Tài liệu Chuyên đề tự chọn - Toán học " So sánh hai lũy thừa " pdf

CHUYÊN ĐỀ 1
SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
A. Mục tiêu.
- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài
tập mà các em thường gặp là so sánh hai luỹ thừa.
- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa.
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
B. Nội dung chuyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ
lớn hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn
sẽ lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu,
tính chất đơn điệu của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm
cách đưa 32
10
và 16
15
về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32

10
= (2
5
)
10
= 2
50
16
15
= (2
4
)
15
= 2
60
Vì 2
50
< 2
60
suy ra 32
10
< 16
15
.
II. Áp dụng làm bài tập.
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 27
11
và 81
8

. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n ∈ N
*
)
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3.
b) Đưa về cùng cơ số 5.
c) Đưa về cùng số mũ 12.
d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 5
23
và 6.5
22

b) 7.2
13
và 2
16

c) 21
15
và 27
5
.49
8
Hướng dẫn:
a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5
22
.
Nếu m>n thì a
m
>a
n
(a>1).
Nếu a>b thì a
n
>b
n
( n>0).
b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2
13
.
c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.
a) 199
20
và 2003
15
.

b) 3
39
và 11
21
.
Hướng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2

4
. 5
3
)
15
= 2
60
.5
45

b) 3
39
<3
40
= (3
2
)
20
= 9
20
<11
21
.
Bài4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72
45
-72
44
và 72
44

-72
43
.
Hướng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài5:Tìm x
N∈
biết:
a, 16
x
<128
4.

b, 5
x
.5
x+1
.5
x+2

≤
100 0:2
18.

Hướng dẫn:
a, Đưa 2vế về cùng cơ số 2.

⇒
luỹ thừa nhỏ hơn
⇒
số mũ nhỏ hơn.
Từ đó tìm x.
b, Đưa 2vế về cùng cơ số 5
⇒
x.
Bài6:Cho S=1+2+2
2
+2
3
+ +2
9
.
Hãy so sánh S với 5.2

8
.
Hướng dẫn: 2S=2+2
2
+2
3
+2
4
+ +2
10
.

⇒
2S-S=2
10
-1(2
10
=2
2
.2
8
=4.2
8
<5.2
8
).
Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 10.9
8
.

Hướng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu

⇒
m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=9
9
.
Mà 9
9
= 9.9
8


< 10.9
8
.
Vậy: m < 10.9
8
.
Bài8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện mỗi chữ
số dùng 1 lần và chỉ1 lần.
Hướng dẫn:Viết tất cả được bao nhiêu: +Trường hợp không có luỹ thừa.
+Có dùng luỹ thừa.
+Xét luỹ thừa có:1chữ số.
2chữ số.
Hãy so sánh các số đó.
Số lớn nhất là 3
21
.
Bài9: So sánh a) 31

31
và 17
39
. b)
21
2
1
và
35
5
1

Hướng dẫn: a) 31
31
<32
31
=2
155
; 17
39
>16
39
= 2
156
.
b) So sánh 2
21
với 5
35
CHUYÊN ĐỀ 2:

CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH,MỘT LUỸ THỪA.
I.Đặt vấn đề.
- Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết
một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so số muốn biết có trúng
những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi
xét một số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25;125 hay không ta chỉ cần
xét 1,2,3 chữ số tận cùng của số đó.
- Trang bị cho học sinh những kiến thức tìm chữ số tận cùng của một tích, một
luỹ thừa.
- Học sinh nắm vững kiến thức này để áp dụng giải bài tập có liên quan.
II. Nội dung cần truyền đạt.
I.Kiến thức cơ bản.
1.Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.
Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số
tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng
có chữ số tận cùng là 0.
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa:chú ý đến những số đặc biệt.
a,Tìm một chữ số tận cùng.
-Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) cũng tận cung bằng
.0 ; 1 ; 5 ; 6.
- Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được có số tận cùng
bằng 6.
- Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng
bằng 1.
b. Tìm hai chữ số tận cùng .
- Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) cũng tận
cùng bằng 01 ; 25 ; 76 .

