Luậ văn một số bài tập về lý thuyết đường cong

Trang 1



Trang 2
PHẦN MỞ ĐẦU
@…?
I. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, hình học vi phân nghiên cứu những vấn đề hình học mà có
thể được giải quyết bằng công cụ giải tích. Đối với sinh viên ngành Toán, những kiến
thức hình học vi phân được trang bị vào năm thứ ba, đó là những lý thuyết về đường
và mặt trong không gian hai chiều, ba chiều cũng như khảo sát một số đặc trưng cơ
bản của đường và mặt dựa vào phép tính vi tích phân trong không gian E
2
, E
3
. Qua
việc tìm hiểu các khái niệm và tính chất về đường trong không gian E
2
, E
3
, em nhận
thấy lý thuyết về hình học vi phân còn khá mới mẻ đối với nhiều sinh viên ngành Sư
phạm Toán.
Nhờ có sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận, em đã chọn đề
tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp ngành
Toán.
II. Mục đích nghiên cứu
Luận văn với đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” nhằm tiếp cận sâu

hơn về các tính chất có liên quan đến đường cong, những đối tượng hình học vốn đã
quen thuộc với chúng ta như đường tròn, parabol, cycloid,… thông qua giải các bài tập
cụ thể.
Ngoài ra việc thực hiện đề tài cũng giúp cho em có dịp củng cố kiến thức về giải
tích, phép tính vi tích phân và làm quen với cách nghiên cứu những vấn đề mới của
Toán học.
III. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích và so sánh: tổng hợp, hệ
thống hóa những kiến thức được trình bày trong các tài liệu và các vấn đề đã học, phân
tích các dạng bài tập nhằm làm rõ những đặc điểm lý thuyết của đường cong trong E
2
,
E
3
và so sánh để có sự trình bày tương đối rõ ràng và hợp lý ở các vấn đề có liên quan.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề xung quanh lý thuyết đường cong trong
32
, EE thông qua
một số dạng bài tập cụ thể.



Trang 3
V. Nội dung của luận văn
Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đường cong trong
32
,EE , được
chia thành các phần sau:
Chương 1: Đó là các định nghĩa về hàm vectơ, vectơ tiếp xúc, trường vectơ,

trường mục tiêu, cung tham số, trường vectơ dọc một cung tham số, đạo hàm của
trường vectơ nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho phần sau.
Bài tập chương 1: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính
chất trong phần trên.
Chương 2: Chương này tóm tắt lý thuyết về định nghĩa cung trong
)3,2( =nE
n
các tính chất mêtric của nó (độ cong, độ xoắn, cung túc bế, cung thân khai
của một cung), giải phương trình tự nhiên.
Bài tập chương 2: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính
chất trong phần trên.
Phụ lục : Chương trình Maple để vẽ đường cong và giải một số bài toán về
đường cong.


Trang 4
PHẦN NỘI DUNG
@…?
CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH
TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE E
n


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1 Hàm vectơ:
Định nghĩa: U là một tập hợp tùy ý, ánh xạ :
n
XUE
→→
→ là một hàm vectơ xác

định trên U.
Khi
UJ
=
là một khoảng trong R, cho hàm vectơ
:,()
n
XJEtXt
→→→
→
a
thì
đạo hàm của
X
→
tại t (nếu có) là
()
( ) ()
0
'lim
t
XttXt
Xt
t
→→
→
∆→
+∆−
=
∆

Nếu
X
→
khả vi thì
X
→
là hàm hằng khi và chỉ khi
()
'0,
XttJ
→→
=∀∈

Với các hàm vectơ
X
→
,
Y
→
xác định trên U, hàm số
ϕ
xác định trên U, có thể
xác định được các hàm vectơ ,
XYX
ϕ
→→→
+ , hàm số
X
→

.
Y
→
và khi
3
n
=
có thể xác định
hàm vectơ
XY
→→
∧
trên U. Khi
UJ
=
, ta có các công thức

'''
.'' '
à khi n=3
'''
XYXY
XYXYXY
v
XYXYXY
→→→→
→→→→→→
→→→→→→

+=+




=+



∧=∧+∧



Với hàm vectơ :
n
XJE
→→
→ (J là một khoảng trong R) thì có thể xét đạo hàm
cấp cao
() ( )
1
',(2)
kk
XXk
−
→→

=≥


. )'(
)1()( −

→→
=
kk
XX Nói
X
→
khả vi lớp C
k
nếu nó có đạo hàm
đến cấp k liên tục. Nói
X
→
trơn nếu nó có đạo hàm đến mọi cấp.
Với hàm vectơ nhiều biến số ta định nghĩa được các đạo hàm riêng theo các
biến của
X
→
.


