Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 theo chuyên đề

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 1:
Ngày soạn:....................
Ngày dạy:......................

SỐ HỮU TỈ. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ HỮU
TỈ

A. MỤC TIÊU:

- Củng cố, khắc sâu, nâng cao các kiến thức về số hữu tỉ, các phép tính về số hữu tỉ
- Rèn kỹ năng vận dụng các kiến thức trên vào các dạng bài tập.
B. CHUẨN BỊ:

- GV: Lựa chọn bài tập về số hữu tỉ
- HS: Nắm vững các kiến thức đã học về số hữu tỉ.
C. TIẾN TRÌNH TRÊN LỚP:

* Ổn định tổ chức
* Kiểm tra: xen trong giờ
* Bài mới.
I/ Lý thuyết:
II/ Bài tập:
1) Cho 2 số hữu tỉ
c
a
và (d > 0, b > 0)
d
b
a c

CMR:
<  ad < bc
b d
ad c cb
a
Thật vậy
= ; =
bd d db
b
ad bc
a c
Vì  nên
 ad < bc (vì bd > 0 )

bd db
b d
a c
* CM: ad < bc   . Vì b>0, d>0  bd >0
b d
ad bc
a c
Vì ad < bc 
hay 

bd bd
b d
a c
Vậy   adb d
a c

Chứng minh tương tự:
(b>0, d> 0)
  ad > bc
b d
a
a c
c
2) a) Cho 2 số hữu tỉ và (b>0, d>0). Chứng tỏ nếu  thì
b
b d
d
a c
Vì  nên adb d

a a+c c

 .
b b+d d
a c+a
(1)

b b+d
a+c c
Tương tự từ ad < bc  ad + cd < bc + cd hay d(a+c)(2)

b+d d
a a+c c
Từ (1) và (2)  


b b+d d

Từ kết quả trên  giữa 2 số hữu tỉ bao giờ cũng có 1 số hữu tỉ.
1 5 1 6 5
1 7 6 11 5
     
 
 ...
4 4 4 8 4
4 12 8 12 4
−1
−1
b) Viết 3 số hữu tỉ xen giữa 2 số hữu tỉ
và
2
3

VD:

1


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

1 1
−1 −1
<
 nên
2 3

2
3
−1 −1
−1 − 2 −1
Mà




2
3
2
5
3
−1 − 2
−1 − 3 − 2




2
5
2
7
5
− 2 −1
− 2 − 3 −1





5
3
5
8
3
−1 − 3 − 2 − 3 −1





2
7
5
8
3

Vì

c) Viết 5 số hữu tỉ xen giữa 2 số

−1
1
và
5
5

Cách làm tương tự như câu b) yêu cầu học sinh về nhà làm tiếp.
3) a) Cho a, b, n  Z; b>0, n>0

So sánh

a
a+n
và
b
b+n

Xét a(b+n) và ab +an và b(a+n) = ab + bn
Vì b>0, n>0  b+n>0 do đó

a+n
b+n
a a+n
- Nếu ab b+n
a
b

- Nếu a>b thì an > bn  ab+an>ab+bn hay a(b+n)>b(a+n)  

- Nếu a=b thì an =bn  ab+an=ab+bn

a a+n
=
b b+n
a a+n
a; a=b thì
b b+n

a(b+n)=b(a+n) =>
Vậy: Nếu a>b thì

a a=n
;

b b+n

a a+n
=
b b+n

4) Thực hiện phép tính một cách hợp lý.
a)
3 3
+
11 12 + 1,5 + 1 − 0,75
A=
5 5
5
− 0,625 + 0,5 − −
2,5 + − 1,25
11 12
3
3 3 3 3
3 3 3
− + +
+ −
8

10
11
12
2
3 4
=
+
−5 5 5 5
5 5 5
+ − −
+ −
8 10 11 12
2 3 4
1 1 1 1
1 1 1
3( − + + )
3( + − )
8 10 11 12 + 2 3 4
A=
1 1 1 1
1 1 1
− 5( − + + ) 5( + − )
8 10 11 12
2 3 4
−3 3
A=
+ =0
5 5
1
5 1 4

b) B = 0,5 + + 0,4 + + −
3
7 6 35
0,375 − 0,3 +

2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

1 1 2 5 1 4
+ + + + −
2 3 5 7 6 35
1 1 1 2 5 4 
= + +  + + − 
 2 3 6   5 7 35 
3 + 2 + 1 14 + 25 − 4
=
+
= 1+1 = 2
6
35
8 1
1
1
1
1
1 1 1
c) C = − − − − − − − −
9 72 56 42 30 20 12 6 2

8  1
1
1
1
1
1
1
1 
= −
+
+
+
+
+
+
+

9  9.8 8.7 7.6 6.5 5.4 4.3 3.2 2.1 
=

=

8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
−  − + + − + − + − + − + − +1− 
9 8 9 8 6 7 5 6 4 5 5 4 2 3
2

