(Đề tài NCKH) phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI
TRỄ DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Mã SỐ: T201

SKC006557

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ

DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ
Mã số: T2018- ...

Chủ nhiệm đề tài: Th.S. Trương Vĩnh An

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ

DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ
Mã số: T2018- ...

Chủ nhiệm đề tài: Th.S. Trương Vĩnh An

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018


Mục lục
Danh mục bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT............................................. 12 Chương 1.
Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Giải tích khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.1. Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.1.3. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2. Giải tích phân thứ khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1. Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Phép tính đạo hàm Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.3. Phép tính đạo hàm Hadamard và Caputo-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3. Một vài kết quả quan trọng trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Chương 2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
2.1. Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


2.2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ với trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Danh mục bảng biểu
Trong báo cáo này ta dùng những hình vẽ với các ý nghĩa xác định dưới đây:
- Hình 1.1-1.5: Biểu diễn dáng điệu tích phân Hadamard, đạo hàm
Hadamard và đạo hàm Caputo-Hadamard của một số hàm khoảng.
- Hình 2.1-2.2: Biểu diễn nghiệm của lớp phương trình vi khoảng với trễ
dưới đạo hàm phân thứ.

2

Một số kí hiệu
Trong báo cáo này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng
dưới đây:
DH X
g

DH X
D

gH

RL
C

X

Da

Da

a

a

+

+

X

X

d
dt

w(A)
G(a)

H[A, B]
[A,

A

L([a, b], (.))
C([a, b], (.))
AC([a, b], (.))
1
C ([a, b], (.))
Cs := C([a s, b], (.))
N
,
(A, B)+
a
= a+ X, Xa
P, Q

3

Thông tin kết quả nghiên cứu
1.

Thông tin chung:
- Tên đề tài: Phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân
thứ

-

Mã số: T2018- ....

-

Chủ nhiệm: Trương Vĩnh An

-

Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện: 12 tháng (Từ tháng 12 năm 2017 đến tháng 12
năm 2018)
2. Mục tiêu: Do tính mới mẻ của lĩnh vực trên nên trong đề tài này chúng tôi
muốn xây dựng, phát triển và tổng qt hóa các khái niệm của giải tích phân thứ
dạng khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn lớp bài toán vi phân
khoảng với đạo hàm phân thứ với trễ. Một số ứng dụng thực tế cũng sẽ được
xây dựng. Cuối cùng, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài
toán trên cũng sẽ được nghiên cứu.
3. Tính mới và sáng tạo: Ứng dụng của "lý thuyết khơng chắc chắn" vào phương
trình vi phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả để xem

xét sự không chắc chắn trong những mơ hình của thế giới thực. Kết hợp hai lĩnh
vực: giải tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình vi phân khơng
chắc chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm phân thứ. Do
đó, đề tài này đề cập tới những lĩnh vực mới của toán học hiện đại, các kết quả của
đề tài sẽ được xuất bản trên những tạp chí có uy tín.
4.

Kết quả nghiên cứu:
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình vi
phân khoảng dưới đạo hàm Caputo phân thứ và Caputo-Hadamard phân thứ
chịu ảnh hưởng của trễ bởi sử dụng định lý ánh xạ co yếu trong một không
gian các hàm khoảng được sắp xếp thứ tự và xấp xỉ dãy trong không gian
các hàm khoảng. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu và
bậc đạo hàm phân thứ của phương trình cũng được nghiên cứu.
- Một kỹ thuật mới được đề xuất để giải nghiệm của phương trình vi phân
khoảng với trễ dưới đạo hàm Caputo phân thứ cũng được đề xuất. Một vài ví
dụ minh hoạ cho phương pháp và một ví dụ ứng dụng cũng được trình bày.

5. Sản phẩm: 01 bài ISI thuộc nhà xuất bản uy tín Springer và 01 bài ISI thuộc
nhà xuất bản uy tín IOS Press.
4


[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial
val-ued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in
Difference Equations, Volume 2017:181 (2017).
[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for
fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integrodifferential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp
dụng: Sản phẩm của đề tài được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các học

viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành toán ứng dụng.
Trưởng Đơn vị

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

(ký, họ và tên)

.

Trương Vĩnh An

5


INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1.

General information:
-

Project title: Interval-valued delay fractional differential equations

-

Code number: T2018- ...