c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 001 ; 376 ; 625.
- Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 0625.
3. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.
II. áp dụng làm bài tập .
Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10.
a) 17
5
+ 24
4
- 13
21
.
b) 51
n
+ 47
102
.
Hướng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.
Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 7
4n
- 1 chia hết cho 5.
b) 3
4n+1
+ 2 chia hết cho 5.

c) 2

4n+1
+ 3 chia hết cho 5.
d) 2
4n+2
+ 1 chia hết cho 5.
e) 9
2n+1
+ 1 chia hết cho 10.
Hướng dẫn : Chứng tỏ tổng a) , b) , c), d) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận cùng là 0.
Baì4: Tìm chữ số tận cùng của các sô sau:
7 5
6 7
a) 234
5
b) 579
6
Hướng dẫn: 7
5
6
là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 (n
∈
N
*
)
5
6
7
là một số chẵn có dạng 2n ( n
∈

N
*
)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của .
99
a) 51
51
b) 99
99
c) 6
666
d) 14
101
. 16
101
Hướng dẫn : đưa về dạng (a
n
)
m
, trong đó a
n
có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc
76 .
Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu
thừa số ?
* Hướng dẫn : Dùng P
2
để loại trừ.
- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ
số tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích

nhỏ hơn 5.
- Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận
cùng bằng 9 , trái đề bài.
- Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề
bài.
Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: ( 9 ). ( 1 ). ( 3 ) = 7.
Bài 7: Tích A = 2.2
2
. 2
3
. . 2
10
x 5
2
. 5
4
. 5
6
. .5
14
tận cùng là bao nhiêu chữ số
0.
Hướng dẫn: Tích của 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0.
Bài 8: Cho S = 1 + 3
1
+3
2
+ 3
3
+ + 3

30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.
Hướng dẫn: 2S = 3S - S =3
31
-1 =3
28
. 3
3
-1.
= ( 3
4
)
7
. 27 -1 = 1. 27 -1 = 6.

⇒
2S = 6
⇒
S = 3.
Số chính phương không có tận cùng là 3
⇒
đpcm.
Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng
bằng 1 mà viết được dưới dạng 8
m
+5
n
(m,n
∈

N
*
)?
Hướng dẫn: 5
n
có tận là 5 với n
∈
N
*
.

⇒
8
m
có tận cùng là 6
⇒
m = 4k (k
∈
N
*
).
Vì 8
5
> 10 000
⇒
m = 4.

⇒
các số phải đếm có dạng 8
4

+ 5
n
với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.

Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:
n
2
= 20072007 2007không?
Hướng dẫn: n
2
= 20072007 2006.
n
2
là số chính phương có tận cùng là 6

2.

⇒
n
2


4. Mà 20072007 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không
chia hết cho 4).
Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 5
1994
.
Hướngdẫn: 5

4
= 0625 tận cùng là 0625
5
5
= 3125 tận cùng là 3125
5
6
tận cùng là 5625
5
7
tận cùng là 8125
5
8
tận cùng là 0625
5
9
tận cùng là 3125
5
10
tận cùng là 5625
5
11
tận cùng là 8125
5
12
tận cùng là 0625

Chu kì của hiện tượng lặp lại là 4
Suy ra 5
4m

tận cùng là 0625
⇒
5
4m+2
tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2
⇒
5
1994
tận cùng là 5625
Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n
5
là như
nhau.
Hướng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n
⇒
chữ số tận cùng tương
ứng của n
5
.
Cách2: Đưa về chứng minh ( n
5
- n )

10
Biến đổi n
5
- n = n.(n-1).(n +1).(n
2+1
).

Bài tập giải tương tự các bài tập trên:
Bài 13:Tìm chữ số cuối cùng của số:
9
a) A = 9
9
4
b) B = 2
3

