De khao sat chat luong

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2020
MƠN: TỐN 10
(Thời gian làm bài 120 phút)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

Câu 1:

(2.0 điểm)

x2
5
1


x
x

6
x
2
x3

Cho biểu thức A 

với x  0
và

x4

1. Rút gọn biểu thức A. x  6  4

Câu 2:

Câu 3:

2. Tính giá trị của A
khi
(2,0 điểm)

2

1. Cho đường thẳng  d  : y  ax . Tìm a,b đế đường thẳng d  song song với đường thẳng
b
 d  : y  5x  6 và đi qua điểm A  2;3 .
3x  2 y  11
2. Giải hệ phương trình 
.
x2y

5
2
(2.0 điểm)
x  4x  3  0 .
1. Giải phương trình
2. Cho phương trình x2  2  m 1 x  2m  5  ( m là tham số). Chứng minh rằng phương
0
trình ln có hai nghiệm phân biệt

x1, với mọi m . Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ
x2
2
2
thức: x  2mx  x  2m  3x  2mx  x  2m  3 19
1

Câu 4:

1

2

2

2

2

(3,0 điểm)
Từ một điểm A nằm ngoài đường trịn tâm O bán kính R , kẻ các tiếp tuyến

AB, AC với

đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C . Gọi
I , K, P lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm M trên các đường thẳng AB, AC, BC .
1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp.

Câu 5:

2. Chứng minh MPK  MBC .
3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng
ab
bc
ca
 4
 4
1
4
4
4
a  b  ab b  c  bc c  a  ca
4

--- HẾT ---


Câu 1:

(2,0 điểm)

x2
5
1
x  3  x x  6  x  2

với x  0
và

Cho biểu thức A 

x4

1. Rút gọn biểu thức A. x  6  4
2. Tính giá trị của A
khi
2
Lời giải
1. Rút gọn biểu thức A.
Với x  0
x4
và
Ta có: A


x2 5

x  3  x x  6
x4



1

 x2 
x3
x2

5





5


 x  3 x  2

1
x2

x3

 x  3 x  2  x  3 x  2  x  3 x  2
x x 12
 x  4  5 x  3 
 x4
 x  3 x  2  x  3 x  2 x  2
Vậy Với
x0
và

x  4 thì A=
x4
x2

2. Tính giá trị của A
khi

Với

x6
4

2

x64
2

( Thỏa mãn ĐKXĐ)
2

2

x6422 
2.2.
Suy ra

x

 (2 2) 2

Thay
x =2
Vậy
với
Câu 2:

2

x6
4

(2,0 điểm)




 2 2   2 2 

2

2

2

x4
2 2  4
22
2
x

2
2
2

2
2  1
A



vào biểu thức A=
ta được

thì A  1 2 .
2
1. Cho đường thẳng
d  : y  ax  b


. Tìm a,b đế đường thẳng d 
song song với đường thẳng

 d  : y  5x  6

và đi qua điểm A  2;3 .

3x  2 y  11
2. Giải hệ phương trình 
.
x2y

5
Lời giải
1. Đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d   : y  5x  6 suy ra a  5 ;
Vì  d

 đi qua điểm A2;3

suy ra 3  5.2
b

 b  7 .

Kết luận a  5, b  7 .
2.
11

3x  2 y 

3x  2 y  11  x
x  3



.
 3


2x 
y1
911 2 y 
6





x2y

5

Câu 3:

(2.0 điểm)
2
1. Giải phương trình x  4x  3  0 .
2. Cho phương trình

x2  2  m 1 x  2m  5  ( m là tham số). Chứng minh rằng phương
0

trình ln có hai nghiệm phân biệt
thức: x2  2mx  x
1

1

2

 2m  3
x

 x

x1,
x2
2

2

với mọi m . Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ

 2mx 
2

2



 2m  3  19

Lời giải nên có hai nghiệm x 1
và
1. Phương trình bậc hai có dạng đặc biệt a  b  c
0

x3

2. Ta có    m 12  2m  5  m2  4m  6   m  2 2  2  0
Do đó phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x ,
1
x2
Dễ thấy



với mọi giá trị của tham số m



x2  2  m 1 x  2m  5  0  x 2  2mx  2m  3  2x  2  0

Vì x , x là hai nghiệm của phương trình đã cho nên ta có x2  2mx  2m  3  2  2x và
1

2

1

2

x  2mx  2m  3  2 
2x
2

2

2

Do đó x2  2mx  x
1

1

2

2

2

2

 2m  3

 x

2

 2mx  x

1

1




 2m  3  19

  2  2x  x
x
1

 2  2x

x

  19  2  x



2

xx
2

2

1

1

 6 x  x

2

1

2



 15 .

12

 x1  x2  2  m 1
 2m  5
Áp dụng định lý Viet ta có 

xx
 1 2
2

Ta có 8  m 12 12  m 1   2m  5   15  8m  26m
0

m  0

13
m 

4

Có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 4:

(3,0 điểm)
Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C . Gọi
I , K, P lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm M trên các đường thẳng AB, AC, BC .
1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh MPK  MBC .
3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải


1. Chứng minh rằng AIMK là tứ giác nội tiếp.
Tứ giá AIMK có các góc

AIM  AKM  90 nên là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh MPK  MBC .
IMPB là tứ giác nội tiếp suy ra MIP 
MBP

(cùng chắn cung MP )

Mà MCK  MBP (cùng chắn cung MC )
MKCP là tứ giác nội tiếp suy ra MCK  MPK (cùng chắn cung MK )
Suy ra MCK  MPK

(1)

Tương tự ta có MPI 
MKP
Suy ra IMP

và
PMK

(2)
đồng dạng, do đó ta có MPK  MIP

Do đó MBP  MPK .
3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Hai tam giác
IMP

IM

MP
đồng dạng, do đó ta có
và

PMK
MP MK
IM .MK 
 MI.MK.MP 
2
3
MP
Suy ra MP
Để MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất, nên M là điểm chính giữa
cung nhỏ BC.
Câu 5:

(1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng
ab
bc
ca
 4
 4
1
4
4
4
a  b  ab b  c  bc c  a  ca
4

Lời giải

minh:

a  b ab  a  b
4

4

2

2



bằng phép biến đổi tương đương. Dấu bằng xảy ra khi a = b.


ab
ab
1

 2
4
2
2
a  b  ab ab  a  b  1 a  b2  1
4

Áp dụng ta có:

bc
bc
1

 2 2
4
2
2
b  c  bc bc  b  c  1 b  c  1
4

Tương tự:

ca
ca
1

 2
4
2
2
c  a  ac ac  c  a  1 c  a 2  1
4

và

1
1
1

 2 2
 2
2
2
Khi đó: VT  a  b  1 b  c  1 c  a  1 (1)
1
1
1
 2 2
 2
1
2
2
2
Ta phải chứng minh: a  b  1 b  c  1 c  a  1
2

3

2 2 2

Ta có: ab + bc + ca 3 a b c 3
Áp dụng BĐT Bunhiacơpski ta có:
2

 a 2  b2 1  1 1  c 2   a  b  c  
Tương tự:

1
a2  2


b2  c 2  1  a  b  c  2

1
c2  2

a 2  b2 1  a  b  c  2

và

1
b2  2

c 2  a 2 1  a  b  c  2

2
2
2
a 2  b 2  c 2  6 a  b  c  2  ab  bc  ca 
1
1
1

1
2
2
 2 2
 2

2

2
2
a

b

c
a

b

c




a

b

1
b

c

1
c

a


1

Do đó:
3

2 2 2

(vì ab + bc + ca 3 a b c 3 )
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1