Lời giải chương 2 tich phan boi

TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1) Tính tích phân kép
a)

trong đó

D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1}

I = ∫∫ (6x 2 y3 − 5y 4 )dxdy
D

Lời giải:
3

1

3

3

 3x 2

 x3

21
I = ∫∫ (6x y − 5y )dxdy = ∫ dx ∫ (6x y − 5y )dy = ∫ 
− 1÷
dx
=
−

x
=


÷
2

2
0 2
D
0
0
0
2 3

4

b)

2 3

4

trong đó
I = ∫∫
D

xy 2
x2 + 1

D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}

dxdy

Lời giải:
1

3

1
3
1
 y 
2
I = ∫∫ 2
dxdy = ∫ 2
∫ y dy = 2  2 ln(x + 1)  0  3  = 9ln 2
x
+
1
x
+
1
 0
D
0
−3

xy 2

xdx

3

2

c)

trong đó
I = ∫∫ y3 cos 2 x dxdy
D

;
 π 
D =  − , π  × [ 1,2]
 2 

Lời giải:
π

2

 y 4   2x − sin 2x  π
45π
3
2
3
2
I = ∫∫ y cos x dxdy = ∫ y dy ∫ cos x dx =   
=

 π 16
4
−
4 
π
D
1
2
2

−

2

1


d)

trong đó

;

D = [ 0,2] × [ −2,2]

I = ∫∫ (x 2 + 3xy − y x )dxdy
D

Lời giải:
do hàm lẻ với biến y và miền lấy tích

2

I = ∫∫ (x + 3xy − y x )dxdy = 4 ∫ x 2 dx =
2

D

0

32
3

phân đối xứng qua Ox.
e)

trong đó

I = ∫∫ e

.

D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}

x−y

dxdy

∫∫

e x − y dxdy +

D

Lời giải:
I = ∫∫ e

x−y

dxdy =

0 ≤ x ≤1
0≤ y ≤ x

D

1

x

0

0

= ∫ dx ∫ e

x−y

1

1

0

x

dy + ∫ dx ∫ e

e y − x dxdy

∫∫

0 ≤ x ≤1
x ≤ y ≤1

y−x

1

(

)

1

(

)

dy = ∫ e − 1 dx + ∫ e1− x − 1 dx = 2e − 4
0

x

0

2) Tính tích phân kép
a)

trong đó

;

D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, − x ≤ y ≤ x}

I = ∫∫ x 3 y2 dxdy
D

Lời giải:
2

x

2

2
256
I = ∫∫ x y dxdy = 2 ∫ x dx ∫ y dy = ∫ x 6 dx =
30
21
D

0
0
3 2

3

2


b)

trong đó
I = ∫∫
D

y
2

x +1

;

{

D = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x

dxdy

}

Lời giải:
I = ∫∫
D

y
x2 + 1

1

dx

0x

2

dxdy = ∫

x

+1

∫
0

1

1
1 2xdx 1
1
ydy = ∫ 2

= ln(x 2 + 1) = ln 2
0
4 0 x +1 4
4

c)

trong đó
I = ∫∫ x sin(x + y)dxdy

;

D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ π / 2,0 ≤ y ≤ x}

D

Lời giải:

π
2

x

0

0

I = ∫∫ x sin(x + y)dxdy = ∫ xdx ∫ sin(x + y)dy
D

π
2

π

x sin 2x cos 2x  2 π − 1

= ∫ x(cos x − cos 2x)dx =  x sin x + cos x −
−
 = 2
2
4

0
0
d)

trong đó

(

)

I = ∫∫ (x 2 − y 2 )tgx + y 2 sin y + 2 dxdy
D

;

{

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ 2
Lời giải:


do hàm lẻ với biến x,y và

(

)

I = ∫∫ (x 2 − y 2 )tgx + y 2 sin y + 2 dxdy = 2 ∫∫ dxdy = 4π
D

D

miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy.

