Đề thi thử THPT quốc gia năm 2022 môn TOÁN penbook hocmai đề 11 (file word có giải) image marked

PENBOOK

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

ĐỀ SỐ 11

NĂM HỌC: 2021 – 2022
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Nghiệm của phương trình 22 x 1  8 là
A. x  2

B. x  1

C. x  4

D. x 

5
2

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 4;3 . Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc
với trục Oy là
2
2
2
A.  x  1   y  4    z  3  16

2
2

2
B.  x  1   y  4    z  3  10

2
2
2
C.  x  1   y  4    z  3  17

D.  x  12   y  4 2   z  32  25

Câu 3. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
A.  1;  

B.  ;0 

C.  1;0 

D.  0;1

Câu 4. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x 1 ?
A. F  x   e 2 x 1

B. F  x   2e 2 x 1

1
C. F  x   e 2 x 1
2

D. F  x   e x

Câu 5. Cho cấp số nhân  un  có số hạng đầu bằng 2 và công bội bằng 2. Giá trị của u5 bằng
A. 32

B. 32

C. 64

D. 64

Câu 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 6 cuốn sách Tốn, 5 cuốn sách Hóa và 4 cuốn sách Lý lên kệ sách biết
rằng các sách cùng loại đôi một khác nhau?
Trang 1


A. 6!.5!.4!

B. 15!

C. 6.5.4

D. 6! + 5! + 4!

Câu 8. Đạo hàm của hàm số y  log x là
A. y 

x
ln10

B. y 

1
x

C. y 

1
x ln10

D. y 

1
10 ln x

Câu 9. Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 3 là
A. 18

B.

27
2

C. 27

D. 9

Câu 10. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 4  3.2 x  1  x  1 .
A. 12

B. log 3 4

C. 6

D. 2

Câu 11. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3log 2 a  4 log 2 b  3 . Giá trị của P  a 3b 4 bằng
A. 2

B. 16

C. 8

D. 4

C. 34

D.

Câu 12. Cho số phức z  3  5i . Tính z .
A.

B. 8

34
7

Câu 13. Cho



f  x  dx  49 và

0

5


2

A. 28

7

0

5

f  x  dx  21 . Tính giá trị của T   f  x  dx   f  x  dx .

B. 28

Câu 14. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  1

2

8

D. 70

C. 70
3x  2
là
x 1

C. y  7

B. x  1

D. x  2

Câu 15. Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  . Đẳng thức nào sau đây đúng?
b

b

a

a

b

A.  u.dv   v.du  u a
b

b

b

a

b

C.  u.dv   uv  a   v.du
a

b

B.  u.dv  v a   v.du

b

a

b

b

a

a

b

D.  u.dv   v.du   uv  a

a

Câu 16. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  2  0 . Khi đó z1  z2 bằng
A. 2

B. 1

C. 2

D. 1

Câu 17. Một khối chóp có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 6. Thể tích khối chóp đó bằng
A. 14

B. 48

C. 16

D. 32

2

Câu 18. Cho a là số thực dương tùy ý. Khi đó a 3 a bằng
17

A. a 6

7

B. a 5

C. a

D. a 6

Câu 19. Trong không gian Oxyz, một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 6 x  12 y  4 z  0 là




A. n  6;12; 4 
B. n  3;6; 2 
C. n  3;6; 2 
D. n  2; 1;3

Trang 2


Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy
3
 ABC  và khối chóp S.ABC có thể tích bằng a . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  SBC  .
4

A. d 

a 15
5

B. d  a

C. d 

a 5
5

D. d 

a 5
6

Câu 21. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 3 thì có thể tích bằng
A. 15

B. 5

Câu 22. Đồ thị của hàm số y 
A. 4

C.

5
3

D.

8
3

3x  8
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
x2

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M  1; 2; 6  , N  4;1; 9  . Tọa độ trọng tâm của tam giác
OMN là
3 3

A.  ; ; 3 
2 2


B.  5; 2; 12 

C.  3;3; 6 

D. 1;1; 5 

Câu 24. Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả cầu.
Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng
A.

1
22

B.

5
12

C.

2
7

D.

7
44

Câu 25. Phương trình log 2 x  log 2  x  3  2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

C. y  log 1 x

D. y  3x

Câu 26. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ?

