BÀI tập ước LƯỢNG xác suất thống kê có đáp án cuối file

BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG
1.Để kiểm tra trọng lượng của một loại sản phẩm (kg) trong kho, đem cân
một số sản phẩm ,người ta thu được số liệu sau:
Trọng
5,5
5,7
5,8
6,0
6,2
6,4
6,5
lượng
Số sản
8
17
25
12
13
10
5
phẩm
Cho độ tin cậy 95%:
a. Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên là những sản phẩm loại I.
Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I?
công thức ước lượng khoảng là ( fn – ε ; fn + ε )

 fn= = = = 0,3111
 ԑ = u =1,96 = 0,0956
 ɸ(u) = = = 0,475 => u=1,96
Tỉ lệ sản phẩm loại I với độ tin cậy 95% là:
(fn-ԑ ; fn+ ԑ) = ( 0,3111-0,0956 ; 0,3111+0,0956 ) = (0,2156 ; 0,4067)

b.Muốn sai số ( ε) khoảng ước lượng giảm đi một nửa thì cần kiểm tra thêm ít
nhất bao nhiêu sản phẩm.


( vì sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa )
 n ≥  n ≥  n ≥ 360,3401 =>n=361
Vậy cần quan sát thêm ít nhất là 361-90=271 sản phẩm
c.Khoảng ước lượng tối đa tỉ lệ sản phẩm loại I là :
p ∈ ( -∞ ; fn + ԑ )

 fn =0,3111
 ԑ=u = 1,645 = 0,0803
. ϕ(u)=

= = =0,45 => u=1,645
( γ = 95% , γ=1-α =>α=1-95%=5%)
Khoảng ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa : ( -∞;0,3914)
=>Vậy tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa là : 0,3914 = 39,14%
2. Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng sau một thời gian gieo
trồng, quan sát, một mẫu thu được số liệu sau:
X

40-45

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

75-80


Số cây
7
12
Cho độ tin cậy 95%

18

27

20

8

5

3

a. Những cây có chiều cao dưới 55cm là những cây tăng trưởng kém. Hãy ước
lượng tỷ lệ cây tăng trưởng kém.
công thức ước lượng khoảng là ( fn – ε ; fn + ε )

 fn= = =
 ϕ(u)==> u=1,96
 ε = u. =1,96. = 0,0946
Tỷ lệ cây tăng trưởng kém với độ tin cậy 95% là :
(fn-ԑ ; fn+ ԑ) = ( 0,2754 ; 0,4646)
b. Muốn sai số của ước lượng trên giảm đi một nửa cần khảo sát thêm ít nhất
bao nhiêu cây giống nữa?


 n ≥  n ≥  n ≥ 400,2507 => n=401
Vậy muốn sai số của ước lượng trên giảm đi một nửa cần khảo sát thêm ít nhất
401-100 = 301 cây giống nữa .
3. Để nghiên cứu nhu cầu một loại hàng, người ta khảo sát nhu cầu của mặt
hàng này ở 500 ,hộ gia đình ở địa bàn A có 5000 hộ dân, thu được số liệu
sau:
Nhu cầu
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
(kg/tháng)
Số gia đình
70
110
180
100
40
Cho độ tin cậy 95%:
a. Những hộ sử dụng từ 8 kg/ tháng trở lên là những hộ có nhu cầu cao. Hãy

ước lượng tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn.
cơng thức ước lượng khoảng là ( fn – ε ; fn + ε )

 fn = = = = 0,28
 ϕ(u) = => u = 1,96
 ε = u. = 1,96. = 0,0394
tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bản với độ tin cậy 95% là :
(fn-ԑ ; fn+ ԑ) =(0,2406 ; 0,3194)
b. Hãy ước lượng số hộ có nhu cầu cao trên địa bàn.