Trang 5
Với hàm vectơ :
n
XJE
→→
→ (J là một khoảng trong R), có thể xét nguyên
hàm
Y
→
của nó (nếu có), đó là hàm vectơ :

n
YJE
→→
→ mà
'
YX
→→
=
.
1.2 Vectơ tiếp xúc
Xét tập tích
nnn
TEEE
=×
uur

Định nghĩa: Mỗi phần tử ,
n
pTE
α
→

∈


, còn viết
p
α , được gọi là một vectơ
tiếp xúc của
n

E
tại p, hay
→
α có gốc tại
p
.
n
TE
gọi là không gian các vectơ tiếp xúc
của
n
E
, mỗi phần tử được ký hiệu là
α
.
pn
TE
được gọi là không gian các vectơ tiếp
xúc của
n
E
tại
p
.
1.3 Trường vectơ
Định nghĩa: Trường vectơ trên tập mở
n
UE
⊂ là ánh xạ
TUUX

→
:
sao
cho với mọi UTpXUp
p
∈∈ )(,
(
)
pXp
a

Trường vectơ
TUUX
→
:
xác định ánh xạ :
n
XUE
→→
→ bởi
))(,()( pXppX
→
= . X khả vi lớp
k
C nếu
→
X
khả vi lớp
k
C . Khi

→
X
là ánh xạ hằng thì
trường vectơ X được gọi là một trường vectơ song song.
1.4 Trường mục tiêu
Định nghĩa: Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở
n
UE
⊂ là hệ n trường
vectơ (khả vi)
{
}
n
UUU , ,,
21
trên
U
sao cho với mỗi
(
)
(
)
(
)
{
}
pUpUpUUp
n
,, ,,
21

∈ là
một cơ sở của T
P
U.
Nếu với mọi ,)()(,
ijji
pUpUUp δ=∈ hay
ijji
UU δ= thì trường mục tiêu
{
}
ni
i
U
1=
gọi là một trường mục tiêu trực chuẩn.
1.5 Cung tham số
Định nghĩa: Mỗi ánh xạ :
n
JE
ρ → ,(
J
là một khoảng trong
R
) gọi là một
cung tham số trong
n
E
.
Lấy

O
cố định trong
n
E
thì cho cung tham số :
n
JE
ρ → tương
đương với cho hàm vectơ
:,()
n
JEtOt
ρρ
→→
→
uuuuuur
a
,
→
ρ (t) gọi là bán kính vectơ của điểm
)(t
ρ
đối với gốc ,
→
ρ khả vi lớp
k
C thì ta cũng có
ρ
khả vi lớp
k

C .


Trang 6

1.6 Trường vectơ dọc cung tham số
Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số :
n
JE
ρ → là ánh xạ
:
n
XJE
→ mà với mọi
(
)
()
,
tn
tJXtTE
ρ
∈∈


:
n
JE
ρ → là một cung tham số trong
n
E

, khi đó
()
() ()
':,,'
n
t
JTEttt
ρ
ρρρ
→
→

→


a
là
một trường vectơ dọc
ρ
. Kí hiệu là '
ρ
.
1.7 Ánh xạ khả vi
U
là tập mở trong
m
E
,
V
là tập mở trong

n
E
,
VUf
→
: là một ánh xạ thì f khả vi (lớp
k
C )

(
)
pfp
a

nếu với
n
OE
∈
, hàm vectơ :
n
UE
ϕ
→
→ là khả vi lớp
k
C


)(pOp ρ
a

Ta nói f là một vi phôi ( lớp 1, ≥kC
k
) nếu f khả vi lớp
k
C và f có ánh xạ ngược
cũng khả vi (lớp
k
C ).
1.8 Ánh xạ tiếp xúc của :
fUV
→

Cho ánh xạ (khả vi) :
fUV
→
(U mở trong
m
E
, V mở trong
n
E
), với mỗi p xác định
ánh xạ
( )
:
pp
fp
TfTUTV
→ xác định bởi:

cho
(
)
0
,',:
ppp
TUftJU
ααρ∈=→ là một cung tham số, thì
(
)
(
)
(
)
0
'
pp
Tfft
αρ=o
Nếu
p
Tf
là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì f được gọi theo thứ tự là dìm,
ngập, hay trải tại p . Nếu điều đó đúng với mọi p thì nói f là dìm, ngập, trải.
1.9 Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số
Định nghĩa: Cho cung tham số :
n
JE
ρ → và cho trường vectơ dọc
ρ

,
X

xác định hàm vectơ
n
JE
→
→ với
() () ()






=
→
tXttX ,ρ
, thì có thể xét trường vectơ dọc
ρ

là
() () ()






=

→
tXttXt ',' ρa
, gọi là đạo hàm của
X
dọc
ρ
trong
n
E
. Ký hiệu trường
vectơ
'
X
dọc
ρ
là
dt
DX
,
'
'
X
là
2
2
dt
XD
,…

Trang 7
Cho ánh xạ khả vi tλ(s)sJ, λ:I
=
→
a
, từ khoảng
vàoI
khoảng
J
thì với
trường vectơ

X
dọc
ρ
ta có trường vectơ
λ
o
X
dọc cung tham số :
n
IE
ρλ →
o
và







= λ
λλ
o
o
dt
DX
ds
d
ds
XD )(

X, Y là trường vectơ dọc cung tham số
(
)
:,
n
JEtt
ρρ
→
a
, và
ϕ
là hàm số
trên
J
, ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trường vectơ ,
XYX
ϕ
+

dọc
ρ
, hàm
số
YX.
trên
J
, và khi
3
=
n
,
3
E
có hướng thì ta định nghĩa được trường vectơ
Y
X
∧

dọc
ρ
. Ta có:

( )
dt
DX
X
dt
d
dt

XD
dt
DY
dt
DX
YX
dt
D
+=
+=+
ϕϕ )(


dt
DY
XY
dt
DX
YX
dt
D
dt
DY
XY
dt
DX
YX
dt
d
∧+∧=∧

+=
)(
).(

Định nghĩa: Trường mục tiêu dọc cung tham số
(
)
:,
n
JEtt
ρρ
→
a
, là hệ n
trường vectơ
{
}
n
UUU , ,,
21
dọc
ρ
sao cho với mọi ,Jt
∈
{
}
)(), ,(),(
21
tUtUtU
n

là một
cơ sở của
()
tn
TE
ρ
. Khi đó, mọi trường vectơ
X
dọc
ρ
được biểu diễn duy nhất dưới
dạng
i
n
i
i
i
UX ϕϕ ,
1
∑
=
=
là hàm số trên
J
, và
∑
=
+=
n
i

i
i
i
i
dt
DU
U
dt
d
dt
DX
1
ϕ
ϕ



Trang 8
B. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1
Cho hàm vectơ khả vi
()
:,
n
XJEtXt
→→→
→a trên khoảng
JR
⊂
,

()
0
Xt
→→
≠

với mọi
tJ
∈
. Chứng minh rằng
()
Xt
→
có phương không phụ thuộc t khi và chỉ khi
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
phụ thuộc tuyến tính với mọi
tJ
∈
.
Giải
Giả sử
()
Xt

→
có phương không đổi với mọi
() ()
tJXtfta
→→
∈⇒= trong đó f
là hàm số,
a
→
là vectơ hằng.
() ()
''
Xtfta
→→
⇒= . Vậy
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
phụ thuộc tuyến tính với mọi
tJ
∈

Ngược lại nếu
() ()
,,'

tJXtXt
→→
∀∈ phụ thuộc tuyến tính và
()
0
Xt
→→
≠
.
Đặt
()
()
()
Xt
ut
Xt
→
→
→
= (1)
()
3
2
.'.'
'
XXXXX
ut
X
→→→→→
→

→

−


⇒=
Áp dụng công thức

abcacbbca
→→→→→→→→→

∧∧=−


ta có
()
3
'
'
XXX
ut
X
→→→
→
→

∧


⇒=

Vì
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
phụ thuộc tuyến tính nên
()
'0
ut
→→
=
suy ra
()
ut
→
không đổi
Vậy
()
Xt
→
có phương không đổi.
Bài 2
Cho hàm vectơ
()
:,
n

XJEtXt
→→
→a khả vi lớp C
2
trên khoảng
JR
⊂
và giả
sử
()
Xt
→
và
()
'
Xt
→
độc lập tuyến tính với mọi
tJ
∈
.


Trang 9
a. Chứng minh rằng khi
3
=
n
, điều kiện cần và đủ để
()

Xt
→
luôn thuộc một
không gian vectơ con hai chiều cố định của
3
E
→
là hệ
() () ()
{
}
,',''
XtXtXt
→→→
phụ thuộc
tuyến tính với mọi
tJ
∈
.
b. Xét điều đó khi
3
>
n

Giải
a. Khi
3
=
n
, giả sử

() () ()
,',''
XtXtXt
→→→
phụ thuộc tuyến tính.
Đặt
'
YXX
→→→
=∧
suy ra
'''
YXX
→→→
=∧

Ta có
''''
YYXXXX
→→→→→→

∧=∧∧∧




,','',',''
,',''
XXXXXXXX
XXXX

→→→→→→→→
→→→→

=−



=




'0
YY
→→→
⇒∧=
khi và chỉ khi
,',''0
XXX
→→→→

=


áp dụng bài 1 ta có
→→→→
⇔=∧ YYY 0' có phương không đổi. Khi đó
()
Xt
→

luôn thuộc một không gian vectơ
con hai chiều cố định của
3
E
→
(bù vuông góc với
Y
→
<>
)
b. Khi
3
>
n
, trong
n
E
→
với cơ sở
{
}
i
e
→
khi đó
()
1
n
i
i

i
Atxe
→→
=
=
∑

suy ra
() () ()
,',''
XtXtXt
→→→
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'''0
iii
xtftxtgtxt
++=
(1) (i=1…n) trong đó f, g là các hàm số.
Mỗi phương trình của hệ (1) có nghiệm duy nhất thỏa

(
)
(
)
00
00
,''
iiii
xxtxxt
==
Đặt
00
,'
iiii
axbx
== thì ta có nghiệm của hệ (1) là
() () ()
Xttatb
αβ
→→→
=+
hay
()
Xt
→
có phương không đổi.
Bài 3
Tìm hàm vectơ
3

:
XRE
→→
→ (có hướng) thỏa mãn '
XlX
→→→
=∧
, trong đó
l
→
là
một hàm vectơ hằng cho trước.


Trang 10
Giải
Ta có alXlXXlX =⇒=⇒∧=
→→→→→→→
.0'.' là hằng số và
1
Xc
→
=
là hằng số.
Khi
0
l
→→
≠
, không mất tính tổng quát ta giả sử

lk
α
→→
= trong cơ sở trực chuẩn
{
}
,,
ijk
→→→
của
3
E
→
. Khi đó
( )
12
()
Xtceatbck
→→→
=++ trong đó c
1
, c
2
, a, b là hằng số
Bài 4
Xét hàm vectơ
()
2
:,cossin,,
eREettitjij

→→→→→→→

→=+


là cơ sở trực chuẩn
của
2
E
→
. Hãy tìm các nguyên hàm của hàm vectơ
()
ttet
→
a .
Giải
Đặt
()
ftte
→
=
, gọi
(
)
Ft
là nguyên hàm của
(
)
ft
thì ta có