1
A. y   
3

x

B. y  log 3 x

3

Câu 27. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình 4 f  x   3  0 là
A. 4

B. 2

C. 3

D. 0
Trang 3




Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho các véc tơ a  1; 2;3 , b   2; 4;1 , c   1;3; 4  . Véc tơ

  
v  2a  3b  5c có tọa độ là
A.  7;3; 23

B.  3;7; 23

C.  23;7;3

Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  d  :

D.  7; 23;3

x  3 y  2 z 1


. Phương trình mặt phẳng đi
1
1
2

qua điểm M  2;0; 1 và vng góc với  d  là
A. 3 x  2 y  z  7  0

B. x  y  2 z  0

C. 2 x  z  0

D. x  y  2 z  2  0

Câu 30. Cho số phức z1  1  2i và z2  2  2i . Tìm mơđun của số phức z1  z2 .
A. z1  z2  2 2

B. z1  z2  5

C. z1  z2  1

D. z1  z2  17

Câu 31. Cho hàm số y  f  x    x3  3 x  1 có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho
trên đoạn  0; 2 là bao nhiêu?

A. 1

B. 3

C. 1

D. 2

x 2  3x  2
Câu 32. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
là
x2 1

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 33. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f  x   2 có bao
nhiêu nghiệm?

A. 4

B. 6

C. 5

D. 2

Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z  3 z  16  2i . Phần thực và phần ảo của số phức z là
A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng i .

B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 1.

C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng i.

D. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 1.
Trang 4


Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng    qua

ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M  2;3; 5  xuống các trục Ox, Oy, Oz.
A. 15 x  10 y  6 z  30  0

B. 15 x  10 y  6 z  30  0

C. 15 x  10 y  6 z  30  0

D. 15 x  10 y  6 z  30  0

Câu 36. Khi tính nguyên hàm
A.  2u  u 2  4  du



x 3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được biểu thức nào?
x 1

B.  2  u 2  1 du

C.  2  u 2  4  du

D.   u 2  4  du

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA   ABCD  . Góc giữa SB và mặt
phẳng  ABCD  bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
a3 3
A. V 
9

a3 3
B. V 
3

C. V  a

3

3

a3 3
D. V 
6

1
Câu 38. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  2 x 2  2mx  1 đồng biến trên  là
3

A.  2;  

B.  2;  

C.  ; 2 

D.  ; 2

Câu 39. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên dưới. Hàm số

y  f  x  1  x  2  ...  x  2021  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.  ;1010 

B. 1011;  

C. 1010;1011

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu
2
2
2
 S1  :  x  4    y  3   z   m2

D. 1011;1012 

 S1  : x 2  y 2  z 2  16

và

với m là số nguyên dương. Có bao nhiêu số nguyên dương m  10

sao cho  S1  và  S 2  cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn?
A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Câu 41. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  và đường thẳng d : y  g  x  có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng

đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng d có 3 điểm chung, có hồnh độ lần lượt là 0, a, 4. Gọi S1 , S 2
lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên dưới. Khi S1  S 2 thì a thuộc
khoảng nào dưới đây?

Trang 5


 54 
A.  2; 
 25 

 54 58 
B.  ; 
 25 25 

 58 62 
C.  ; 
 25 25 

 62 66 
D.  ; 
 25 25 

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời z  1  2i  2 2 và
A. 0

B. 1

C. 2

z  5  2i
là số thuần ảo?
z 1

D. 3

Câu 43. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 3a  5b  15 c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  a 2  b 2  c 2  4  a  b  c  bằng bao nhiêu?

A. 3  log 5 3

B. 2  log 3 5

C. 2  3

Câu 44. Biết rằng đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị  C  : y 

D. 4
3x  1
tại 2 điểm phân biệt A và B sao
x 1

cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đồ thị  C  , với O  0;0  là gốc tọa độ. Khi đó tổng các giá trị của
tham số m thuộc tập hợp nào sau đây?
A. 14;16 

B. 10;12 

C. 12;14 

D. 16;18 

Câu 45. Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC  a ,

AB  a 3 , AD  3a . Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung
quanh đường thẳng AB ta được 2 khối trịn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối trịn xoay đó bằng
A.

3 3a 3
16

B.

8 3a 3
3

C.

5 3a 3
16

D.

4 3a 3
16

Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của
tham số m để hàm số y  f  x  1  m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Trang 6

A. 3

B. 5

C. 12

D. 2

Câu 47. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi O, O lần lượt là tâm
của hai tam giác ABC và ABC  , M là trung điểm AA và G là trọng tâm tam giác BC C . Biết

VOOMG  a 3 , tính chiều cao h của khối lăng trụ.
A. h  24a 3

B. h  36a 3

C. h  9a 3

D. h  18a 3

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  25 . Từ điểm A thay đổi

 x  10  t

trên đường thẳng    :  y  p  t , kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu  S  với B, C, D là các tiếp
 z  10  t

điểm. Biết rằng với mỗi tham số thực p tương ứng, mặt phẳng  BCD  luôn chứa một đường thẳng  d 

khi điểm A di động trên đường thẳng    . Góc  lớn nhất giữa mặt phẳng  Q  : 2 x  4 y  3 z  10  0 và
đường thẳng  d  có cosin là
A.