8  1  8 8
−  − + 1 = − = 0

9  9  9 9
1 1 1
1
− −
− 0,25 + 0,2
6
3
7
13
3

+
d) D =
2 2 2 1
− −
1 − 0,875 + 0,7 7
3 7 13 6
=

Cách làm tương tự phần a), yêu cầu học sinh về nhà làm tiếp.
5) Tìm tất cả các số tự nhiên n biết:
a) 2.16  2n>4
Hay 25 2n>22  5 n>2  n=3;4;5.
b) 9.27  3n243
Hay 353n35  5n5 n=5
6) Chứng minh rằng: 87-218 chia hết cho 14; 106-57  59
Thật vậy: 87-218 = 221-218 = 217(24 -2) = 217.14  14
7) So sánh:
a) 291 và 535
Ta có: 291 > 290 = (25)18 = 3218

535 < 536 = (52)18 = 2518
Mà 2518 <3218  535<2518<3218<291.Vậy 291>535
b) 9920 và 999910
Ta có: 999910 >(99.100)10 > (99.99)10 = 9920.Vậy 9920 < 999910
+) Cách 2: 999910 = (99.101)10 > (99.99)10 = 9920
+) Cách 3: 9920 =(992)10 = 980110 < 999910
8) Tìm tổng.
P=

1
1
1
+
+ ... +
(2.1 + 1)(2.1 + 3) (2.2 + 1)(2.2 + 3)
(2.2007 + 1)(2.2007 + 3)

P=

1 2
2
2
1
1 
 11 1 1 1
+
+ ... +
−

 =  − + − + ... +


2  3.5 5.7
4015.4017  2  3 5 5 7
4015 4017 

=

11
1  1 4014
2007
223
=
=
 −
= .
2  3 4017  2 12051 12051 1339

9) Tìm số tự nhiên m để:
M=

5m − 11
có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của M?
4m − 13

3


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Ta có:

20 m − 44 20 m − 65
21
21
=
+
=5+
4m − 13
4m − 13 4m − 13
4m − 13
5
21
M = +
4 4(4m − 13)
21
M đạt giá trị lớn nhất khi
lớn nhất.
4(4m − 13)
4M =

 4(4m-13) nhỏ nhất
 4m-13 nhỏ nhất
 4m nhỏ nhất
 m nhỏ nhất. Mà mN  m =0.
Vậy với m=0 thì biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.
Giá trị lớn nhất đó là: M =

0 − 11 11
=
0 − 13 13

Giáo viên chốt lại hướng làm bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
* Củng cố:
? Qua buổi học hôm nay củng cố những kiến thức gì? Rèn kỹ năng làm dạng bài tập
nào?
* Hướng dẫn học bài ở nhà.
Xem lại các bài tập đã làm, tìm cách giải khác. Ơn tập các phép tính về số hữu tỉ,
gtđ của hữu tỉ.
Bài tập:
1,11 + 0,19 − 1,32  1 1 
− + :2
2,06 + 0,54
 2 3
1
 7
 23
B =  5 − 2 − 0,5  : 2
4
 8
 26

1) cho A =

a) Rút gọn A và B?
b) Tìm x Z để A2) Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị âm.
a) x2 + 5x
b) 3(2x+3)(3x-5)
Ký duyệt
Ngày tháng năm

4


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 2:
Ngày soạn:.................
Ngày dạy:..................

CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ HỮU TỈ

A. MỤC TIÊU:

- Tiếp tục củng cố, khắc sâu, nâng cao các phép tính về số hữu tỉ.
- Rèn kỹ năng thực hiện phép tính 1 cách hợp lý, giải tốn có dấu giá trị tuyệt đối?
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
B. CHUẨN BỊ:

- Nắm vững các phép tính về số hữu tỉ, các tính chất của nó; giá trị tuyệt đối của số
hữu tỉ.
C. TIẾN TRÌNH TRÊN LỚP:

1. Ổn định lớp
2. Kiểm tra: Xen trong giờ;
3. Bài mới.
1. Chữa bài tập cũ:
a) Cho A =

1,11 + 0,19 − 1,32  1 1 

− + :2 ;
2,06 + 0,54
 22 3 

1
 7
 23
B =  5 − 2 − 0,5  : 2
4
 8
 26

a) Rút gọn A và B?
A=

− 1 5 1 − 1 5 − 11
;
− . =
− =
3 6 2 2 12 12

1 26 25 26 13
 5 1  75
B = 3 −  :
=3 . = . =
8 75 8 75 12
 8 2  26

* Tìm x  Z để AHay tìm x để

−11
13
 x   x = 0;1
12
12

b) Tìm giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị âm?
+) x2+5x<0 khi x(x+5)<0
 x<0 và x+5 > hay x<0 và x>-5 -5Hoặc x>0 và x+5<0 hay x>0 và x<-5  khơng có giá trị nào
thỏa mãn.
Vậy với -5+) 3(2x+3)(3x-5)<0
Vì 3>0  2x+3>0 và 3x-5<0
Hay 2x>-3 và 3x<5  x 
Hoặc 2x+3<0 và 3x-5>0
Hay 2x<-3 và 3x>5  x 
Vậy với

−3
5
và x 
2
3

−3
5
và x 
2

3

−3
5
 x  thì biểu thức đạt giá trị âm.
2
3

2. Bài tập:
a) Tìm giá trị của y để biểu thức sau dương?
+) 2y2-4y
+) 5(3y+1)(4y-3)

Cách làm tương tự
như bài trên, yêu
cầu HS về nhà
làm.