() () ()
Ftftdttetdt
→
==
∫∫

Đặt
utdudt
=⇒=


()
2
dvetdtvet
π
→→

=⇒=−




()
22
Fttetetdt
ππ
→→

⇒=−−−



∫


( )
()
2
2
tetetc
tetetc
π
π
π
→→
→→

=−−−+



=−−+



Bài 5
Cho hệ tọa độ Aphin
12
,,
Oee

→→



trong mặt phẳng Euclide E
2
. Hãy phác họa
ảnh của các cung tham số
(
)
2
:,
REtt
ρρ
→
a
xác định bởi:
a.
()
2
12
tOtete
ρ
→→
=++
b.
()
12
ossin
tOctete

ρ
→→
=++
c.
()
12
s
tOchtehte
ρ
→→
=++



Trang 11
Giải
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
,
txxtyyt
ρ ===
a. Ta có
2

2
xt
yx
yt
=

⇒=

=


Vậy ảnh của
ρ
là parabol
2
yx
=







b. Ta có
22
cos
1
sin
xt

xy
yt
=

⇒+=

=


Vậy ảnh của
ρ
là đường tròn
22
1
xy
+=







c. Ta có
22
1
xcht
xy
ysht
=


⇒−=

=


Vậy ảnh của
ρ
là đường hyperpol
22
1
xy
−=











Trang 12

Bài 6
Xét mặt phẳng Euclide E
2
với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy. Hãy

phác họa ảnh của các cung tham số
(
)
(
)
(
)
(
)
2,
:,
JEtxtyt
ρρ→= xác định bởi: (a, b là
hằng số dương)
a.
() () ( ) ( )
11
,,,00,
22
ab
xttyttJ
tt

=+=−=−∞∪+∞



b.
() () ( ) ( ) ( )
2

22
12
,,,11,11,
11
tt
xtaytaJ
tt
+
===−∞−∪−∪+∞
−−

c.
() ()
2
22
12
,,
11
tt
xtaytaJR
tt
−
===
++

Giải
Tương tự bài 5 ta có
a. Ảnh của cung là hyperpol
22
22

1
xy
ab
−=

b. Hợp của ba cung là hyperpol
22
22
1
xy
ab
−=

c. Ảnh của cung là elip
22
22
1
xy
ab
+=

Bài 7
Xác định quỹ đạo trong E
2
của một điểm gắn chặt trên một đường tròn lăn
không trượt
a) trên một đường thẳng (cycloid)
b) trên và bên ngoài một vòng tròn (epicycloid)
c) trên và bên trong một vòng tròn (hypocycloid)
Giải

a) Giả sử điểm
(,)
Mxy
đối với mục tiêu trực chuẩn
{
}
,,
Oij
→→
nằm trên
đường tròn tâm I bán kính a lăn không trượt trên trục Ox, điểm xuất phát là O. Gọi
∧
= PIMt , (P là hình chiếu của I lên trục Ox), ta có

3
OP
2
OMPIIMatiajaet
π
→→→

=++=++−


uuuuruuuruuruuur

()
cossin
ettitj
→→→


=+





Trang 13
O
1
A

P

M

N

t

u


( ) ( )
sin1cos
OMattiatj
→→
⇒=−+−
uuuur

Vậy quỹ đạo là đường cycloid
(
)
(
)
sin,1cos
tttt
ρ =−−






b. Giả sử M(x, y) nằm trên đường tròn tâm O
1
bán kính r
1
lăn không trượt ở
phía ngoài đường tròn tâm O bán kính R, điểm xuất phát là A. Gọi
∧
= AONt (N là
tiếp điểm của hai đường tròn), ta có
11
OMOOOM
=+
uuuuruuuuruuuur


( ) () ( )

OMRretretu
π
→→
=++++
uuuur
(u là góc
·
1
NOM
, Rt=ru)

( ) ()
1
R
OMRretret
r
π
→→


=++++




uuuur


( )
( )

coscos
sinsin
Rr
xRrtrt
r
Rr
yRrtrt
r
 +

=+−



⇔

+


=+−





Quỹ đạo là đường epicycloid.

y
z O
M
2a I
N
P
t
2
a
π



Trang 14



c. Trường hợp điểm M(x, y) nằm trên đường tròn tâm O
1
bán kính r lăn
không trượt về phía trong đường tròn tâm O bán kính R, điểm xuất phát là A. Gọi
∧
= OPOt
1
(với P là hình chiếu của O
1

lên trục Ox).
Ta có )()()(
11
tuerterRMOOOOM +−+−=+=
→→→→→
(u là góc
∧
MNO
1
,
Rtru
=
).
Tương tự ta có quỹ đạo chuyển động của M là đường hypocyloid

( )
( )
coscos
sinsin
Rr
xRrtrt
r
Rr
yRrtrt
r
 −

=−+





−


=−−







r
R
4
=

Bài 8
Cho trường vectơ liên tục X trên một tập mở U của E
3
mà có điểm
UO
∉

sao cho
()
pX
→
cùng phương với

→
Op với mọi Up
∈
(X gọi là một trường vectơ xuyên
tâm với tâm O). Xét cung tham số
(
)
:,
JUtt
ρρ→
a
sao cho
() ()( )
tXt ρρ
→→
=''
1) Chứng minh rằng
(
)
J
ρ nằm trong một mặt phẳng qua O.
O
1
M

P
N


Trang 15

2) Khi
()
2
k
Xp
Op
→
=
uuur
với mọi Up
∈
(k là hằng số dương), chứng minh
rằng
(
)
J
ρ nằm trên một đường thẳng qua O hay một đường bậc hai nhận O làm một
tiêu điểm.


