Một số bài tập về môđun xạ ảnh với môđun đối ngẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH
VỚI MƠĐUN ĐỐI NGẪU

Giảng viên hướng dẫn:

Học viên thực hiện:

TS. PHAN VĂN THIỆN

TRƯƠNG THN HỒNG THỦY
Ngành: Lý luận và phương pháp
dạy học mơn Tốn
Lớp: Cao học khóa K20
(2011-2013)

Huế, 02/2012

1


LỜI NĨI ĐẦU
Hiện nay có rất nhiều người quan tâm nghiên cứu về lý thuyết môđun. Đối
với những học viên khoa Tốn ở cao học, việc được học mơn Cơ sở đại số
hiện đại tạo cơ hội để tiếp cận sâu hơn và nghiên cứu thêm về mảng lý thuyết

này. Trong đó mơđun xạ ảnh và mơđun nội xạ là hai lớp môđun quan trọng
được chú ý nghiên cứu nhiều hơn cả. Là một học viên cao học thì việc tìm tịi
nghiên cứu là điều rất cần thiết và nên làm. Do đó tuy khoảng thời gian hạn
hẹp nhưng với mục đích nghiên cứu thêm về mơđun xạ ảnh tơi đã chọn đề tài
tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI
NGẪU”. Phần tiểu luận được phân thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuNn bị
Chương 2: Một số bài tập về môđun xạ ảnh với mơđun đối ngẫu.
Tơi xin chân thành cảm ơn vì sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS.
Phan Văn Thiện và sự ủng hộ, chia sẻ tài liệu từ các bạn trong lớp cao học
Toán K20 trường đại học sư phạm Huế. Tiểu luận này vì nhiều lí do chắc chắn
khơng tránh khỏi thiếu sót. Tơi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của tất cả
mọi người để tiểu luận này hoàn thiện hơn.

Huế, ngày 12 tháng 02 năm 2012
Trương Thị Hồng Thủy

2


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................2
MỤC LỤC..........................................................................................................3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BN................................................................4
1.1 Mơđun ..........................................................................................................4
1.2. Đồng cấu mơđun .........................................................................................5
1.3. Tích trực tiếp. Tổng trực tiếp ......................................................................7
1.4. Dãy khớp .....................................................................................................8
1.5. Môđun tự do ................................................................................................9
1.6. Môđun xạ ảnh............................................................................................11

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI
NGẪU ..............................................................................................................13
2.1. Bài tập 1. ...................................................................................................13
2.2. Bài tập 2. ...................................................................................................15
2.3. Bài tập 3. ...................................................................................................16
2.4. Bài tập 4. ...................................................................................................16
2.5. Bài tập 5. ...................................................................................................17
2.6. Bài tập 6. ...................................................................................................18
2.7. Bài tập 7. ...................................................................................................19
2.8. Bài tập 8. ...................................................................................................20
KẾT LUẬN ......................................................................................................22
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................23

3


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BN
1.1 Môđun
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, ( M , +) là nhóm aben. M được gọi là
một R-mơđun trái nếu có một ánh xạ (được gọi là phép nhân vơ hướng)
R × M 
→M
r, x

֏

rx

thỏa mãn các tính chất sau:
(i)

r ( x + y ) = rx + ry
(r + s ) x = rx + sx ;

(ii) (rs ) x = r ( sx) ;
(iii) 1.x = x ;
∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M .
Một R-môđun trái M được kí hiệu là R M cịn gọi là một mơđun trái trên R.
Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R-môđun phải bằng cách xét phép
nhân vô hướng ở bên phải. M là một R-mơđun phải được kí hiệu là M R . Nếu
R là một vành giao hốn thì các khái niệm mơđun trái và mơđun phải là trùng

nhau.
Trong suốt tiểu luận này nếu không đề cập gì thêm thì để đơn giản ta qui

ước khi nói M là R-môđun nghĩa là M là một R-môđun trái.
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R-môđun. Tập con N của M được gọi là
một môđun con của M nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng
kín đối với phép nhân vơ hướng của R-mơđun M.

4


Định lý 1.1.1. Cho M là một R-môđun, N là một tập con khác rỗng của M.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i)

N là môđun con của M.

(ii) ∀x, y ∈ N , ∀r ∈ R : x + y = N , rx ∈ N .

(iii) ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ N : rx + sy ∈ N .

Định nghĩa 1.1.3. Cho N là mơđun con của R-mơđun M thì nhóm thương
( M / N , +) có cấu trúc của một R-mơđun với phép nhân ngoài được định
nghĩa:
r ( x + N ) = rx + N (r ∈ R, x ∈ M )
R-môđun ( M / N , +,.) này được gọi là môđun thương của môđun M trên

môđun con N

Định nghĩa 1.1.4. Cho S là một tập con của R-môđun M. Môđun con bé
nhất của M chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi S, ký hiệu: S . Nếu
M = S thì S được gọi là một hệ sinh của M và M được sinh bởi S. Nếu M có

một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh.

