TOÁN CHO vật lý Anhchị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vô hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên. 2 Anhchị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hòa tr

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==================

TIỂU LUẬN
TOÁN CHO VẬT LÝ

Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xuân Hòa
Học viên thực hiện:

Thái Bình, tháng 11/2021.

Trang 1


môc lôc
Trang
2

Môc lôc
..................................................................................................................................
.....

A.MỞ ĐẦU
B.NỘI DUNG
I. LÝ THUYẾT
I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có
hướng;tích véc tơ kép và tích véc tơ hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại
lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.
I.2.Khái nhiệm về hàm điều hịa trong số phức; tích phân của hàm
biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.

II. BÀI TẬP

(z  3i)5
f(z)  2
2
(z

2z

5)
II.1.a)Chứng minh rằng: hàm
có hai cực điểm
bậc 2
II.1.b)Cho ( x,y) = 1 - x + y  x4 - y4 + 6x2y2.
zt

1
e
dz  sint
2
2i �
z

1
C

II.2. Chứng minh rằng:
, nếu t > 0 và C: z  3 ;
z là số phức
II.3) Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy)

a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp.

3
4
4
4
5
7
7

8
9

10

b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D

10

c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z

11

C.Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phụ lục.

11
12
12

Trang 2


Đề tài số 3:(cho 3 học viên Vũ Văn Viễn ,Bùi Thanh Thanh, Đỗ Thị Bích)
I. 1 - Anh/chị hãy trình bày đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có
hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các
tính chất của véc tơ trên.
2- Anh/chị hãy trình bày khái nhiệm về hàm điều hịa trong số phức; tích phân của
hàm biến phức; chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.
II. Giải một số bài tập sau:
f(z) 

(z  3i)5
(z2  2z  5)2 có hai cực điểm bậc 2 tại z = 1 ± 2i

1- a) Chứng minh rằng: hàm
và một cực điểm đơn tại vô cực. Với z là số phức.
b) Cho ( x,y ) = 1 - x + y  x4 - y4 + 6x2y2 .Tìm hàm giải tích f ( z) sao cho   Re( f)
Tìm Im(f ) .
1
ezt
dz  sint
2i �
z2  1
C

2- Chứng minh rằng:
, nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức
3- Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy)

a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp.
b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D
c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z
A.MỞ ĐẦU
Đại số vectơ là một nhánh của toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu các hệ
phương trình tuyến tính, vectơ, ma trận, khơng gian vectơ và các phép biến đổi tuyến
tính của chúng. Nó liên quan đến các lĩnh vực như kỹ thuật, giải phương trình vi phân,
phân tích chức năng, nghiên cứu hoạt động, đồ họa máy tính, trong số những thứ khác.
Một lĩnh vực khác đã áp dụng đại số tuyến tính là vật lý, bởi vì thơng qua đó đã được
phát triển để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, mô tả chúng thông qua việc sử dụng
các vectơ. Điều này đã làm cho có thể hiểu rõ hơn về vũ trụ.
Các mặt tham số được nghiên cứu chúng thường được sử dụng bởi các lập trình
viên để tạo ra những bộ phim hoạt hình. Trong phân cảnh của bộ phim hoạt hình Antz
bên đây, cơng chúa Bala đang cố gắng giải cứu cho Z khi anh đang bị mắc kẹt trong
một giọt sương. Một mặt tham số ở đây được mô tả bởi giọt sương và chuyển động
của giọt sương được mô tả bởi một họ các mặt tham số. Một trong các lập trình viên
thiết kế bộ phim hoạt hình này đã nói rằng: “Phải chi tơi đã quan tâm nhiều hơn đến
các mặt tham số khi mà tôi cịn tham gia lớp học về giải tích. Nó chắc chắn đã rất hữu
ích cho tơi ngày hơm nay ”.
Trong tiểu luận này, chúng em nghiên cứu các vấn đề sau
1. Khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép và tích hỗn hợp.
Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.
2.Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi
Trang 3


và lý thuyết thặng dư trong số phức.
B.NỘI DUNG
I. LÝ THUYẾT
I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ kép