Số hộ có nhu cầu cao trên địa bàn là :
ε . n = 0,0394 . 500 = 19,7
=>Có 20 hộ có nhu cầu cao trên địa bàn.
4. Số liệu thống kê về doanh số bán hàng (triệu đồng/ngày) của một siêu thị
trong một số ,ngày được cho ở bảng số liệu sau:
Doan
20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65
h số
Số
5
13
25
35
24
17
15
10
6
ngày

Cho độ tin cậy 95%:
a. Những ngày có doanh số bán hàng từ 50 triệu đồng trở lên là những ngày
bán đắt. Hãy ước lượng tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này.
công thức ước lượng khoảng là ( fn – ε ; fn + ε )

 fn =
 ϕ(u) = => u = 1,96
 ε = u. = 1,96. = 0,0648
Tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này với độ tin cậy 95% là:
(fn-ԑ ; fn+ ԑ) = (0,1419 ; 0,2715)
b. Muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì cần khảo sát doanh số của ít
nhất bao nhiêu ngày?




 n ≥  n ≥ 600,0674 => n=601

Vây muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì cần khảo sát doanh số của ít
nhất 601 – 150 = 451 ngày nữa .
5.Một đại lý sữa theo dõi việc bán hàng trong một số ngày thu được bảng số
liệu sau:
Số thùng
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
bán
Số ngày

10
15
35
25
15
Biết số thùng sữa bán mỗi ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy 95%.
a. Hãy ước lượng số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày.
m∈(–ε; +ε)

 n = 100

; = 37

;S = 11,7207


 ϕ(u) = => u = 1,96
 ε = u. = 1,96. = 2,2973
Số thùng sữa trung bình bán ra hằng ngày với độ tin cậy 95% là:
( – ε ; + ε ) = (34,7027 ; 39,2973)
b. Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa cần theo dõi thêm ít nhất bao
nhiêu ngày?


 n ≥  n ≥  n ≥ 399,9503 => n = 400
Vậy muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa cần theo dõi thêm ít nhất
400 – 100 = 300 ngày nữa
6. Quan sát tuổi thọ của một lồi cơn trùng cho bảng kết quả:
Xi

5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-36
ni
10
15
20
30
15
10
X i là tuổi thọ, n i là số con cơn trùng có tuổi thọ tương ứng.
Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên X (ngày) có phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy là 95%
a. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này.
m∈(–ε; +ε)
 n = 100 ; = 20,3 ;S = 7,2777
 ϕ(u) = => u = 1,96
 ε = u. = 1,96. = 1,4264
Tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này với độ tin cậy 95 % là :
( – ε ; + ε ) = (18,8736;21,7264)
b. Muốn sai số của ước lượng giảm đi 3 lần cần quan sát ít nhất bao nhiêu con
cơn trùng loại này?



≥  n ≥  n ≥ 899,9107 => n = 900

Vậy muốn sai số của ước lượng giảm đi 3 lần cần quan sát ít nhất 900-100=800
con cơn trùng loại này nữa.


7.Trọng lượng của một loại thực phẩm đóng hộp do một nhà máy tự động sản
xuất là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cân thử 25 hộp thực phẩm loại
này ta thu được bảng sau:

Trọng lượng
57
(g)
Số hộp
1
Với độ tin cậy 95%:

58

59

60

61

62

2

6

10

4

2

a.Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản
xuất ra.
m∈(–ε; +ε)

 n=25 ; = 59,8 ; S = 1,1902
 vì n = 25 < 30 và khơng có nên
ε = t. =2,0639. = 0,4913
khoảng ước lượng trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản
xuất ra là :
( – ε ; + ε )= ( 59,8 – 0,4913 ; 59,8 + 0,4913 ) =(59,3087;60,2913)
b. Muốn độ chính xác của ước lượng khơng q 0,2g thì cần thêm ít nhất bao
nhiêu hộp nữa.