3) Tính tích phân kép
a)

;

I=

∫∫

(2x − 3y)dxdy

x + y ≤9
2

2

Lời giải:
do hàm lẻ với biến x,y và miền lấy tích phân đối

I=

∫∫

(2x − 3y)dxdy = 0

x + y ≤9
2

2

xứng qua hai trục Ox,Oy.
b)

.

I=

∫∫

x + y ≤4
2

2

(

x 2 + y2

)

3/ 2

dxdy

Lời giải:

I=

∫∫ ( x
x + y ≤4
2

2

2

+y

)

2 3/ 2

π
2

2

0

0

dxdy = 4 ∫ dϕ∫ r 4 dr =

64π
5


với

và

,

0 ≤ r ≤ 2 J = r


π
0 ≤ ϕ ≤ 2

 x = r cos ϕ


 y = r sin ϕ

do hàm chẵn với biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy.
4) Đổi thứ tự lấy tích phân rồi tính các tích phân
a)

;
1

3

0

3y

I = ∫ dy ∫ e x dx
2

Lời giải:

1

3

0

3y

3

x /3

0

0

I = ∫ dy ∫ e dx = ∫ dx
x2

∫

3

2

xe x
1 2
e dy = ∫
dx = e x
3
6
0
x2

b)

3
0

e9 − 1

=
6

;
3

9

0

y2

I = ∫ dy ∫ ycos x 2 dx

Lời giải:
3

9

0

y2

9

I = ∫ dy ∫ ycos x dx = ∫ dx
2

0

x

∫
0

c)

;
1

1

0

x

I = ∫ dx ∫ cos y 2 dy
Lời giải:

9

9
1
1
sin81
ycos x dy = ∫ x cos x 2 dx = sin x 2 =
0
20
4
4

2


1

1

y

1

1

1
1
sin1
I = ∫ dx ∫ cos y dy = ∫ dy ∫ cos y dx = ∫ ycos y 2 dy = sin y 2 =
0
2
2
0
x
0
0
0
2

2

d)

;
1

1

I = ∫ dy ∫
0

y

ye x

2

x3

dx

Lời giải:
1

I = ∫ dy
0

1

∫

y

ye x
x3

x2

1

2

dx = ∫ dx ∫
0

ye x
x3

0

e)

2

1

2
1
1 2
dy = ∫ xe x dx = e x
20
4

1
0

=

e −1
4

.
1

1

0

x

I = ∫ dx ∫ xydy
Lời giải:
1

1

y

1

1

1
1
I = ∫ dx ∫ xydy = ∫ ydy ∫ xdx = ∫ y3dy =
20
8
0
x
0
0
5) Dùng phép đổi biến thích hợp tính các tích phân:
a)

trong đó D là hình vuông với các đỉnh
I = ∫∫ (x 2 − y2 )dxdy
D

;

(0, 2),(1,1),(2,2),(1,3)
Lời giải:
các đỉnh của hình vuông nằm trên đường thẳng có phương trình


;

;

;

.

y = x y = x + 2 y = −x + 2 y = −x + 4
Đặt

với

x − y = u

x + y = v

và

0 ≤ u ≤ 2

2 ≤ v ≤ 4

0

u+v

x
=

1
2
⇒J=

2
 y = −u + v


2

4

4
1
1 0
I = ∫∫ (x − y )dxdy = ∫ udu ∫ vdv = u 2 v 2 = −6
2 −2
8 −2 2
D
2
2

2

b)

trong đó D là hình vuông với các đỉnh
I = ∫∫ xydxdy
D

;

(0,0),(1,1),(2,0),(1, −1)
Lời giải:
các đỉnh của hình vuông có phương trình
;

;

;

.

y = x y = x + 2 y = −x + 2 y = −x + 2
do hàm lẻ với biến y và miền lấy tích phân đối xứng qua trục
I = ∫∫ xydxdy = 0
D

Ox


c)

trong đó
I = ∫∫ xydxdy
D

;