1.2. Đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho M , N là các R-môđun. Ánh xạ f : M 
→ N được
gọi là một đồng cấu R-mơđun hay cịn gọi R-đồng cấu nếu các điều kiện sau

được thỏa mãn:
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
f (rx) = rf ( x)
∀x, y ∈ M , r ∈ R .

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu f đơn ánh, toàn
ánh, song ánh tương ứng.

5

Nếu có một đẳng cấu f : M 
→ N thì M được gọi là đẳng cấu với N, kí
hiệu M ≅ N .
Nếu f : M 
→ N là một R-đồng cấu thì ta có:
(i)

f (0) = 0 .

(ii)

f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ M .

Đối với một đồng cấu f : M 
→ N ta kí hiệu
Im f = f ( M )
Ker f = { x ∈ M | f ( x) = 0} = f −1 (0)
Gọi Im f là ảnh của f, Ker f là hạt nhân của f.
Mệnh đề 1.2.1. Cho f : M 
→ N là đồng cấu R-môđun. Khi đó f đơn cấu
khi và chỉ khi Ker f = 0 .
Định nghĩa 1.2.2. Cho M và N là hai R-môđun. Tập hợp tất cả các R-đồng
cấu từ M vào N được ký hiệu HomR ( M , N ) .
Mệnh đề 1.2.2. Cho R là vành giao hoán. Khi đó với phép cộng và nhân vơ
hướng:
∀f , g ∈ HomR ( M , N ), r ∈ R : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x), ∀x ∈ M
(rf )( x) = rf ( x), ∀x ∈ M
thì HomR ( M , N ) là một R-môđun.

Định nghĩa 1.2.3. Cho R là vành giao hoán và xem R như là một mơđun
trên chính nó, khi đó R-mơđun
M * = HomR ( M , R)
được gọi là môđun đối ngẫu của M.
Với mỗi phần cho trước tùy ý u ∈ M . ta xác định một ánh xạ
ϕu : M * 
→ R,ϕu ( f ) = f (u ), ∀f ∈ M *
Dễ kiểm tra thấy ϕu cũng là một R-đồng cấu, tức nó là một phần tử của
mơđun đối ngẫu M ** của M * . Hơn nữa, tương ứng u ֏ ϕu cho ta một Rđồng cấu
ε : M 
→ M **
gọi là đồng cấu tự nhiên từ môđun M vào mơđun song đối ngẫu M**. Nói
chung đồng cấu ε khơng phải là đẳng cấu, thậm chí nói chung nó khơng phải
là đơn cấu. Nếu ε là đẳng cấu thì mơđun M được gọi là mơđun phản xạ. Các
6


môđun đối ngẫu đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc mơđun và
có rất nhiều ứng dụng khác nhau của đại số.

1.3. Tích trực tiếp. Tổng trực tiếp

{M }

Định nghĩa 1.3.1. Cho một họ những R-mơđun

i

i∈I

. Khi đó tích

Descartes ∏ M i = {( xi )i∈I | xi ∈ M i } cùng với phép cộng và phép nhân vô
i∈I

hướng:

∀( xi )i∈I ,( yi )i∈I ∈ ∏ M i , ∀r ∈ R : ( xi )i∈I + ( yi )i∈I = ( xi + yi )i∈I
i∈I

r ( xi )i∈I = (rxi )i∈I
là một R-mơđun, gọi là tích trực tiếp của họ {M i }i∈I .
Trường hợp M i = M với mọi i ∈ I ta ký hiệu ∏ M i = M I .
i∈I

Một toàn cấu R-môđun

pj : ∏ Mi → M j
i∈I

(xi )i∈I

֏ xj

gọi là phép chiếu tự nhiên.

Định nghĩa 1.3.2. Cho {M i }i∈I là một họ các môđun con của R-môđun. Tập
con của tích Descartes ∏ M i gồm tất cả những phần tử ( xi ) mà xi = 0 hầu hết
i∈I

trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I , là một môđun con, được gọi là tổng trực tiếp
(hay tổng trực tiếp ngoài) của họ {M i }i∈I và ký hiệu bởi ⊕ M i .
i∈I

Trong trường hợp M i = M với mọi i ∈ I ta ký hiệu ⊕ M i = M ( I ) .
i∈I

Một họ đơn cấu R-môđun
qj : M j → ⊕ Mi
i∈I

xj
x j ֏ ( xi ), xi = 
0
gọi là phép nhúng tự nhiên.