Giải
1) Ta viết
() ()
tOt ρρ =
→
, vì
() ()( )
tXt ρρ
→→
='' và X là một trường xuyên tâm nên

''
→
ρ cùng phương với
→
ρ hay
→→→
=∧ 0'' ρρ với mọi
Jt
∈

Ta có
→→→→→→→→→
=






∧=






∧+







∧=






∧ 0'''''''' ρρρρρρρρ

→→→
=∧⇒ a'ρρ không đổi.
+ Nếu
()
→→→→
⊥≠ ata ρ,0 với mọi t nên
(
)
J
ρ nằm trong một mặt phẳng qua O
và vuông góc với
→
a .
+ Nếu ',0
→→→→
= ρρ vàa cùng phương nên suy ra
→
ρ có phương không đổi (áp

dụng bài 1)
2) Ta viết
() ()( )
3
''
→
→
→→
==
ρ
ρ
ρρ ktXt
Đặt
→
→
→→→→→→
+∧−=∧=
ρ
ρ
ρρρ '
1
,' a
k
ba thì
→→→→→→→→
=







∧+






∧−== 0''''
1
',0' ρρ aa
k
ba

→→
⇒ ba, cố định
Mặt khác 0. =
→→
ba và 0. =
→→
ρa
+ Nếu
→→
= 0a thì
(
)
J
ρ nằm trên một đường thẳng qua O
+ Nếu

→→
≠ 0a thì
(
)
J
ρ nằm trên một mặt phẳng qua O và vuông góc với
→
a


Trang 16
mà r
k
a
a
kk
a
b ==−+






∧−=−
→
→
→→→→
→
→→

ρρρρρ
22
''
1
.
01cos
2
=−






−⇒
→
→
k
a
br ϕ (
(
)
ϕ,r là tọa độ cực trong mặt phẳng đó đối với
gốc O, trục OB). Vậy trong hệ tọa độ đó

ϕcos1
2
→
→
−

−
=
b
k
a
r đây là phương trình trong tọa độ cực
(
)
ϕ,r của một cônic
nhận O làm tiêu điểm.



Trang 17
CHƯƠNG 2: CUNG TRONG E
n

(n=2,3)
@…?
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
2.1 Định nghĩa
Hai cung tham số
(
)
:, tt
n
JEρρ→
a
và :,
n

rIEtr(t)
→
a
gọi là tương
đương nếu có vi phôi
(
)
uttIJ =→ λλ
a
,: sao cho
ρ
λ
=
o
r . Đây là một quan hệ
tương đương. Mỗi lớp tương đương của nó là một cung trong
n
E
, mỗi cung tham số
của lớp tương đương gọi là một tham số hóa của cung, vi phôi
λ
gọi là phép đổi tham
số của cung.
2.2 Điểm chính quy, điểm kỳ dị, tiếp tuyến và pháp diện của cung
Cho cung
Γ
xác định bởi :
n
JE
ρ → . Điểm

o
t mà
(
)
0' ≠
o
tρ gọi là một điểm
chính quy của
Γ
. Nếu
(
)
0' =
o
tρ thì nó được gọi là một điểm kỳ dị của cung
Γ
. Cung
mà mọi điểm là chính quy gọi là cung chính quy. Tại điểm chính quy
o
t của cung
Γ
,
tiếp tuyến của cung là đường thẳng đi qua
(
)
o
tρ và có vectơ chỉ phương là
(
)
o

t'ρ .
Ý nghĩa hình học của tiếp tuyến: Ta có ))(')(()()(
→→
+−= ερρρ ttttt
oo

→→
→ 0ε
khi
o
tt → , nên cát tuyến qua
oo
Mt =)(ρ và Mt
=
)(
ρ
của cung có một vectơ chỉ
phương là
(
)
(
)
o
o
tt
tt
−
ρρ
dần về
(

)
o
t'ρ khi
o
tt → , hay ta có thể nói: tiếp tuyến của
Γ
tại
điểm
oo
Mt =)(ρ là vị trí giới hạn của cát tuyến MM
o
khi
M
dần về
o
M dọc cung.
2.3 Dáng điệu của cung tham số trong lân cận một điểm của nó
Xét cung tham số :
n
JE
ρ → trong lân cận điểm Jt
o
∈
Giả sử )('
o
tρ = )(''
o
tρ =…= )(
)1(
o

k
t
−
ρ =
0
và )(
)(
o
k
tρ
≠
0
thì số k đó không đổi qua phép
đổi tham số. Khi đó đường thẳng qua
(
)
0
tρ với vectơ chỉ phương )(
)(
o
k
tρ cũng là tiếp
tuyến của đường cong tại
(
)
0
tρ .
Nếu tại
Jt ∈
0

, có )('
o
tρ = )(''
o
tρ =…= )(
)1(
o
k
t
−
ρ =
0
và )(
)(
o
k
tρ
≠
0
,
,)(
)1(
o
k
t
+
ρ )(
)2(
o
k

t
+
ρ ,…, )(
)1(
o
l
t
−
ρ và cùng phương với )(
)(
o
k
tρ , )(
)(
o
l
tρ không cùng
phương với )(
)(
o
k
tρ
(
)
1≥>kl thì trong mặt phẳng
2
E
, đường thẳng
∆
qua