5


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Lưu ý: tích dương
khi cả 2 thừa số
b) Có thể điền 16 số hữu tỉ vào 1 bảng vuông 4.4 sao cho tổng đều cùng dấu.
các số ở 4 hàng lần lượt bằng
4 cột lần lượt bằng

−1

2
; − 0 ,5; ; − 0 ,4 còn tổng các số ở
3
3

1
1
; 0 ,75 ; ; − 1 khơng?
3
12

Giải:
Giả sử có thể điền 16 số hữu tỉ vào 1 bảng vuông 4.4 trên thì:

−1
2
; − 0 ,5; ; − 0 ,4 nên tổng của
3
3
−1
2
1 9 − 17
16 số hữu tỉ đó là
+ (−0,5) + + (−0,4) = − =
3
3
3 10
30
1
1

Tương tự vì tổng các số ở 4 cột lần lượt là ; 0 ,75 ; ; − 1 nên
3
12

Tổng các số ở 4 hàng lần lượt bằng

tổng của 16 số hữu tỉ đó là:
1
1
1 3 1
+ 0 ,75 + + ( −1 ) = + + − 1
3
12
3 4 12
4 + 9 + 1 − 12 2 1
1 − 17
=
=
=  =
12
12 6
6
30
1 − 17
Điều này vơ lý vì 
6 30

Vậy không thể điền được 16 số hữu tỉ vào bảng ô vuông 4.4 để
thỏa mãn đề bài.
1

a

1
b

1 1
a b

c) Tìm 2 số nguyên a, b khác nhau sao cho − = .
Vì

b−a 1
=
 b − a = 1hayb = 1 + a
ab
ab

Vậy a và b là 2 số nguyên liên tiếp (a,b0)
A là số liền trước của b thì

1 1 1 1
− = .
a b a b

d) Cho x,y Q. Chứng tỏ rằng:
+) x+yx+y
Thật vậy với x,yQ ta có:
xx và -x x
yy và -y y
x+y x+y và -x-y x+y

Hay x+y  -(x+y)
Vậy -(x+y)(x+y)
 x+yx+y
+) x-yx-y
Theo chứng minh trên ta có:
x=(x-y)+yx-y+y
x-yx-y
e) Tính giá trị của biểu thức với a =

?Dấu “=” xảy ra
khi nào?
Dấu “=” xảy ra
xy0

1
và b=0,25
3

6


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

A=3a-3ab-b
Từ a=

1
1
1
 a=  ; b=0,25b=

3
3
4

Xét lần lượt 4 trường hợp rồi thay số vào biểu thức để tính giá
trị.
1
1
3
4
1
1
+) Trường hợp 2: a=- ; b=
3
4
1
1
+) Trường hợp 3: a= ; b=3
4
1
1
+) Trường hợp 4: a=- ; b=3
4

+) Trường hợp 1: a= ; b=

Yêu cầu HS tự
thay số vào và tính
giá trị biểu thức.

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) A=3,7 + 4,3-x
Vì 4,3-x0xA=3,7+4,3-x3,7
Amin =3,7 khi x=4,3
+) B=3x+8,4-14,2
Vì 0B=3x+8,4-14,2-14,2
Bmin=-14,2 khi x=-2,8
+) C =4x-3+5y+7,5+17,5
Vì C=4x-3+5y+7,5+17,517,5
3
4

Cmin=17,5 khi x = và y =

− 7,5
= −1,5
5

+) D = x-2007+x-2006
D = x-2007+2006-xx-2007 + 2006-x
D1 → Dmin =1 khi (x-2007)(2006-x)0
→x-20070 và 2006-x0 Hay x2007 và x2006
Hoặc x-2007 0 và 2006-x 0 Hay x2007 và x2006
Vậy Dmin= 1 khi 2006  x  2007
4. Củng cố;
5. Hướng dẫn học ở nhà;
Xem lại các bài tập đã làm, tìm cách giải khác.
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức?
a) E = 5,5 - 2x-1,5
b) F = - 10,2-3x-14

c) G = 4-5x-2-3y+12
Ký duyệt
Ngày tháng năm

7


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

TỈ LỆ THỨC

Chuyên đề 3:
Ngày soạn:............... 2015
Ngày dạy:..................2015
A. MỤC TIÊU:

- Củng cố, khắc sâu các kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
- Học sinh có kỹ năng vận dụng 1 cách linh hoạt các kiến thức đã học vào các dạng
bài tập.
- Rèn trí thơng minh, óc suy luận cho học sinh.
B. CHUẨN BỊ:

- Nắm vững các kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
C. TIẾN TRÌNH TRÊN LỚP:

* Ổn định lớp;
* Kiểm tra: xen trong giờ;
* Bài mới.
I. Lý thuyết:

II. Bài tập:
1) Tìm các số x, y, z biết:
x −1 y − 2 z − 3
=
=
và x − 2y + 3z = 14
2
3
4
Cách 1:
Đặt

x −1 y − 2 2 − 3
=
=
=k
2
3
4

x=2k+1; y=3k+2; z=4k+3
Do đó: x-2y+3z=2k+1-2(3k+2)+3(4k+3)=14
2k+1-6k-4+12k+9=14
8k=14-6=8
k=1
x=2.1+1=3
y=3.1+2=5
z=4.1+3=7

x −1 y − 2 z − 3

=
=
ta có.
2
3
4
x − 1 2y − 4 3z − 9 x − 1 + 2y + 4 + 3z − 9 14 − 6
=
=
=
=
2
6
12
2 − 6 + 12
8
6+4
12 + 9
 x = 2 + 1 = 3; y =
= 5; z =
=7
2
3

Cách 2: Từ

2) Chứng minh rằng từ TLT

a c
a −b c−d

= 1
=
b d
a+b c+d

+) Cách 1:
a c
a −b a−b
a −b c−d
=

=
Từ =  =
b d
c
d
c−d
a+b c+d
+) Cách 2:
8


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a c
= = k  a = bk; c = dk
b d
a −b c−d
và
Thay a, c vào

ta được 2 biểu thức bằng nhau  đpcm.
a+b c+d
a c
+) Cách 3: Từ =  ad = bc
(1)
b d
Thêm -bd vào 2 vế (1)  ad-bd=bc=bd
d(a-b)=b(c-d)
a−b b
=
(2)
c−d d
Thêm bd vào 2 vế của (1)  ad+bd=bc+bd=
d(a+b)=b(c+d)
a+b b
=

(3)
c+d d
a−b a+b
a −b c−d
=

=
Từ (2) và (3)
,
c−d c+d
a+b c+d
3) a) Tìm x, y, z biết:
X:y:z=3:5:(-2) và 5x-y+3z=124

Ta có :
x y
z
5x y 32 5x − y + 3z 124
= =

= =
=
=
= 31
3 5 −2
15 5 − 6 15 − 5 − 6
4
31.15
− 6.31
x=
= 93; y = 155; z =
= −62
5
3
b) Tìm a, b, c biết:
2a=3b; 5b=7c và 3a-7b+5c=-30
a b b c
a
b
c
3a 7b 5c 3a − 7b + 5c − 30
= ; = 
= = 
=

=
=
=
= −2
3 2 7 5
21 14 10
63 98 50 63 − 98 + 50 15
 a = -42; b = -28; c = -20
4) 3 đội công nhân trồng cây, biết 1/2 số cây đội I trồng bằng 2/3 số cây đội
II bằng 3/4 số cây đội III trồng. Số cây đội II trồng ít hơn tổng số cây 2 đội
I và III là 55 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng?
Gọi số cây 3 đội I, II, III lần lượt trồng là: a, b, c (a, b, c N*)
Ta có: Cách 1:
a b c a + c − b 55
= = =
=
= 30
4 3 11
2 3 4
2+ −
2 3
3 2 6
3
4
 a = 60; b = 30. = 45; c = 30. = 40
2
3
Cách 2:
a 26 3c
a b c a + c − b 55

=  = = =
=
=5
Từ =
2 3
4
12 9 8 12 + 8 − 9 11
a=12.5=60; b=9.5=45; c=8.5=40
Đặt

9


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

5) a) Cho

a b c
= = ; a + b + c  0; a = 2007 . Tính b,c?
b c a

a b c a+b+c
= = =
=1
b c a b+c+a
a=b=c=2007
a+b c+a
=
b) Biết
với ba; ca. Chứng minh a2=bc? Điều ngược lại có

a −b c−a
đúng khơng?
a+b c+a
=
Từ
(a+b)(c-a)=(a-b)(c+a)ac-a2+bc-ab=ac+a2-bc-ab
a −b c−a
2a2=2bca2=bc
a b a−b a+b
a+c a+b
=

=
Ngược lại: Nếu a2=bc  = =
c a c−a c+a
a −c a −b
a b c
6) Biết = = = 4 và a’+b’+c’ 0. Tính
a ' b' c'
a+b+c
a)
?
a '+ b'+c'
a+b+c
a b c a+b+c
=4
= 4. Vậy
Ta có: = = =
a '+ b'+c'
a ' b' c' a '+ b'+c'

a − 3b + 2c
?
b)
a '−3b'+2c'
a b c
a 3b 2c a − 3b + 2c
=
=
=4
Ta có: = =  =
a ' b ' c'
a ' 3b' 2c' a '−3b'+2c'
7) Tìm 2 số biết tỉ số của chúng bằng -5/7 và tổng các bình phương của
chúng bằng 4736.
a 5
a b
Gọi 2 số lần lượt là a và b ta có: =  = và a2+b2=4736
b 7
5 7
2
2
2
2
a 5
a
b
a +b
4736
=
=