Bài14: Tìm hai chữ tận cùng của số :
a) M = 2
999
b) N = 3
999
Bài 15: Cho số tự nhiên n .Chứng minh rằng :
a) Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn thì n và 6n có chữ số tận cùng như
nhau
b) Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n
4
tận cùng bằng 1. Nếu n
tận cùng bằng chữ số chẵn khác 0 thì n
4
tận cùng bằng 6.
CHUYÊN ĐỄ 3
NGUYÊN LÍ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT.
A. Đặt vấn đề:
Sau khi học xong về phép chia ngoài việc rèn luyện các kĩ năng tính toán
thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép
chia như phép đồng dư, mối liên hệ nguyên lí điriclê và bài toán chia hết giúp

học sinh rèn khả năng tư duy sáng tạo để làm được những bài tập nâng cao.
B.Nội dung cần truyền đạt.
B. Kiến thức cơ bản.
Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) thì ít nhất cũng
có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên.
* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy
nghĩ để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhưng khi
trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường.
Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu
của chúng chia hết cho 8.
Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ. Chín con thỏ này được nhốt trong mấy
lồng ?
Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ;
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo
nguyên lí điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số dư . Hiệu 2 số này
chia hết cho 8.
Trình bày lời giải:
Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 8
giá trị là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số
dư nên theo nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số
dư.Hiệu 2 số này chia hết cho 8.
Đưa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn
ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n
∈
N
*
).
C.Bài tập áp dụng:
Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai
số có chữ số tận cùng giống nhau.

Hướng dẫn:
Cách 1: Xét trong phép chia cho 10.
Có 11 số chia cho 10 có ít nhất hai số có cùng số dư
⇒
hiệu hai số này chia hết
cho 10. Hay hiệu hai số có chữ số tận cùng là 0
⇒
hai số này có chữ số tận cùng
giống nhau.
Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một
trong 10 số đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.

⇒
đpcm.
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Hướng dẫn: Xét dãy số gồm 14 số hạng:
2 ; 22 ; 222 ; 2222 ; ;
  
2 22
14 chữ số 2.
Có 14 số xét , trong phép chia cho 13
→
có hiệu hai số chia hết cho 13.
Mà hiệu hai số ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng:
22 2000 0 = 22 2 . 10
n
.

⇒
22 2 . 10

n


13 mà ( 10
n
, 13 ) =1.

⇒
22 2

13 ( đpcm ).
Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 10
2
; 10
3
; ;10
20
.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1.
Hướng dẫn:
Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19
⇒
có ít nhất hai số có
cùng số dư
⇒
hiệu hai số chia hết cho 19. Mà hiệu hai số có dạng:
10
m
-10
n

= 10
n
( 10
m-n
-1 ).

⇒
10
n
(10
m-n
-1 )

19 mà (10
n
, 19 ) =1.

⇒
10
m-n
-1

19.
Hay 10
k
chia 19 dư 1( 0 < k < 20 ).
Bài 4: cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết
cho 8.
Hướng dẫn:
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta

chia 4 số dư này làm 2 nhóm ( hai lồng ).
Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7.
Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5.
Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai
số cùng thuộc một nhóm
⇒
đpcm.
Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng
hoặc hiệu chia hết cho 12.
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một
trong 4 số 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5
hoặc dư 7.