(
)
o
tρ với


Trang 18
vectơ chỉ phương )(
)(
o
k
tρ (
∆
là tiếp tuyến của cung tại
(
)
o
tρ ) với đường thẳng d qua
(
)
o
tρ với vectơ chỉ phương )(
)(
o
l
tρ chia mặt phẳng
2
E
thành 4 góc phần tư với:
+

k
lẻ,
l
chẵn: cung đó nằm về một phía đối với
∆
, và nằm trong 2 góc phần tư
khác nhau.
+k lẻ,
l
lẻ: cung đó nằm về 2 phía đối với
∆
, và nằm trong 2 góc phần tư đối
đỉnh (điểm
(
)
o
tρ là điểm uốn).
+k chẵn, l lẻ: cung đó nằm về một phía đối với d, và nằm trong 2 góc phần tư
khác nhau (điểm
(
)
o
tρ gọi là điểm lùi loại một).
+k chẵn, l chẵn: cung đó nằm trong 1 góc phần tư (
(
)
o
tρ gọi là điểm lùi loại hai).
2.4 Độ dài cung
2.4.1 Định nghĩa:

Cho cung tham số
[
]
:,
n
abE
ρ → xác định trên đoạn
[
]
ba, và
ρ
liên tục. Với
mỗi phép chia btttta
mo
=<<<<=
21
, lập tổng
∑
=
−
m
i
ii
tt
1
1
)()( ρρ
. Nếu các tổng
đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì cung tham số đó có độ dài cung và độ dài
cung chính là cận trên đó.

2.4.2 Định lý:
Nếu
[
]
:,
n
abE
ρ → khả vi trên lớp
1
C thì nó có độ dài cung và độ dài cung đó
là
dtt
b
a
∫
)('ρ
.
Nhận xét:
Nếu hai cung tham số
[
]
(
)
:,,
n
abEtt
ρρ→
a
và
[

]
(
)
:',',
n
rabEuru
→
a

đều khả vi lớp
1
C và tương đương
1
C bởi
[
]
[
]
λr ρλ(t)utbaba
o
a
==→ , ,',',:λ thì độ
dài của chúng bằng nhau.
2.4.3 Tham số hoá tự nhiên của một cung chính quy.
Định nghĩa: Một tham số hoá
[
]
(
)
:,,

n
rabEsrs
→
a
của một cung chính
quy
Γ
gọi là một tham số hoá tự nhiên của nó nếu 1' =r (s còn gọi là tham số hoá độ
dài cung).




Trang 19
2.5 Độ cong của một cung chính quy trong E
n

Định nghĩa: Độ cong của
Γ
tại điểm s trong tham số hoá tự nhiên )(srs
→
của
nó là ).(
'
)()( s
ds
Dr
s
ds
DT

sk == Vậy ta có hàm độ cong (hay độ cong)
1
k
dọc
Γ
là
1
DT
k
ds
=
Ý nghĩa hình học của độ cong:





Gọi
θ
là góc giữa )(sT và )( ssT ∆+ thì
1
()limks
s
θ
=
∆

Thật vậy, ta có:
))(()()(
2

sin2 ε
θ
+∆=−∆+= sTssTssT trong đó
0→ε
khi
0
→
∆
s

Từ đó:

0000
2sin
222
limlimlimlim()'()()
sinsin
22
ssss
DT
TsTss
ssds
θθθ
θ
ε
θθ
→→
∆→∆→∆→∆→
==+==
∆∆

uur

2.6 Mặt phẳng mật tiếp của cung
Γ
trong
n
E
tại một điểm song chính quy
của nó
2.6.1 Định nghĩa: Điểm của cung
Γ
ứng với
t
trong tham số hóa )(tt
ρ
a

của nó gọi là điểm song chính quy của
Γ
nếu






→→
)(''),(' tt ρρ độc lập tuyến tính. Mặt
phẳng mật tiếp với
Γ

tại điểm đó là 2-phẳng đi qua )(t
ρ
với không gian vectơ chỉ
phương )('',)(' tt ρρ .
Trong E
3
, nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
tztytxt ,,)( =ρ thì mặt phẳng mật tiếp đó là
0
)('')('')(''
)(')(')('
)()()(
=
−−−
tztytx
tztytx
tzZtyYtxX

θ

)(sT
)( ssT ∆+

Trang 20
Trong đó
(
)
ZYX ,, là toạ độ của điểm thay đổi trong
3
E
.
2.6.2 Định nghĩa:
Giả sử điểm của cung
Γ
trong
n
E
ứng với
o
t trong tham số hóa )(tt
ρ
a

là một điểm song chính quy. Gọi
∆
là tiếp tuyến với
Γ
tại
o
t và pháp tuyến của
Γ

tại
o
t
là các đường thẳng vuông góc với
∆
, chúng tạo thành mặt phẳng pháp tuyến (pháp
diện) của
Γ
tại
o
t
.

Pháp tuyến của
Γ
tại
o
t

nằm trong mặt phẳng mật tiếp của
Γ
tại
o
t

gọi là
pháp tuyến chính của
Γ
tại
o

t . Khi
3
=
n
, pháp tuyến của
Γ
tại
o
t vuông góc với mặt
phẳng mật tiếp của
Γ
tại
o
t gọi là trùng pháp tuyến của
Γ
tại
o
t .
Mặt phẳng tạo bởi tiếp tuyến và trùng pháp tuyến của
Γ
tại
o
t gọi là mặt
phẳng trực đạc của
Γ
tại
o
t .
2.7 Cung song chính quy trong
n