7

neáu i = j
neáu i ≠ j


Khi I là tập hữu hạn thì ∏ M i = ⊕ M i , cịn trong trường hợp vơ hạn thì
i∈I

i∈I

⊕ M i là mơđun con thực sự của ∏ M i . Thơng thường, khi xét tích trực tiếp ta
i∈I

i∈I

quan tâm các phép chiếu p j , còn đối với tổng trực tiếp ta quan tâm đến phép
nhúng q j .

Định lý 1.3.1. Cho R là một vành giao hoán. Với mọi i ∈ I , M i là R-mơđun
thì (⊕i∈I M i )* = ∏ i∈I M i * .
Chứng minh. Cho f ∈ (⊕i∈I M i ) * , cho f i : M i 
→ R, f i (mi ) = f (m) , trong đó
thành phần thứ i của m là mi , ngược lại bằng 0. Khi đó f i là một hàm xác định
với mỗi i ∈ I . Hơn nữa f i ∈ M i * . Xét tương ứng
φ : (⊕i∈I M i ) * 
→ ∏ i∈I M i *

f
֏
(f i )i∈I
Dễ thấy φ là xác định và là đơn ánh. Bây giờ ta cho ( f i )i∈I , định nghĩa
f : ⊕i∈I M i 
→ R , ∑ i∈I mi ֏ ∑ i∈I f i (mi ) . Dễ thấy f ∈ (⊕ i∈I M i ) * và
φ ( f ) = ( f i )i∈I , vì vậy φ là tồn ánh. Ta cũng dễ dàng kiểm tra được chỉ ra φ là
đồng cấu môđun.

1.4. Dãy khớp
Định nghĩa 1.4.1. Một dãy các đồng cấu R-môđun
f
f
f
f
... 

→ M i −1 
→ M i 
→ M i +1 
→ ...
i −2

i −1

i

i +1

gọi là khớp tại i nếu Im( f i −1 ) = Ker( f i ) .
f
g
Dãy khớp 0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ 0 gọi là dãy khớp ngắn.
f
g
Ta thấy rằng dãy các đồng cấu R-môđun 0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

khớp thì X ≅ Im f và Z ≅ Y / Im f .

Định nghĩa 1.4.2. Dãy khớp
f
g
... 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ ...

gọi là chẻ ra tại Y nếu Im f là một hạng tử trực tiếp của Y.
Dãy khớp chẻ ra tại mọi môđun không nằm ở hai đầu của nó được gọi là
dãy khớp chẻ ra.
8


Dãy khớp ngắn
f
g
0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

luôn chẻ ra tại X và Z. Vậy dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi chẻ ra tại Y.

Mệnh đề 1.4.3. Cho dãy khớp ngắn
f
g
0 

→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

Các khẳng định sau là tương đương
(i) Dãy khớp trên chẻ ra.
→ X sao cho hf = 1X .
(ii) f có nghịch đảo trái, tức là có đồng cấu h : Y 
(iii) g có nghịch đảo phải, tức là có đồng cấu k : Z 
→ Y sao cho gk = 1Z .

1.5. Môđun tự do
Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành, S là một tập hợp. Một R-môđun tự do
trên R là một R-môđun F cùng với một ánh xạ f : S 
→ F sao cho với mọi
ánh xạ g : S 
→ X từ tập S vào R-môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu
R-môđun h : F 
→ X thỏa mãn hf = g
f
S

F

g
h
X
Mỗi ℤ -môđun tự do được gọi là nhóm abel tự do.

Đặt F = {φ : S 
→ R : φ là ánh xạ, φ ( S ) = 0 hầu khắp

}.

Định nghĩa phép cộng: ∀φ ,ψ ∈ F : (φ + ψ )( s ) = φ ( s ) + ψ ( s ), ∀s ∈ S .

9


Định nghĩa phép nhân: ∀r ∈ R, ∀φ ∈ F : (rφ )( s ) = rφ ( s ), ∀s ∈ S .
F cùng với phép cộng và phép nhân trên là thành một R-môđun.

Xét ánh xạ
f : S 
→F

s ֏ fs
với f s : S 
→ R cho bởi
1, neáu t = s
f s (t ) = 
0, nếu t ≠ s

Khi đó ( F , f ) là một R-môđun tự do trên S.

Định nghĩa 1.5.2. Cho M là R-môđun, S là tập con của M.
n

S gọi là hệ sinh của M nếu ∀x ∈ M , x = ∑ ri xi , ri ∈ R, si ∈ S .

i =1

n

S gọi là độc lập tuyến tính nếu ∑ ri xi = 0, ri ∈ R, si ∈ S ⇒ ri = 0, ∀i = 1,..., n .
i =1

S gọi là cơ sở của M nếu S là hệ sinh của M và độc lập tuyến tính.
Cho họ R-môđun ( M i )i∈S , S ≠ ∅, M i = R, ∀i ∈ S . Xét tổng trực tiếp
⊕i∈S M i = {( xi )i∈S | xi = 0 hầu khắp}
Mỗi phần tử ( xi )i∈S có thể xem là một ánh xạ

φ : S 
→R
i ֏ xi
với φ (i ) = 0 hầu khắp.
Ta có ⊕i∈S M i là R-môđun tự do F sinh bởi S.