-

Coordinator: Truong Vinh An

- Implementing institution: University of Technical Education, Ho Chi
Minh City, Vietnam.
- Duration: from

June, 2017 to

June, 2018.

2. Objective(s): Using some recent results of fixed point of weakly contractive mappings on the partially ordered space, the existence and uniqueness of solution for
interval fractional delay differential equations (IFDDEs) in the setting of the Ca-puto
and Caputo-Hadamard generalized Hukuhara fractional differentiability are studied.
The dependence of the solution on the order and the initial condition of IFDDE is
shown. A new technique is proposed to find the exact solutions of IFDDE by using
the solutions of interval integer order delay differential equation. Finally, some
examples are given to illustrate the applications of our results.
3. Creativeness and innovativeness: The results of this project are the new fields
of modern mathematical sciences. All of the results of the project shall be published
in the prestigious journals in the world. They will be contributed to opening up some
new fields in modern mathematics and its applications in various fields.
4. Research results: We study the existence and uniqueness properties of
solutions to interval-valued delay fractional differential equations by using the
results of fixed point of weakly contractive mappings on the partially ordered
space. We propose a new technique to find exact solutions of the above problem.
Besides, an example in real-world is given. In addition, the result of the
fundamental theory of fuzzy frac-tional calculus in the Caputo-Hadamard setting
is also introduced. The existence and uniqueness of solution of the initial value
problem for fuzzy functional frac-tional integro-differential equations involving
Caputo-Hadamard fractional deriva-tive are investigated.

5.
Products: 02 paper ISI (Springer)

[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial
val-ued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in
Difference Equations, Volume 2017:181 (2017).
[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for
6


fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integrodifferential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).

6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: These
re-sults shall be contributed to train for the undergraduate and graduate levels.

7


Mở đầu
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu: Bắt đầu phát triển từ những năm 1695 cho

đến nay, giải tích phân thứ đã được tổng quát hóa cho việc xây dựng đạo hàm, tích
phân và cuối cùng là phương trình vi phân với bậc khơng ngun. Phương trình vi
phân được được hình thành từ những tốn tử vi phân với bậc khơng ngun được
gọi là phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations (FDEs)).
Trong vài thập kỷ qua, nghiên cứu tính ứng dụng của giải tích phân thứ và phương
trình vi phân phân thứ ngày càng được chú ý đến bởi vì bắt nguồn từ những nghiên
cứu gần đây trong khoa học và kỹ thuật đã thể hiện rằng động lực của nhiều hệ
thống có thể được miêu tả một cách chính xác bởi sử dụng phương trình vi phân
với bậc không nguyên. Những ứng dụng thành công của phương trình vi phân phân

thứ trong những mơ hình như: đo lường những tính chất đàn nhớt của vật liệu [21],
điều khiển hệ động lực dưới đạo hàm phân thứ [7], xử lý tín hiệu [8]. Hiện tại lĩnh
vực này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm, chú ý khơng chỉ trong nghiên cứu
tốn học mà cịn trong những ngành khác. Một trong những cơng trình có sự ảnh
hưởng rất lớn đến chủ đề của giải tích phân thứ, phương trình vi phân phân thứ và
ứng dụng đã được trình bày trong tài liệu chuyên khảo của Podlubny [13] và nhóm
tác giả Kilbas [25]. Ứng dụng của "lý thuyết khơng chắc chắn" vào phương trình vi
phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả để xem xét sự
không chắc chắn trong những mô hình của thế giới thực. Kết hợp hai lĩnh vực: giải
tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình vi phân khơng chắc
chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm phân thứ (đạo hàm
không nguyên). Gần đây, phương trình vi phân với đạo hàm phân thứ xét dưới giả
thuyết không chắc chắn đã thu hút được nhiều nhóm tác giả trên thế giới trong cả
hai lĩnh vực lý thuyết lẫn ứng dụng. Trong thời gian gần đây, nhóm tác giả Agarwal
[1, 2] đã đề xuất khái niệm của nghiệm cho phương trình vi phân phân thứ với giả
thuyết không chắc chắn (theo nghĩa mờ). Các tác giả đã xét khái niệm khả vi
Riemann-Liouville dạng mờ dựa vào khả vi Hukuhara để nghiên cứu và giải nghiệm
của phương trình vi phân phân thứ dạng mờ. Tiếp theo sau đó, nhóm tác giả Arshad
và Lupulescu [6] đã nghiên cứu một vài kết quả cho tính chất
8


tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi phân phân thứ dạng mờ dưới
khái niệm khả vi phân thứ Riemann-Liouville bởi sử dụng đạo hàm Hukuhara. Bởi
sử dụng khả vi Hukuhara tổng quát nhóm tác giả Allahviranloo [3, 4] đã bước đầu
tổng quát hóa những khái niệm khả vi bởi việc nghiên cứu và xây dựng khả vi phân
thứ Riemann-Liouville và Caputo cho các hàm mờ. Sau đó, nhóm tác giả đã chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp bài tốn phương trình vi phân phân thứ
dạng mờ. Nhóm tác giả Mazandarani [20] đã nghiên cứu nghiệm số cho lớp
phương trình vi phân phân thứ dạng mờ dưới khả vi phân thứ Caputo mờ bởi sử

dụng phương pháp Euler. Dưới khái niệm khả vi phân thứ Caputo mờ, nhóm tác giả
Fard [9] đã mở rộng và thiết lập một vài kết quả về giải tích phân thứ mờ và cung
cấp một vài điều kiện cần để thu được phương trình Euler-Lagrange phân thứ dạng
mờ cho cả hai bài toán biến phân phân thứ mờ ràng buộc và không ràng buộc.
Malinowski [18] đã thiết lập một số khái niệm và kết quả về tích phân phân thứ dạng
mờ nhằm nghiên cứu phương trình tích phân phân thứ mờ ngẫu nhiên.

2. Tính cấp thiết: Phương trình vi phân với trễ đóng một vai trị quan trọng cho
sự phát triển của những mơ hình hệ thống trong sinh học, sinh thái học, kỹ thuật,
vật lý và những ngành khoa học khác, đặc biệt khi một hệ động lực được mơ
hình hóa bởi phương trình vi phân mà thơng thường chúng ta khơng thể chắc
rằng những mơ hình này là hồn chỉnh với những thơng tin đầu vào về hệ động
lực thường khơng đầy đủ, khơng chính xác hoặc mơ hồ. Để khắc phục điều này,
ta thường xét các bài tốn dưới khía cạnh của khoảng (hay cịn gọi là không
chắc chắn). Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các mơ hình của hệ động lực
dưới phương trình trình vi phân khoảng. Hiện nay, phương trình vi phân khoảng
đã và đang được nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học và được ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau. Nghiên cứu những dạng phương trình vi phân khoảng
tạo nên sự thiết lập thích hợp cho những mơ hình tốn của thế giới thực dưới
những thông tin không chắc chắn hoặc mơ hồ. Do đó, việc nghiên cứu bài tốn
vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ là thật sự cần thiết. Trong đề tài
này, chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm cho lớp bài tốn trên như tính tồn tại,
duy nhất, ổn định, .v.v. và tìm một số ứng dụng cho một số lớp bài toán. Bên
cạnh đó, Thuật tốn cho các lớp bài tốn này cũng được nghiên cứu.
3. Mục tiêu: Do lĩnh vực trên là mới, nên trong đề tài này chúng tôi muốn xây
dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng
khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn các lớp bài tốn phương
trình vi phân khoảng. Bên cạnh đó, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để
giải lớp bài toán trên cũng sẽ được nghiên cứu.
4.

Cách tiếp cận: Chúng tơi đã có một số kết quả khởi đầu trong lĩnh vực
này. Hiện
9


nay chúng tơi đang phân tích từ một số kết quả đạt được trên thế giới nhằm để
tập trung nghiên cứu thật sâu về lĩnh vực này.
5.
Phương pháp nghiên cứu:
- Sưu tầm và nghiên cứu sách tài liệu, các bài báo liên quan đã được
đăng.
-

Tổ chức seminar theo nhóm.

-

Xây dựng và giải quyết mơ hình lý thuyết trên.

-

Giải quyết các vấn đề đặt ra.

-

Thảo luận kết quả.

-

Tham gia hội nghị trong nước để được đánh giá về kết quả.

-

Xây dựng mơ hình ứng dụng.

-

Tính tốn, chạy số.

-

Gửi bài báo đến các tạp chí có uy tín.