=
= 64
Từ = 
b 7
25 49 25 + 49
74
a=25.64=52.82=402=(-40)2a=40
Tương tự: b=56
Vì tỉ số của a và b=5/7>0 a,b cùng dấu.
Vậy a=40 ; b=56 hoặc a=-40 ; b=-56.
8) Tổng các lt bậc 3 của 3 số hữu tỉ là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ nhất và
số thứ 2 là 2/3, tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ 3 là 4/9. Tìm các số đó?
Gọi 3 hữu tỉ số cần tìm lần lượt là x, y ,z.
Muốn
Ta có: x3+y3+z3=-1009
giải
Và
biểu
x 2 x 4
x y x z
x y z
x3
y3
z3
thức về
= ; =  = và =  = = 
=
=
y 3 z 9
2 3 4 9

4 6 9
64 216 729
tỉ số,
3
3
3
chia tỉ
x +y +z
− 1009
=
=
= −1
lệ
ta
64 + 216 + 729 1009
Từ:

10


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

x3=-64x=-4; y3=-216y=-6; z3=-729z=-9
* Củng cố:
? Qua buổi học củng cố, khắc sâu ?
* Hướng dẫn học ở nhà.
Xem lại các bài tập đã làm, tìm các cách giải khác.
Bài tập:
1) Tìm các số a1, a2, …, a9 biết
a −9

a1 − 1 a 2 − 2 a 3 − 3
=
=
= ... = 9
9
8
7
1
Và a1 + a2 + … + a9 = 90
2) Tìm x, y, z biết.
x:y:z = 3:4:5 và 2x2+2y2-3z2=-100

làm thế
nào?
- Biểu
thức số
cần tìm
qua
chữ.
- Thiết
lập dãy
TSBN
và mối
tương
quan
giữa
các
chữ.
Áp
dụng

tính
chất
của
……

Ký duyệt
Ngày tháng năm

11


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 4:
Ngày soạn:...................
Ngày dạy:.....................

TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU

A. MỤC TIÊU:

- Như tuần 13:
B. CHUẨN BỊ:

- Ôn tập các kiến thức về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau, xem các dạng bài tập đã
làm.
C. TIẾN TRÌNH TRÊN LỚP:

* Ổn định tổ chức

* Kiểm tra: xen trong giờ
* Bài mới.
I/ Chữa bài tập:
1) Chữa lại bài tập 7.
2) Chữa lại bài tập 8.

Động
viên,
khuyến khích
HS tìm cách
giải khác.

3) Tìm các số
a −9
a1 − 1 a 2 − 2 a 3 − 3
=
=
= ... = 9
9
8
7
1
Và a1 + a2 + … + a9 = 90
Giải:
a − 9 a 1 − 1 + a 2 − 2 + ... + a 9 − 9
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
=
9

8
1
9 + 8 + 7 + ... + 1
(a + a 2 + ... + a 9 ) − (1 + 2 + ... + 9) 90 − 45
= 1
=
=1
9 + 8 + ... + 1
45

a1-1=9 a1=10; a2-2=8 a2=10;
a3-3=7 a3=10 a9-9=1 a9=10
Vậy a1=a2=…=a9=10
4) Tìm x, y, z biết x:y:z=3:4:5 và 2x2+2y2-3z2=-100
Từ x:y:z=3:4:5
x y z
x 2 y2 z2
2x 2 2 y 2 3z 2 3z 2
=
=

=
=
=
 = = 
3 4 5
9 16 25
18
32
32

75
Áp dụng tính chất ...
2x 2 2 y 2 3z 2 3z 2 2x 2 + 2 y 2 − 3z 2 − 100
=
=
=
=
=
=4
18
32
32
75
18 + 32 − 75
− 25
2x2=4.18=72x2=36=(6)2 x=6
2y2=4.32 y2=2.32=64=(8)2y=8
3z2=75.4z2=25.4=100=(10)2z=10
x y z
Vì = =  x, y,z cùng dấu
3 4 5
Vậy x=6y=8; z=10
12


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Hoặc x=-6y=-8; z=-10
II. Kiểm tra giấy: (60’)
Đề bài:

1. Tìm giá trị của y để biểu thức sau dương:
a) 2y2-4y
b) 5(3y+1)(4y-3)
2. Tìm a, b, c biết 2a = 3b; 5b=7c
Và 2a-5b+7c=-42
3. Một trường có 3 lớp 6. Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 6A bằng 3/4
số HS lớp 6B và bằng 4/5 số HS lớp 6C, lớp 6C có số HS ít hơn tổng
số HS của 2 lớp kia là 57 HS. Tính số HS mỗi lớp?
4. Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó: 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
với 1; 2; 3.
Cách cho điểm:
Câu 1: (2,5đ)
a) 2y2-4y=2y(y-2)>0 khi
y>0 và y-z>0 hoặc y<0 và y-z<0
Hay y>0 và y>z hoặc y<0 và yHay y>z hoặc y<0
b) 5(3y+1)(4y-3)>0
Khi 3y+1>0 và 4y-3>0 Hoặc 3y+1<0 và 4y-3<0
−1
3
−1
3
Hay y 
và y  hoăo y 
và y 
3
4
3
4
(1,25đ)