 ε = 0,2
 n ≥  n ≥  n ≥ 150,8541 => n=151
Vậy muốn độ chính xác của ước lượng khơng q 0,2g thì cần thêm ít nhất
151 – 25 =126 hộp nữa.
8. Điều tra mức chi tiêu (tính theo năm) cho một loại thực phẩm của 100 hộ
gia đình có 4 ,người ở một thành phố ta có bảng số liệu sau:
Chi tiêu
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9

11,0
(triệu đồng)
Số hộ
10
15
20
30
15
10
Giả thiết rằng mức chi tiêu cho thực phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Cho độ tin cậy 95%
a.Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia
đình nói trên.
m∈(–ε; +ε)

 n=100

; =10,755

;S=0,1438


 ϕ(u) = =>u=1,96
 ε= u. = 1,96. = 0,0282
Mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia đình trên là :
( – ε ; + ε ) = (10,755 - 0,0282 ; 10,755 + 0,0282) = (10,7268 ; 10,7832)
b.Muốn sai số của ước lượng (ε)giảm đi một nửa cần điều tra thêm ít nhất bao
nhiêu hộ gia đình nữa?

( vì sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa )

 n ≥  n ≥  n ≥ 560,9653 => n=561


Vậy muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa cần điều tra thêm ít nhất là
561-100=461 hộ gia đình nữa
c. Hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên?
công thức ước lượng khoảng là ( fn – ε ; fn + ε )

 fn =
 ε = u. = 1,96. = 0,0975
Vậy tỉ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên với độ tin cậy 95% là

( fn – ε ; fn + ε ) = (0,4525 ; 0,6475)
9. Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng đèn sau khi cải tiến kỹ thuật
người ta lắp thử 25 ,bóng và thu được kết quả sau:
Tuổi thọ
1015
1045
1075
1105
1135
1165
(giờ)
Số bóng
1
6
8
5
2
3

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên,
biết tuổi thọ bóng đèn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
m∈(–ε; +ε)
 n = 25 ; = 1087 ; S = 41,5331
 ε = t. = 2,0639. = 17,144
Vậy tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ tin cậy 95% là :
( – ε ; + ε ) = (1069,856;1104,144)
10. Điều tra ngẫu nhiên 100 hộ ở huyện A thì thấy có 8 hộ nghèo. Với độ tin
cậy 95% hãy ước lượng:
a. Tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A.
p ∈ (fn – ε ; +∞)


 fn = = 0,08
 ε = u = 1,645 = 0,0446
ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
Vậy tỉ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A là: (fn – ε ; +∞) = (0,0354 ; +∞)
b. Số tối đa hộ dân trong huyện A biết số hộ nghèo trong huyện là 1800 hộ.
p ∈ ( -∞ ; fn + ε )

 fn = = 0,08
 ε = u = 1,645 = 0,0446
ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
 p ∈ (-∞ ; fn + ε ) = ( -∞ ; 0,1246 )
Vậy khoảng ước lượng cho số hộ tối đa là
N ∈ ( -∞ ; 1800:0,1246 ) = ( -∞ ; 14446)

Vậy số tối đa hộ dân trong huyện A là 14446 hộ dân
11.Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Quan sát tuổi thọ ,của một loại cơn trùng ta có bảng kết quả sau:

Tuổi thọ 5-10
(ngày)
Số con
10
Với độ tin cậy 95%
a.

10-15

15-20

20-25

25-30

30-36

15

20

30

15

10

Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của các con cơn trùng.

m ∈ ( – ε; + ε )





n = 100
;
;S = 7,2777
ε = u. = 1,96. = 1,4264
γ = 95% => u=1,96

Vậy tuổi thọ trung bình của các con cơn trùng với độ tin cậy 95% là:
m ∈ ( – ε; + ε ) =( 18,8736 ; 21,7264 )
b.

Để sai số của ước lượng khơng vượt q nửa ngày thì cần

điều tra mẫu có kích thước ít ,nhất là bao nhiêu?