⇒
đpcm.
Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có
tổng chia hết cho 2.
Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ.
Và có ba thỏ là ba số.
Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có
tổng chia hết cho 4.
Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a

5
, a
6
, a
7
.
Theo bài tập trên ta chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng
hạn
a
1
+ a
2
= 2k
1
.Còn 5 số lại chọn được hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a
3
+ a
4
= 2k
2
. Còn ba số , lại chọn được 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a
5
+
a
6
= 2k
3
. Xét ba số k
1
, k

2
,k
3
ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn
k
1
+k
2
=2m như vậy:
2k
1
+2k
2
= 4m.
Hay a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=4m chia hết cho 4
Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng
chia hết cho 3
Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k,
3k+1, 3k+2 ( k∈N)
Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia
hết cho 3.
Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất

là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia
hết cho 3.
Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có
tổng chia hết cho 4.
Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ
chỉ có một trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+2.
Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4.
Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này
và 2 số ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4.
Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta
gieo súc sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cúng tìm được 1
hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.
Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
.
Xét 5 tổng:
S
1
= a
1.
S
2

= a
1
+a
2
S
3
=a
1
+a
2
+a
3
.
S
4
=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
.
S
4
=a
1
+a
2

+a
3
+a
4
+a
5
.
- Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song.
- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư
khi chia cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5. Gọi 2 tổng là S
i
và S
j
(1≤i
<
J≤5)
thì S
j
-S
i
chia hết 5 hay (a
1
+a
2
+ +a
J
) - (a
1
+a
2

+ +a
J
) = a
i+1
+a
i+2
+ +a
J
chia hết
cho 5
Bài 11. Có tồn tại hay không số có dạng
20072007 200700 0 chia hết cho 2005.
Hướng dẫn:
Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007, ,
  
20072006
2007 20072007
so
trong phép chia cho 2005 có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 . Hiệu hai
số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007 200700 0.
Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho
25
x
-1

17
Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :
25 ; 25
2
; 25

3
; ; 25
17

Chia số hạng của dãy (1) cho 17
Vì (25,17) =1 nên (25
n
,1) = 1
∀
n
∈
N và n
≥
1 .
Xét trong phép chia cho 17 dãy số trên có ít nhất hai số chia cho
17 có cùng số dư .
Gọi 2 số đó là 25
m
và 25
n
với m , n
∈
N và 1
≤
m <n
≤
17

⇒
25

n
- 25
m


17

⇔
25
m
( 25
n - m
-1 )

17 vì ( 25
m
, 17 ) = 1
⇒
đpcm.
CHUYÊN ĐỀ 4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ
A. Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh
"hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trường hợp cụ thể,
tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương
pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó phát
hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.
B. Nội dung cần truyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Dùng số 1 làm trung gian.

a) Nếu
b
a
> 1 và
d
c
< 1 thì
b
a
>
d
c

b) Nếu
b
a
= 1 + M ;
d
c
= 1 +N
mà M>N thì
d
c
b
a
>

M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho.
* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có
"phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ:
198
199
= 1 +
198
1
;
199
200
= 1 +
199
1
Vì
198
1
>
199
1
nên
198
199
>
199
200
c) Nếu
b
a
= 1- M ;
d
c

= 1 + N nếu M > N thì
b
a
<
d
c

M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai
phân số đã cho.
* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có
"phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn.
Ví dụ:

2006
2005
= 1 -
2006
1
;
2007
2006
= 1 +
2007
1

Vì
2006
1
>
2007

1
nên
2006
2005
<
2007
2006
2. Dùng một số phân số làm trung gian.
Ví dụ : So sánh
31
18
và
37
15
Giải: Xét phân số trung gian
37
18
( Phân số này có tử là tử của phân số thứ
nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:
31
18
>
37
18
và
37
18
>
31
15

suy ra
31
18
>
37
15
( tính chất bắc cầu)
(Ta cũng có thể lấy phân số
31
15
làm phân số trung gian).
b) Ví dụ : So sánh
47
12
và
17
19
Giải: cả hai phân số
47
12
và
77
19
đều xấp xỉ
4
1
nên ta dùng phân số
4
1
làm

trung gian.
Ta có:
47
12
>
48
12
=
4
1
77
19
<
76
19
=
4
1
Suy ra
47
12
>
77
19
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh
a)
85
64
và

81
73
b)
2
1
+
+
n
n
và
3+n
n
( n
∈
N*)
Hướng dẫn: b) Dùng phân số
81
64
(hoặc
85
73
) làm phân số trung gian.
b) dùng phân số
3
1
+
+
n
n
(hoặc