D = { (x, y) : y = x, y = 3x, xy = 1, xy = 3, x > 0, y > 0}
Lời giải:
Đặt

với

 y = uv
y
 =u


⇒
x
v
 xy = v  x =
u


3

⇒

1
J = 2 uv
u
2 uv

−

1 v
1
2u u
=
2u
v
2 uv

1 ≤ u ≤ 3

1 ≤ v ≤ 3

3

du
I = ∫∫ xydxdy = ∫ ∫ vdv = 2ln 3
2u 1
D
1
d)
I = ∫∫
D

x − 2y
dxdy
3x − y

trong đó

;

D = { (x, y) : x − 2y = 0, x − 2y = 4,3x − y = 1,3x − y = 8}
Lời giải:
Đặt

và
2v − u

x
=
 x − 2y = u 

5
⇒

3x − y = v  y = v − 3u

5

với
J=

1
5

0 ≤ u ≤ 4

1 ≤ v ≤ 8


4

8

x − 2y
1
dv 24ln 2
I = ∫∫
dxdy = ∫ udu ∫ =
3x − y
50
v

5
D
1
e)

trong đó D là miền giới hạn bởi

;

x + y ≤1

I = ∫∫ e x + y dxdy
D

Lời giải:
miền giới hạn bởi

là hình vuông với các đỉnh

A(1,0);B(0,1);

x + y ≤1
nằm tương ứng trên các đường thẳng

C(−1,0);D(0, −1)

;

x + y = 1 x + y = −1

;

y − x = 1 y − x = −1
Đặt

và

 y − x = u  −1 ≤ u ≤ 1
⇒

x
+
y
=
v

−1 ≤ v ≤ 1

I = ∫∫ e
D

x+y

1

;

1
v−u


J
=
x
=

2
2

y = u + v

2

1

1
dxdy = ∫ du ∫ e v dv = e − e−1
2 −1 −1

f)
I = ∫∫ (x + y)3 (x − y) 2 dxdy
D

với

;

D = { (x, y) : y + x = 1, x + y = 3, x − y = −1, x − y = 1}

;

Lời giải:
Đặt

và

 x − y = u −1 ≤ u ≤ 1
⇒

x
+
y
=
v

1 ≤ v ≤ 3

;

1
v−u

J
=
y
=

2
2


x = u + v

2

3

1

1
20
I = ∫∫ (x + y) (x − y) dxdy = ∫ v3du ∫ u 2 dv =
21
3
D
−1
3

2

6) Chứng minh rằng
a)

;
1

1− x

0

0

I = ∫ dx

∫

e y / (x + y) dy =

e −1
2

Lời giải:

1

1− x

I = ∫ dx

∫

0

e

y / (x + y)

0

1

1− y

0

0

dy = ∫ dy

∫

e y / (x + y) dx

Đặt
1− y

f (y) =

∫

e y / (x + y) dx

0

⇒

f ′(y) =

1− y

∫

0

x
(x + y)

2

e y / (x + y) dx − e y


=−

1
y

1− y

∫
0


y
 y 
1

y
x
+
y
x

+
÷ − e = − xe y
xd  e

÷
y





x =1− y

1− y

−
x =0

∫

e

0

y
x+y



dx  − e y




y
y
1− y
1− y


1
1
1
1 y
1
y
= − (1 − y)e y − ∫ e x + y dx  − e y = − e + ∫ e x + y dx = f (y) − e
y
y 0
y
y

y
0



⇒

1− y

∫

y

f (y) = yf ′(y) + e =

0

1− y

1

⇒ I = ∫ dy
0

1

1− x

0

0

= ∫ dx

∫

∫
0

yx
(x + y)

2

e

yx
(x + y)

y / (x + y)

