Chuong III 2 Tich phan

Buổi 2
Tích phân


Tích phân
1) Định nghĩa: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[a;b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm
b

f  x  dx .
Ta cịn dùng kí hiệu F  x  để chỉ hiệu số F(b) – F(a).
số f(x), kí hiệu là

a

b
a

b

Vậy:
b

f ( x)dx F  x 
a

b
a

F  b   F  a  .

Ta gọi  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu
a

thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

4

 1
1

  sin  sin 0   .
2 2020 12
 2
0
1
2020
2 x  1
2019

3
1
dx 
Ví dụ 2: 0  2 x  1

.
2.2020
4040

Ví dụ 1:


4
0

 cos2 xdx 

sin 2 x
2

0


Tích phân
2) Tính chất:

a

f  x dx  0

Tính chất 1:

ab

a

f  x dx  f  x dx

Tính chất 2:
b

a

 

b

b

 

Tính chất 3: f x dx  f t dt
a

Tính chất 4:
b

b

a

b

kf  x dx kf  x dx
a

  

a

 

b

b

 

 

Tính chất 5:  f x g x  dx  f x dx  g x dx
a

Tính chất 6:

b

c

a

b

a

f  x dx  f  x  dx  f  x  dx,  a  c  b
a

a

c

Tích phân
2) Tính chất:
Ví dụ: Nếu
A. -3

1

1

2

0

2

0

f  x dx  5và f  x dx 2 thì f  x dx bằng:
B. 8

C. 3

D. 2

Lời giải
Áp dụng tính chất 6 và tính chất 2, ta được:
2

1

2

1

1

f  x dx  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx
0

0

2

Vậy

1

1

0

2

1

f  x dx  f  x dx  f  x  dx  5  2  3  C
0

0

2


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Nội dung PP: Biểu diễn hàm số dưới dấu tích phân qua các hàm số
trong bảng ngun hàm cơ bản, từ đó tính được tích phân.
Ví dụ 1:2Tính các tích phân sau: ln2 2x1
64

1 x
1
c) I 3  
dx
a) I 1 x x  1 dx b) I 2  
dx
3
x
x
e
1
0
Lời giải 0 2
2
3
2



x
x
14
2
a) I 1   x  x dx     
3 2
3
0

0
ln2
ln2
1
x1
x
x1
x
b) I 2   e  e dx  e  e
e 
0
2
0
64
64
1
 33 x2 66 x7 
 1

1839

3
6
 
c) I 3   x  x  dx  



 2
7 
14
1


1





e














Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Ví dụ 2:
Tính các tích phân sau:
2

2
0


2


2

a) I 1 1  x dx b) I 2  sin 2 xdx

c) I 3  sin 3xcos 5x dx

Lời giải

0

1

2

2

1


x 
a) I 1  1  x dx   1  x dx   x 
 
2
0
1

0










2

2



x 
x 
 1
2

1

1  cos2 x
1
sin 2 x 

b ) I 2 
dx   x 
 
2
2
2 0 4

2
0


2


2

c) I 3 

2


2

sin 8 x  sin 2 x
1  cos8 x cos2 x 
dx   

 0
2
2
8
2  
2


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Tính chất 7: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a; a]. Khi đó:
a

f  x  dx  0.
 
 



f   x   f  x  , x    a;a thì f  x  dx  2 f  x  dx




 Nếu f  x  f x , x    a;a thì

a

 Nếu

a

a

a

1

Chẳng hạn:



2

x

1

2

0

2019

sin

x cos3x
xdx  0; 
dx  0
2
4
  1 x  x
2

2
2

x dx 2x dx 2xdx x

2

0

0

2
0

 4.


Tích phân

3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
2
2
2
2
dx
1
c)
I

dx
3

a) I 1 
dx b) I 2 0 2
1 x  1 3  5x




x

2
x

3
x
x


1
1
Lời giải


22



1
1 
a) I 1   
 dx  ln x  ln x  1
x x  1
1





2
1
2

 ln2

2

2

dx
1  1
1 
1
b ) I 2 
 

 dx  ln 3
0 x 1 x  3
2
    4 0  x  3 x 1 
2
10
5 2 1
1 
c) I 3 
dx   

dx

1 5x  5 3  5x
4 1  5x  5 3  5x 



2

2

1 2 dx 5 2 dx

1
1
 
 
 ln x  1  ln 3  5 x
4 1 x 1 4 1 3  5x 4
4
1

2

1

1 3
 ln
4 7


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:b

 

Nội dung PP: Giả sử cần tính I  f x dx , sử dụng phương pháp
a

đổi biến dạng 1, ta thực hiện theo các bước sau:

 



 Bước 1: Đặt t u x và biểu diễn f x dx  g t dt

 

 Bước 2: Đổi cận x a  t u  a  , x b  t u  b 
u b
 Bước 3: Tính tích phân I  g t dt
u a 
Chú ý. Biểu thức nào “cồng kềnh” nhất dưới dấu tích phân thường
được đặt làm biến mới.