3
−1
Hay y  hoăo y 
4
3
Câu 2: (2,5đ)
a b b c
= ; =
(0,5đ)
3 2 7 5
a
b
= 
a
b
c
2a 5b 7c
21 14 
(1,0đ)
=
=
 = = 
b
c  21 14 10
42 70 70
=
14 10 
Áp dụng tính chất....
2a 5b 7c 2a − 5b + 7c − 42
=

=
=
=
= −1
(0,5đ)
42 70 70 42 − 70 + 70
42
2a=-42a=-21
5b=-70b=-14
7c=-70c=-10
(0,25đ)
Thử lại:
(0,25đ)
Câu 3: (2,5đ)
Gọi số HS 3 lớp 6A, 6B, 6C lần lượt là a, b, c
(a, b,c N*)
(0, 5đ)
13


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

2
3
4
(1)
và (a+b)-c=57
a= b= c
3
4

5
a b c a + b − c 57
=
= 36
Từ (1)  = = =
3 4 5 3 4 5 19
+ −
2 3 4 2 3 4 12
2a 3b 4c
a
b
c
=
hay = =
Hoặc từ (1)  =
24 48 60
12 16 15
3
4
5
 a = .36 = 54; b = .36 = 48; c = .36 = 45
2
3
4
Thử lại:
Câu 4: (2,5đ)
Gọi số có 3 chữ số cần tì là abc (a,b,c là chữ số, a0)
Vì số đó  18 nên chia hết cho cả 2 và 9
 c chẵn và a+b+c  9 (a+b+c=9; 18;27)
a b c a+b+c

Vì = = =
mà a,b,cZ a+b+c=18
1 2 3
6
a=18/6=3; b=6; c=9 !
a b c
Hoặc = = b=3; c=6; a=9
1 2 3
a b c
Hoặc = = c=3; a=6; b=9 !
1 2 3
a b c
= = a=3; c=6; b=9
1 2 3
Số cần tìm: 396 hoặc 936
* Thu bài, rút kinh nghiệm,
* Dặn dị.
+) Ơn tập, xem lại các bài tập đã làm;
+) Tìm cách giải khác.
+) Ôn tập trường hợp bằng nhau của tam giác.
Ta có:

(0,5đ)
(1,0đ)

(0,25đ)
(0,25đ)

Ký duyệt
Ngày tháng năm

14


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 5:
Ngày soạn:......................
Ngày dạy: .......................

PHẦN HÌNH HỌC
Một số phương pháp chứng minh hình hoc

A. MỤC TIÊU:
- Bổ sung một số phương pháp CM hình cơ bản.
B. CHUẨN BỊ:

- Ôn tập các kiến thức về tam giác cân, các t/h bằng nhau của hai tam giác;
đ/ l Py- ta - go .
C. TIẾN TRÌNH TRÊN LỚP:

* Ổn định tổ chức
* Kiểm tra: xen trong giờ
* Bài mới.
A. Lý thuyết
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
2
P : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác
cân

- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so
le trong ,đồng vị
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
4. Chứng minh hai đường thẳng vng góc
P2 : - Tính chất của tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo
- Quan hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vng góc
5. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về
quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác
B. Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE

15


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

HD:
Phân tích tìm hướng giải
*Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c)
E

Có : AB = AD, AC = AE (gt)
A
 Cần CM : DAC = BAE
1
Có : BAE = 900 + BAC = DAC
I
* Gọi I là giao điểm của AB và CD
2
K
Để CM : DC ⊥ BE cần CM I 2 + B1 = 900
1
Có I1 = I 2 ( Hai góc đối đỉnh) và I1 + D1 = 900
 Cần CM B1 = D1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC)
C
Lời giải
a) Ta có BAE = 900 + BAC = DAC  DAC = BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE
b) Gọi I là giao điểm của AB và CD
Ta có I1 = I 2 ( Hai góc đối đỉnh) , I1 + D1 = 900 ( ∆ ADI vng tại A) và B1 = D1 ( vì
∆ABE = ∆ ADC)  I 2 + B1 = 900  DC ⊥ BC
*Khai thác bài 1:
Từ bài 1 ta thấy : DC = BE vµ DC ⊥ BE khi ∆ABD và ∆ ACE vng cân, vậy
nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK ⊥ CD tại D thì ba điểm E, K, B
thẳng hàng
Ta có bài tốn 1.2
Bài 1. 1: Cho tam gi¸c ABC cã Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai
đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông gãc vµ b»ng AC . Từ B kẻ BK
⊥ CD tại K
Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
HD : Từ bài 1 chứng minh được DC ⊥ BE mà BK ⊥ CD tại K suy ra ba điểm E, K,