6.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về tồn tại và duy nhất nghiệm của
một lớp phương trình vi phân giá trị khoảng dưới đạo hàm Caputo phân
thứ với chậm và tìm thuật giải cho lớp bài tốn này.
-

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn tại, duy nhất nghiệm và thuật giải.

7.
Nội dung nghiên cứu:
Trong đề tài này, chúng tơi xây dựng, phát triển và tổng qt hóa các khái niệm
của giải tích phân thứ dạng khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu
hơn các lớp bài toán phương trình vi phân khoảng. Bên cạnh, việc phát triển các
phương pháp để giải các lớp bài toán trên cũng sẽ được nghiên cứu. Cụ thể,
- Trong Mục 2.1, chúng tơi xét phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm

Caputo phân thứ với chậm có dạng:

( D
X( t)a

(

=
C

a

trong đó KC(R) là họ các tập compact khác rỗng trong R, a 2 (0, 1) là bậc của
C a
phương trình vi phân, j là giá trị đầu dạng khoảng của bài toán và Da + X là
đạo hàm phân thứ khoảng dạng Caputo của q trình X.
Trong đề tài này chúng tơi nghiên cứu lớp bài tốn (2.1), chúng tơi sẽ giải
quyết một số vấn đề sau:
10

+


Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) bởi sử dụng định lý
ánh xạ co yếu trong một không gian được sắp xếp thứ tự.
-

- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu đầu và bậc của phương
trình vi phân.
Một phương pháp mới để giải nghiệm (2.1) được đề xuất và một số ví

dụ minh hoạ được trình bày.
-

- Trong Mục 2.2, Ta xét phương trình vi-tích phân khoảng có trễ với khái niệm
đạo hàm phân thứ Caputo-Hadamard có dạng:
t

R G(t, s, X )ds, t [a, b],
s
2
a a],
trong đó 0 < a t b, F : [a, b] C s ! KC(R), G : [a, b] [a, b] C s ! KC(R) là những hàm
CH a
khoảng và
Da + X là đạo hàm phân thứ khoảng dạng Caputo-Hadamard của
q trình X.
Trong đề tài này chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp bài
tốn (2.23) bởi sử dụng cơng cụ xấp xỉ dãy và định lý so sánh trong không gian
các hàm khoảng.
Nội dung chính của đề tài được chia làm 2 chương cụ thể như sau,
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả
về giải tích khoảng, giải tích khoảng phân thứ và định lý ánh xạ co yếu trong một
không gian được sắp xếp thứ tự nhằm ứng dụng cho việc chứng minh trong hai
chương tiếp theo.
Chương 2: Phương trình tích phân khoảng phân thứ. Trong chương này chúng
tơi trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân khoảng
phân thứ với chậm bằng lý thuyết điểm bất động trong một không gian được sắp
xếp thứ tự. Thuật giải cho lớp phương trình này cũng được trình bày. Hơn nữa, sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi-tích phân khoảng có trễ với khái
niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Hadamard bởi sử dụng công cụ xấp xỉ dãy và định

lý so sánh trong không gian các hàm khoảng cũng được trình bày.

11


CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN

C

a

Da + X
+
D m, D m
DH X
g
DH X

DgH X
RL a
Da + X
d
dt

w(A)
G(a)

H[A, B]

[A,

A

L([a, b], KC(R))
C([a, b], KC(R))
AC([a, b], KC(R))
1
C ([a, b], KC(R))
C([a s, b], KC(R))
N
,
(A, B)+
a
= a+ X, Xa
P, Q

12


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết
phương trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Các nội dung
được sắp xếp như sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng
như: các phép tốn, đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu
định nghĩa tích trong của hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích
trong; Phần 1.3 chúng tôi nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi
phân thường. Các chứng minh của định lý, tính chất, . . . , trong luận án này
được tìm thấy trong các sách chuyên khảo như: Moore [22], Neumaier [23],

Lakshmikantham và các đồng tác giả [31, 32], Rudin [27] và một số bài báo như:
Markov [19], Lupulescu [16, 17], Stefanini và Bede [30], . . . .