ε=
n ≥  n≥  n ≥ 778,07 => n=779


Vậy để sai số của ước lượng không vượt quá nửa ngày thì cần
điều tra mẫu có kích thước ít nhất là 779 con côn trùng
c.Hãy ước lượng tỷ lệ cơn trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày ở
mức tối đa.

p ∈ ( - ∞ ; fn + ε )



fn = = = 0,75

ε = u = 1,645. = 0,0712

ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
vậy tỉ lệ côn trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày ở mức tối đa với độ tin
cậy 95% là:

p ∈ ( - ∞ ; fn + ε ) = ( - ∞ ; 0,8212 )
12. Điều tra ngẫu nhiên mức doanh thu của 100 hộ kinh
doanh mặt hàng A ta thu được bảng số liệu sau:
Doanh thu
18-20 20-22
22-24
24-26
26-28
(Triệu
đồng )
Số hộ
12
15
35
28
10
Với độ tin cậy 95%
a. Hãy ước lượng tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu

đồng.
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε )
 fn =
 ε = u = 1,96 . = 0,0951
γ = 95% => u= 1,96
vậy tỷ lệ tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng
với độ tin cậy 95% là :
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε ) = ( 0,2849 ; 0,4751 )
b. Để sai số của ước lượng khơng vượt q 5% thì cần điều tra
thêm ít nhất bao nhiêu hộ nữa?
 ε = 0,05
 n ≥  n ≥  n ≥ 362,0324 => n = 363


vậy để Để sai số của ước lượng không vượt q 5% thì cần điều
tra thêm ít nhất 363 – 100 = 263 hộ nữa
c.Hãy ước lượng doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh
doanh trên.
m∈(-∞; +ε)
 n =100 ; = 23,18 ;S= 2,2935
 ε =u. 1,645 . = 0,3773

ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
Vậy doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên với độ tin cậy
95% là :

m ∈ ( - ∞ ; + ε ) = ( - ∞ ; 23,5573 )
13. Chiều cao của thanh niên độ tuổi từ 18 đến 20 ở một
vùng A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Quan sát
chiều cao (cm) của một số thanh niên từ 18 đến 20 tuổi

được chọn ngẫu nhiên ở vùng A người ta có kết quả cho ở
bảng dưới đây:
Chiều
154156158160162164166cao
156
158
160
162
164
166
168
Số
3
15
18
22
20
18
4
người
Những thanh niên có chiều cao từ 162 cm trở lên là những thanh niên có chiều
cao tăng trưởng tốt. Hãy ước lượng tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng
tốt với độ tin cậy 95%.
p ∈ ( f n – ε ; fn + ε )
 fn = = = 0,42
 ε = u = 1,96. = 0,0967
γ = 95% => u = 1,96
Vậy tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt với độ tin cậy 95% là:
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε ) = ( 0,3233 ; 0,5167)
14. Thu nhập của công nhân làm việc ở một khu công

nghiệp là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Quan sát
thu nhập (triệu đồng/tháng) của một số công nhân làm


việc ở một khu cơng nghiệp ta có kết quả cho ở bảng
dưới đây:
Thu
nhập
Số
cơng
nhân

3-3,5

3,5-4

4-4,5

4,5-5

5-5,5

5,5-6

6-6,5

3

15

18

22

20

18

4

Những cơng nhân có thu nhập từ 5 triệu đồng/tháng trở lên là những người có
thu nhập khá. Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu công
nghiệp này với độ tin cậy 99%.
p ∈ ( fn – ε ; + ∞ )
 fn = = = 0,42
 ε = u = 2,33 . = 0,115

ϕ(u)= = = =0,49 => u= 2,33
Vậy tỉ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu công nghiệp này với độ tin
cậy 99% là:
p ∈ ( fn – ε ; + ∞ ) = ( 0,305 ; + ∞)
15. Trọng lượng của sản phẩm A là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. Cân thử 100 sản phẩm A được chọn
ngẫu nhiên từ kho hàng ta thu được kết quả:

Trọng 800850900950100010501100lượng
850
900
950
1000

1050
1100
1150
(gr)
Số sản 5
10
20
30
16
10
9
phẩm
Với độ tin cậy 95%
a. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm này.
m∈(-∞; +ε)

 n=100
; = 979
;S=78,0702
 ε = u. = 1,645. = 12,8425

ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
vậy trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm này với độ tin cậy
95% là:

m ∈ ( - ∞ ; + ε ) = ( - ∞ ; 991,8425)


b. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr. Để sai số của
ước lượng không vượt q 4% thì cần điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản

phẩm?
- Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε)
 fn = = = 0,19
 ε = u = 1,96. =0,0769
γ = 95% => u =1,96

Vậy tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng trên 1050gr với độ tin cậy 95% là:
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε) = ( 0,1131 ; 0,2669 )

- Để sai số của ước lượng khơng vượt q 4% thì cần điều tra thêm ít nhất
bao nhiêu sản phẩm?
ε = 0,04
 n ≥  n ≥  n ≥ 369,5139 => n=370
Vậy để sai số của ước lượng không vượt q 4% thì cần điều tra thêm ít
nhất 370 – 100 = 270 sản phẩm nữa.
16. Trọng lượng lợn khi xuất chuồng là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn. Cân ngẫu nhiên một số lợn ở trang trại A thu được bảng số liệu
sau:
Trọng 75-78
78-81
81-84
84-87
87-90
90-93
93-96
lượng
(kg)
Số con 2
16

19
24
20
16
3
Với độ tin cậy 95%
a. Hãy ước lượng trọng lượng lợn trung bình tối đa khi xuất chuồng.
m∈(-∞; +ε)

 n = 100 ; = 85,62 ;S = 4,3884
 ε = u. = 1,645. = 0,7219
ϕ(u)= = = =0,45 => u=1,645
Vậy trọng lượng lợn trung bình tối đa khi xuất chuồng với độ tin cậy 95%
là:


m ∈ ( - ∞ ; + ε ) = ( - ∞ ; 86,3419)
b. Hãy ước lượng tỷ lệ lợn khi xuất chuồng có trọng lượng trên
90 kg. Từ đó hãy ước lượng số lợn của trang trại, biết cả trang
trại có 300 con lợn có trọng lượng khi xuất chuồng trên 90 kg.
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε)
 fn = = = 0,19
 ε = u = 1,96. =0,0769
γ = 95% => u =1,96
tỷ lệ lợn khi xuất chuồng có trọng lượng trên 90 kg là:
p ∈ ( fn – ε ; fn + ε) = ( 0,1131 ; 0,2669 )
Vậy số lợn của trang trại là :
N ∈ (300: 0,1131 ; 300:0,2669) = (2653;1124)

2/ bài tốn ước lượng trung bình m (ví dụ bài 7)
Bài toán : X ∾ N(m , )và ta phải ước lượng m
. Khoảng ước lượng hai phía cho m:
( –ε; +ε)
*Quy trình làm:


m∈(–ε; +ε)
 n=
;
 ε có 2 trường hợp:

;S=

(bấm máy)

i)nếu n < 30 và khơng cho thì ε = t. với t=(tra bảng H)
ii)các trường hợp cịn lại thì ε = u. với ϕ(u)= ( tra bảng F tìm u)
Chú ý : Khoảng ước lượng tối đa : (-∞ ; + ε )
Khoảng ước lượng tối thiểu: ( - ε; +∞)
Với ε:
TH1: n < 30 và khơng cho thì ε = t. với t= (tra bảng H) (cách tìm γ’
đã hướng dẫn bài 1 câu c )
TH2: các trường hợp còn lại ε = u. với với ϕ(u)= ( tra bảng F tìm u)
(cách tìm γ’ đã có hướng dẫn bài 1 câu c)