và tích véc tơ hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của
véc tơ trên.
I.1.1)Khái niệm véc tơ: Vectơ là một đoạn thẳng có
uuu
r
B
AB
hướng.
uuu
r
A
Độ dài (hay độ lớn, hay mô đun) của AB bằng độ
dài của đoạn
thẳng AB .
uuu
r
AB
o Phương của
là phương của đường thẳng AB ,
đường thẳng AB còn gọi là giá của AB .
uuu
r
AB
Chiều của
là chiều từ gốc A đến ngọn B
Các vectơ là biểu diễn đồ họa của cường độ vectơ; điều đó có nghĩa là, chúng là
các đoạn thẳng, trong đó điểm cuối cùng của chúng là đầu mũi tên.Chúng được xác
định bởi mô-đun hoặc độ dài phân đoạn của chúng, ý nghĩa của
chúng được biểu thị bằng đầu mũi tên và hướng của chúng theo
dòng mà chúng thuộc về. Nguồn gốc của một vectơ còn được gọi

là điểm ứng dụng.
r r r
a
Trong hệ tọa độ Đề các Véc tơ ; b; c được xác định

r
r
r
r
a  ax i  a y j  az k
r
r
r
r
b  bx i  by j  bz k
r
r
r
r
c  cx i  c y j  c z k

rr r
Véc tơ i; j ; k được gọi là véc tơ đơn vị

ur
Ví dụ A(4;6; 3(cm))

rr
a
I.1.2)Tích vơ hướng của 2 véc tơ: .b

rr r r
r r
rr rr
a.b  a . b .cos(a, b)
a
; Tính giao hốn : .b  b.a
r r
a
I.1.3)Tích có hướng của 2 vecto : ^ b
r
i

r
j

r
k

r r
a ^ b  ax

ay

r
r
r
az  ( 1)11 (a y bz  axby )i  (1)1 2 (axbz  ax bx ) j  (1)13 (axby  a y bx )k

bx

by

bz

r
r
r
 (a y bz  az by )i  (az bx  ax bz ) j  (axby  a y bx )k
Trang 4


r r r r
r r
rr
r r
r r
�
a ^ b  a . b sin(a, b)
b
.a �
�
�
a
^
b


b
^
a

Tính chất :
;
=r rr r rr r rr
r rr
I.1.4)Tích véc tơ kép: a ^ (b.c) ta có a ^ (b.c)  b.(a.c)  c.(a.b)
I.1.5)tích véc tơ hỗn hợp:

ax
r rr r rr r rr
a.(b.c)  b.(a.c )  c.( a.b)  bx
cx

ay
by
cy

az
bz
cz

I.1.6)Ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất của véc tơ trên.
Các đại lượng vật lý là đại lượng véc tơ:
ur
r
r
ur
Vận tốc : v ; Gia tốc: a ; Lực: F ; Động lượng: p
ur
VD : Cường độ điện trường: E : Một điện tích điểm q sinh ra quanh nó 1 điện
ur

trường được biểu diễn bởi một vec tơ cường độ điện trường E phụ thuộc vào điểm xét

ur
q r
r r r
r
r
E  k . 3 .r
r

xi

y
j

zk
r
trong đó r là bán kính véc tơ
ur
uu
r
uu
r
B


H
H
Tương tự :Cảm ứng từ:
trong đó

là cường độ từ trường

I.2.Khái nhiệm về hàm điều hòa trong số phức; tích phân của hàm biến phức;
chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.
I.2.1) Khái nhiệm về hàm điều hịa trong số phức:
Giả sử cho hàm giải tích f(z) = u(x,y) + iv(x,y) trên miền D của mặt phẳng z. Khi
đó hàm f(z) có trên miền D đạo hàm liên tục mọi cấp.Từ đây dễ dàng suy ra hàm u, v
có trên miền D đạo hàm riêng liên tục mọi cấp và đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều
kiện
�
u �
v �
u
�
v
�2u �2 v �2u
�2 v
 ;
  (1)

;


2
�
x �
y �
y
�
x

x y �
y2
��
x y
Suy ra : �x ��

Cộng 2 vế những đẳng thức này ta nhận thấy
�2u �2u
�2u �2u


0

u

 2 � u  0
2
�
x2 �
y2
�
x
�
y
hay


�2
�2


�
x2 �
y 2 gọi là tốn tử Laplace

Được gọi là phương trình Laplace ký hiệu
Vậy hàm u có đạo hàm riêng liên tục cấp 2 trên D thỏa mãn phương trình Laplace gọi
là hàm điều hòa trên D như vậy phần thực
của hàm giải tịch trên D là hàm điều hòa
Chú ý : tương tự như trên ,nếu lấy vi
(D) γ(f)
B
phân đẳng thức đầu tiên của (1)theo y và
A
x
Trang 5