1.1. Giải tích khoảng
1.1.1. Các phép tốn
Cho KC(R) là họ tất cả các khoảng khác rỗng, compắc trong R. Cho A, B 2 KC(R),

trong đó A = [A, A], A A, B = [B, B], B B và l 2 R. Phép cộng hai khoảng và phép
nhân số thực với một khoảng được định nghĩa như sau:
A+B=[A+B,A+B]
và

8

>

[lA, lA], nếu l > 0,

lA =

>
>

: [lA, lA], nếu l < 0.

Tính chất 1.1.1. (Markov [19]) Cho A, B, C 2 KC(R). Ta có
(i) (A + B) + C = A + (B + C),
13

(ii) A + 0 = 0 + A, 0 2 KC(R) là phần tử không của KC(R),
(iii) A+B=B+A,
(iv) l(mA) = (lm)A, với mọi l, m 2 R,
(v) 1A=A,
(vi) l(A + B) = lA + lB, với mọi l 2 R,
(vii) (l + m)A = lA + mA, với mọi l, m 2 R, và lm 0.
Định nghĩa 1.1.1. (Markov [19]) Cho A, B 2 KC(R). Khoảng cách Hausdorff H
giữa A và B được định nghĩa như sau:
H[A, B] = maxfjA Bj, jA Bjg.
Độ lớn của A:
H[A, 0] = kAk = maxfjAj, jAjg
và độ rộng của A:
w(A) = A

A.

Tính chất 1.1.2. (Markov [19]) Cho A, B, C, D 2 KC(R) và l 2 R. Ta có
(i) H[A + C, B + C] = H[A, B]

và H[A, B] = H[B, A],

(ii) H[A + B, C + D] H[A, C] + H[B, D],
(iii) H[lA, lB] = jljH[A, B].
Định lý 1.1.3. (KC(R), H) là không gian mêtric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B 2 KC(R). Nếu tồn tại một
khoảng C 2 KC(R) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và
B. Ta kí hiệu C = A
Tính chất 1.1.4. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B, C, D 2 KC(R). Ta có

(i) nế

(ii) nế

(iii) nế
A

(B + C);

(iv) nếu A
B, A
(A C)=C

C, C

B tồn tại thì (A

B.
14

B)

(A

C) tồn tại và (A

B)


Định nghĩa 1.1.3. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B 2 KC(R). Hiệu Hukuhara
A gH B =

Tính chất 1.1.5. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B 2 KC(R), trong đó A = [A, A]
và B = [B, B]. Ta có,
(i ) hiệu Hukuhara tổng quát luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa,

[A, A]

gH [B, B] = [C, C]

với

C = min A B,
gH A = 0;

(ii ) A
(iii) nếu A gH B tồn tại theo nghĩa (1.2)-(a) thì B
(b) và ngược lại;
(iv) (A + B)

gH (A

(v) 0

gH B = B gH A = C khi và chỉ khi

(vi) A

Tính chất 1.1.6. (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B 2 KC(R). Ta
có, H[A, B] = H[A gH B, 0].
Định nghĩa 1.1.4. (Markov [19]) Cho ánh xạ

X

: [a, b] ! KC(R)
t 7!X(t) = [X(t), X(t)].

Nếu X(t) và X(t) là hai hàm thực xác định trên [a, b] thỏa X(t) X(t), 8t 2 [a, b] thì
X(t) được gọi là hàm khoảng.
Chú ý 1.1.1. (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [a, b] ! KC(R) được hiểu
theo mêtric H.
(ii) tlimt0

!
(iii) tlimt0

!

khi X(t), X(t) liên tục tại t0 2 [a, b].
Tính chất 1.1.7. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [a, b] ! KC(R) và t0 2 [a, b]. Ta
có,
15


(i)

t

(ii)

t

lim

t0

!

lim

t0

!

Kí hiệu C([a, b], KC(R)) là khơng gian các hàm khoảng liên tục từ [a, b] vào K C(R).

