BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG mô tả QUÁ TRÌNH hấp THỤ, tỏa NHIỆT và CHUYỂN ĐỘNG của một CHẤT điểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
GIẢI TÍCH 1
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG
MƠ TẢ Q TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT
VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM
Giảng viên hướng dẫn:

Huỳnh Thái Duy Phương

Nhóm sinh viên thực hiện:

Nhóm 14

STT

Họ tên sinh viên

1

Đặng Thanh

2

Nguyễn Trương Thu Thảo

3

Nguyễn Minh Thiện

4

Nguyễn Thế Hồng Thơng

5

Phó Vạn Thơng

MSSV

Nhóm
/Tổ

211474
7

14

211480
9

14

211487
4

14

211238

2
211492

14
14


0

TP.HCM, 12/2021

2


LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích 1 là một mơn khoa học quan trọng đối với sinh viên các nghành khoa học
tự nhiên và kỹ thuật. Là mơn học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, giải tích 1 giới
thiệu về những kiến thức nền tảng quan trọng và những ứng dụng của chúng được sử
dụng rất nhiều trong việc học tập các môn khoa học. Một trong những ứng dụng phổ biến
nhất của giải tích một phải nói đến là ứng dụng của phương trình vi phân. Phương trình vi
phân đóng vai trị quan trọng trong việc ứng dụng tốn học vào những lĩnh vực khoa học
khác vì có rất nhiều q trình thực tế có thể mơ tả bằng phương trình vi phân một cách dễ
dàng và đầy đủ. Tuy nhiên, để hiểu được ứng dụng của phương trình vi phân, chúng ta
cần phải nắm vững những kiến thức về khoa học tự nhiên ( vật lí, hóa học, sinh học,…) và
kỹ thuật. Và bài báo cáo được trình bày sau đây sẽ tìm hiểu và thực hành ứng dụng của
phương trình vi phân trong khía cạnh vật lý mà cụ thể là mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt
và chuyển động của một chất diểm bằng cách viết phương trình vi phân.


MỤC LỤC

Lời nói đầu………………………………………………………………………… i
Mục lục…………………………………………………………………………… ii
Phần I. Mơ tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân……………….. 1
1.1.Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt……………………………………. 1
1.2.Một số bài tốn ví dụ………………………………………………………...... 2
Phần II. Mơ tả chuyển động của một chất điểm bằng phương trình vi phân………… 4
2.1.Cơ sở lý thuyết………………………………………………………………..... 4
2.2.Một số bài toán ví dụ………………………………………………………....... 6
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………… 7


Phần 1: Mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân.
1.1 Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt:
- Trong nhiệt động lực học, thuật ngữ q trình tỏa nhiệt mơ tả một q trình hoặc phản
ứng giải phóng năng lượng từ hệ thống ra môi trường xung quanh, thường ở dạng nhiệt,
nhưng cũng ở dạng ánh sáng (ví dụ như tia lửa, ngọn lửa hoặc đèn flash), điện (ví dụ như
pin), hoặc âm thanh (ví dụ như tiếng nổ khi đốt hydro).
- Đối lập với một quá trình tỏa nhiệt là quá trình thu nhiệt, một quá trình hấp thụ năng
lượng dưới dạng nhiệt.
- Từ phát biểu của Rudolf Clausius về nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học: “Nhiệt
không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn”, ta có thể rút ra kết luận rằng
nhiệt chỉ được truyền từ nơi nóng hơn đến nơi lạnh hơn.
- Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ của vật thể T
và nhiệt độ của môi trường xung quanh T0. (1)
- Tốc độ làm lạnh vật thể là sự giảm nhiệt độ T trong một đơn vị thời gian t và được biểu
diễn bởi công thức đạo hàm

dT
. (2)
dt

- Từ (1) và (2) ta có phương trình vi phân q trình làm lạnh (làm nóng) một vật thể như
sau:
(3)

dT
= k(T-T0), k là hệ số tỉ lệ
dt

- Giải phương trình vi phân (3):
dT
=¿ kdt
T −T 0
dT

=> ∫ T −T = k ∫ dt
0

=> ln|T −T 0|=kt+lnC
=> |T −T 0|=C e

kt

1


( trong đó, hằng số C và hệ số tỉ lệ k tìm được dựa vào các điều kiện đầu của bài tốn ).
1.2 Một số bài tốn ví dụ mơ tả q trình hấp thụ và tỏa nhiệt bằng phương
trình vi phân:
Ví dụ 1: Vận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỉ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ

của vật và nhiệt độ của khơng khí. Đặt vật trong mơi trường khơng khí có nhiệt độ ổn
định là 20oC, biết sau 20 phút thì nhiệt độ của vật giảm từ 100oC xuống 60oC. Hỏi sau bao
lâu kể từ thời điểm nhiệt độ của vật 60oC, nhiệt độ của vật giảm cịn 30oC.
Giải
Ta có nhiệt độ mơi trường là 20oC => T0 = 20, thế vào công thức tính tốc độ nguội lạnh
của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút: T =20+C ekt (*)
- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 100oC => T = 100, thế vào (*) ta được:
100=20+C e 0 k => C = 80