2

e y / (x + y)dx − ye y + e y
1

dx + ∫ (1 − y)e y dy
0

 y 
1
yd  e x + y ÷ + (2 − y)e y
0

÷



1− x



y 
y
1− x


= ∫  ye x + y ÷
− ∫ e x + y dy  dx + e − 2

÷
0 
0

0


1

1

1

1− x

= ∫ (1 − x)e1− x dx − ∫ dx
0

0

(

⇒ 2I = e xe − x

∫

e

y
x+y

dy + e − 2

0

1

1− x

) 0 + e − 2 ⇒ ∫ dx ∫ e
1

0

0

y
x+y

dy =

e −1
2


b)

trong đó D là miền giới hạn bởi
I = ∫∫ cos
D

x−y
sin1
dxdy =
x+y
2
.

x + y = 1, x = 0, y = 0
Lời giải:
I = ∫∫ cos
D

1
1− x
1 1− y
x−y
dxdy = dy cos x − y dx = dx cos x − y dy
∫ ∫ x+y
x+y

∫ ∫ x+y
0

0

0

0

Đặt
1− y

∫

f (y) =

cos

0

f ′(y) =

1− y

∫
0

1
=−
y

2x
(x + y)

1− y

∫
0

x−y
dx
x+y

sin
2

x−y
dx − cos(2y − 1)
x+y


x −y
xd  cos
− cos(2y − 1)
x + y÷


1− y

1 

x − y
= −  x cos
y 
x + y÷
0


1− y

−

∫
0

1
1
= − (1 − y)cos(2y − 1) +
y
y
1
1
= − cos(2y − 1) +
y
y

1− y

1− y

∫

0

x−y 
cos
dx  − cos(2y − 1)
x+y 


cos

∫
0

cos

x−y
dx − cos(2y − 1)
x+y

x−y
dx
x+y


f (y) = yf ′(y) + cos(2y − 1)
1− y

=

∫

0

2xy
(x + y)

sin
2

x−y
dx − ycos(2y − 1) + cos(2y − 1)
x+y

1

1

1− y

I = ∫ (1 − y)cos(2y − 1)dy − ∫ dy
0

0

∫
0

2xy
(x + y)

sin

2

1

x−y
dx
x+y

1− y

1
1
= [ 2(1 − y)sin(2y − 1) − cos(2y − 1) ] 0 + ∫ dy
4
0

∫
0


x − y
xd  cos
x + y÷



1− y 1 − x
1
sin1
x−y

x−y 
=
+ ∫  x cos
− ∫ cos
dy  dx
2
x
+
y
x
+
y

0
0
0

1

1

sin1
=
+ ∫ (1 − y)cos(2y − 1)dy − ∫ dx
2
0
0

1− x

∫

cos

0

x−y
sin1
dy ⇒ I =
x+y
2

7) Tính các tích phân đã cho bằng cách đổi sang toạ độ cực:
a)

trong đó

;

{

I = ∫∫ xydxdy

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ 9

D

Lời giải:

do hàm lẻ với từng biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy

I = ∫∫ xydxdy = 0
D

hoặc đặt

với

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

và

0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ r ≤ 3

J=r


3

2π

I = ∫∫ xydxdy = ∫ r dr ∫ cos ϕ sin ϕdϕ = 0
D

3

0

0

b)

trong đó

;

{

I = ∫∫ (x + y)dxdy

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4, x < 0

D

Lời giải:
đặt

với

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

và

J=r

1 ≤ r ≤ 2

π
 2 ≤ ϕ ≤ π

2

π

I = ∫∫ (x + y)dxdy = 2 ∫ r dr ∫ cos ϕdϕ =
D

2

1

c)

π
2

14
14
π
sin ϕ π = −
3

3
2

trong đó

I = ∫∫ e − x

2

− y2

;

{

D

Lời giải:
đặt

với

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

và

0 ≤ r ≤ 2


 π
π
−
≤
ϕ
≤
 2
2

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0

dxdy

J=r


I = ∫∫ e

− x 2 − y2

dxdy =

D

π
2

π −r

−r
d
ϕ
re
dr
=
−
e
∫ ∫
2
π
0

−

d)