57
58

B.

1
58

C.

5
58

D.

33
58

Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z1  4  z1  z1  4 , z2  4  3i  2 và

z1  z2
là số thuần
3i

ảo. Giá trị nhỏ nhất của P  z1  z2 gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 50. Xét a, b thỏa mãn a  b 2 và b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log a a  log b
b

A. Pmin 

1
3

B. Pmin  1

C. Pmin  3

a
.
b

D. Pmin  9

Trang 7


Đáp án
1-A

2-B

3-D

4-C

5-A

6-D

7-B

8-C

9-C

10-D

11-C

12-A

13-B

14-A

15-C

16-A

17-C

18-D

19-B

20-A

21-A

22-A

23-D

24-A

25-A

26-D

27-A

28-B

29-B

30-B

31-B

32-B

33-A

34-D

35-B

36-C

37-B

38-A

39-C

40-D

41-C

42-B

43-D

44-A

45-A

46-B

47-C

48-D

49-A

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Ta có: 22 x 1  8  2 x  1  3  x  2 .
Câu 2:
2
2
2
Ta có: d  I ; Oy   12  32  10 . Do đó ta có  x  1   y  4    z  3  10 .

Câu 5:
Ta có: u1  2, q  2 khi đó u5  u1q 4  32 .
Câu 6:
Ta có các điểm cực trị là x  1, x  0, x  2, x  4 . Chú ý rằng hàm số liên tục trên  nên điểm x  0
vẫn thỏa mãn điều kiện.
Câu 9:
Tất cả các cạnh bằng 3 nên V  33  27 .
Câu 10: Điều kiện: 2 x 

1
3

1
 x
2 64 2 

2
1
3
Ta có: log 4  3.2 x  1  x  1  3.2 x  1  4 x 1   2 x   3.2 x  1  0  
, (t/m).
4
2x  6  4 2  1

3

Vậy 2 x1  x2  2 x1 2 x2  4  x1  x2  2 .
Câu 11:
Ta có: 3log 2 a  4 log 2 b  3  log 2  a 3b 4   P  a 3b 4  8 .
Câu 12:
Ta có: z  32  52  34 .
Câu 13:
2

7

7

5

0

5

0

2

Ta có: T   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  28 .
Câu 17:
Trang 8


1
Ta có: V  .6.8  16 .
6

Câu 18:
2

2 1

2

Ta có: a 3 . a  a 3

7

 a6 .

Câu 20:

Gọi M là trung điểm BC, suy ra AM  BC và AM 
Ta có SA 

a 3
. Gọi K là hình chiếu của A trên SM.
2

3VS . ABC
 a 3 ; d  A,  SBC    AK .
S ABC

Trong SAM , có AK 
Vậy d  A,  SBC    AK 

SA. AM
SA  AM
2

2



3a
a 15
.

5
15

a 15

.
5

Câu 21:
Ta có: V  3.5  15 .
Câu 24:
Ta có: PA 

C53
1
 .
3
C12 22

Câu 25:
x 3
Ta có: log 2 x  log 2  x  3  2  x  x  3  4 
x4

Câu 28:

Ta có: v  2 1; 2;3  3  2; 4;1  5  1;3; 4    3;7; 23 .
Câu 29:
Ta có:  P  :1 x  2   1 y  0   2  z  1  0   P  : x  y  2 z  0
Câu 30:
Ta có: z1  z2  3  4i  5.
Câu 32:

Trang 9

Ta có y 

x 2  3x  2 x  2

, tiệm cận đứng là x  1 , tiệm cận ngang là y  1 .
x2 1
x 1

Câu 33:
Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   2 có 2 nghiệm, f  x   2 cũng vậy
Câu 34:
Ta có: a  bi  3  a  bi   16  2i  a  4, b  1
Câu 35:
Mặt phẳng đi qua các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;-5) là

x y z
   1.
2 3 5

Câu 36:
Ta có: u  x  1  x  u 2  1  dx  2udu  

u2  4
2udu   2  u 2  4  du
u

Câu 37:
3
  60 , suy ra SA  AB.tan 60  a 3  V  a 3 .

