6  0  
x  6
Kết hợp điều kiện *  x  6 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  2; x  6 suy ra tổng các nghiệm bằng 8.
Câu 35: Đáp án D

Trang 15


S ABC  3  AB  BC  CA  2 . Chọn hệ trục vng góc Oxy



sao cho O  0;0  , A 1;0  , C 0;  3



với O là trung điểm AC.

Phương trình đường thẳng AB là y  3  x  1 , thể tích khối
trịn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng Ox) tính bởi
1

V     3  x  1 dx   .
0

Vậy thể tích cần tìm V  2V   2 .
Câu 36: Đáp án D
Ta có AM  AC 2  CM 2  3a , góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng  ABC  là 
AMA  60 .
AA
 AA  AM .tan 60  3a .
AM

AMA  tan 60 
Khi đó tan 

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  bằng 3a.

Câu 37: Đáp án A
Gọi z  x  yi . Ta có  x  1   y  2   4 và 2 x  3 y  0 .

2

2

Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt nên có hai số phức thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án D
Gọi H là trung điểm AD, ta có SH   ABCD  .
Gọi M, I lần lượt là trung điểm AC, SB  MI là trục
đường tròn ngoại tiếp ABC .
 IA  IB  IC .

Mà SHB vuông tại H  IS  IB  IH 

SB
.
2

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác
S.ABC.
Ta có
SH  a 3, BH  a 2  SB  a 5  R 

SB a 5

2
2

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác
5a 2
S.ABC là 4 R  4

 5 a 2
4
2

Câu 39: Đáp án C
Phương trình mặt phẳng  Q  đi qua A vng góc với đường thẳng d là:
Trang 16


2  x  0   1 y  1  6  z  6   0  2 x  y  6 z  35  0 .

 x  4  2t

Phương trình tham số của d :  y  2  t
.
 z  11  6t

Thay vào phương trình mặt phẳng  Q  ta được:

2  4  2t    2  t   6  11  6t   35  0  41t  41  t  1 .

Vậy tọa độ hình chiếu của A trên d là B  2;1; 5   AB  2; 2;1 .
Gọi H là hình chiếu của A trên  P  , khi đó AH  AB .


Khoảng cách lớn nhất từ A đến mặt phẳng  P  bằng AB, hay AB là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 P .
Vậy phương trình mặt phẳng  P  là:

2  x  2   2  y  1  1 z  5   0  2 x  2 y  z  1  0 .
Vậy d  M ,  P   

2.5  2.1  1.1  1
22  22  12

 4.

Câu 40: Đáp án D

+) Gọi M  d  d1 và N  d  d 2 . Khi đó M  5  3t1 ; t1 ; 1  2t1  và N  t2 ; 2t2 ; 1  t2  .

 MN   t2  3t1  5; 2t2  t1 ; t2  2t1  .


+) d   Oxy  và M , N  d  MN   Oxy   MN là một vectơ pháp tuyến của  Oxy  .


Mặt khác mặt phẳng  Oxy  có một vectơ pháp tuyến: nOxy   k   0;0;1 .




Do đó MN và k là hai vectơ cùng phương  MN  h.k hay tương đương với hệ:

Trang 17


t2  3t1  5  0
t2  1



2t2  t1  0  t1  2 . Do đó: M 1; 2; 5  , N 1; 2;0  .
t  2t  h
h  5
1
2





+) Ta có AM   0; 2; 5  , AM  AM  29 , AN   0; 2;0  , AN  AN  2 .
Vậy S  AM 2  AN 2  29  4  33 .
Câu 41: Đáp án A

 x  m

2  x  16
2
Bất phương trình  log 2 x  5log 2 x  4   m  x   0  
.
 x  m

 0  x  2; x  16
Để bpt có đúng 2 nghiệm nguyên thì m  14;18 .
Câu 42: Đáp án D
ln 4

Xét tích phân I 

 f  2e

x

 3 e x dx . Đặt t  2e x  3  dt  2e x dx hay e x dx 

0

1
dt .
2

Đổi cận x  0  t  5 ; x  ln 4  t  11 . Khi đó
11
11
7
11
11
 1 7

1
1
1
I   f  t  dt   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx      2 x  3 dx    x 2  5 x  3 dx 
25
25
25
7
7

 2 5

7
 x3 5 x 2

1
  x 2  3 x    
 3x 
5
2
2
 3
7


11

ln 4

Vậy

 f  2e

x

 3 e x dx 

0

 1

484  287
   30 
.

3 
3
 2 

287
.
3

Câu 43: Đáp án A
y  f   x   f 2  x   2mf  x   3  0, x   1;1

 f 2  x   2mf  x   3  0, x   1;1
 t 2  2mt  3  0, t  1;3 , t  f  x 
3
m 5;5, m
 2m  t  , t  1;3  2m  2  m  1 
 m  1; 2;3; 4;5
t

Câu 44: Đáp án B
Từ giả thiết, thay x bằng


f

Do đó ta có hệ 

f


3
1
1
ta được f    2 f  x  
x
x
x


1
 f  x   2 f  x   3x
2

 

 f  x   x
x
3
1
4 f  x   2 f  1   6
   2 f  x 



x
x
x x

 x   2 f 

1
  3x
x

Trang 18


2

Khi đó I  
1
2

2
f  x
 2

 2

dx    2  1 dx     x 
x

 x

1 x
2

2

1
2



3
2

Câu 45: Đáp án D

Gọi H là trung điểm AC, theo giả thiết ta có SH   ABC  .
Có CA  CB  CD  1 nên tam giác ABD vuông tại A.
Gọi  là đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABD  tại C   / /SH  .
Gọi F là trung điểm cạnh SA, trong mặt phẳng  SAC  , đường trung trực của SA cắt  tại I, khi đó I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bán kính mặt cầu là R  IA .

