De Cuong Toan 8 Hoc Ki 1

CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
QUY TẮC
 Chúng ta đã biết cách nhân đơn thức với đơn thức, ví dụ:

(−3x 3 y 2 ) . (−5xy 3 ) =15x 4 y 5
 Ta tiếp tục với phép nhân đơn thức
sau:
1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA
THỨC

2x

với đa thức

4x 2 −3 , như

 Vậy, phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2 được minh họa bởi:
A(B1 + B2) = A.B1 + A.B2
 Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng
hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
 Mở rộng:
A(B1 + B2 + … + Bn) = A.B1 + A.B2 + … + A.Bn
(B1 + B2 + … + Bn)A = B1.A + B2.A + … + Bn.A
 QUY TẮC
 Ta bắt đầu với phép nhân 2x + y với đa thức 2x – y, như sau:

2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA
THỨC

 Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 được minh họa
bởi:

(A1 + A2)(B1 + B2) = A1.(B1 + B2) + A2.(B1 + B2)
= A1.B1 + A1.B2 + A2.B1 + A2.B2
 Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa
thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi các tích với nhau (tại đây
thông thường cần thực hiện phép rút gọn).
 NHÂN HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
 Để minh họa quy tắc “Nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp”, chúng ta
hãy bắt đầu với phép nhân đa thức P = x2 – 3x + 2 với Q = 2x + 3.

 Vậy ta được: P.Q = (x2 – 3x + 2)(2x + 3) = 2x3 – 3x2 – 5x + 6.
 Muốn nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp, ta trình bày như sau:
 Đa thức nọ viết dưới đa thức kia.
 Kết quả của phép nhân mỗi số hạng của đa thức thứ hai với đa thức
thứ nhất được viết riêng trong một dòng.
 Các đơn thức đồng dạng được xếp vào cùng một cột.
 Cộng theo từng cột.


 Chúng ta bắt đầu với yêu cầu thực hiện phép tính:

3. NHỮNG HẰNG
THỨC ĐÁNG NHỚ

ĐẲNG

 Như vậy ở cả hai lần chúng ta đều thực hiện phép tính có dạng:
(A – B)(A + B) và kết quả thu được đều A2 – B2, từ đó nảy sinh câu hỏi:
“Tại sao không ghi nhận đẳng thức (A – B)(A + B) = A 2 – B2 để việc tính
tốn đơn giản hơn?”
 Cụ thể, ta sẽ có ngay:

(x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
(2x2 – x)(2x2 + x) = (2x2)2 – x2 = 4x4 – x2
 7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
 Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 Bình phương của một hiệu:
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
 Hiệu hai bình phương:
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
 Lập phương của một tổng:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
 Lập phương của một hiệu:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
 Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
 Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
 Việc biến đổi:

2x 2−16x=2x . x−8 . 2x=2x ( x−8 )
2
2
x − y =( x− y )( x + y )
xy +2x +3y+6=x ( y+2 )+3 ( y+2 )=( y +2 ) ( x+3 )

(1)
(2)
(3)

được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử.

 Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là
phép biến đổi đa thức cho trước thành tích những đơn thức hoặc đa thức.
4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH TÍCH

5. CHIA ĐƠN THỨC CHO
ĐƠN THỨC

Kí hiệu: A= A 1 . A 2 .. . A n
(4)
 Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung – Minh họa bởi (1).
 Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
dùng hằng đẳng thức – Minh họa bởi (2).
 Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm hạng tử - Minh họa bởi (3).
 Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử.
 Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt
cùng một hạng tử thích hợp.
 Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp.
 MỞ ĐẦU
 Trước tiên chúng ta cần biết:


“Với hai đa thức A và B ¿ 0, ta nói rằng A chia hết cho B nếu tìm
được một đa thức C sao cho A = B.C”
 Trong đó, A được gọi là đa thức bị chia, B được gọi là đa thức chia và
Q được gọi là đa thức thương, kí hiệu:

Q=A:B hoặc

Q=

A
B

 Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng kết quả đã biết trong chương trình lớp 7 là:

x m :xn =x m−n , ∀ x≠0, m,n∈N, m≥n

 Dễ thấy kết quả trên sẽ được mở rộng tự nhiên cho đa thức A như sau:
m

n

A :A = A

m−n

, ∀ A≠0, m,n∈N, m≥n

 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
 Ta bắt đầu với phép chia đơn thức 15x3y2 cho đơn thức 3xy2 như sau:

 Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B)
ta thực hiện như sau:
 Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
 Chia mỗi lũy thừa trong A cho lũy thừa của cùng một biến trong B.

 Nhân các kết quả tìm được với nhau.
 Ta bắt đầu với phép tính chia đa thức 3x 3 + 15x2y – 9xy3 cho đơn thức
3x, như sau:

6. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA
THỨC
 Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của A
chia hết cho B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với
nhau.
7. PHÉP CHIA HẾT

 PHÉP CHIA HẾT
 Để minh họa quy tắc “Chia hai đa thức một biến đã sắp xếp”, chúng ta
sử dụng mẫu:

 Bắt đầu với phép chia đa thức P = 3x 2 – 5x – 2 cho đa thức Q = 3x + 1,
ta thực hiện theo thứ tự các bước 1, 2, 3, 4, 5, 6 như sau:


 Nhận thấy, số dư cuối cùng bằng 0, do đó đây là phép chia hết và ta
được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x – 2.
 Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức
một biến đã được sắp xếp) ta thực hiện như sau:
Bước 1: Đặt phép chia.
Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc
cao nhất của đa thức chia, giả sử nhận được thương là C1.
Bước 3: Lấy C1 nhân với đa thức chia, kết quả nhận được viết dưới đa
thức bị chia. Thực hiện phép trừ hai đa thức này để nhận được số dư.
Bước 4: Đặt vai trò số dư là số bị chia, ta quay trở lại bước 2 cho tới khi
nhận được số dư có bậc nhỏ hơn số chia.

 PHÉP CHIA CÓ DƯ
 Trong trường hợp số dư nhận được là một đa thức khác 0 có bậc nhỏ
hơn đa thức chia, ta khẳng định phép chia đó là phép chia có dư.
 Chú ý: Người ta chứng minh được rằng, đối với hai đa thức của cùng
một biến tùy ý A và B, B ¿ 0, tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R sao
cho:
A = B.Q + R, với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B
 Với R = 0, ta nói A chia hết cho B.
 Với R ¿ 0, ta nói A khơng chia hết cho B (phép chia có dư).

https://giaidethi24h .net