2+n
n
) làm phân số trung gian.
Bài 2: So sánh
a)
77
67
và
83
73
b)
461
456
và
128
123
c)
2004.2003
12004.2003 −
và
2005.2004
12005.2004 −
Hướng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng
so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị .
Bài 3: So sánh:
a)
12
11
và
49

16
b)
89
58
và
53
36
Hướng dẫn: a) Hai phân số
32
11
và
49
16
đều xấp xỉ
3
1
nên ta dùng phân số
3
1
làm
trung gian .
b) Hai phân số
89
58
và
53
36
đều xấp xỉ
3
2

nên ta dùng phân số
3
2
làm
phân số trung gian .
Baì 4: So sánh các phân số .
A =
2323.353535
232323.2535
; B =
3534
3535
; C =
2322
2323
Hướng dẫn : Rút gọn A = = 1
B = 1 +
3534
1
C = 1 +
2322
1
Từ đó suy ra : A < B < C.
Bài 5: So sánh :
A =
52.4426.22
)26.2213.11.(5
−
−
và B =

548137
690138
2
2
−
−
Hướng dẫn : Rút gọn A = =
4
5
= 1 +
4
1

B = =
137
138
= 1 +
137
1
Vì
4
1
>
137
1
nên A > B
Bài 6: So sánh .
a)
57
53

và
571
531
; b)
26
25
và
26261
25251
Hướng dẫn :
a)
57
53
=
570
530
= 1 -
570
40
;
571
531
= 1 -
571
40
b)
26
25
= 1 +
26

1
= 1 +
26260
1010
;
26261
25251
= 1 +
26261
1010
Bài 7: Cho a , b , m
∈
N*
Hãy so sánh
mb
ma
+
+
với
b
a
.
Hướng dẫn : Ta xét ba trường hợp
b
a
=1 ;
b
a
< 1 ;
b

a
> 1.
a) Trường hợp :
b
a
= 1
⇔
a = b thì
mb
ma
+
+
=
b
a
= 1
b) Trường hợp :
b
a
< 1
⇔
a < b
⇔
a + m = b + m

mb
ma
+
+
= 1 -

mb
ab
+
−
;
b
a
= 1 -
b
ab −

c) Trường hợp :
b
a
> 1
⇔
a > b
⇔
a+m > b + m
⇒

Bài 8: Cho A =
110
110
;
110
110
11
10
12

11
+
+
=
−
−
B
.
Hãy so sánh A với B.
Hướng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu
1<
b
a
thì
b
a
mb
ma
>
+
+
với
m>o.
Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu.
A =
54107.53
53107.54
+
−
. B =

135269.134
133269.135
+
−
.
Hướng dẫn: Tử của phân số A
54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =
Tử của phân số B
135.269-133= (134+1).269 - 133=
Bài 10: So sánh:
a, (
80
1
)
7
với (
243
1
)
6
. b, (
8
3
)
5
với (
243
5
)
3

.
Hướng dẫn:
a =(
28
77
3
1
)
81
1
()
80
1
=>
(
30
6
3
1
)
243
1
=
.
b,
15
5
2
243
)

8
3
( =


15
3
3
243
)
243
5
( =
.
Chọn phân số
15
3
243
làm phân số trung gian để so sánh.
Bài 11: Chứng tỏ rằng:
>+++++
44
1
43
1

17
1
16
1

15
1
6
5
.
Hướng dẫn:
Từ
45
15
30
15
6
2
6
3
6
5
+=+=
.
=
)
45
1

45
1
()
30
1

30
1
( +++++
.
Từ đó ta thấy:

(
30
1

30
1
30
1
29
1

16
1
15
1
+++>+++
Có 15 phân số).