Mệnh đề 1.5.1. Mọi R-mơđun M đều là ảnh tồn cấu của một R-môđun tự
do. Suy ra, mọi R-môđun M đều đẳng cấu với thương của một môđun tự do.

10


Định lý 1.5.1. Cho M là R-môđun. Tập con S ⊂ M là một cơ sở nếu và chỉ
nếu ánh xạ bao hàm i : S 
→ M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-môđun
h : F 
→ M với F là R-môđun tự do sinh bởi S.
f

S

F

i
h
M

Hệ quả 1.5.1. R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.
Định lý 1.5.2 (Tính phổ dụng) Cho F là R-môđun tự do với cơ sở
U = {ei | i ∈ I } và X là R-môđun. Khi đó mọi ánh xạ f : U 
→ X đều có thể
mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu ϕ : F 
→X
Chứng minh. Đồng cấu ϕ : F 
→ X được xác định bởi hệ thức

ϕ (∑ xi ei ) = ∑ xi f (ei )
Bây giờ nếu ψ : F 
→ X là một đồng cấu mở rộng của f thì

ψ (ei ) = f (ei ), i ∈ I và ψ (∑ xi ei ) = ∑ xiψ (ei ) = ∑ xi f (ei ) = ϕ (∑ xi ei ) .
Điều này chứng tỏ ϕ = ψ .

1.6. Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.6.1. R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu Rmơđun f : P → B và mọi tồn cấu và mọi tồn cấu R-mơđun g : A → B thì có
một đồng cấu R-mơđun h : P → A thỏa gh = f

11

P
h

f
g

A

B

0

Định lý 1.6.1. Mọi môđun tự do đều là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.6.1. Cho X là R-môđun. Các khẳng định sau tương đương:
(i) X là R-môđun xạ ảnh.
(ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun
α
β
0 
→U 
→V 
→ X 
→0

đều chẻ ra.
(iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R-môđun tự do

12

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI
MÔĐUN ĐỐI NGẪU
2.1. Bài tập 1. Cho R là vành giao hốn. Chứng minh khi P là R-mơđun tự
do hữu hạn sinh, có một đẳng cấu tự nhiên P ≅ P ** .
Chứng minh. Nếu ta chọn một R-cơ sở e1 ,..., en của P thì mọi f ∈ P * là hoàn
toàn xác định với các giá trị ei , i = 1,..., n và tương ứng f với n-bộ
( ( f (e1 ),..., f (en )) ∈ R n ) cho ta một R-tuyến tính đơn ánh từ P * vào R n và nó
→ R bởi f i (re
+ ... + rn en ) = ri . Đây là
cũng là toàn ánh. Ta định nghĩa f i : P 
1 1
hàm tọa độ thứ i theo cơ sở của P ta đã chọn. Khi đó, ánh xạ P* → R n biến
hàm tọa độ này thành vectơ thứ i trong cơ sở trực chuN n của R n . Ta có đẳng
cấu P* → R n , trong này các hàm tọa độ cho cơ sở của P phải là cơ sở P*. Vì
vậy với mỗi cơ sở e1 ,..., en của R-môđun tự do hữu hạn sinh, các hàm tọa độ
cho cơ sở này là một cơ sở đối ngẫu. Nó được gọi là cơ sở đối ngẫu và ký hiệu
e1* ,..., en* (các hàm f i ở trên là ei * ). Ta có ánh xạ R-tuyến tính P 
→ R định

nghĩa bởi
1 nếu i = j
ei * (e j ) = 
0 neáu i ≠ j
Bây giờ ta chứng minh bài tập trên:
Ta sẽ chỉ ra ánh xạ R-tuyến tính P 
→ P ** cho mọi R-mơđun P, sau đó
kiếm tra nó là đẳng cấu khi P là hữu hạn và tự do.
Mỗi phần tử thuộc P ** là một ánh xạ tuyến tính P * 
→ R . Với mỗi

m ∈ P , ta có:

∀f , g ∈ P*, r ∈ R :

( f + g )(m) = f (m) + g (m)

13


(rf )(m) = r ( f (m))
Cho ϕ m : P * 
→ R,ϕ m ( f ) = f (m) thì dễ thấy ϕ m là một R-đồng cấu nên