Cho ánh xạ H0 : C([a, b], KC(R))

C([a, b], KC(R)) ! [0, ¥) được xác định bởi:

H0[X, Y] = sup H[X(t), Y(t)],

X, Y 2 C([a, b], KC(R)).

t2[a,b]

Ta có (C([a, b], KC(R)), H0) là không gian metric đầy đủ.
Chú ý 1.1.2. Nếu X : [a, b] ! KC(R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặc
giảm thì hàm khoảng Y(t) = X(t) gH X(a) ln có độ rộng tăng trên [a, b].
Cho g 2 [0, 1). Kí hiệu Cg([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm X : (a, b] !
KC(R) sao cho hàm (
g

C

C ([a, b], K

Hàm khoảng X :
# > 0, tồn tại số thực d > 0 sao
khoảng mở rời rạc trong [a, b] với
n

k=1

k=1

å
H[X(tk), X(sk)] < #. Ta kí hiệu AC([a, b], KC(R)) là khơng gian của những
hàm

khoảng liên tục tuyệt đối trên [a, b].
Hệ quả 1.1.1. ([33]) Hàm khoảng X : [a, b] ! KC(R) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ
nếu X và X liên tục tuyệt đối.

1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân
Định nghĩa 1.1.5. (Lakshmikantham và các đồng tác giả [31], trang 14) Cho
X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t, nếu tồn tại
DH X(t) 2 KC(R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara

lim
h!0

(Stefanini và Bede [30]) Cho X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b).

g

+

Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại DH X(t) 2
KC(R) sao cho

(R))


16


(i) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h)
tại và
lim
h!0

+

hoặc
(ii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t)
tại và
lim
h!0

+

hoặc
(iii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h)
tại và
lim
h!0

+

hoặc
(iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t)
tại và
lim
h!0

+

Định nghĩa 1.1.7. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : (a, b) ! KC(R) khả vi tổng quát
mạnh tại t 2 (a, b). Ta nói X khả vi tổng quát mạnh loại (i) tại t 2 (a, b) nếu


g

DH X(t) = dt

d

d

X(t), dt X(t)

và X khả vi tổng quát mạnh loại (ii) tại t 2 (a, b) nếu

d

g

DH X(t) = dt X(t), dt

d

X(t) , trong đó X(t) = [X(t), X(t)] với t 2 (a, b).
Định nghĩa 1.1.8. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b). Ta
nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DgH X(t) 2 KC(R) sao cho

h

17

Tương tự, đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại t là
1
DgH X(t) = lim h X(t + h)

h!0

gH X(t)

và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t là
D

+

gH X(t) .

gH

Chú ý 1.1.3. (i) Đạo hàm Hukuhara tổng quát của X tại t tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm
Hukuhara tổng quát trái và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t tồn tại và bằng nhau.


(ii) Hàm X có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [a, b] nếu X có đạo hàm Hukuhara tổng quát
tại mọi điểm t 2 (a, b), đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại b và đạo hàm Hukuhara tổng quát
phải tại a.
Định lý 1.1.8. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [a, b] ! KC(R). Nếu X(t) và X(t) có đạo hàm tại t
2 [a, b] thì hàm X(t) có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t 2 [a, b] và

D

gH

d

d

X(t) = min

dt

X(t),

d

dt

X(t) , max

d

dt

X(t),

dt

X(t) .

Định nghĩa 1.1.9. (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [a, b] ! K C(R). Ta nói hàm X có đạo hàm
loại 1 tại t, nếu

D

gH

X(t) =

d

dt

d

X(t),

dt

X(t)

và X có đạo hàm loại 2 tại t, nếu

D

gH

d

X(t) =

d

dt

X(t),

dt

X(t) .

Để thuận tiện, ta ký hiệu đạo hàm Hukuhara loại 1 là (i) khả vi, loại 2 là (ii) khả vi.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X : [a, b] ! K C(R), trong đó X(t) = [X(t), X(t)], t 2 [a, b]. Ta nói rằng
hàm X là w-tăng (hoặc w-giảm) trên [a, b] nếu hàm thực t 7!w(X(t)) không giảm (hoặc không
tăng) trên [a, b], viết ngắn gọn là X w-tăng (hoặc X w-giảm).

Nếu hàm X w-tăng hoặc w-giảm trên [a, b] thì ta nói hàm X w-đơn điệu trên [a, b]. Tính chất
1.1.9. (Stefanini và Bede [30], Lupulescu [17]) Cho X : [a, b] ! KC(R), trong đó X(t) = [X(t),
X(t)] với t 2 [a, b]. Nếu X w-đơn điệu và có đạo hàm

d

d

Hukuhara tổng quát trên [a, b] thì dt X(t) và dt X(t) tồn tại với mọi t 2 [a, b]. Hơn nữa, ta
có:
18