E

2.7.1 Định nghĩa:
Cung
Γ
trong
n
E
được gọi là cung song chính quy nếu mọi điểm của
Γ
là
điểm song chính quy.
Nhận xét: Cung song chính quy là cung chính quy. Cung chính quy
Γ
là
cung song chính quy khi và chỉ khi độ cong của nó khác không tại mọi điểm.
2.7.2 Định nghĩa:
Xét trường vectơ
ds
DT
dọc cung song chính quy
Γ
trong E
n
. Đặt
:
DTDT
N
dsds
= thì được trường vectơ đơn vị

N
dọc
Γ
gọi là trường vectơ pháp tuyến
đơn vị dọc
Γ
. Hay có thể viết
11
,
DT
kNk
ds
= là hàm độ cong của
Γ
.
Nhận xét: Tại mọi điểm của
Γ
, phương của
N
là phương của pháp tuyến
chính của
Γ
tại điểm đó.
2.8 Trường mục tiêu Frenet dọc một cung song chính quy định hướng trong
E
n
và độ xoắn của nó
2.8.1 Định nghĩa:

Γ

là một cung song chính quy định hướng trong
n
E
thì có trường vectơ tiếp
xúc đơn vị
T
và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị
N
dọc
Γ
. Với
3
=
n
thì trong


Trang 21
3
E
(có hướng), ta xác định được trường vectơ đơn vị
NTB
∧
=
dọc
Γ
gọi là trường
vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc
Γ
.

Cho cung định hướng
Γ
trong
3
E
(có hướng), có trường mục tiêu trực chuẩn
thuận
{
}
BNT ,, dọc
Γ
gọi là trường mục tiêu Frenet dọc
Γ
.
Ta có hàm số
2
k
dọc
Γ
gọi là (hàm) độ xoắn của
Γ
và
2
dB
kN
ds
=−
2.8.2 Ý nghĩa hình học của độ xoắn:
Gọi
θ

số đo của góc giữa )(sB
→
và )( ssB ∆+
→
thì
2
0
()lim
s
ks
s
θ
∆→
=
∆




Thật vậy, ta có:
))()()(
2
sin2 ε
θ
+∆=−∆+= sBssBssB trong đó
0→ε
khi
0
→
∆

s

Từ đó:
0000
2sin
222
limlimlimlim()'()()
sinsin
22
ssss
DB
BsBss
ssds
θθθ
θ
ε
θθ
→→→
∆→∆→∆→∆→
==+==
∆∆

2.9 Công thức Frenet

{
}
BNT ,, là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hướng
Γ
trong
3

E
(có hướng). Khi đó ta có công thức sau gọi là công thức Frenet:

1
DT
kN
ds
=

12
DN
kTkB
ds
=−+
Nk
ds
DB
2
−=
2.10 Công thức tính độ cong, độ xoắn
Cho cung song chính quy định hướng
Γ
trong E
3
(có hướng) xác định bởi
(
)
3
:,
JEtt

ρρ
→
a
. Khi đó độ cong và độ xoắn của
Γ
được tính như sau:
• Độ cong:

3
)(''
)('')^('
t
tt
k
ρ
ρρ
=
θ

)(sB
)( ssB ∆+


Trang 22
• Độ xoắn:

2
)('')^('
))('''),(''),('(
tt

ttt
ρρ
ρ
ρ
ρ
τ =

2.11 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị
Định nghĩa: Nếu trong định nghĩa 2.1,
λ
là những vi phôi bảo tồn hướng
(tức là
(
)
tt ∀> ,0'λ hoặc
(
)
tt ∀< ,0'λ ) thì ta được khái niệm cung định hướng.
2.12 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong
3
E

Định lý: Cho 2 hàm số
12
và
kk
(khả vi lớp 0≥, lC
l
) trên khoảng
RJ

⊂

1
0
và k
>
. Khi đó
1) Có tham số hóa tự nhiên
3
:
rJE
→ (khả vi lớp
2+l
C ) của một cung song
chính quy định hướng trong
3
E
nhận
12
và
kk
làm độ cong và độ xoắn.
2) Nếu có 2 tham số hóa
ρ
vàr của 2 cung như thế thì có đẳng cấu Aphin
trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f của
3
E
mà
ρ

o
fr
=
.
Định nghĩa: Các phương trình
(
)
1122
(), s
kkskk==
1
trong đó
sk(s),
a

(
)
2
sks
a
là 2 hàm số khả vi lớp 0≥l, C
l
cho trước trên khoảng
RJ
⊂
, gọi là
phương trình tự nhiên của cung song chính quy định hướng trong
3
E
với độ cong

1
k
,
độ xoắn
2
k
xác định bởi các hàm số đó trong một tham số hóa tự nhiên của nó.
2.13 Cung phẳng (trong
2
E
)
2.13.1 Cung chính quy định hướng trong E
2
và độ cong của nó:
Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung song chính quy định
hướng
Γ
trong
2
E
(xác định hướng đó). Giả sử
2
E
đã có hướng thì xác định được
trường vectơ dọc
Γ
sao cho
{
}
NT, là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc

Γ
gọi là
trường mục tiêu Fretnet dọc
Γ
, N gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc
Γ
. Rõ
ràng phương của N tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của
Γ
tại điểm đó.
* Với mọi tham số hóa tự nhiên )(srs
a
của trường
Γ
,ta có các công
thức sau
1
DT
kN
ds
=
2
DN
kT
ds
=−
gọi là công thức Frenet của
Γ
.