ϕ m ∈ P ** .
Xét tương ứng
P 
→ P **
m ֏ ϕm

Ta có: ϕ m+ m ' ( f ) = f (m + m ') = f (m) + f (m ') = (ϕ m + ϕ m ' )( f ) .
Vì vậy ϕ m+ m ' = ϕ m + ϕm ' .
Tương tự: ϕ rm = rϕ m với r ∈ R .
Từ đó suy ra tương ứng m ֏ ϕ m là R-đồng cấu P 
→ P ** với mọi Rmôđun P.
Bây giờ ta chứng minh ánh xạ từ P vào P ** là đẳng cấu khi P hữu hạn và
tự do trên R.
Cho e1 ,..., en là R-cơ sở của P. Cho e1* ,..., en* là cơ sở đối ngẫu của P * . Nếu
m ∈ P và m ≠ 0 thì ei * (m) ≠ 0 đối với một số i. Vì vậy ϕ m (ei * ) ≠ 0 , nên ϕ m

không phải là phần tử 0 trong P ** . Điều này cho thấy ϕ m chỉ có thể bằng 0

khi m = 0 , do đó ánh xạ P 
→ P ** là đơn ánh.
Bây giờ ta chọn một ε ∈ P ** , cần tìm m ∈ P sao cho ε = ϕ m , có nghĩa là

ε ( f ) = f (m), ∀f ∈ P * . Vì cả hai vế phương trình này đều là tuyến tính trong
f nên có thể tìm thấy một m làm cho phương trình này thỏa khi f tác động

lên cơ sở đối ngẫu từ việc mở rộng P * . Cho ai = ε (ei * ) ∈ R và định nghĩa
n

m = ∑ ai ei ∈ P thì ε (ei * ) = ai = ei * (m) , vì vậy ε = ϕ m .
i =1

14


Tương ứng m ֏ ϕ m cho ta một R-đồng cấu P 
→ P ** với mọi môđun
P, không chỉ với mơđun tự do hữu hạn sinh và đó là đồng cấu tự nhiên từ một

mơđun tới chính song đối ngẫu của nó. Cho một mơđun tự do hữu hạn sinh,
tương ứng này là một đẳng cấu và gọi là đẳng cấu song đối ngẫu. Theo đẳng
cấu này, cơ sở trên P ** đối ngẫu với cơ sở đối ngẫu e1* ,..., en* trên P* là cơ sở
nguyên gốc e1 ,..., en . Thật vậy, ta có
1
eve (e j * ) = e j * (ei ) = 
0
i

neáu i = j

neáu i ≠ j

2.2. Bài tập 2. Cho P = ⊕i∈ℕ ℤ i ⊂ M với ℤ i = ℤ . Chứng minh rằng
Homℤ ( M / P, ℤ) = 0 .

Chứng minh. Cho f ∈ Homℤ ( M / P, ℤ) sao cho f ( P) = 0 . Xét hai nhóm
con của M:
A = {(2a1 , 22 a2 ,...,2 n an ,...) : ai ∈ ℤ} ,

B = {(3b1 ,32 b2 ,...,3n bn ,...) : bi ∈ ℤ} ,
Một phần tử của A có dạng

(2a1 , 22 a2 ,...,2 n−1 an −1 ,0,0,...) + 2n .(một phần tử của M).
Do f ( P) = 0 , ta có f ( A) ⊆ 2 n ℤ với mọi n, vì vậy f ( A) = 0 . Tương tự, ta
có f ( B) = 0 . Từ đó f ( M ) = f ( A) + f ( B ) = 0 .
Nhận xét. Ta cũng đã biết nếu P là một R-mơđun tự do thì P là môđun xạ

ảnh. Ở giả thiết bài 1 ta chỉ xét cho P là môđun tự do nhưng ở đây phải cho P
hữu hạn sinh thì khi đó có một đẳng cấu tự nhiên P ≅ P ** . Còn trong bài tập
1 cho P là một R-môđun xạ ảnh bất kì (khơng cho hữu hạn sinh) thì ta có đơn
cấu P 
→ P ** ( là bài tập 5 ở sau). Về bài tập 2 trên ta cũng có P là một Rmôđun tự do nên là môđun xạ ảnh.
15


2.3. Bài tập 3. Chứng minh rằng tích trực tiếp M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ
không là ℤ -môđun xạ ảnh.
Giả sử M là ℤ -mơđun xạ ảnh. Ta có M ⊆ F với F là một nhóm abel tự
do với cơ sở {ei : i ∈ I } . Từ P = ⊕i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ là đếm được, ta có thể phân
tích I thành I1 ∪ I 2 sao cho I1 là đếm được và P là được chứa trong F1 của

{e : i ∈ I } .
i

1

Chú ý M ⊄ F1 , F1 là đếm được nhưng M thì khơng. Xét phép

chiếu từ F vào ei ℤ với i ∈ I 2 , ta có đồng cấu f : F 
→ ℤ v ới f ( M ) ≠ 0
nhưng f ( F1 ) = 0 (vì thế F ( P ) = 0 ) (mâu thuN n bài tập 2)