SB,  ABCD    SBA
Ta có 
3

Câu 38:
Ta có: y  x 2  4 x  2m  0x    4  2m  0  m  2 .
Câu 39:

 x 1 x  2
x  2021 
Ta có: y  f   x  1  x  2  ...  x  2021  

 ... 
 .
x

1
x

2
x

2021


Xét P  x   x  1  x  2  ...  x  2021 có P  x  

x 1 x  2
x  2021


 ... 
ta đánh giá như sau:
x 1 x  2
x  2021

 Nếu x  1011 thì P  1
 1

1  ... 
1   1  ...  1  1  0 .
1  


1011
1010

 Nếu x  1011 thì P  1
 1

1  ... 
1   1  ...  1  1  0 .
1  


1010
1011

Vậy chứng tỏ rằng x  1011 là một điểm đổi dấu đồng thời bảng biến thiên của P  x  như sau:

Chú ý: P 1011  1010  1009  ...  1  0  1  ...  1009  1010  1021110 .

Trang 10


 x  1  x  2  ...  x  2021  2021 L 
Mặt khác vì f   x  1  x  2  ...  x  2021   0  
.
 x  1  x  2  ...  x  2021  1021111
Mặt khác: P 1010   P 1012   1009  1008  ...  1  0  1  2  ...  1010  1011  1021111.
Do vậy ta có tất cả 3 điểm đổi dấu là x  1010, x  1011, x  1012 . Đồng thời: lim g   x   .
x 

Do đó:

Câu 40:
Mặt cầu  S1  có tâm O(0;0;0) và bán kính R1  4 .
Mặt cầu  S 2  có tâm I(4;3;0) và bán kính R2  m .
Ta có: OI  42  32  5 .
Để  S1  và  S 2  cắt nhau theo giao tuyến là một đường trịn thì:

OI  R1  R2  OI  R1  5  4  R2  5  4  1  R2  9  1  m  9.
Vậy có 7 số nguyên m  2;3; 4;5;6;7;8 thoả mãn.
Câu 41:
Ta có f  x   g  x   kx 2  x  a  x  4  .
4

4

0

0

Vì S1  S 2    f  x   g  x   dx  0    kx 2  x  a  x  4  dx  0
4

4

0

0

   x 4  4 x3  dx  a   x3  4 x 2  dx  0  

256 64
12
 a0a .
5
3
5

Câu 42:
Đặt z  x  yi,  x, y    với  x; y   1;0  . Khi đó:
+) z  1  2i  2 2   C1  :  x  1   y  2   8 .
2

+)

2

  x  5   y  2  i 
z  5  2i

 z  5  2i 
là số thuần ảo nên Re 
  0
  0  Re 
z 1
 z 1 
  x  1  yi 

  x  5  x  1   y  2  y  0   C2  :  x  3   y  1  5 .
2

2

Dễ thấy hai đường tròn  C1  ,  C2  có hai điểm chung và trong đó có điểm A 1;0  nên chỉ có 1 số phức
thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 43:
1

1

3a  5b  15 c  t  3  t a ,5  t b ,15  t



1
c

1 1 1
3.5 15


  
 ab  bc  ca  0.
a b c

Trang 11






Suy ra: P   a  b  c   2  ab  bc  ca   4  a  b  c 
2

  a  b  c   4  a  b  c    a  b  c  2   4  4.
2

2

Câu 44:

x  1
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của d và  C  là  2
2 x  1  m  x  m  1  0 *

m  5  4 2
Để d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt x  1  
 m  5  4 2
Gọi A  x1 ; 2 x1  m  , B  x2 ; 2 x2  m  . Ta có x1  x2 

m 1
.
2

0  x1  x2 m  1


 xG 
3
6
Suy ra 
 y  0   2 x1  m    2 x2  m   m  1
 G
3
3

m 1
1
 m  1
m 1
6


Vì G  C nên
(thỏa mãn ĐK).


m 1
3
 m  16

1
6
3.

Câu 45:
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường trịn bán kính
AE  3a . Gọi I  AC  BE , IH  AB tại H. Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam

giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường trịn bán kính IH.