2

2

2

2
0

=

π(1 − e −4 )
2

2

trong đó
I = ∫∫
D

dxdy
x 2 + y2
;

{

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
Lời giải:
đặt

với

và

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

I = ∫∫
D

π
2

dxdy
2

x +y

2

2

= ∫ dϕ ∫

e)

0

1

dr
π ln 2
dr =
r
4

trong đó
y
I = ∫∫ dxdy
x

D

Lời giải:

J=r

1 ≤ r ≤ 2


π
0 ≤ ϕ ≤

2

;

{

}

D = (x, y) : (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≥ 1, y ≥ 0


đặt

với

và

 x = r cos ϕ


 y = r sin ϕ

J=r

0 ≤ r ≤ 2cos ϕ


π
0 ≤ ϕ ≤ 3

π
3

y
I = ∫∫ dxdy = ∫ tgϕdϕ
x
D
0

2 cos ϕ

∫

rdr =

1

π
3

(

)

1
4cos 2 ϕ − 1 tgϕdϕ
∫
20

π
3

π

1 1 d(cos ϕ) 1
3 − 2ln 2
= + ∫
= ( ln cos ϕ − cos 2ϕ ) 03 =
2 2 0 cos ϕ
2
4
f)

trong đó

{

ydxdy

I = ∫∫

2

4+x + y

D

;

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
2

Lời giải:
đặt

với

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

I = ∫∫
D

ydxdy
4 + x 2 + y2

và

J=r

0 ≤ r ≤ 2


π
0 ≤ ϕ ≤ 2

π
2

2

r 2 dr

0

0

4 + r2

= ∫ sin ϕdϕ∫

2

=∫
0

r 2dr

r
=
4 + r2
2
2
4+r

2
0

2

− 2∫
0

dr
4 + r2


(

)

2

r

=  4 + r 2 − 2ln r + 4 + r 2  = 2 2 − 2ln(1 + 2)

2
0

8) Tính diện tích miền giới hạn bởi các đường
a)

và

r = cos θ

;

r = sin θ

Lời giải:
và

r = cos θ ⇔ x 2 + y 2 − x = 0
Ta cần tính

r = sin θ ⇔ x 2 + y 2 − y = 0

trong đó

{

S = ∫∫ dxdy

}

D = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ x, x 2 + y 2 ≤ y

D

Do tính đối xứng của miền D qua đường

nên

y=x
không làm mất tính tổng quát ta xét với đường tròn

x 2 + y2 =

1
4



 π 1 π − 2

S = 2 ∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy ÷ = 2  − ÷ =
8
D
÷  16 8 
D


1

với D là ¼ hình tròn bán kính ½ ,còn

là tam giác vuông cân cạnh ½.
D1

b)

và

x 2 + y 2 = 2x
Lời giải:

x 2 + y 2 = 2 3y


Hai đường tròn

và

cắt nhau tại hai điểm thuộc

x 2 + y 2 = 2x
đường thẳng

x 2 + y 2 = 2 3y

và đường thẳng tạo với chiều dương Ox góc
π
6

x=y 3

diện tích hình viên phân của hình

bị cắt bởi đường

x 2 + y2 ≤ 2x
(góc ở tâm là

x=y 3

),không làm mất tính tổng quát ta xét với đường tròn
2π
3

x 2 + y2 = 1
trong đó

S1 = ∫∫ dxdy − A1 =
D1

và

2π
3

1

0

0

π

là quạt tròn góc ở tâm
2π
3

D1

∫ dϕ∫ rdr = 3 −

3
4

là diện tích tam giác cân cạnh 1 và góc ở đáy
π
6

A1

diện tích hình viên phân của hình

bị cắt bởi đường

x 2 + y 2 ≤ 2y 3
(góc ở tâm là

),không làm mất tính tổng quát ta xét với đường tròn
π
3

x 2 + y2 = 3
π
3

3

S2 = ∫∫ dxdy − A 2 = ∫ dϕ ∫ rdr =
D2

x=y 3

0

0

π 3 3 2π − 3 3
−
=
2
4
4


trong đó

là quạt tròn góc ở tâm
π
3

D1
⇒

và

S = S1 + S2 =

là diện tích tam giác đều cạnh
A2

3

5π − 6 3
6

c)
2

 x 2 y2 
= xy x ≥ 0, y ≥ 0
 2 + 2 ÷
÷
a
b



Lời giải:
Đặt

với

 x = ar cos ϕ

 y = brsin ϕ

và

π
2

S = ∫∫ dxdy = ab ∫ dϕ
D

J = rab

0 ≤ r ≤ abcos ϕ sin ϕ


π
0 ≤ ϕ ≤

2

0

ab cos ϕ sin ϕ

∫
0

rdr =

π
2 2 2

a b
2

∫ cos ϕ sin ϕdϕ
0

π

a 2 b2
a 2 b2
2 2
=−
cos ϕ =
0
4
4
d)

y 2 = ax, y 2 = bx, xy = 1, xy = 2 (0 < a < b)
Lời giải:


Đặt

và
 y2
1 ≤ v ≤ 2
 =u

⇒ a ≤ u ≤ b
x
 xy = v


b

1
2

v
J
=
x = 3
3u
u ⇒


3
 y = uv

2

1 du
1 b

S = ∫∫ dxdy = ∫ ∫ dv = ln
3a u 1
3 a
D
e)

Miền trong của đường hình tim

và miền ngoài

r = a(1 + cos θ)
đường tròn

;

r = a cos θ
Lời giải:
do tính đối xứng của miền tính diện tích,nên
Diện tích hình tim

a2
S1 =
2

2π

3πa 2
∫ ( 1 + cos θ ) dθ = 2
0
2

2

a
a2

r = a cos θ ⇔  x − ÷ + y 2 =
2
4


Diện tích hình tròn bán kính
⇒

là

a
2

Diện tích cần tính

5πa 2
S = S1 − S2 =
4

πa 2
S2 =
4

9) Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi:
a)

Dưới mặt

và phía trên hình

z = xy

;

[ 0,6] × [ 0,4]

Lời giải:
V = ∫∫ z(x, y)dxdy
D

b)

6

4

0

0

= ∫∫ xydxdy = ∫ xdx ∫ ydy = 144
D

Dưới mặt pararaboloid elliptic

và phía trên hình
x 2 y2
+
+ z =1
4
9

;

[ −1,1] × [ −2,2]
Lời giải:
1
2


x 2 y2 
x 2 y2 
V = ∫∫ 1 −
−
dxdy = 4∫ dx ∫  1 −
−
dy
÷
÷

÷

÷

4
9
4
9


D
0
0

1


x2 8 
1 8  166

= 4∫  2 −
− ÷dx = 4  2 − − ÷ =

2 27 ÷
6 27  27


0
do hàm chẵn với từng biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy
c)

mặt cong

và các mặt phẳng

z = 1 + e x sin y
Lời giải:
V = ∫∫ z(x, y)dxdy D = { −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ π}
D

;

x = ±1, y = 0, y = π


V = ∫∫ (1 + e sin y)dxdy =
x

D

d)

π

1

∫ dx ∫ (1 + e

−1

Mặt trụ

x

1

sin y)dy =

∫ (π + 2e

x

)dx = 2 π + 2(e − e −1 )

−1

0

và các mphẳng

ở góc phần tám thứ nhất;

x = 2, y = 4

z = 9 − x2
Lời giải:
với

D = { 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4}

V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (9 − x 2 )dxdy
D

D

2

4

0

0

2

V = ∫∫ (9 − x )dxdy = ∫ dx ∫ (9 − x )dy = ∫ (36 − 4x 2 )dx = 72 −
2

D

e)