2.4. Bài tập 4. Một R -môđun phải P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại một
họ các phần tử {ai }i∈I của P và các hàm tuyến tính { f i }i∈I của HomR ( P, R ) sao
cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi a ∈ P , f i (a ) = 0 với hầu hết i.
(ii) a = ∑ i∈I ai f i (a ), ∀a ∈ P .
Chứng minh. Giả sử P là R-môđun phải xạ ảnh và φ : F → P là một R-tồn
cấu, trong đó F là R-mơđun tự do có cơ sở là (ei )i∈I . Khi đó dãy khớp ngắn
φ
0 → Ker φ → F 
→P → 0

là chẻ ra, do đó tồn tại R-đồng cấu f : P → F sao cho φ f = 1P . Với mỗi phần
tử tùy ý a ∈ P thì f (a ) ∈ F ln có một khai triển hữu hạn duy nhất
f (a ) = ∑ ei f i ( a ) ,
i∈I

tức chỉ có hữu hạn phần tử i ∈ I sao cho f i ( a ) ≠ 0 . Khi đó rõ ràng tương ứng
f i : P → R xác định bởi f i (a ) = f i ( a ) , ∀a ∈ P và R-đồng cấu thỏa mãn điều kiện

(i) với mọi i ∈ I . Bây giờ nếu ta đặt ai = φ (ei ), ∀i ∈ I thì

16


a = (φ f )(a ) = φ (∑ ei f i ( a ) ) = ∑ φ (ei ) f i ( a ) = ∑ ai f i (a ) ,
i∈I

i∈I

i∈I

Khi đó họ (ai )i∈I ∈ P thỏa điều kiện (ii).
Ngược lại, giả sử tồn tại họ các phần tử {ai }i∈I của P và các hàm tuyến tính

{f }
i

i∈I

của HomR ( P, R ) thỏa điều kiện (i) và (ii) ở trên. Xét tập hợp S = {ei }i∈I

và một ánh xạ g : S → P xác định bởi g (ei ) = ai , ∀i ∈ I . Cho F là một Rmôđun tự do trên tập S. Khi đó theo tính phổ dụng của môđun tự do, tồn tại R-

đồng cấu φ : F → P mở rộng của g, tức sao cho φ (ei ) = ai , ∀i ∈ I . Bây giờ ta
định nghĩa một ánh xạ f : P → F bởi f (a ) = ∑ i∈I ei f i (a ) ; chú ý rằng tổng này
là hữu hạn nên f được hoàn toàn xác định và R-đồng cấu. Khi đó ta suy ra
(φ f )(a ) = φ (∑ ei f i (a )) = ∑ φ (ei ) f i (a ) = ∑ ai f i (a ) = a, ∀a ∈ P
i∈I

i∈I

i∈I

tức φ f = 1P . Do đó dãy khớp ngắn
φ
0 → Ker φ → F 
→P → 0

là chẻ ra. Điều này nói lên rằng P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
môđun tự do F nên P là R-môđun xạ ảnh. Định lý được chứng minh.
Nhận xét. Để thuận tiện, chúng ta sẽ đề cập đến {ai , f i } trên là “ cặp cơ sở

đối ngẫu” cho môđun (xạ ảnh) P. Dĩ nhiên, họ {ai }i∈I , ai ∈ P chỉ là một dạng
tập sinh không nhất thiết là cơ sở của P.

2.5. Bài tập 5. Chứng minh với R là vành giao hoán và P là R-môđun xạ
ảnh bất kỳ, ánh xạ tự nhiên ε : P → P ** là một đơn cấu.
Chứng minh. Ta cũng biết một R-đồng cấu tự nhiên ε : P → P ** định
nghĩa bởi ε (a ) = aɵ (cho a ∈ P ) trong đó f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * .

17


Nế u

a ∈ Ker(ε ) ,

thì

0 = f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * .

Từ

phương

trình

a = ∑ i∈I ai f i (a ), ∀a ∈ P trong bài tập 4, ta suy ra a = 0 .
Nhận xét. Trong chứng minh bài tập 3 cũng chỉ ra rằng P là một xạ ảnh hữu
hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại {ai , f i :1 ≤ i ≤ n} thỏa như điều kiện như bài tập
4 sao cho a = ∑ i∈I ai f i (a ), ∀a ∈ P . Trong trường hợp này, nó có thể chỉ ra rằng
các hàm tuyến tính

{f }
i

i∈I

cũng sinh ra P * . Hơn nữa, ánh xạ ε : P → P **

định nghĩa ở trên là một đẳng cấu của R-mơđun. Chi tiết hơn ta có bài tập sau.