đẳng thức thứ 2 của (1) theo x rồi trừ cho nhau ta cũng có ∆v = 0 tức là phần ảo của
hàm giải tích là hàm điều hịa.
I.2.2) Khái nhiệm về tích phân của hàm biến phức:
Cho γ(t) = x(t) + iy(t) trong đó t Є [a,b] là một đường cong trơn từng khúc trong D với
điểm đầu A và điểm cuối B và f(z) = u(z) + iv(z) là một hàm liên tục trên D . Giả sử T là một
phép chia đoạn [a,b] thành n phần nhỏ bởi các điểm chia
a =t0 < t1 < t2 < t3 ……< tn = b
Gọi |T| = max{|tk – tk-1|, k = 1,2,3…n} là đường kính của phép chia T .
Đặt ∆z(k) = γ(k) - γ(k-1) . lấy 1 điểm tùy ý ζk Є [tk-1 , tk] đặt ck = γ(ζ) và lập tổng tích phân
n

Ϩ ζ(f) =

�f (c )z
k 1

k

k

Nếu tồn tại giới hạn lim|T|→0 Ϩ ζ(f) = α không phụ thuộc vào cách chọ điểm ζk và cách chia [a,b]
tức là ∀ɛ > 0, ∃Ϩ > 0 , ∀T : |T| < Ϩ; ∀ζk Є [tk-1 , tk] → |Ϩ ζ(f) – α| < ɛ thì giới hạn đó gọi là tích
phân của hàm f trên γ và ký hiệu là

f ( z ) dz
�


chú ý : z’(t) = x’(t) + i y’(t) và u(x(t),y(t)) = u(z(t))
b

nên ta có cơng thức tính tích phân như sau:

f ( z ) dz  �f ( z (t )).z '(t ) dt
�


a

I.2.3) Khái nhiệm về chuỗi và lý thuyết thặng dư trong số phức.
I.2.3a)Chuỗi trong số phức
Cho dãy các hàm biến phức u1(z), u2(z), u3(z),... xác định trong miền E. Ta gọi biểu
�

�u ( z)
n

thức: n 1
= u1(z) + u2(z)+ …..+ un(z) (1)
là chuỗi hàm biến phức.Tổng của n số hạng đầu tiên là:
Sn(z) = u1(z) + u2(z) +⋅⋅⋅+ un(z)
được gọi tổng riêng thứ n của chuỗi hàm (1). Nó là một hàm phức xác định trong miền
�

E. Nếu tại z = z0, chuỗi

�u ( z )
n 1

n

0

hội tụ thì z0 được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm

�

�u ( z )
n

0

(1). Nếu tại z = z0, chuỗi n 1

không hội tụ thì z0 được gọi là điểm phân kì của
chuỗi hàm (1). Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của nó.
Nếu gọi f(z) là tổng của chuỗi (1) tại điểm hội tụ z thì f(z) hiển nhiên là một hàm biến
phức xác định trong miền hội tụ G
I.2.3b) Lý thuyết thặng dư trong số phức.
Trang 6


Giả sử z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) ,tức là giả sử f là một hàm giải tích
trên miền 0 < |z – z0| < R xét tích phân

1
f ( z ) dz
2 i �
L
trong đó L là chu tuyến đóng nằm trong hình trịn |z – z0| < R hướng thèo chiều ngược
kim đồng hồ và chứa điểm z0. Theo định lý Cauchy tích phân trên không phụ thuộc
vào đường cong L gọi là thặng dư của f tại điểm z0và ký hiệu là

Res f  z  
z  z0

1
1
f
(
z
)
dz
Res(

f
,
z
)

f ( z )dz
0
�
2 i �
2

i
L
L
hay

II. BÀI TẬP

(z  3i)5
f(z)  2
(z  2z  5)2 có hai cực điểm bậc 2
II.1.a)Chứng minh rằng: hàm
tại z = 1 ± 2i và một cực điểm đơn tại vô cực. Với z là số phức.
Giải:

(z  3i)5
(z  3i)5
f(z)  2

2

(z  2z  5) (z  1 2i)2(z  1 2i)2
Hàm f(z ) có 2 điểm bất thường z = 1 + 2i và z = 1 – 2i

lim  z  1  2i  f ( z )  lim  z  1  2i 
2

Xét

z �1 2 i

z �1 2 i

2

( z  3i )5
( z  1  2i ) 2 ( z  1  2i ) 2

( z  3i )5
(1  5i )2 2876  1900i
719 475i
lim





�0
2
z �1 2 i ( z  1  2i ) 2
(4

i
)