Trang 23

*Chú ý:

Γ
là cung chính quy định hướng trong
2
E
(có hướng) xác định bởi tham số
hóa
2
:,
JE t(t)
ρρ
→
a
. Giả sử trong tọa độ Descartes vuông góc thuận (x,y) của
2
E
,
(
)
)( ),()( tytxt =ρ . Khi đó
( )
1
3
22
2
'()''()''()'()

()
'()'()
xtytxtyt
kt
xtyt
−
=
+

Nếu
Γ
cho bởi )(xfy
=
thì
( )
1
3
2
2
''
1'
y
k
y
=
+

Nếu
Γ
cho bởi dạng hàm ẩn F(x, y) = 0 thì

( )
'''''
'''''
''
1
3
'2'2
2
0
xxxyx
yxyyy
xy
xy
FFF
FFF
FF
k
FF
=
+

2.13.2 Phương trình tự nhiên (phương trình tham số hóa tự nhiên):
Trong tọa độ Descartes vuông góc thuận Oxyz, giả sử
(
)
(
)
:()(),(),
srsxsyszs

Γ=
a
, các phương trình sau
(
)
11
kks
= ,
(
)
22
kks
= gọi là phương
trình tự nhiên của đường cong
Γ

Trong trường hợp
Γ
cho bởi
(
)
(
)
(
)
(
)
sysxsrs ,=
a

Ta có:
(
)
)('),(')(')( sysxsrsT ==
Vì 1)( =sT nên có thể đặt (s)(s), y'(s)x'(s)
ϕ
ϕ
sincos
=
=

Khi đó
(
)
)(cos ),(sin)(')(' ssssT ϕϕϕ −=

(
)
1
'()sin(), cos()
'()()
Nsss
sks
ϕϕ
ϕ
=−
⇒=
uur

Từ đó

1
()()
sksds
ϕ =
∫


∫
∫
=
=
(s)dssy
dsssx
ϕ
ϕ
sin)(
)(cos)(

Và cung phải tìm là
(
)
)(),()(: sysxsrs =Γ
a



Trang 24
2.13.3 Các đường tròn mật tiếp của một cung chính quy phẳng, cung túc bế
của nó:
*Đường tròn mật tiếp:

Cho tham số hóa tự nhiên
2
()
ssE
ρ
∈
a
của
Γ
thì đường tròn mật tiếp của
Γ
tại điểm ứng với s
0
là đường tròn (C) trong mặt phẳng mà
(
)
(
)
( )
0
,
lim
2
=
−
→
o
ss
ss
Csd

o
ρ
. Đó là
đường tròn có bán kính
)(
1
0
sk
(gọi là bán kính cong của
Γ
tại s
0
) có tâm
)(
)(
1
)(
0
0
0
sN
sk
sq += ρ (tâm cong hay khúc tâm của
Γ
tại s
0
).
Nếu cung
Γ
cho bởi

(
)
)( ),()( tytxtt =ρ
a
trong hệ tọa độ Descartes vuông
góc thuận Oxy thì tâm cong của
Γ
tại t có tọa độ:
(*)
)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
22
22







−
+
+=
−
+
−=

tytxtytx
tytx
txtytY
tytxtytx
tytx
tytxtX

*Cung túc bế và cung thân khai của một cung trong E
2
:
Xét hai cung chính quy
Γ
và
γ
trong E
2
xác định như sau )(: tt
ρ
a
Γ
và
)(: trt
a
γ
với
Jt
∈
. Ta nói
Γ
là cung túc bế của

γ
hay
γ
là cung thân khai của
Γ
nếu
tiếp tuyến của
Γ
tại t là pháp tuyến của
γ
tại t, với mọi
Jt
∈
.
+Phương trình cung túc bế
Γ
của cung
γ

Nếu
γ
cho bởi phương trình tham số
(
)
(
)
(
)
(
)

tytxtr ,= . Ta có phương trình
cung túc bế
)(
)(
1
)()( tN
tk
trt +=ρ


)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
)(')('')('')('
)(')('
)(')()(
22
22







−
+
+=
−
+

−=
⇔
tytxtytx
tytx
txtytY
tytxtytx
tytx
tytxtX

+Phương trình cung thân khai
γ
của cung
Γ

Nếu
Γ
cho bởi phương trình tham số
(
)
)( ),()( tytxt =ρ thì ta có phương
trình cung thân khai là:

(
)
( )

)(')('
)('
)(')(')()(
)(')('

)('
)(')(')()(
22
22
22
22







+
+−+=
+
+−+=
∫
∫
tytx
ty
dttytxCtytY
tytx
tx
dttytxCtxtX



Trang 25
2.14 Bao hình của họ các cung phẳng phụ thuộc tham số

2.14.1 Định nghĩa: Giả sử họ
(
)
α
ΓS các cung chính quy trên mặt phẳng phụ
thuộc tham số
α
. Cung chính quy
α
Γ được gọi là bao hình của họ
(
)
α
ΓS nếu tại mỗi
điểm của nó đều tiếp xúc với ít nhất một đường cong thuộc họ và một phần bất kỳ của
Γ
đều có vô số cung của họ tiếp xúc.
2.14.2 Định lý: Giả sử các cung phẳng
α
Γ của họ
(
)
α
ΓS trong miền G được
cho bởi phương trình
(
)
0,, =αϕ yx với
ba
≤

≤
α
trong đó
ϕ
là hàm khả vi liên tục theo
tất cả các biến, thỏa mãn điều kiện: 0
22
≠+
yx
ϕϕ . Khi đó bao hình
Γ
của họ
(
)
α
ΓS , nếu
tồn tại, được cho bởi hệ phương trình:

( )



=
=
0,,'
0),,(
αϕ
αϕ
α
yx

yx