De 3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

PHÒNG GD & ĐT

Năm học 2018 -2019

TRƯỜNG THCS

Mơn: Tốn - Lớp 9

(Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ 1
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P =

a +1
+
a -2

2 a
2+5 a
+
4 - a với a ≥ 0, a ≠ 4.
a +2

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a 3  2 2
P

1
3

c) Tìm a để
d) Tìm a để P = 2.
Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2 (n – 1)x – n – 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình với n = - 3
2
2
2) Tìm n để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x 2 = 10.

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của n.
Bài 3: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đồn xe cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi xe 15 tấn
hàng thì cịn thừa lại 5 tấn, cịn nếu xếp mỗi xe 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi có
mấy xe và phải chở bao nhiêu tấn hàng.
Bài 4: (3,5 điểm) Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI  AB, MK 
AC (I  AB, K AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.


b) Vẽ MP  BC (P  BC). Chứng minh: MPK MBC .

c) BM cắt PI; CM cắt PK tại E; F. Tứ giác BCFE là hình gì ?
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình.


x 2 - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x 2 + 2x - 3

…………………………Hết…………………………

PHÒNG GD & ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO
LỚP 10 THPT

TRƯỜNG THCS

Năm học 2018 -2019
Mơn: Tốn - Lớp 9 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1
2,5 đ

P=

1) Với a ≥ 0, a ≠ 4.Ta có :

a +1
2 a
2+5 a
+
a-4
a -2
a +2

Điểm

( a +1) ( a +2) + 2 a ( a - 2) - 2 - 5 a
( a - 2) ( a + 2)
P =

0,25đ

a + 3 a +2 + 2a - 4 a - 2 - 5 a
( a +2) ( a - 2)

0,25

=

0,25đ

3a - 6 a
3 a ( a  2)
3 a
=
=
a +2
= ( a + 2) ( a - 2) ( a + 2) ( a - 2)

b)Tính giá trị của P với
P

3 ( 2  1) 2
( 2  1) 2  2

3 21


0,25

a 3  2 2 ( 2  1) 2

2  1 2

0,25đ

3( 2  1) 2

và kết luận

1
3 a
1
9 a a 2

 
0
3
a 2 3
3( a  2)
1
1
 8 a 2 a   a
4
16
c) Tìm a để

0,25 đ

P

3 a
= 2  3 a = 2 a +4 
a
+2
d) P = 2 khi

Bài 2:
1,5 đ

kết luận

a = 4  a = 16

1) Với n = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0  x (x + 8) = 0 

0,5 đ
0,5 đ

x = 0
x = - 8


2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ 0  (n - 1)2 + (n + 3) ≥ 0  n2 – 2n + 1 + n + 3 ≥ 0
 n2 - n + 4 > 0 

(n 

1 2 15

)  0
2
4
đúng n

0,75đ


Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  n
Theo hệ thức Vi ét ta có:

 x1 + x 2 = 2(n - 1)

 x1 . x 2 = - n - 3

(1)
(2)

2
2
Ta có x1 + x 2 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  4 (n - 1)2 + 2 (n + 3) = 10

n = 0
 2n (2n - 3) = 0  
n = 3
2

 4n2 – 6n + 10 = 10

Bài 3 :

2đ

3) Từ (2) ta có n = - x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc n.
Gọi x là số xe và y là số tấn hàng phải chở
Điều kiện: x  N*, y > 0.

0,25đ

15x = y - 5

Theo bài ra ta có hệ phương trình: 16x = y + 3 .

1,25đ

Giải ra ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn)
Vậy số xe có 8 xe và cần phải chở 125 tấn hàng.

0,75đ

Bài 4
3,5 đ





0

a) Ta có: AIM AKM 90 (gt), suy ra tứ giác
AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM.




0

b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 90 (gt).
Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp


 MPK
MCK
(1). Vì KC là tiếp tuyến của



(O) nên ta có: MCK MBC (cùng chắn MC )


(2). Từ (1) và (2) suy ra MPK MBC (3)
c)Tứ giác BCFE là hình gì ?


MPF
+C/m tứ giác PEMF nội tiếp => MEF
;
MPK MCK





MBC  MEF MBC mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=>BC//EF =>tứ giác BCFE là hình thang.
d)Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.




MBP
MIP
Suy ra: MIP
(4). Từ (3) và (4) suy ra MPK
.
MKP MPI

Tương tự ta chứng minh được
.

~

MP MI

∆MIP  MK MP

Suy ra: MPK
 MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3.
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)

- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố
định).

V.hình
0,25 đ
Câu a
1 điểm
0,75
điểm

0.75
điểm

0.75
điểm


Lại có: MP + OH  OM = R  MP  R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng
R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung
nhỏ BC (5).
Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3  M nằm chính
giữa cung nhỏ BC.
Bài 5
0,5 đ

Ta có: x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2),
Điều kiện: x ≥ 2 (*)
Phương trình đã cho

(x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + 3 - x - 2 = 0

x - 1 ( x - 2 - x + 3) - ( x - 2 -









x-2 - x+3



 x-2 = x+3
 
 x - 1 - 1 = 0

x2 + 2x - 3 = (x - 1) (x + 3)

x + 3) = 0



x-1-1 =0
(VN)

 x 2

(thoả mãn đk (*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.

0,5 điểm