B thẳng hàng
*Khai thác bài 1.1
Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA ⊥ BC từ đó ta có
bài toỏn 1.2
Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai
đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và b»ng AC . Gọi M là trung
điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA ⊥ BC
Phân tích tìm hướng giải
HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC
Để CM MA ⊥ BC  ta cần CM ∆AHC vuông tại H
 Để CM ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác
vuông bằng ∆AHC
Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN
Kẻ DQ ⊥ AM tại Q
 Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
N
16
1
D
M

D
1

B


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9



CM: ND = AC , N1 = ACB , BAC = ADN


CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)


Có AD = AB (gt)
Cần CM : ND = AE ( = AC) và BAC = ADN
+ Để CM ND = AE


CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)
+ Để CM BAC = ADN

EAD + ADN = 1800 vì EAD + BAC = 1800


CM

AE // DN (∆MDN = ∆MEA)

Lời giải
Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM =
MN
kẻ DQ ⊥ AM tại Q
Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì :
AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA = DMN ( hai góc đối đỉnh)
 DN = AE ( = AC) và AE // DN vì N1 = MAE ( cặp góc so le trong )
 EAD + ADN = 1800 ( cặp góc trong cùng phía) mà EAD + BAC = 1800  BAC = ADN
Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và BAC = ADN ( chứng

minh trên )  ∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N1 = ACB
Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC = ADN và N1 = ACB
 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuông tại H hay MA ⊥ BC
* Khai thác bài toán 1.3
+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA ⊥ BC , ngược lại
nếu AH ⊥ BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài tốn 1.4
Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi H l chõn
ng vng góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm
của đoạn thẳng DE
HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau:
Kẻ DQ ⊥ AM tại Q, ER ⊥ AM tại R .
Ta có : + DAQ = HBH ( Cùng phụ BAH )
AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)
 DQ = AH (1)
17


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

+ ACH = EAR ( cùng phụ CAH )
AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)
 ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2)  ER = DQ
Lại có M1 = M 2 ( hai góc đối đỉnh )
 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g)  MD = ME hay M là trung
điểm của DE

R
1

E

D

M
2
Q
1 A

B
H
C

Ký duyệt
Ngày tháng năm

18


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 6: Dạng toán chứng minh chia hết
Ngày soạn:.........................
Ngày dạy:...........................
1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n chia hết cho 10
HD: ta có 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n = 3n+2 + 3n − 2n+2 − 2n
= 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1)
= 3n 10 − 2n  5 = 3n 10 − 2n−1 10
= 10( 3n -2n)
Vậy 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 :
Chứng tỏ rằng:
2004
A = 75. (4
+ 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
= 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100

Bài 3 :

Cho m, n  N* và p là số nguyên tố thoả mãn:

m+n
p
=
(1)
p
m −1

Chứng minh rằng : p2 = n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p (m − 1) do p là số nguyên tố và m, n  N*
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n  N*  m – 1 = p2 và m + n =1

 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại)
Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè A = 101998 − 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
b) Chøng minh r»ng: A = 3638 + 4133 chia hÕt cho 7
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
4 = 3.1 + 1
Suy ra : A = 101998 − 4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không
chia hết cho 9
b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k  N*)
4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q  N*)
Suy ra : A = 3638 + 4133 = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7
Bài 5 :
a) Chøng minh r»ng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên d-ơng
b) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)
Bài 6 : a) Chøng minh r»ng: 3a + 2b  17  10a + b  17 (a, b  Z )
19


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

b) Cho ®a thøc f ( x) = ax2 + bx + c (a, b, c nguyªn).
CMR nÕu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta có 17a – 34 b 17 và 3a + 2b 17  17a − 34b + 3a + 2b 17  2(10a − 16b) 17
 10a − 16b 17 vì (2, 7) = 1  10a + 17b − 16b 17  10a + b 17
b) Ta có f(0) = c do f(0) 3  c 3
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết
cho 3  2b 3  b 3 vì ( 2, 3) = 1
f(1) 3  a + b + c 3 do b và c chia hết cho 3  a 3
Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng

102006 + 53
lµ mét sè tù nhiên
9

b) Cho 2 n + 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2 n 1 là hợp số
HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2 n + 1
là số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số
* Dặn dị.
+) Ơn tập, xem lại các bài tập đã làm;
+) Tìm cách giải khác.
+) Ơn tập trường hợp bằng nhau của tam giác; lý thuyết chương II
Ký duyệt
Ngày tháng năm

20


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Chuyên đề 7:
Ngày soạn:.........................
Ngày dạy:...........................

