Tiểu luận toán cho vật lý

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==================

TIỂU LUẬN
TOÁN CHO VẬT LÝ

Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xuân Hòa
Học viên thực hiện:

1. Nguyễn Văn Hinh
2. Nguyễn Thị Thêm
3. Đinh Thị Hà

Thái Nguyên, tháng 12/2021.

Trang 1


ST
T

Giáo viên chấm điểm
Chữ ký và họ tên
giáo viên 1

Chữ ký và họ tên
giáo viên 2

Họ và tên học Viên

Điểm số

1

Nguyễn Văn Hinh

2

Nguyễn Thị Thêm

3

Đinh Thu Hà

Bằng chữ

PHẦN 1: NỘI DUNG LÝ THUYẾT
Câu 2.Anh/chị trình bày phép biến đổi Laplace: phép biến đổi của các hàm thơng thường; các

tính chất của phép biến đổi Laplace; phép biến đổi Laplace ngược.

Trang 2


Bài làm
Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể tính ổn
định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) (với mọi số thực t ≥ 0) là hàm số F(s), được
định nghĩa như sau:
Trong đó: s là biến số phức cho bởi s = (với s là miền tần số, có đơn vị là phần giây s-1
Giới hạn 0-chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi t = 0, được dùng để lấy gốc hàm số f(t) tại thời

điểm t = 0.
Biến đổi Laplace hai phía
Một khi nói "biến đổi Laplace" mà khơng chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến
đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích
phân đến vơ cực.
Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace
hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.
Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược
được định nghĩa bởi tích phân sau.
Nhưng thơng thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm
gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).
Các tính chất của biến đổi Laplace
TÍNH CHẤT

MIỀN THỜI GIAN

MIỀN TẦN SỐ

Tuyến tính

af(t) + bg(t)

aF(s) + bG(s)

Đạo hàm trong miền tần
số

tf(t)

-F’(s)

Đạo hàm bậc n trong
miền tần số

tnf(t)

(-1)n F(n)(s)

Đạo hàm trong miền
thời gian

f’(t)

sF(s)-f(0-)

Đạo hàm bậc 2

f’’(t)

s2F(s)-sf(0-)- f’(0-)

Tổng quát

f(n) (t)

sn F(s)-sn-1 f(0-)- …- f(n-1) (0-)

Tích phân trong miền

Trang 3


tần số

Tích phân trong miền
thời gian

= u(t)*f(t)

F(at)

Đồng dạng

Biến đổi trong miền tần
số

Biến đổi trong miền
thời gian

F(s-a)

f(t-a)u(t-a)

Tích chập

(f*g)(t)

Hàm tuần hồn

f(t)

F(s)G(s)

PHẦN 1: NỘI DUNG BÀI TẬP
Bài tập 1:

Bài tập 2: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L
Bài làm
Ta có = =
Vậy F(s) = L +L- L
=Bài tập 3:Tìm biến đổi Laplace F(s) = L

Trang 4


Bài làm
F(s) = L = L = L -L
= -

Bài tập 5:Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong vật lý hoặc truyền thơng, cơng nghệ thơng
tin
Ví dụ 1. Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s
Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang
mạch miền s

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn
cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm
và áp ban đầu đối với tụ điện)

Trang 5


Ví dụ 2. Hàm truyền
Trong kỹ thuật, hàm truyền (cịn được gọi là hàm hệ thống hoặc hàm mạng) của thành
phần hệ thống điện tử hoặc điều khiển là một hàm tốn học mơ hình hóa lý thuyết đầu ra của
thiết bị cho mỗi đầu vào có thể. Ở dạng đơn giản nhất, hàm này là một đồ thị hai chiều của
đầu vào vô hướng độc lập so với đầu ra vô hướng phụ thuộc, được gọi là đường cong
truyền hoặc đường đặc tính. Các hàm truyền cho các thành phần được sử dụng để thiết kế và
phân tích các hệ thống được lắp ráp từ các thành phần, đặc biệt là sử dụng kỹ thuật sơ đồ
khối, trong lý thuyết điều khiển và điện tử.
Các kích thước và đơn vị của chức năng truyền mơ hình phản hồi đầu ra của thiết bị
đối với một loạt các đầu vào có thể. Hàm truyền của mạch điện tử hai cổng như một bộ
khuếch đại có thể là một đồ thị hai chiều của điện áp vô hướng ở đầu ra dưới dạng hàm của
điện áp vô hướng đặt vào đầu vào; chức năng chuyển của bộ truyền động cơ điện có thể là
dịch chuyển cơ học của cánh tay địn chuyển động như một hàm của dòng điện áp dụng cho
thiết bị; hàm truyền của bộ tách sóng quang có thể là điện áp đầu ra như một hàm của cường
độ sáng của ánh sáng tới của một bước sóng nhất định.
Thuật ngữ "hàm truyền" cũng được sử dụng trong phân tích miền tần số của các hệ
thống sử dụng các phương pháp biến đổi như biến đổi Laplace; ở đây nó có nghĩa là biên
độ của đầu ra như một hàm của tần số của tín hiệu đầu vào. Ví dụ, hàm truyền của bộ lọc
điện tử là biên độ điện áp ở đầu ra dưới dạng hàm của tần số của sóng sin có biên độ khơng
đổi được áp dụng cho đầu vào. Đối với các thiết bị hình ảnh quang học, hàm truyền quang là
phép biến đổi Fourier của hàm trải điểm (do đó là hàm của tần số không gian)
Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:

Trang 6


Trong khi bất kỳ hệ thống LTI nào cũng có thể được mô tả bởi một số hàm truyền này

hay khác, có một số "họ" các hàm truyền đặc biệt được sử dụng phổ biến. Các bộ lọc áp ứng
xung vơ hạn điển hình được thiết kế để thực hiện một trong những hàm truyền đặc biệt.
Một số họ hàm truyền phổ biến và đặc điểm cụ thể của chúng là:
•

Bộ lọc Butterworth – làm phẳng tối đa trong dải thơng và dãi dừng với bậc cho trước

•

Bộ lọc Chebyshev (loại I) - làm phẳng tối đa trong dãi dừng, cắt sắc nét hơn
Butterworth của cùng một bậc

•

Bộ lọc Chebyshev (Loại II) – làm phẳng cực đại trong dãi thông, cắt sắc nét hơn
Butterworth với cùng bậc

•

Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt nhất cho một bậc cho trước bởi vì chúng khơng có
gợn trễ nhóm

•

Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét nhất (chuyển tiếp hẹp nhất giữa dãi thơng và dãi dừng) với
bậc cho trước

•

Bộ lọc "L" tối ưu

•

Bộ lọc Gauss – độ trễ nhóm tối thiểu; khơng có độ vọt lố đối với hàm bước.

•

Bộ lọc Hourglass

•

Bộ lọc cos tăng

Ví dụ 3: Trong vật lí
Quan hệ ảnh toán tử của U, I trên phần tử thụ động của mạch
ir =

ur
u ( p)
→ I r ( p) = r
r
r

a.Quan hệ U,I trên phần tử R.

Trang 7


ul = L

dil
u + L.il (0)
→ Il = l
dt
L. p

b.Quan hệ U,I trên phần tử L.

uc =

1
idt → I c ( p ) =
C∫

U c ( p) −

U c (0)
p

1
Cp

c.Quan hệ U,I trên phần tử C.

Ví dụ 4: Dao động trong mạch R-L-C song song

-Mạch gồm có 3 phần tử R-L-C mắc song song,với một nguồn tác động bậc thang E.
-Ta vẽ sơ đồ tương đương ở dạng toán tử và giả thiết rằng điều kiện ban đầu

I ( p)

U ( p ) = I ( p ).Z ( p ) =
=P
Y ( p)
g=

1
g
;α =
;ω0 =
R
2C

R

+

1 / C P

Laplace

LP

I

L

R

C

+

U l (0) = 0;U c (0) = 0

1
1
C
C
=
= 2
1
g
1
P + 2αp + ω 2 0
g + CP +
P2 + P +
LP
C
LC
1

1

;
LC
P
I c ( p ) = U ( p ).CP = 2
P + 2αp + ω 02
1
U ( p)

LC
I l ( p) =
=
2
LP
p ( p + 2αp + ω 02 )

Trang 8


Mục lục
Khái niệm chuỗi Fourier……………………………………..Trang 1
Phép biến đổi Laplace……………………………………… Trang 3
Bài tập 1………………………………………………… ...…Trang 4
Bài tập 2………………………………………………………Trang 6
Bài tập 3………………………………………………………Trang 8
Bài tập 4………………………………………………………Trang 10
Ứng dụng phép biến đổi Laplace…………………………….Trang 12
Tài liệu tham khảo……………………………..…………… .Trang 15

Trang 9


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA
Trang điện tử />
PHỤ LỤC
ST
T
1

Nội dung

Học viên hoàn thiện

Lý thuyết câu số 1

Đinh Thị Hà

2

Lý thuyết câu số 2

3

Bài tập 1,2

Nguyễn Thị Thêm

Nguyễn Văn Hinh(Giải bài tập)
Đinh Thị Hà( Đánh máy)

Trang 10


Nguyễn Văn Hinh(Giải bài tập)
Nguyễn Thị Thêm( Đánh máy)

4

Bài tập 3,4

5

Bài tập 5: Ứng dụng

Nguyễn Văn Hinh

6

Hoàn thiện bài tiểu luận

Nguyễn Văn Hinh

Trang 11