 


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
3

a) I  

3

x dx

b)J  

x2  1

0

e

1

1  3ln x.ln x
dx
x

Lời giải

a) Đặt t  x2  1  t2  x2  1  xdx tdt
3
2
2

x dx

t 1
Ta có:
 xdx .
 tdt .
 t2  1 dt
t
x2  1
x2  1

Đổi cận: Khi x  0  t 1; khi x  3  t  2
2





x

3

t
Vậy: I   t  1 dt   
1
3



2



 

2


4
t 
1 3






Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
3

a) I  
0

3

x dx

e

b)J  

x2  1

1

1  3ln x.ln x
dx
x

Lời giải

dx 2tdt

b) Đặt t  1  3ln x  t 1  3ln x 
x
3
Ta có: 1  3ln x.ln x dx   dx  . 1  3ln x.ln x  2 t 4  t 2 dt
 
x
9
 x
Đổi cận: Khi x 1  t 1 ; khi x e  t  2
2
2
5
3
2 4 2
2 t
t 
116
Vậy: I   t  t dt   
 
91
9 5 3 
135
1
2










Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 2:Tính các tích phân sau:


2

sin6 x
b) J   6
dx
6
0 sin x  cos x

2

a) I  sin5 xdx
0

Lời giải

a) Đặt t  cosx  dt  sin xdx  sin xdx  dt



5

2

2

 





Ta có: sin xdx  1  cos x . sin xdx  1  t

2



2

dt


Đổi cận: Khi x  0  t 1; khi x   t  0
1
2

0
1
3
5
2

2t
t 
8
2
2
4
Vậy:I   1  t dt   1  2t  t dt   t 
  
3
5
15
1
0

0









Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 2:Tính các tích phân sau:
2

a) I  sin5 xdx
0

Chú ý: Đối với tích phân


2

sin6 x
b) J   6
dx
6
0 sin x  cos x

b

R  s inx, cos x  dx
a

 Nếu R   s inx, cos x   R  s inx, cos x  thì đặt t cos x
 Nếu R  s inx,  cos x   R  s inx, cos x  thì đặt t sin x
 Nếu R   s inx,  cos x  R  s inx, cos x  thì đặt t tan x


2

sin6 x
b) Tính J   6
dx 1
6
0 sin x  cos x

Đặt t   x  dt  dx  dx  dt
2


Đổi cận: Khi x  0  t  ; khi x   t  0
2 
2

6
sin
 t  .  dt
6
6

sin xdx
cos
t dt
2 





6
6
6
6




sin x  cos x
sin
t

cos
t


6
6
sin   t   cos   t 
2  
2 


0
2
cos6t
cos6x
 J   6

dt   6
dx 2
6
6
 sin t  cos t
0 sin x  cos x







 

2

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được:

2

sin6 x  cos6x


2

2J   6
dx  dx  x
6
0 sin x  cos x

0


2
0



  J 
2
4


Tích phân

Tính chất 8: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ 0; ] .


2
Khi đó:

2

2

0

0
2

f (sin x)dx  f (cosx)dx
sin3 xdx

Chẳng hạn: Tính I 

2

3

sin xdx


2

sin x  cosx
0

3

cos xdx


2

sin3 x  cos3x

2I  

sin x  cosx  sin x  cosx 
0


2

0

0

2

sin x  cosx

dx



1
2I   sin x  sin x cosx  cos x dx   1  sin2x dx
2

0
0

1
cos2x  2   1
 I  x 
.
 
2
4 0

4



2

2




Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp
đổi biến dạng
1:
2
4
Ví dụ 3: Cho
A. I = 2

2

f  x dx  3, f  x dx  5. Tính
0

B. I = 3

2

I  f (2x)dx

C. I = 4
Lời giải

0

D. I = 8

1
Đặt t  2x  dt  2dx  f (2x)dx  f t dt
2
Đổi cận: Khi x  0  t  0; khi x  2  t  4
2
4
1
 I  f (2x)dx  f (t)dt
20
0



Mặt khác, áp dụng tính chất 3 và tính chất 6, ta được:
4
2
4
 3 5
1
1
 I  f (x)dx   f (x)dx  f (x)dx  

4  C
20
2  0
2

2


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
2


12

f (2tan3x)
Ví dụ 4: Cho f x dx  4. Tính tích phân I  
dx
2

cos 3x
0
0
Lời giải
6dx
f (2tan3x)
1

dx  f t dt

Đặt t  2tan3x  dt 
2
2
6
cos 3x
cos 3x

 t 2
Đổi cận: Khi x  0  t  0; khi x 
12
2
2
1
1
4 2
 I  f t dt  f x dx   .
60
60
6 3

 





 

Chú ý: Để
2 tìm kết quả I ta có thể chỉ ra hàm f(x) đơn giản thỏa mãn

giả thiết f x dx  4, chẳng hạn f x  2  f (2tan3x) 2

 

 
0


12

2dx
2
 I   2  tan 3x
3
0 cos 3x

 


12
0

2
 2
 tan  .
3
4 3


Tích phân

3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng 2: b

 

Nội dung PP: Giả sử cần tính I  f x dx , sử dụng phương pháp
a

đổi biến dạng 2, ta thực hiện theo các bước sau:


 Bước 2: Biểu diễn f  x  dx  g  t  dt
 Bước 3: Tính tích phân I  g  t  dt


 Bước 1: Đặt x  t và đổi cận x a  t  ; x b  t 


b

Chú ý:

f  x,
a

b



2

m  x

2

 dx




 x m sin t hoặc x mcost

2
2
f
x
,
m

x
dx  x m tan t hoặc x m cot t

a


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng
2:
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I 


0

4  x2 dx

Lời giải

 

Đặt x  2sin t  
t  
x 0  2 2 2
Đổi cận:

t 0
Ta có: dx  2costdt


2
và



4  x2  4  4sin2 t  4 1  sin2 t


2
2

 4  x  4cos t  2 cost 2cost  0 t  
2

2
2
 I 4cos2 t dt 2 1  cos2t dt  2t  sin2t 2  .



0

0







0




Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng
2:
1

1
Ví dụ 2: Tính tích phân I 
dx
2
0 1 x
Lời giải

 

t  
Đặt x  tan t  
x 0 2
1 2
Đổi cận:


t 0
4
dt
1
1
2
2
2
Ta có: dx 
;
1

x


1

tan
t



cos
t
2
2
2
cos t
cos t
1 x



4
4
dt

2
4
 I cos t.
 dt t  .
2
0
4
cos t 0

0