Ta có ΔIBC đồng dạng với ΔIEA 
Mặt khác IH // BC 

IC BC 1

  IA  3IC .
IA AE 3

AH IH
AI 3
3
3a


  IH  BC 
.
AB BC AC 4
4
4

Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.
1
1
V1  .IH 2 . AH ;V2  .IH 2 .BH .
3
3

Trang 12



 9a 2
3a 3 3
2
 V  V1  V2  V  .IH . AB  V  .
.a 3  V 
.
3
3 16
16

Câu 46:
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  1  m bằng số điểm cực trị của hàm số y  f  x  suy ra
số cực trị của hàm y  f  x  1  m là 3 điểm cực trị; số nghiệm của phương trình f  x  1  m bằng số
nghiệm của phương trình f  x   m
Số cực trị của hàm số y  f  x  1  m  Số cực trị của hàm số y  f  x  1  m  số nghiệm bội lẻ của
phương

trình

f  x  1  m 

số

nghiệm

bội

lẻ

của

phương

trình

f  x  1  m

là

2  4  m  2  S  2;3 .
Câu 47:
Gọi E, F là trung điểm của BC và BC  , ta có S MOO 

1
1 2
1
S AAOO  . S AAFE  S AAFE .
2
2 3

3

1
Suy ra VG .MOO  VG . AAEF .
3

Gọi I là trung điểm EF.
1
1
Suy ra GI  C I  VG . AAEF  VC . AAEF .
3
3

Lại có
2
2 1
1
VC . AAEF  VAEC . AFC   . VABC . AB 'C   VABC . AB 'C  .
3
3 2
3
1 1 1
1
Vậy VG .MOO  . . VABC . ABC   VABC . ABC 
3 3 3
27

27 a 3 27 a 3
Suy ra h 


 9a 3 .
S ABC a 2 3
Câu 48:
Cách 1: Giải tổng quát full tự luận:
Xét điểm A  a; b; c  , B  x; y; z  ta có:  BCD    A; AB    O;5  do đó:

 BCD  :  25   x  a 2   y  b 2   z  c 2  a 2  b 2  c 2    x 2  y 2  z 2  25  ax  by  cx  25  0 (*)
 x  10  t

Ta có: A     :  y  p  t  10  t  x   p  t  y  10  t  z  25  0 .
 z  10  t

Khi đó ta có phương trình t  x  y  z   10 x  py  10 z  25   0 nghiệm đúng với mọi t   .

x  y  z  0
Điều đó xảy ra khi:  d  : 
và đó chính là đường thẳng cố định cần tìm.
10 x  py  10 z  25  0
Trang 13



5
33
Khi đó ud  1; 1;1 , 10; p;10      p  10;0;10  p  // 1;0; 1  sin  
.
 cos  
58
58
Cách 2: Tư duy ngắn gọn:

Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua H và vng góc với đường thẳng    trong trường hợp OA
vng góc với    . Gọi A 10  t ; p  t ;10  t  .
 
Ta có OA.u  0  10  t    p  t   10  t   0
p  20
 p  10 2 p  20 p  10 
 A
;
;
.
3
3
3 
 3


Khi đó uOA  1; 2;1 và u  1; 1;1 .

 
Vậy ud  uOA ; u    3;0; 3 // 1;0; 1 .
t

Câu 49:
Gọi M  z1  , N  z2  . Có

a

1

 z1  4   b12 

2

a

1

2
a  0
.
 z1  4   b12  a1 z1  4  0   1
 z1  4

Do đó M  4;0  hoặc M thay đổi trên đường thẳng x  0 .
Do z 2  4  3i  2 nên N thuộc đường trịn tâm I(4;3) bán kính R  2 .
Mặt khác



a  a  k
z1  z2
hay MN cùng phương với u   1;3 .
 ki  k      1 2
3i
b1  b2  3k

Trường hợp 1: M  4;0   phương trình đường thẳng
MN là 3 x  y  12  0

  31  31 27  3 31 
;

N 

9 10  310
10
10



 MN 
  31  31 27  3 31 
10
N 
;

10

  10
Trường hợp 2: M  d : x  0 . Do MN cùng phương với

u   1;3 nên MN tạo với d một góc α khơng đổi thỏa
mãn cos  

3
.
10

Do đó ta có: MN 

NK
 NK 10 .

sin 

Mặt khác NK  JH  IH  IJ . Do IJ  IN  NK  IH  R  4  2  2 .
Vì vậy MN  2 10  6,32 . Kết hợp trường hợp 1 ta suy ra MN min 

9 10  310
 1, 085 .
10

Câu 50:
Trang 14


a  1
1  log a b
1

Từ điều kiện, suy ra 
. Ta có P 
1  log a b
log a b
b  1
Suy ra P 

1 1 t

 f t 
1 t
t

Đặt t  log a b  0 . Do a  b 2  log b a  log b b 2  2  t  log a b 
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: P 

1
.
2

1 1
1
 1  2
 2.2  1  3 .
1  t  t
1 t t

Dấu bằng xảy ra khi 1  t  t  t 

1
(TM).
2

Trang 15