45
1

45
1
45

1
44
1

31
1
30
1
+++>+++
(Có 15 phân số).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
CHUYÊN ĐỀ 5
TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT.
A.Đặt vấn đề:
Khi học phép cộng phân số một dạng bài tập mà các em đã gặp là bài toán tính
tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. Loại bài tập
này có thể coi là khó so với học sinh đại trà vì phải tìm ra quy luật của nó từ đó
tìm ra cách giải.
- Vì vậy giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát hiện quy luật từ
đó đưa ra cách giải.
B. Nội dung cần truyền đạt:
I. Kiến thức cơ bản:
Cho học sinh chứng minh hai công thức:
.
11
)( mbbmbb
m
+
−=
+

)2)((
1
)(
1
)2)((
2
mbmbmbbmbmbb
m
++
−
+
=
++
.
Hướng dẫn: Biến đổi vế phải về bằng vế trái.
II. áp dụng làm bài tập:
Bài 1: Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất:
a, A=
;
50.49
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++

b, B=
39.37
2

9.7
2
7.5
2
5.3
2
++++
.
c, C=
76.73
3

13.10
3
10.7
3
7.4
3
++++
.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 2: Tính các tổng sau:
a, C=
70.69
7

13.12
7
12.11
7
11.10
7
++++
.
b, D =
90.87
6

24.21
6
21.18
6
18.15
6
++++
.
c, E =
200.197
3

17.14
3
14.11
3
11.8
3

2222
++++
.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 3: Tính các tổng sau:
a, F =
75.73
1

31.29
1
29.27
1
27.25
1
++++
.
b, G =
150.146
15

102.98
15
98.94
15
94.90
15
++++
.
c, H =

1400
10

260
10
140
10
56
10
++++
.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n
∈
N ta luôn có:

65
1
)65)(15(
1

16.11
1
11.6
1
6.1
1
+
+
=

++
++++
n
n
nn
.
Hướng dẫn: Biến đổi vế trái về bằng vế phải.
Vế trái =
)
)65).(15(
5

16.11
5
11.6
5
6.1
5
.(
5
1
++
++++
nn

( áp dụng công thức 1 để tính trong ngoặc ).
Bài 5:Tìm x
∈
N biết:
x-

11
3
55.53
20

17.15
20
15.13
20
_
13.11
20
=−−−
.
Hướng dẫn:
Bài 6: Tìm x
∈
N biết:

9
2
)1(
2

36
1
28
1
21
1

=
+
++++
xx
.
Hướng dẫn:
Bài 7: Chứng minh rằng:
a, A =
20.19.18
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
<
4
1
.
b, B =
29.27.25
36

9.7.5
36
7.5.3
36

5.3.1
36
++++
<3.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 2.
Bài 8: Chứng minh rằng:
a, M=
2222
1

4
1
3
1
2
1
n
++++
<1 ( n
∈
N; n
≥
2).
b, N=
4
1
)2(
1

8

1
6
1
4
1
2222
<++++
n
(n
∈
N;n
≥
2).
c, P=
1
!
!2

!5
!2
!4
!2
!3
!2
<++++
n
( n
∈
N;n
≥

3).
Hướng dẫn: a, M<
nn ).1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
−
++++
.
b, N =
)
1

4
1
3
1
2
1
.(
2
1
22222
n
++++

(áp dụng phần a làm tiếp).
c, P = 2!.
nnn ).1(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
.(2
!
1

!5
1
!4
1
!3
1
−
++++≤++++
.)
Bài 9: Chứng minh rằng:

50
1
49
1

4
1
3
1
2
1
1
50
1

28
1
27
1
26
1
−++−+−=++++
.
Hướng dẫn:

50
1

28
1
27
1
26
1

++++
= 1+
)
25
1

3
1
2
1
1(
50
1

3
1
2
1
++++−+++
= 1+
)
50
1

6
1
4
1
2
1

(2
50
1

3
1
2
1
++++−+++

⇒
đpcm.