2

0

Dưới mặt pararaboloid

32 184
=
3
3

và phía trên hình tròn

z = x 2 + y2

;

x 2 + y2 = 9

Lời giải:
với
V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy
D

D

{

}

D = x 2 + y2 ≤ 9

do hàm chẵn với từng biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy
với
π
2

3

0

0

V = ∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy = 4 ∫ dϕ∫ r 3dr =
D

J=r

81π
2

;

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

và

0 ≤ r ≤ 3


π
0 ≤ ϕ ≤ 2


f)

Trên mặt nón

và phía dưới mặt cầu

;

x 2 + y2 + z2 = 1

z = x 2 + y2
Lời giải:

V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ 1 − (x 2 + y 2 )dxdy − ∫∫ (x 2 + y 2 ))dxdy
D

D

D

với
1

D =  x 2 + y2 ≤ 
2

do hàm chẵn với từng biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy
Đặt

với

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

và


2
0 ≤ r ≤
2

0 ≤ ϕ ≤ π

2

J=r

V = ∫∫ 1 − (x 2 + y 2 )dxdy − ∫∫ (x 2 + y 2 ))dxdy
D

D

π
2

2/2

0

0

= 4 ∫ dϕ

=−

2π
3

(

∫

π
2

2 /2

0

0

r 1 − r dr − 4 ∫ dϕ
2

2/2

3
2 2
1− r

)

−
0

∫

r 2 dr

π 2 2π π 2 π 2 (2 − 2)π
=
−
−
=
6
3
6
6
3

g)

.

0 ≤ z ≤ 2 − x − y, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ 2x + y, x + y ≤ 1


Lời giải:
với

D = { 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ 2x + y, x + y ≤ 1}

V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (2 − x − y)dxdy
D

D

1

V = ∫∫ (2 − x − y)dxdy = ∫ dy
D

0

1− y

∫

(2 − x − y)dx

1− y
2

1


3(1 − y) 2 y(1 − y) 
= ∫ 1 − y −
−
 dy
8
2

0

1

(

)

1
1 1
 7
= ∫ y 2 − 6y + 5 dy =  − 2 + 5 ÷ =
80
8 3
 24
10) Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi:
a)

Dưới mặt phẳng

và phía trên miền giới hạn bởi

x + 2y − z = 0
;

y = x, y = x 4
Lời giải:
với
V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (x + 2y)dxdy
D

{

D

1

x

1

0

x4

0

V = ∫∫ (x + 2y)dxdy = ∫ dx ∫ (x + 2y)dy = ∫ (2x 2 − x 5 − x 8 )dx =
D

}

D = 0 ≤ x ≤ 1, x 4 ≤ y ≤ x

2 1 1 7
− − =
3 6 9 18


b)

Dưới mặt phẳng

và phía trên tam giác với đỉnh

z = xy

;

(1,1),(4,1),(1,2)

Lời giải:
với

D = { 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 7 − 3y}

V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy
D

D

2

7 − 3y

1

1

V = ∫∫ xydxdy = ∫ ydy
D

∫

2

1
xdx = ∫ y(9y 2 − 42y + 48)dy
21

2


1  9y 4
31
= 
− 14y3 + 24y 2  =
2 4
8

1

c)

các mặt trụ

;

và các mặt phẳng

;

z = 0, y = 4

y = x2 z = x2
Lời giải:
với

{

V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ x 2dxdy
D

D

2

4

}

D = −2 ≤ x ≤ 2, x 2 ≤ y ≤ 4
2

 4x 3 x 5  128
V = ∫∫ x dxdy = ∫ dx ∫ x dy = 2∫ (4x − x )dx = 2 
− ÷=
 3
5 ÷

 5
D

−2
0
x
2

2

2

4

2

d)

mặt trụ

và các mặt phẳng

x 2 + y2 = 1
tám thứ nhất;
Lời giải:

ở góc phần

x = 0, y = z, z = 0