- Tại t = 20, nhiệt độ của vật là 60oC => T = 60, thế vào (*) ta có:
60=20+80 e 20 k => k =

-Vậy quy luật nguội lạnh của vật là T =20+80 e

−ln 2
(**)
20

−ln 2
t
20

- Khi nhiệt độ của vật giảm còn 30oC => T = 30, thay vào (**) ta được t = 60 phút.
- Vậy sau 60 −¿ 20 = 40 phút kể từ thời điểm nhiệt độ của vật đạt 60oC, nhiệt độ của vật
là 30oC.
Ví dụ 2: Một lon soda vừa được đưa ra từ tủ đơng có nhiệt độ là 32oF, biết nhiệt độ môi
trường là 68oF và nhiệt độ của lon soda tăng từ thêm 18oF trong vòng 10 phút. Hỏi sau 30
phút thì nhiệt độ lon soda là bao nhiêu.
Giải
Ta có nhiệt độ môi trường là 68oF => T0 = 68, thế vào cơng thức tính tốc độ nguội lạnh

của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút:
2


|T −68|=C ekt
- Khai triển trị tuyệt đối kết hợp với điều kiện đề bài ta được:
T =68−C e kt (i)

- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 32oF => T = 32, thế vào (i) ta được C = 36.
- Tại t = 10, nhiệt độ của vật là 32 + 18 = 50oF => T = 50, thế vào (i) ta có:
50=68−36 e 10 k => k =

−ln 2
10

- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau thời gian t phút là:
T =68−36 e

- Khi t = 30, nhiệt độ của vật là T =68−36 e

−ln 2
t
10

−ln 2
30
10

=63,5o F .

Ví dụ 3: Một ứng dụng khác của dạng phương trình vi phân này trong cuộc sống, cụ thể
là trong nghiệp vụ điều tra phá án, đó là xác định thời gian tử vong của một xác chết.
Đặt vấn đề: Tại một thị trấn A, một người đàn ông tên X đã bị sát hại trong chính
căn hộ của anh ta. Thi thể của nạn nhân được phát hiện vào lúc 22h tối, thân nhiệt lúc này
được đo là 27oC. Vào 23h tối cùng ngày, thân nhiệt đo được của thi thể là 24oC. Biết nhiệt
độ trong phịng ln được duy trì ở mức 21oC, hãy xác định thời gian ông X bị sát hại
Giải
Chọn mốc thời gian t = 0 lúc phát hiện ra thi thể nạn nhân, khi đó nhiệt độ đo được trên
thi thể ông X là T = 27oC và nhiệt độ phòng là T0 = 21oC, ta có:
27=21+C e 0 k => C = 6.

- Sau đó 60 phút => t = 60, nhiệt độ đo được trên thi thể ơng X là 24oC, ta có:
24=21+6 e 60 k => k =

−ln 2
60

- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ cơ thể ơng X sau t phút kể từ lúc 22h là
3


T =21+6 e

−ln 2
t
60

- Nhiệt độ cơ thể ông X khi còn sống là 37oC => 37=21+6 e

−ln 2

t
60

=> t ≈ -85
- Vậy thời điểm tử vong của ông X là khoảng 85 phút trước khi được phát hiện, tức là vào
khoảng 20h35 tối cùng ngày.
Phần II: Mô tả chuyển động của một chất điểm
1.1 Cơ sở lý thuyết:
a) Chất điểm: Một vật chuyển động được coi là một chất điểm nếu kích thước của nó rất
nhỏ so với độ dài đường đi. Chất điểm có khối lượng là khối lượng của vật.
b) Chuyển động cơ: Chuyển động cơ của một vật (gọi tắt là chuyển động) là sự thay đổi
vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian.
c) Quỹ đạo: Quỹ đạo của chuyển động là tập hợp tất cả các vị trí của một chất điểm
chuyển động tạo ra một đường nhất định.
d) Cách xác định thời gian trong chuyển động:
- Mốc thời gian (hoặc gốc thời gian) là thời điểm mà ta bắt đầu đo thời gian
- Nếu lấy mốc thời gian là thời điểm vật bắt đầu chuyển động (thời điểm 0) thì số chỉ của
thời điểm sẽ trùng với số đo khoảng thời gian đã trôi qua kể từ mốc thời gian.
+ Thời điểm là giá trị mà đồng hồ hiện đang chỉ đến theo một mốc cho trước mà ta xét.
+ Thời gian là khoảng thời gian trôi đi trong thực tế giữa hai thời điểm mà ta xét.
- Để đo thời gian người ta dùng một đồng hồ.
* Yêu cầu đặt ra : Xét 1 vật chuyển động thẳng, khảo sát quá trình chuyển động của nó
bằng phương trình vi phân.
e) Vector vị trí ( vector bán kính ):
r⃗ = xi⃗ + y ⃗j +jk⃗ (x,y,z là tọa độ của chất điểm trong hệ tọa độ Descartes)

f) Vector vận tốc:
-Vector vận tốc trung bình:
4

⃗
v tb =

∆ r⃗
∆t

Trong đó:
r2 - ⃗
r 1, với ⃗
r2 , ⃗
r 1 là vector vị trí của chất điểm tại thời điểm t2 và t1
∆ r⃗ = ⃗
∆ t = t 2 – t1

