Tài liệu Chuong 14-08 ppt

Chương 14: Tải trọng động

14.1. Khái niệm
Trong thực tế, nhiều khi chúng ta gặp tải trọng tác dụng lên thanh
một cách đột ngột, thay đổi theo thời gian, hoặc phụ thuộc vào
chuyển động của nó như:
Khi đó ta nói thanh chịu tải trọng động
Dựa vào đặc tính của nó ta có thể chia làm các loại sau:
- Do chuyển động có gia tốc gây nên
- Do dao động gây nên
- Do va chạm gây nên
Để đánh giá mức độ ảnh hưởng của tải trọng động đến ứng
suất và biến dạng trong thanh ta dùng hệ số k
d
Với: σ
d
, τ
d
là ứng suất do tải trọng động gây nên
σ
t
, τ
t
là ứng suất do tải trọng tĩnh gây nên
d d
d
t t
k
σ τ
σ τ

= =

14.2. Tính thanh chuyển động biến đổi đều
Khi thanh chuyển động có gia tốc, sẽ chịu tác động của lực quán
tính tỷ lệ với khối lượng và gia tốc.
Như vậy ngoài tác động của tải trọng, thanh còn chịu thêm tác
động của lực quán tính.
Vì thế, trong trường hợp này, trước hết ta phải xác định được lực
quán tính, sau đó tính thanh như là chịu tải trọng tĩnh nhưng có
cả lực quán tính.

14.2.1. Tính thanh chuyển động thẳng biến đổi đều

Thí dụ 1: Xét bài toán dây (có trọng lượng riêng g, diện tích tiết
diện ngang F) treo vật nặng P chuyển động thẳng đứng với gia
tốc không đổi a.
Khi vật chuyển động có gia tốc a,
sẽ phát sinh lực quán tính:
qt
P
P ma a
g
= =
qt
F
q a
g
γ
=

Xét tại mặt cắt z ta có lực dọc N
zd
,
ứng suất σ
zd

zd qt qt
P Fz
N P P q z P a
g
γ
+
= + + = +
( )
zd
zd
N
P P Fz a
F gF
γ
σ
+ +
= =


Khi không chuyển động, tại mặt cắt z ta có lực dọc N
zt
,
ứng suất σ
zt

Hệ số tải trọng động là:

Mặt cắt nguy hiểm tại điểm vào
ròng rọc, với chiều dài ℓ:

zt
N P qz P Fz
γ
= + = +
( )
zt
zt
N
P Fz
F F
γ
σ
+
= =
1
zd
d
zt
a
k
g
σ
σ
 

= = +
 ÷
 
Nếu bỏ qua ảnh hưởng của trọng
lượng dây treo thì:
axd
( )
m
P P F a
gF
γ
σ
+ +
=
l
zd
zd
N
P Pa
F gF
σ
+
= =

14.2. Tính thanh trong chuyển động biến đổi đều
14.2.2. Tính thanh trong chuyển động quay đều
Khi vật quay, sẽ xuất hiện lực quán tính ly tâm P
lt
tác dụng
lên vật.

Như vậy, nếu ta tìm được lực ly tâm và đặt vào vật thì ta có
thể tính thanh bình thường với tải trọng tính toán là P và P
lt
.
Thí dụ 1: Xét thanh chịu lực như hình vẽ, khi thanh quay quanh
trục với tốc độ không đổi ω(rad/s).
Lực ly tâm do Q gây ra khi quay là:
2
lt
Q
P r
g
ω
=
Như vậy thanh được coi như đặt trên hai gối tựa, chịu tải
trọng tập trung ở đầu chìa P
lt
(Ở đây ta bỏ qua Q vì nó rất nhỏ so
với P
lt
).
Việc tính toán như thanh chịu uốn ngang phẳng.
2 ℓ ℓ r
Q
ω
P
lt

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
12.3.1. Khái niệm về dao động của hệ đàn hồi

Trong trường hợp tải trọng tác dụng lên hệ thay đổi tuần hoàn
theo thời gian, thì làm cho hệ dao động.
Việc nghiên cứu dao động trong giáo trình này chủ yếu là nghiên
cứu phương pháp tính toán về biến dạng và ứng suất khi một
thanh bị dao động,
từ đó đề ra cách kiểm tra độ bền và độ cứng khi thanh dao động.

