Báo cáo BTL Giải tích 1 Các bài toán về tối ưu hóa và ứng dụng trong vật lí, kinh tế,...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 4
CÁC BÀI TỐN VỀ TỐI ƯU HÓA VÀ
ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG VẬT LÍ, KINH TẾ,…

GVHD: Huỳnh Thị Vu

Lớp: L10
Nhóm: L10-4


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 4
CÁC BÀI TỐN VỀ TỐI ƯU HĨA VÀ
ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG VẬT LÍ, KINH TẾ,…

GVHD: Huỳnh Thị Vu
Lớp: L10
Nhóm: L10-4
Danh sách thành viên:

Họ tên

MSSV

1. Nguyễn Hữu Bình

2112901

2. Nguyễn Phạm Việt Hà

2110147

3. Hồ Sỹ Tài

2112209

4. Trần Tống Tú Tài

2112227

5. Vũ Ngọc Thuận

2112394

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 1 năm 2022
1


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Giải tích là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học
tự nhiên và kỹ thuật. Sự phát triển của nhiều ngành khoa học như Vật lí học, Hóa
học,… đều gắn liền với sự phát triển của Toán học nói chung và Giải tích nói
riêng.
Giải tích hàm số một biến số là một nội dung quan trọng của chương trình
Giải tích 1, có tính ứng dụng thực tiễn rất cao trong đời sống, kinh tế, khoa học, kĩ
thuật,… Nhiều tình huống trong cuộc sống, các hoạt động kinh tế, kỹ thuật và
công nghệ,... người ta phải quan tâm tới bài tốn tìm ra phương án tốt nhất để đạt
được mục tiêu mong muốn trong những điều kiện ràng buộc nhất định. Đó là các
bài tốn tối ưu.
Để hiểu rõ hơn về bản chất, ý nghĩa, nội dung, các công thức liên quan cũng
như ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực, nhóm được phân cơng đề tài “Các bài
tốn tối ưu và ứng dụng thực tế trong kinh tế, vật lí,…”
2. Mục đích của đề tài
Để tài của nhóm sẽ làm rõ các khái niệm, định nghĩa, tính chất, giới thiệu
được các phương pháp chung nhất tính tốn đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất - giá trị
nhỏ nhất… cũng như các cơng thức tính tốn liên quan.
Từ đó giới thiệu và ứng dụng trong một số bài toán tối ưu và áp dụng trong
kinh tế, vật lí,…
3. Nội dung đề tài
Bài báo cáo được chia làm hai phần chính:
- Phần lý thuyết - cơ sở lý thuyết: định nghĩa, tính chất; các cơng thức tính
tốn: đạo hàm, giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất;
- Phần bài tập tính tốn các bài tốn tối ưu - ứng dụng thực tế trong kinh tế,
vật lí,…


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU......................................................................................................... II
MỤC LỤC............................................................................................................. III

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC.....................................................................IV
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................................1
1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số..............................................1
1.1.1. Hàm số một biến số..........................................................................1
1.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến............................................1
1.1.3. Các quy tắc đạo hàm........................................................................1
1.1.4. Đạo hàm của hàm ngược..................................................................2
1.1.5. Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ.......................................................2
1.1.6. Đạo hàm của hàm tham số................................................................2
1.2. Đạo hàm cấp cao........................................................................................2
1.2.1. Đạo hàm cấp 2..................................................................................2
1.2.2. Đạo hàm cấp n..................................................................................2
1.3. Tính đơn điệu của hàm số - Bảng biến thiên..............................................3
1.3.1. Tính đơn điệu của hàm số.................................................................3
1.3.2. Cách biểu diễn bảng biến thiên.........................................................3
1.4. Giá trị lớn nhất (GTLN) - Giá trị nhỏ nhất (GTNN)..................................3
1.4.1. Định nghĩa........................................................................................3
1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất...............................................4
1.5. Bài toán tối ưu............................................................................................4
1.5.1. Giới thiệu bài toán tối ưu..................................................................4
1.5.2. Các bước giải bài toán tối ưu............................................................4
Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TỐN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ................................5
2.1. Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế.....................................................5
2.1.1. Bài toán 1.........................................................................................5
2.1.2. Bài toán 2.........................................................................................5
2.1.3. Bài toán 3.........................................................................................6
2.1.4. Bài toán 4.........................................................................................7
2.1.5. Bài toán 5.........................................................................................8
2.2. Một số bài tốn ứng dụng trong vật lí........................................................8
2.2.1. Bài toán 6.........................................................................................8