2.6. Bài tập 6. Cho R vành giao hoán và P là một R-môđun xạ ảnh hữu
hạn sinh với cặp cơ sở đối ngẫu {ai , f i :1 ≤ i ≤ n} . Khi đó P * là một R-môđun
và với a ∈ P, aɵ ∈ P ** , định nghĩa f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * . Chứng minh rằng:

{ }

(a) f i , aɵ i là một cặp cơ sở đối ngẫu cho P * .

(b) P * là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh.
(c) Ánh xạ tự nhiên ε : P → P ** định nghĩa bởi ε (a ) = aɵ (với mọi a ∈ P ) là
một đẳng cấu của R-môđun.
Chứng minh. (a) Ta phải chỉ ra f = ∑ ( f aɵ i ) f i , ∀f ∈ P * . Thật vậy, xét vế
phải, với mỗi a ∈ P . Ta có:
(∑ ( f aɵ i ) f i )(a ) = ∑ f (ai ) f i (a ) = f (∑ ai f i (a )) = f (a ) .
(b) Theo bài tập 4 thì (a) đã bao gồm (b).
(c) Trong bài tập 5 rõ ràng ε là đơn ánh. Từ f = ∑ ( f aɵ i ) f i , chỉ ra { f i } là một
tập sinh cho P * . Áp dụng kết luận này cho cặp cơ sở đối ngẫu

18

{ f , aɵ } cho
i

i


P * , ta thấy

{aɵ }
i

là một tập sinh cho P ** . Vì vậy aɵ i = ε (ai ) , do đó

ε : P → P ** là một tồn ánh, vì vậy ε là một đẳng cấu.
Nhận xét. Thực ra ε : P → P ** là một đẳng cấu (trong trường hợp P là một
xạ ảnh hữu hạn sinh) cũng có thể chứng minh cho trường hợp P là tự do hữu
hạn sinh như trong bài tập 1. Trong trường hợp P = R , ta có P* = R và

P ** = R thì ánh xạ ε là một ánh xạ đồng nhất từ R vào R. Lấy tổng trực tiếp

hữu hạn ta thấy ε cũng là một đẳng cấu với P = R n . Cho môđun xạ ảnh P hữu
hạn sinh, cố định môđun Q sao cho P ⊕ Q ≅ R n . Vì ε P⊕Q = ε P ⊕ ε Q là một

đẳng cấu nên ε P cũng là một đẳng cấu.
Trong trường hợp giả thiết khơng hữu hạn sinh thì sao? Có vẻ là các cơng
thức tính tốn ở (a) là cho mọi cặp cơ sở đối ngẫu {ai , f i } . Tuy nhiên không
phải như vậy. Nếu tập {ai , f i } là vô hạn, ta khơng có cách nào biết được, đối
với bất kỳ f ∈ P*, f aɵ i = f (ai ) là không cho tất cả nhưng hữu hạn với nhiều i.
Nếu khơng có điều này, tổng

∑

i

( f aɵ i ) f i trở nên vô nghĩa. Bài tập 7 và bài tập

8 đưa ra ở sau sẽ đề cập thêm về mối quan hệ của P và P** trong trường hợp
không hữu hạn sinh.

2.7. Bài tập 7. Cho ví dụ (tất yếu không phải hữu hạn sinh) R-môđun xạ
ảnh P, P1 sao cho (1) đối ngẫu đầu tiên P* của P là không phải R-môđun xạ
ảnh và (2) là phép nhúng tự nhiên của P1 vào P1 ** là không phải đẳng cấu.
Bài giải. (1) Cho R = Z và giả sử P khơng phải là hữu hạn sinh. Ta có Rmôđun tự do Z ⊕ Z ⊕ ... . Khi đó:
P* = HomZ (Z ⊕ Z ⊕ ..., Z) ≅ Z × Z × ... .

Đây khơng phải là Z -môđun xạ ảnh.

19

(2) Cho R = Q , và P1 = Q ⊕ Q ⊕ ... là một Q -không gian vectơ (tự do) với
số chiều đếm được. Như (1), chúng ta có P* ≅ Q × Q × ... là một Q -không gian
vectơ với số chiều không đếm được. Rõ ràng, nó đối ngẫu P1 ** là cũng một

Q -khơng gian vectơ với số chiều khơng đếm được. Vì thế, phép nhúng tự
nhiên ε : P1 → P1 ** không thể là một đẳng cấu.
Nhận xét: Trong (2), chúng ta đã làm việc với trường Q vì thực tế là Q
khơng đếm được và dễ thấy Q × Q × ... là Q -chiều khơng đếm được. Nói
chung, thực tế là k × k × ... là k-chiều khơng đếm được trên bất cứ trường k
nào, vì chúng ta có thể chọn P1 = k ⊕ k ⊕ ... trên bất kì trường k nào cho (2).