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
12.3.1. Khái niệm về dao động của hệ đàn hồi
Khái niệm về bậc tự do của hệ đàn hồi
Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số cần thiết để xác định vị trí
của hệ.
Để xác định vị trí của dầm khi biến dạng ta cần phải biết được
độ võng của dầm ở tất cả các mặt cắt, như vậy hệ có vô số bậc
tự do.
Thí dụ xét hệ trên hình vẽ, là một dầm
đặt trên hai gối tựa, trên dầm có khối
lượng M.
Tuy nhiên, nếu chỉ cần quan tâm đến vị trí của vật M, thì ta chỉ
cần biết độ võng y tại mặt cắt đặt M, như vậy hệ chỉ có một bậc tự
do.
y
M
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu hệ có một bậc tự do.

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
12.3.1. Khái niệm về dao động của hệ đàn hồi
Dao động của hệ đàn hồi được chia ra: Dao động tự do và dao
động cưỡng bức.
Thí dụ: ta tác động lên dầm một xung lực nào đó làm cho nó ra khỏi vị trí cần

bằng, sau đó không tác động nữa, dầm vẫn tiếp tục dao động trong một thời
gian mới dừng lại.
Dao động tự do là dao động không có lực kích thích
Dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của
ngoại lực biến đổi theo thời gian gọi là lực kích thích.
Thí dụ: Trên dầm có đặt một mô tơ điện, nếu rô to của mô tơ có khối lượng
lệch tâm, thì khi quay sẽ phát sinh một lực ly tâm.
Thành phần của lực ly tâm theo phương thẳng đứng và nằm ngang sẽ thay đổi
theo thời gian.
Như vậy, nếu ta xét sự uốn của dầm, thì dầm chịu tác dụng liên tục của một
lực biến thiên theo thời gian.
Lực này làm cho dầm dao động theo phương thẳng đứng
(gọi là lực kích thích).

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
12.3.1. Khái niệm về dao động của hệ đàn hồi
Ta nói hệ thực hiện được một dao động, khi hệ chuyển từ vị trí
cân bằng này sang vị trí cân bằng tiếp theo sau khi đã qua tất cả
các vị trí được xác định bởi quy luật dao động của hệ.
Thời gian để hệ thực hiện được một dao động gọi là chu kỳ dao
động, ký hiệu là T.
Số dao động thực hiện được trong một giây gọi là tần số dao
động, ký hiệu là f.
Để thuận lợi trong tính toán người ta thường dùng tần số góc (còn
gọi là tần số vòng), là số dao động thực hiện được trong 2π giây,
ký hiệu là ω.
1
f
T
=

2
1
2 ( )f
s
T
π
ω π
= =

Ta có quan hệ:

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.2. Phương trình vi phân tổng quát
Ta xét hệ dao động là một dầm có khối lượng M đặt tại mặt cắt có
toạ độ a, chịu lực kích thích P
t
biến đổi theo thời gian đặt tại mặt
cắt có toạ độ z.
Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân dầm
và chỉ chú ý đến vị trí của M, thì hệ có
một bậc tự do.
Số dao động thực hiện được trong một
giây gọi là tần số dao động, ký hiệu là f.
Tại thời điểm t nào đó, vị trí của khối
lượng M được xác định bởi độ võng y
(t)

tại mặt cắt đặt M. (y
(t)
biến thiên liên tục

theo thời gian).

Vận tốc và gia tốc của M tại thời điềm này là:
a
M
P
t
z
ℓ
a
My
(t)
P
t
z
ℓ
2
( )
2
t
d y
dt
( )t
dy
dt

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.2. Phương trình vi phân tổng quát
Gọi: -δ
a

là chuyển vị đơn vị tại mặt cắt đặt M (theo phương dao
động) do lực tác động theo phương dao động gây ra;
- δ
z
là chuyển vị đơn vị tại mặt cắt
đặt M (theo phương dao động) do lực
tác động theo phương của lực kích thích
gây ra;
-β là hệ số cản của môi trường
khi M chuyển động (Coi lực cản tỷ lệ với
vận tốc).

a
M
P
t
z
ℓ
a
My
(t)
P
t
z
ℓ

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.2. Phương trình vi phân tổng quát
Chuyển vị y
(t)

do các lực gây ra:
- Lực quán tính:
- Lực cản:

a
M
P
t
z
ℓ
a
My
(t)
P
t
z
ℓ
- Lực kích thích:
Như vậy ta có phương trình:
Hay:
2
( )
2
t
a
d y
m
dt
δ
−

( )t
a
dy
dt
β δ
−
t z
P
δ
( )t t z
y P
δ
=
( )t
a
dy
dt
β δ
−
2
( )
2
t
a
d y
m
dt
δ
−
2

( )
2
t
a
d y
m
dt
δ
( )t
a
dy
dt
β δ
+
( )t t z
y P
δ
+ =

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.2. Phương trình vi phân tổng quát

a
My
(t)
P
t
z
ℓ
Hay:

2
( )
2
t
a
d y
m
dt
δ
( )t
a
dy
dt
β δ
+
( )t t z
y P
δ
+ =
2
( )
2
t
d y
dt
( )t
dy
m dt
β
+

( )
1 1
t t z
a a
y P
m m
δ
δ δ
+ =
Hay:
2
m
β
α
=
2
1
a
m
ω
δ
=

Đặt:
Ta có phương trình
2
( )
2
t
d y

dt
( )
2
t
dy
dt
α
+
2 2
( )t z t
y P
ω ω δ
+ =
Gọi là phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang
hệ đàn hồi 1 bậc tự do.

