Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giáo viên: Phạm Hoàng Tuấn Minh
Trường THCS Trưng Vương


Các dạng phương trình đã học
Phương trình bậc nhất một ẩn

5x  2  0
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

2x  (3  5x)  4(x  3)
5x  2
5  3x
 x 1 
3
2
Phương trình tích

(2x  3)(x  1)  0

1
1
x
1 
(*)
x 1

x 1
(*) là phương trình chứa ẩn ở mẫu.


Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Ví dụ mở đầu
Giải phương trình
1
1
x
1 
(*)
x 1
x 1
Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế

1
1
x

1
x 1 x 1
Thu gọn vế trái ta tìm được

x 1

?

Nhận xét: x = 1 khơng là nghiệm của phương
trình (*) vì tại đó giá trị của hai vế không xác định.

1. Ví dụ mở đầu
Giải phương trình

1
1
x
1 
x 1
x 1

+ Khi biến đổi PT mà làm mất mẫu
chứa ẩn của PT thì PT nhận được có
thể khơng tương đương với phương
trình ban đầu.

Chuyển các biểu thức chứa ẩn
sang một vế

1
1
x

1
x 1 x 1
Thu gọn vế trái ta có x 1
Nhận xét:
x = 1 khơng là nghiệm của
phương trình vì tại đó giá trị

của hai vế khơng xác định.

+ Khi giải phương trình chứa ẩn ở
mẫu, ta phải chú ý đến Điều kiện xác
định của phương trình.


2. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
+ Các giá trị của ẩn mà tại đó
ít nhất một mẫu thức nhận
giá trị bằng 0 không thể là
nghiệm của phương trình.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của
phương trình là điều kiện để tất
cả các mẫu thức trong phương
trình khác 0.


2. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

x
x4
b)
1 
x 1
x 1

2x  5

a)
3
x5

Ta thấy:

Ta thấy

x  5  0 khi x  5
nên ĐKXĐ của phương trình là:

x  5

x  1  0 khi x 1
và x  1  0 khi x  1
nên ĐKXĐ của phương trình là:

x  1


Áp dụng. Các khẳng định sau Đúng hay Sai?
Khẳng định
1) ĐKXĐ của phương trình

Đúng

là
5
 2x  1
3x  2

2) Phương trình 3x  4 có ĐKXĐ là
2

x  16

5

3) ĐKXĐ của phương trình
4) Phương trình
.

hoặc x 2

2
x
3

X
X

x 4
là

1
x 2
 3 x 2
có
x ĐKXĐ
 4 là

1
x
x 
1
x x 2

Sai

x 0

X
X


3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

x
x4

Ví dụ 2. Giải phương trình
x  1 x 1
Tìm ĐKXĐ
Quy đồng mẫu
hai vế của
phương trình và
khử mẫu
Giải phương
trình vừa nhận
được

Kiểm tra ĐKXĐ và
kết luận

ĐXKĐ: x 1








Giải

x
x4

x  1 x 1
x(x  1)
(x  4)(x  1)

(x  1)(x  1) (x  1)(x  1)
x(x  1) (x  4)(x  1)
2
2
x  x  x  3x  4
2x  4
x  2 (TMĐK)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi
khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được
ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định
chính là các nghiệm của phương trình đã cho.


4. Áp dụng

Bài 1. Giải các phương trình sau:

3
2x  1
a)

 x
x 2 x 2
x
x
2x
b)

 2
2(x  3) 2x  2 x  2x  3

4. Áp dụng

3
2x  1
Bài 1. Giải phương trình: a)

 x
x 2 x 2
Giải

ĐXKĐ: x 2
.

 3 (2x  1)  x(x  2)
 3 (2x  1)  x(x  2)

Ta có

3
2x  1

 x
x 2 x 2
3
(2x  1)  x(x  2)


x 2
x 2

2

 3  2x  1  x  2x
 x2  4x  4  0
2

 (x  2)  0
 x  2 (Loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .


Bài 1. Giải phương trình:

x
x
2x
b)

 2
2(x  3) 2x  2 x  2x  3 
Giải

ĐXKĐ: x  1;x.  3

x
x
2x


 2

2(x  3) 2x  2 x  2x  3
x
x
2x




2(x  3) 2(x  1) (x  1)(x  3)
x(x  1)  x(x  3)
4x


2(x  1)(x  3)
2(x  1)(x  3)

x(x  1)  x(x  3)  4x
2
2
x  x  x  3x  4x  0

2x2  6x  0
2x(x  3)  0
 2x  0

 x  3  0

 x  0 (TMĐK)

 
 x  3 (Loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0}.


4. Áp dụng

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1
1
1
x7
a)


 2
x.(x  1) (x  1).(x  2) (x  2).(x  3) x  3x
2



1
1
b)  x  1     x  1  
x
x



2


Bài 2. Giải phương trình:

1
1
1
x7
a)


 2
x.(x  1) (x  1).(x  2) (x  2).(x  3) x  3x
Giải

- ĐXKĐ: x  0; x  1;x  2;x  3.
- Nhận xét:

1
1
1
 
x.(x  1) x x  1
1
1
1



(x  1).(x  2) x  1 x  2
1
1
1


(x  2).(x  3) x  2 x  3

- Thay vào phương trình ta có:

1
1
x7

 2
x x  3 x  3x
3
x7


x(x  3) x(x  3)

 x  7 3
 x  4 (TMĐK)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {– 4}.


Bài 2. Giải phương trình:

2



1
1
b)  x  1     x  1  
x
x



2

Giải

ĐXKĐ: x 0.
Ta chuyển vế và phân tích thành nhân tử
2

2


1

1 
1
 x  1     x  1    0  4x  1  x   0
x 
x




 x  0 (Loại)
 
 x  1 (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {– 1}.


4. Áp dụng

Bài 3. Cho biểu thức
2

2a  5a  8 a  3
5
M  2


a  5a  6 a  2 a  3
Tìm giá trị của a sao cho biểu thức M có giá trị bằng 2.


2

2a  5a  8 a  3
5
Bài 3. Cho biểu thức M  2



a  5a  6 a  2 a  3
Tìm giá trị của a sao cho biểu thức M có giá trị bằng 2.
Giải Cách 1
* Ta phải giải phương trình ẩn a:

2a2  5a  8 a  3
5



2
a2  5a  6 a  2 a  3
ĐXKĐ:

a  2;a  3

2

2a  5a  8 (a  3)(a  3)
5(a  2)
2(a  2)(a  3)



(a  2)(a  3) (a  2)(a  3) (a  2)(a  3) (a  2)(a  3)
 2a2  5a  8  (a  3)(a  3)  5(a  2)  2(a  2)(a  3)


2
2

a
 5a  8 a  3
5
Bài 3. Cho biểu thức M 


2
a  5a  6 a  2 a  3
Tìm giá trị của a sao cho biểu thức M có giá trị bằng 2.
Cách 2
Ta có:
ĐXKĐ: a  2;a  3
Thu gọn vế trái:
a3
2
2
2a  5a  8 a  3
5
a

2
M 


(a  2)(a  3) a  2 a  3
 a  3 2(a  2)
2
2a  5a  8 (a  3)(a  3)
5(a  2)
M 



 a  7 (TMĐK)
(a  2)(a  3) (a  2)(a  3) (a  2)(a  3)
2
a  9
Vậy giá trị cần tìm là
M 
(a  2)(a  3)
a 7
a3
M 
a 2


Phương
trình
chứa ẩn
ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương
trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương
trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn
tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn
điều kiện xác định chính là các nghiệm của
phương trình đã cho.

TRÂN TRỌNG CẢM ƠN
VÀ HẸN GẶP LẠI