Bất đẳng thức

A. ĐẠI SỐ
1.Kiến thức vận dụng
* Nếu a1 < a2 < a3 <…. < an thì n a1 < a1 + a2 + … + an < n an
1

1 1
1
1
 + + ..... + 
nan a1 a2
an na1
1
1
1
 2
* a(a – 1) < a2 < a( a+1) 
a (a + 1) a
a (a − 1)
2
2
2
2
* a + 2.ab + b = ( a + b)  0 , * a – 2 .ab + b2 = ( a – b)2  0 với mọi a,b


2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M =
HD : Ta cú M =

a
b
c
không là số nguyên.
+
+

a+b b+c c+a

a
b
c
a
b
c
a +b+c
+
+

+
+
=
=1
a+b b+c c+a a+b+c c+a+b a+b+c a+b+c

 M 1

Mặt khác M =
3−(

a
b
c
(a + b) − b (b + c) − c (c + a) − a
+
+
=

+
+
a+b b+c c+a
a+b
b+c
c+a

b
c
a
+
+
) = 3 – N Do N >1 nên M < 2
a+b b+c c+a

Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : a + b  2 ab (1) , a + b + c  3 3 abc (2) với a, b, c  0
HD : a + b  2 ab
 (a + b)2  4ab  a 2 + 2ab + b2  4ab  a 2 − 2ab + b2  0  (a − b)2  0 (*)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
1
a

1
b

1
a

a) (a + b)( + )  4 (1)
1
a

1 1
b c

b) (a + b + c)( + + )  9 (2)
1
b

HD : a) Cách 1 : Từ (a + b)( + )  4  (a + b)2  4ab  (a − b)2  0 (*)
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
21


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Cách 2: Ta có a + b  2 ab và

1 1
1 1
2
2
 (a + b)( + )  2 ab .
+ 
=4
a b
a b

ab
ab

Dấu “ =” xẩy ra khi a = b

1
a

1 1
b c

b) Ta có : (a + b + c)( + + ) = 3 +
Lại có

b+c a +c a +b
a b
b c
a c
+
+
= 3+ ( + ) + ( + ) + ( + )
a
b
c
b a
c b
c a

a b
b c

a c
+  2; +  2; +  2
b a
c b
c a
1
a

1
b

1
c

Suy ra (a + b + c)( + + )  3 + 2 + 2 + 2 = 9 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
Bài 4 :

a) Cho z, y, z là các số d-ơng.
Chứng minh r»ng:

x
y
z
3
+
+

2x + y + z 2 y + z + x 2z + x + y 4

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab + bc + ca  0 .

HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ đó cm được ab + bc + ca  0
*****************************************
B. HÌNH
+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA ⊥ DE , ngược lại
nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vng góc với DE, ta có bài tốn 1.4
Bi 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm
D
M
của BC .
Chứng minh rằng tia HA vng góc với DE E
HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4
A
Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’
Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
 A’B = AC ( = AE) và HAC = HA ' B
 AC // A’B  BAC + ABA ' = 1800 ( cặp góc trong cùng phía)
Mà DAE + BAC = 1800  DAE = ABA '
Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt)
B
DAE = ABA '  ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)
 ADE = BAA ' mà ADE + BAA ' = 900  ADE + MDA = 900
H
C
Suy ra HA vng góc với DE

A'

22

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bi 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên
tia ®èi cđa tia CB lÊy ®iĨm E sao cho BD = CE. Các đ-ờng thẳng vuông góc với BC
kẻ từ D và E cắt AB, AC lần l-ợt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC
A

* Phõn tích tìm lời giải
a) Để cm DM = EN


Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
M



Có BD = CE (gt) , D = E = 900 ( MD, NE ⊥ BC)
BCA = CBA ( ABC cõn ti A)
b) Cm Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung
điểm I của MN Cn cm IM = IN


I

C

B

E
D

H

O

N

Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
c) Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH
với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I  Cần cm O là điểm cố định
Để cm O là điểm cố định

Cần cm OC ⊥ AC

Cần cm OAC = OCN = 900

Cần cm : OBA = OCA và OBM = OCM


Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
*Khai thác bài 2
Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toỏn nh sau:
Bi 2.1
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia
AC lấy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I .

Chøng minh r»ng:
a) I là trung im ca MN
b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi

23


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS các lớp 6, 7, 8, 9
A

lời giải:
Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MD ⊥ BC ( D  BC)
NE ⊥ BC ( E  BC)
M
I

C

B

E
D

H

N

O

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường
thẳng vng góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần
A
lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE .
a) Chứng minh rằng : AI ⊥ BC
1
D
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được khơng ? vì sao?
*Phân tích tìm lời giải
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI
H
K
Để cm AI ⊥ BC  Cần cm A1 + ACK = 900
C
I
Để cm A1 + ACK = 900




Có AEK + EAK = 900
cần cm A1 = AEK và ACK = CAK
E



Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
b) Để so sánh DE với BC
 cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)


So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK)
Có AI  AK
Lời giải :
a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K  cần cm A1 = AEK
và ACK = CAK mà AEK + EAK = 900  A1 + ACK = 900  AI ⊥ BC
b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)
Mà AI  AK  DE  BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vng
cân tại A
Ký duyệt
Ngày tháng năm

24

B