3 3
.
AK FA
AS .FA 2 4 9
Gọi K  FI  AC . Ta có FAK # HAS nên có

 AK 

 .
1
AS HA

HA
4
2

Trong tam giác vng FKA có KF  AK 2  AF 2 
Cũng có CK 

81 9 3 2


.
16 16
2

CK FK
CK . AK 15 2
5

 IK 

. Mặt khác
.
IK AK
FK
16
4

Từ đó FI  FK  IK 

9 2

.
16

Vậy bán kính mặt cầu R  IA  IF 2  FA2 

81 9 3 34


.
128 16
16

Cách 2 (Tọa độ hóa).

Trang 19


3 
1
 
Chọn H  0;0;0  , C  ;0;0  , B  0;
;0  , S 0;0; 2
2
  2 







3 
 1

 A    ;0;0  , D  1; 
;0  .
2
 2



Giả sử mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có phương trình dạng:

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 .
1

2 2c  d  2
a   2


a  d   1
b  0

4


Ta có hệ phương trình 

5 2.
3
 3b  d  

c  
16
4


7
3


2a  3b  d   4
d   4

Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R  a 2  b 2  c 2  d 

3 34
.
16

Câu 46: Đáp án B
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ (trục hồnh là trục
của chiếu trống, gốc tọa độ là trung điểm của đường cao
chiếu trống, đơn vị: dm).
x2 y 2

 1 thì ảnh của
16 9

 E  qua phép tịnh tiến theo vectơ u  0;6  là elip  E  có

Gọi  E  là elip có phương trình

x2  y  6

 1.
16
9
2

phương trình

Suy ra, phương trình của đường sinh là: y  6 
4

3
16  x 2
4
2

3


Do đó, thể tích của chiếc trống là: V     6 
16  x 2  dx  344,964(dm3 )
4

4 
Câu 47: Đáp án D
Đặt g  x   x 4  2m 2 x 2  3 , ta có f  g  x    x .
Trang 20

Dựa vào đồ thi hàm số ta thấy

 x 4  2m 2 x 2  3  a  0  a  1 1
 g  x   a  0  a  1


f  g  x    x   g  x   b 1  b  2    x 4  2m 2 x 2  3  b 1  b  2   2 
 4
g x  c c  3
2 2


 3
 x  2m x  3  c  c  3
  
x  0
Xét hàm số g  x   x 4  2m 2 x 2  3 ta có g   x   4 x3  4m 2 x  0  
x   m
BBT:
x

m



g x
g  x



0



m

0
+

0



0

+


3

3  m4



3  m4

Dựa vào BBT ta thấy:
+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình (1), (2), mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có nhiều nhất 10 nghiệm phân biệt.
Câu 48: Đáp án A
Ta có

1
2 x 1  log 4  x  2m   m  2 x 1  log 2  x  2m   m  2 x  log 2  x  2m   2m
2
 2 x  x  log 2  x  2m   x  2m  2 x  x  2log2  x  2 m   log 2  x  2m 
Xét hàm số f  x   2 x  x ta có f   x   2 x ln 2  1  0x   .
Khi đó ta có f  x   f  log 2  x  2m    x  log 2  x  2m   2m  2 x  x .
Đặt g  x   2 x  x ta có: g   x   2 x ln 2  1 .
g   x   0  2x 

1
1
1
  ln 2   x  log 2  ln 2    log 2  ln 2   x0 .
ln 2

BBT:
Trang 21


Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi

2m  g   log 2  ln 2    2m  0,91  m  0, 455 .

1  m  2021
Kết hợp điều kiện đề bài ta có 
. Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn.

m  
Câu 49: Đáp án D
Giả sử mặt cầu  S  có tâm I   a; b; c   T   a  b  c  0
Theo đề bài, ta có d  I ,  P    d  I ,  Q    d  I ,  R  


2a  b  c  2
6



a  2b  c  2
6



a  b  2c  2
6

a  b

 2a  b  c  2  a  2b  c  2 abc0  3a  2  3b  2
3a  3b  4




a  c
 2a  b  c  2  a  b  2c  2
 3a  2  3c  2

 3a  3c  4


a  b  c  0

Trường hợp 1 a  b
 I  0;0;0 
a  c

Tương tự cho ba trường hợp còn lại ta chọn được đáp án D.
Câu 50: Đáp án A
Đặt z  x  yi  z  x  yi và K  x; y  là điểm biểu diễn số phức z.
Theo bài ra ta có: z  z  2  2 z  z  2i  12  2 x  2  2 yi  2i  12
 2 x  1  4  y  1 i  12  x  1  2 y  1  6 1

 Tập hợp các điểm K thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với A  7;1 ,

B  1; 2  , C  5;1 , D  1; 4  như hình vẽ sau:

Trang 22


Gọi I  4; 4  là điểm biểu diễn số phức 4  4i , khi đó ta có P  z  4  4i  KI .
Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc của I lên CD, với CD là
đường thẳng có phương trình x  2 y  7  0 .
Khi đó ta có MI  d  I ; CD   5  Pmin  5  m .
Tiếp tục ta thấy KI đạt GTLN khi K  A khi đó Pmax  IA  130  M .
Vậy M  m  5  130 .

Trang 23