2.8. Bài tập 8. Cho M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ . Cho ei = ( x j ) j∈ℕ , x j = 1 nếu
j = i , x j = 0 nếu j ≠ i .
(i) Chứng minh rằng với mọi f ∈ Homℤ ( M , Z) , ta có f (ei ) = 0 với hầu hết i.
(ii) Đặt P = ⊕i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ , P* = Homℤ ( P, ℤ) . Chứng minh P ≅ P **
Chứng minh. P là một Z -môđun tự do. Để chứng minh (ii) ta chứng minh
phép nhúng tự nhiên ε : P → P ** là một đẳng cấu. Ta chứng minh điều này
bằng cách giả sử có (i). Vì P là Z -môđun tự do nên là môđun xạ ảnh, suy ra ε
là một đơn ánh theo bài tập 4. Ta chứng minh rằng ε là toàn ánh với mọi
f ∈ HomZ ( P*, Z) . Giống bài tập 7, có thể xem P* như là M . Theo (i) tồn tại n
sao cho f (ei ) = 0 với i>n. Cho X = Zen +1 × Zen + 2 × ... , và cho g=f|X. Bởi vì g là
0 trên Zen+1 ⊕ Zen + 2 ⊕ ... , từ trong bài tập 2 suy ra g ≡ 0 . Vì thế, cho
ai = f (ei )(i ≥ 1) và a = (a1 , a2 ,...) ∈ P , chúng ta có
f ( x1 , x2 ,...) = f ( x1 ,..., xn ,0,...) + f (0,...,0, xn +1 , xn + 2 ,...)
= x1 f (e1 ) + ...xn f (en )

20

∞

= ∑ i =1 xi ai
= ε (a )( x1 , x2 ,...).

Do đó: f = ε (a ).
Ta chứng minh (i), ta cho giả thiết, thay vào đó f (ei ) ≠ 0 với vơ hạn i. Vì
vậy có thể giả sử f (ei ) ≠ 0 , với i ≥ 1 . Ta cũng thay thế ei bởi −ei nếu cần thiết,
chúng ta có thể giả sử mỗi ai := f (ei ) > 0 . Qui định với bất kỳ số nguyên tố p
không chia hết cho a1 và định nghĩa hai dãy { yn , xn : n ≥ 1} ⊆ X qui nạp trên n
như sau: y1 = x1 = 1 , và cho n > 1, yn = x1a1 + ... + xn −1an −1 , xn = pyn . Chú ý
yn = yn −1 + xn −1an −1 = yn −1 (1 + pan −1 )(n ≥ 2) ,
vì thế xn = pyn là chia hết cho yn với mọi i ≤ n . Bây giờ với n tùy ý:
f ( x1 , x2 ,...) = f ( x1 ,..., xn −1 ,0,0,...) + f (0,...,0, xn , xn +1 ,...)
= yn + f (0,...,0, xn , xn +1 ,...)

là chia hết cho yn . Cho yn → ∞ , điều này bao gồm rằng f ( x1 , x2 ,...) = 0 . Từ
f ( x1 , x2 ,...) = f (1,0,0,...) + f (0, py2 , py3 ,...)
= a1 + pf (0, y2 , y2 ,...) ,

Chúng ta có p chia hết cho a1 , mâu thuN n!
Nhận xét: Tích trực tiếp M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ khơng là ℤ -mơđun xạ ảnh
nên nó khơng phải là ℤ -môđun tự do và M cũng không phải hữu hạn sinh. Do

đó với M như vậy nói chung khơng có đẳng cấu giữa M và M**.

21

KẾT LUẬN

Trong tiểu luận đã cố gắng trình bày những kiến thức chuN n bị ở chương 1
nhằm phục vụ cho việc giải các bài tập ở chương 2 về môđun xạ ảnh với
môđun đối ngẫu. Một số bài tập trong này đưa ra nhằm để giải quyết một số
bài tập khác trong số cịn lại đó. Phần lớn các mệnh đề, định lý, hệ quả trong
chương 1 không chứng minh và có thể tìm thấy chứng minh chi tiết ở [1].
Mặc dù tơi đã cố gắng nhiều để hồn thành tiểu luận này nhưng chắc chắn
không tránh khỏi thiếu sót. Mong được sự góp ý của thầy cơ và các bạn.

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Phan Văn Thiện, Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, Đại học sư phạm
Huế, 2012.
[2]. Nguyễn Tự Cường , Đại số hiện đại, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003.
[3]. T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.
[4]. T.Y. Lam, Exercices in Modules and Rings, Springer, 2007.
[5]. Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun và nhóm Aben, Nhà xuất bản

đại học sư phạm, 2008.

23


24