- Vector vận tốc tức thời:
⃗v = lim

∆ t →0

∆ r⃗ d r⃗
=
∆t
dt

Trong hệ tọa độ Descartes:
d r⃗ dx ⃗ dy ⃗ dz ⃗
j+
k = vxi⃗ + vy ⃗j + vzk⃗
= i+

dt
dt
dt
dt

⃗v =

Độ lớn của vector vận tốc:
2

2

2

|⃗v| = √ v 2x + v 2y +v 2z = ( dx ) +( dy ) +( dz )

√

dt

dt

dt

g) Vector gia tốc:
- Vector gia tốc trung bình:
a tb =
⃗

∆ ⃗v

∆t

Trong đó:
v2 - ⃗
v1 , với ⃗
v2 , ⃗
v1 là vector vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t2 và t1
∆ ⃗v = ⃗
∆ t = t 2 – t1

- Vector gia tốc tức thời:
a⃗ = lim

∆ t →0

∆ ⃗v d ⃗v
=
∆t
dt

Trong hệ tọa độ Descartes:
a⃗ =

d ⃗v d 2 r⃗ d 2 x ⃗ d 2 y ⃗ d 2 z ⃗
= 2 = 2 i + 2 j + 2 k = axi⃗ + ay ⃗j + azk⃗
dt
dt
dt
dt
dt

Độ lớn vector gia tốc:
5


d 2 x 2 d2 y 2 d 2 z 2
|a⃗| = √ a + a +a = ( 2 ) +( 2 ) +( 2 )
dt
dt
dt
2
x

2
y

2
z

√

h) Chuyển động thẳng đều:
Quỹ đạo là đường thẳng và ⃗v = const
Gọi s là quãng đường đi
v=

ds
=> ds = vdt
dt

s

t

∫ ds = ∫ vdt => s = s0 + vt
s0

0

i) Chuyển động thẳng thay đổi đều:
Quỹ đạo là đường thẳng và a⃗ = const
t

a=

dv
=> v = ∫ adt
dt
0

hay v = at + v0 ( với v0 là vận tốc đầu lúc t = 0 )

(*)

t

mà ds = vdt => ds = (at + v0)dt

=> s = ∫ ( at + v 0 ) dt =
0

1 2
at + v0t + s0
2

(**)

Khử t trong (*) và (**) ta được : v2 – v02 = 2a(s – s0)

2.2 Một số bài tốn ví dụ :
Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với vận tốc v =√ x
(m/s) và bắt đầu từ gốc tọa độ O với vận tốc đầu bằng khơng. Tìm vận tốc của chất điểm
tại thời điểm t = 2s.

Giải
Ta có:

v = √ x => v2 = x (1)

Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (1) theo thời gian :
6


dv
dt
d v 2 dx
=
=> 2v = v => dv =
(2)
dt

dt
2
dt

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2) :
v

2

0

0

∫ dv = ∫ dt2

=> v = 1-0 = 1 m/s

Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1(t) = 2t+12 (m/s), sau khi đi được khoảng thời
gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2(t) = 24−6t
(m/s) và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc
dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ?
Giải
Ta có: v02 = 24 (m/s) do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 m/s
Khi đó v1(t) = 2t+12 = 24 ⇔ t = 6(s)
Vật dừng lại khi v2(t) = 24−6t = 0 ⇔ t2 = 4(s)
6

4

Quãng đường vật đi được là: s=∫ v 1 (t¿)dt ¿ +

0

6

∫ v 2 ( t ) dt = ∫ (¿ 2t +12)dt ¿
0

0

4

+

∫ ( 24−6 t ) dt
0

=156 (m)
Vậy quãng đường vật đi được là s=156m
Ví dụ 3: Một ơ tơ đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm
phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −4t+20 (m/s) trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến
khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển được bao nhiêu mét?
Giải
Khi vật dừng hẳn thì v = 0 ⇒ −4t+20 = 0 ⇔ t = 5(s).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là: 
5

5

S(t)= ∫ v ( t ) dt = ∫ (−4 t +20 ) dt = 50 (m)

0

0

Vậy quãng đường vật đi được là: s= 50 m
Tài liệu tham khảo:
7


- Giáo trình giải tích 1, Nguyễn Đình Huy ( chủ biên ).
- Vật lý đại cương A1, Nguyễn Thị Bé Bảy ( chủ biên).
- Luận văn tốt nghiệp, khoa vật lý, trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Nguyễn Thị Thanh
Tâm.
- Estimating time of death, Tom Woodson, Clayton Tyndall and Chris Stepheson.
- Exploring differntial equations via graphics and data, Lomen, David and David
Lovelock.
- Heald, MA, american journal of physics, 1997 p11.
- các lớp L35 (T2 9h-12h); L31 (T4 9h-12h); L28 (T5 12h15h); L06 (T6 9h-12h)

8