1
4
4
=
Do đó z = 1 + 2i là điểm cực bậc 2 của f(z)
Tương tự ta cũng có z = 1 +2i là điểm cực bậc 2 của f(z)
+ Tại z = ∞
2

1
z  � f ( z) 
w
Đặt

�1
�
�  3i �
�w
�

(1  3wi )5
�1 �
f � �

2
2
2

2
�w � ��1 � 1 � w(5w  2w  1)
�
� 2  5 �
��
�
w
�� � w �

1
Rõ ràng w = 0 là điểm bất thường của hàm f( w )

Trang 7


(1  3wi)5
(1  3wi)5
�1 �
lim(w  0) f � � lim(w  0)
 lim
 1 �0
2
2
2
2
w �0
w
�
0
w

�
0
w(5w  2 w  1)
w(5w  2w  1)
�w �
Xét
1
Do đó w = 0 là điểm cực đơn của f( w ) hay z = ∞ là điểm cực đơn của hàm f(z)

II.1.b)Cho ( x,y) = 1 - x + y  x4 - y4 + 6x2y2.
Tìm hàm giải tích f (z) sao cho   Re( f)

Tìm Im(f )

Trang 8


II.2. Chứng minh rằng:
Giải:

1
ezt
dz  sint
2
2i �
z

1
C

, nếu t > 0 và C: z  3 ; z là số phức

Trang 9


II.3) Cho u(x,y) = e-x (xsiny – y cosy)
a) Chứng tỏ u(x,y) là hàm điều hòa trên một miền D thích hợp.
Giải:

Trang 10


Vậy u(x,y)có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( x,y) và thỏa phương
trình Laplace nên u(x,y) là hàm điều hịa.
b) Tìm một hàm giải tích f(z) = u(x,y) +iv(x,y), giải tích trên miền D
Giải:

c) Biểu diễn f trong câu (b) theo biến z
Giải:

Trang 11


C: KẾT LUẬN
Đại lượng Vật Lý là các thể hiện về mặt định lượng bản chất Vật Lý có thể đo
lường được của một vật thể hay hiện tượng tự nhiên như khối lượng, trọng lượng, thể
tích, vận tốc, lực …Khi đo đạc một đại lượng, giá trị đo được là một số theo sau bởi
một đơn vị đo, ta gọi đơn vị này là thứ nguyên của đại lượng Vật Lý.
Các đại lượng Vật Lý có thể được chia thành hai loại:
o Đại lượng vô hướng: Xác định một đại lượng vô hướng nghĩa là xác định giá trị của

nó. Những đại lượng vơ hướng khơng âm như: khối lượng, thể tích, thời gian, … cũng
có những đại lượng vơ hướng mà giá trị của nó có thể âm hay dương như: điện tích
điện thế,…Tính tốn các đại lượng vô hướng tuân theo các qui tắc đại số thông
thường.
o Đại lượng hữu hướng (vectơ): Xác định một đại lượng hữu hướng nghĩa là xác định:
điểm đặt,phương, chiều và độ lớn của vec tơ đặc trưng cho đại lượng đó. Những đại
lượng hữu hướng trong Vật Lý như: lực F , vận tốc v , gia tốc a , động lượng p , …
Tính tốn các đại lượng hữu hướng tuân theo các qui tắc của tính véctơ.
Các khái nhiệm về hàm điều hịa trong số phức; tích phân của hàm biến phức; chuỗi và
lý thuyết thặng dư trong số phức cũng rất cần dùng cho Vật lý khi ngiên cứu.

Trên đây chúng em trình bày những hiểu biết của mình về mơn TỐN CHO VẬT LÝ.
Trang 12


Tiểu luận khơng tránh khỏi thiết sót, kính mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc
và thầy cơ giáo để chúng tơi hồn thiện hơn
Trận trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn đã giúp chúng em hoàn thành tiểu luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA
Trường Đại học Khoa Học- ĐH Thái Nguyên
PHỤ LỤC
STT
A

B

C

Nội dung

Hoàn thiện

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG
I. LÝ THUYẾT
I.1 : Đại số véc tơ: khái niệm véc tơ; tích vơ hướng; tích có hướng;tích véc tơ
kép và tích véc tơ hỗn hợp. Lấy ví dụ về một số đại lượng vật lý có các tính chất
của véc tơ trên.
II. BÀI TẬP
KẾT LUẬN

Trang 13