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.3. Dao động tự do không lực cản

Khi hệ không có lực kích thích và lực cản thì, P
t
=0, β=0, phương
trình (1) có dạng:
Nghiệm của (2) là:

Với C
1
và C
2
là những hằng số được xác định từ các điều kiện

biên (ở thời điểm đầu tiên t=0, khối lượng M có y
0
và y’
0
).
Bằng cách biến đổi toán học, có thể viết gọn:
Với:
2
( )
2
t
d y
dt
2
( )
( )0 2
t
y
ω
+ =
( ) 1 2
os t+ sin t
t
y C c C
ω ω
=
( )
in( t+ ) (3)
t
y As

ω ψ
=
2 2
0
0
'
( )
y
A y
ω
= +
0
0
y'
arctg
y
ψ
ω
=


14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.3. Dao động tự do không lực cản

Công thức (3) biểu diễn một dao động với biên độ A, tần số ω và
góc pha ban đầu y; đồ thị của nó được biểu diến trên hình vẽ.
Biên độ A chính là chuyển vị lớn
nhất của dầm tại mặt cắt đặt khối
lượng dao động.

Tần số vòng của dao động tự do
không lực cản (gọi tắt là tần số dao
động riêng) được xác định từ biểu
thức:
Gọi P là trọng lượng của khối lượng M,
g là gia tốc rơi tự do ta có:
Từ đó ta tìm được:

t
y
(t)
Α
T
0
Biểu đồ dao động
2
1
a
m
ω
δ
=
P
m
g
=
(4)
a t
g g
P

ω
δ
= =
∆

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.4. Dao động tự do có lực cản

Khi không có lực kích thích, phương trình (1) trở thành:
Là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, nghiệm của nó
được giải trong hai trường hợp:

Trường hợp α < ω (ảnh hưởng của lực cản nhỏ), nghiệm của nó
là:
Với: là tần số dao động khi có lực cản.

2
( )
2
t
d y
dt
( )
2
t
dy
dt
α
+
2

( )
0
t
y
ω
+ =

2 2
1
ω ω α
= −
( ) 1 1 1
sin( (7)t+ )
t
t
y e A
α
ω ψ
−
=
,
2 2
0 0
1 0
1
( )
y y
A y
α
ω

+
= +
là biên độ dao động tự do khi có lực cản
,
0 0
1
1
arctg
y y
α
ψ
ω
+
=
là góc pha ban đầu

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.4. Dao động tự do có lực cản

Đồ thị của dao động tự do có lực cản được biểu diễn trên
hình vẽ.
Biên độ của dao động giảm dần
theo thời gian, vì vậy nó được gọi
là dao động tắt dần

Sau mỗi chu kỳ, biên độ giảm theo tỷ số:
λ: gọi là hệ số tắt dần


T

1
t
y
(t)
A
1
e
-αt
-A
1
e
-αt
Đồ thị dao động tắt dần
1
1
( )
onst
t
T
t T
e
e c
e
α
α
α
λ
−
− +
= = =

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.4. Dao động tự do có lực cản




Trường hợp α > ω (ảnh hưởng của lực cản lớn) thì nghiệm của
phương trình (6) không chứa yếu tố tuần hoàn; tức là khối lượng
M chỉ rời khỏi vị trí cân bằng, sau đó từ từ trở về vị trí cân bằng cũ
mà không có dao động.
Xét cả hai trường hợp: Khi không có lực kích thích mà hệ
thống có lực cản thì chỉ sau một thời gian ngắn, dao động bị tắt
(hệ thống đứng im); vì vậy, trong kỹ thuật người ta ít quan tâm
đến trường hợp này.

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.5. Dao động cưỡng bức

Trong trường hợp này, ta có phương trình đầy đủ:
Trong đó, lực kích thích P
t
có thể có dạng bất kỳ.

