toan hoc 9

BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM
(AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của
Geometric mean)
I. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức AM – GM
1. Dạng tổng quát
+ Cho a1, a2, a3 ,..., an là các số thực khơng âm ta có:
a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an
n
Dạng 1:

Dạng 2:

a1  a2  ...  an n n a1a2 ...an

Dạng 3:

 a1  a2  ...  an 

  a1a2...an
n



n

( Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a ❑1 = a ❑2 = … = a ❑n )
+ Cho a1, a2, a3 ,..., an là các số thực dương ta có:
Dạng 1:

1 1

1
n2

 ... 

a1 a2
an a1  a2  ...  an
 1 1
1
2

a

...

a


...


  n
1
2
n 
an 
 a1 a2

a



Dạng 2:
( Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a ❑1 = a ❑2 = … = a ❑n )
2. Một số dạng đặc biệt
n
Điều kiện

Với n  2

Với n  3

Dạng 1

ab
 ab
2

a bc 3
 abc
3

Dạng 2

 a  b

  ab
 2 

 a  b  c


  abc
3



1 1
4
 
a b a b
1 1
 a  b     4
 a b
1
1 1 1
   
a b 4  a b 

1 1 1
9
  
a b c a b c
1 1 1
 a  b  c      9
 a b 9
1
1 1 1 1
    
a b c 9  a b c 

a, b  0

a, b, c  0

2

Dạng 3
Dạng 4
Dạng 5

3

2

Dạng 6
……..
Đẳng thức xảy
ra

x2 y 2  x  y 


a
b
a b
x y
 
a b
Dấu “=”

x2 y2 z 2  x  y  z 



a
b
c
a b c
x y z
  
a b c
Dấu “=”

……….

……………

a=b

a=b=c

2


3. Một số bất đẳng thức (Bổ đề) được suy ra từ bất đẳng thức
AM-GM



 



2





a2  b2 2ab; 2 a2  b2  a  b ; 2 a  b  a  b

+
2
2
2
+ a  b  c ab  bc  ca

2

3  a 2  b 2  c 2   a  b  c  3  ab  bc  ca 

+



 



2





3 a4  b4  c4  ab  bc  ca  3abc a  b  c

+
4. Áp dụng giải một số bài toán Dạng 6:
2

x2 y 2  x  y 


a
b
a b .

Dấu “=”



x y

a b

2

x2 y 2 z 2  x  y  z 
x y z




  
a  b  c . Dấu “=”
a b c
Hoặc a b c
1 1 1 1

Bài tập 1: Cho a, b, c, d > 0thoă mãn: a + b + c + d = 1; CMR: a + b + c + d ≥ 16
a
b
c
3
+
+
≥
b+c a+ c a+b 2

Bài tập 2: CMR với  số thực a, b, c > 0 thì

Bài tập 3: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2. Tìm GTNN của:

P

Bài tập 4: Cho a, b dương là các số thực dương, thỏa mãn:
Tìm GTNN của:

S

x2
y2
z2


yz zx x y

a  b 1.

1
2

2
ab
a b
2

2

 1  2  .......
1
2
1
4
S 2

 2 2
 2
2
a  b ab a  b 2ab a  b 2  2ab

Ta có:
2

hoặc

S

 1  1 1 .........
1
2
1
1
1

 2
 
 2
2
2
2
a  b ab a  b ab ab a  b 2  2ab

sai lầm ở đâu ???
5. Bài tập vận dụng
x2
y2
z2
P 2
 2
 2

x

2
yz
y

2
zx
z  2 xy
Bài 1: Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của:
a, b, c  0
1
1
1
3
 3
 3


3
abc 1
MR: Cho 
,chứng minh rằng a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2

Đặt

a

1
x

Bài tập 1: Cho a, b dương là các số thực dương, thỏa mãn: a  b 1.
Tìm GTNN của:

S

1
1

2
a b 2ab
2

1

2

Bài tập 2: Cho các số dơng x, y tho¶ m·n x+ y = 1; CMR xy + 2 2 ≥8
x +y
Bài 11: Cho a,b,c>0.
a3
b3
c3
1


  a 2  b2  c2 
Chứng minh rằng: a  2b b  2c c  2a 3
Bài 15: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

2
a3
b3
c3
1


  a  b  c
b  2c c  2a a  2b 9

Bài 16: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
2a 2
2b 2
c2
1


  2a  2b  c 
2b  c 2a  c 4a  4b 4
Bài 16: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

Bài 17: Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3abc. Chứng minh rằng:
bc
ca
ab
 3
 3
1
a  c  2b  b  a  2c  c  b  2a 
3

Bài 18: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
a
b
c


abc
2a 2  bc 2b2  ca 2c 2  ab
HD: nhân cả 2 vế vói abc
Bài 18: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
3

3

3

a
b
c


a b b c c a

 a  b  c


2

6

Bài 18: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c 3
  ab  bc  ca
b
c
a
19. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn: abc ab  bc  ca .


Tìm giá trị lớn nhất của:

K

1
1
1


a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c

LG
1 1 1
1
1
1
  1
x ; y ; z
a b c
a

b
c thì x  y  z 1
Từ
. Đặt
x2 y 2 ( x  y)2
x 2 y 2 z 2 ( x  y )2 z 2 ( x  y  z )2
 

  
 
a b
a b
c
a b
c
a  b  c (*)
Từ BĐT a b
2
1 2 3 12 22 32  1  2  3
36
a  2b  3c     
 

x y z x 2 y 3 z x  2 y  3z x  2 y  3z
Áp dụng (*) ta có:
abc ab  bc  ca 

1
x  2 y  3z


a  2b  3c
36
(1)
1
2x  3 y  z
1
3x  y  2 z


36
36
Tương tự: 2a  3b  c
(2); 3a  b  2c
(3)
1
1
1
6( x  y  z ) 1
K




a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c
36
6
Cộng (1), (2), (3) ta được:


Vậy giá trị lớn nhất của

Dấu “ = ” xảy ra



K

1
6

1 2
3
1
 
 x  y z 
x 2 y 3z và x  y  z 1
3
Hay a b c 3