Ở đây ta chỉ xét trường hợp lực kích thích biến thiên tuần hoàn
theo thời gian (là một hàm sin):
P
t
= P
0

sinrt
Với: P
0
là biên độ của lực kích thích
r là tần số vòng của lực kích thích
Khi đó, phương trình sẽ là:


2
( )
2
t
d y
dt
( )
2
t
dy
dt
α
+
2 2
( )t z t
y P
ω ω δ
+ =
2
( )
2
t

d y
dt
( )
2
t
dy
dt
α
+
2 2
( ) 0
sinrt (8)
t z
y P
ω ω δ
+ =

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.5. Dao động cưỡng bức

Nghiệm tổng quát của (8) là: y
(t)
= y
1(t)
+ y
2(t)

Trong đó: y
1(t)
là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến

tính thuần nhất. Đây là một dao động tắt dần như đã nghiên cứu
trên. Sau một vài dao động nó sẽ tắt, vì thế không cần quan tâm.

y
2(t)
Là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất, được
biểu diễn như sau:
Với:


2( ) 2 2
sin ) 9)( (
t
y A rt
ψ
= +
2 2 2
2 1 2 0
2 2 2 2 2
1
( ) 4
z
A C C P
r r
ω δ
ω α
= + =
− +
2
2 2

2 r
arctg
r
α
ψ
ω
=
−
Thành phần nghiệm y
2(t)
biểu diễn một dao động với biên độ A
2
,
tần số của lực kích thích r, góc lệch pha ban đầu Ψ
2

Dao động này sẽ tồn tại đồng thời với lực kích thích.

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.5. Dao động cưỡng bức

Biên độ dao động A
2
chính là chuyển vị lớn nhất của dầm tại mặt
cắt đặt khối lượng M khi dao động. Ta có thể biến đổi:
Ở đây: y
t
= δ
z
P

0
là chuyển vị tĩnh do lực có cường độ bằng
biên độ của lực kích thích gây nên cho dầm tại mặt cắt đặt khối
lượng M.



2
2 0
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 2 4
1
( ) 4
4 4
(1 ) (1 )
t
z
z
y
P
A P
r r r r
r r
δ
ω δ
ω α
α α
ω ω ω ω

= = =
− +
− + − +

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.5. Dao động cưỡng bức

Như vậy, trong trường hợp này,
hệ số tải trọng động k
d
được tính:
Từ hệ số tải trọng động k
d
ta tính được chuyển vị và ứng suất do
dao động gây ra:

Ở đây, y
t
, σ
t
, τ
t
là chuyển vị, ứng suất tĩnh do lực bằng biên độ
của lự:c kích thích gây ra
Y
maxd
, σ
maxd
, τ
maxd

là chuyển vị, ứng suất lớn nhất do dao
động gây ra


Nếu trên dầm còn chịu tải trọng tĩnh khác, thì ứng suất và chuyển vị trong dầm
bằng tổng ứng suất và chuyển vị gây ra do dao động cộng với ứng suất và
chuyển vị gây ra do tải trọng tĩnh trên dầm.
2
2
2 2
1
2
2 4
(
1
1
0)
(
1
4
)
d
A
k
y
r r
α
ω ω
= =
− +

axdm d t
y k y=
maxd d t
k
σ σ
=
maxd d t
k
τ τ
=
,
,
Nếu hệ số cản nhỏ thì ta có thể bỏ qua,
khi đó:
2
2
)
1
1
(11
d
k
r
ω
=
−

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.5. Dao động cưỡng bức

Hiện tượng cộng hưởng
Từ công thức tính hệ số tải trọng động k
d
ta thấy:

Khi tần số dao động kích thích r và tần số dao động tự do ω bằng
nhau:


Khi đó, hệ số k
d
sẽ rất lớn, ứng suất và biến dạng trong hệ sẽ
tăng cao và rất nguy hiểm. Đặc biệt khi hệ số cản nhỏ (nếu α =0
thì k
d
= ∞) có nghĩa là hệ sẽ hỏng.
,
,
Người ta gọi là hiện tượng cộng hưởng.
1
2
d
k
α
ω
=
Trong thực tế người ta phải đảm bảo:
0,75 1,25
r
ω

< <

14.3. Dao động của hệ đàn hồi
14.3.6. Dao động xoắn

Xét một thanh có kết cấu như hình vẽ.
Trên thanh có gắn đĩa tròn với mô
men quán tính khối lượng J (đặt tại
mặt cắt a), chịu tác dụng của mô
men xoắn M
t
(đặt tại mặt cắt z) thay
đổi theo thời gian.

Trường hợp này hệ sẽ bị dao động quay xung quanh trục thanh,
gọi là dao động xoắn.


Nếu bỏ qua trọng lượng của trục và chỉ quan tâm đến vị trí của
đĩa (xác định bởi góc xoắn ϕt của trục tại mặt cắt đặt đĩa a), thì hệ
có một bậc tự do.
,
,
D
M
t
a
z
ℓ