2.2.2. Bài toán 7.........................................................................................9
2.2.3. Bài toán 8.......................................................................................10
2.2.4. Bài toán 9.......................................................................................11
2.2.5. Bài toán 10.....................................................................................12
2.3. Một số bài toán ứng dụng trong các lĩnh vực khác...................................12
2.3.1 Bài toán 11......................................................................................12
2.3.2. Bài toán 12.....................................................................................13
2.4. Kết luận....................................................................................................13
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................14
PHỤ LỤC..............................................................................................................15


BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

4


Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Họ tên
1. Nguyễn Hữu Bình

MSSV

Phân cơng

Hồn thành

2112901 Lý thuyết mục 1.1.4-1.1.6; bài tốn

100%

số 2, 7.
2. Nguyễn Phạm Việt Hà 2110147 Lý thuyết mục 1.2.1,1.2.2, 1.3.1; bài

100%

3. Hồ Sỹ Tài

toán số 3, 8.
2112209 Lý thuyết mục 1.3.2, 1.4.1, 1.4.2; bài

100%

4. Trần Tống Tú Tài

toán số 4, 9
2112227 Lý thuyết mục 1.5.1, 1.5.2; bài toán

100%

5. Vũ Ngọc Thuận

số 5, 10
2112394 Lý thuyết mục 1.1.1 -1.1.3; bài toán

100%

số 1, 6, 11 và 12; Lời mở đầu, Kết
luận, Phụ lục.
1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số.

1.1.1. Hàm số một biến số.
Định nghĩa: Hàm số một biến số f xác định trên tập hợp X  ℝ là một quy
tắc sao cho ứng với mỗi x  X là một phần tử duy nhất y ℝ. Kí hiệu:
f: X  ℝ
y = f(x)
Khi đó, tập hợp X được gọi là tập xác định của hàm số f và ký hiệu là D(f).
Tập hợp f(X) = {y= f(x)  ℝ} được gọi là tập giá trị của hàm số f và ký hiệu là
E(f).
1.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0. Giới hạn (nếu có)
lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

của tỷ số:
được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và được ký hiệu là f ’(x0) hay y’(x0).
1.1.3. Các quy tắc đạo hàm.
Định lí 1: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) tại điểm x0, thì hàm
số y=cu=cu(x) với c  ℝ cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0: [1]
y’=cu’=cu’(x0)

(1.1)

Định lí 2: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) và v’(x0)
tại điểm x0, thì hàm số y=u v=u(x) v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0 [1]
y’=u’ v’=u’(x0) v’(x0)

1

(1.2)


Định lí 3: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) và v’(x0)
tại điểm x0, thì hàm số y=u.v=u(x).v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0 [1]
y’=u’.v+u.v’=u’(x0).v(x0)+u(x0).v’(x0)

(1.3)

Lưu ý: Ta có thể mở rộng cho tích của hữu hạn những hàm số
(u.v….w)’=u’.v….w+u.v’….w+…+u.v….w’

(1.4)

Định lí 4: Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) và v’(x0)
u u ( x)

v
v( x ) cũng có đạo hàm hữu hạn tại

tại điểm x0 sao cho v(x0) 0, thì hàm số y=
y' 

điểm x0: [1]

u '.v  u.v' u ' ( x0 ).v( x0 )  u ( x0 ).v' ( x0 )

v2

v 2 ( x0 )
(1.5)

Định lí 5 (đạo hàm của hàm hợp): Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn
u’(x0) tại điểm x0, cịn hàm số y=f(u) có đạo hàm hữu hạn f’(u0) tại điểm tương ứng
u0=u(x
sẽ có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0 [1]
0). xuất
[1] Nguồn
truy
Tàihợp
liệuy=f(u)
tham khảo
Khitại
đómục
hàm
y’(x0) = f’(u0).u’(x0)

(1.6)

1.1.4. Đạo hàm của hàm ngược.
Cho hàm số tăng (hoặc giảm) liên tục trên khoảng và có đạo hàm hữu hạn
tại điểm . Khi đó hàm ngược có đạo hàm hữu hạn tại điểm tương ứng , và ln có
đẳng thức: [1]
(1.7)
1.1.5. Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ.
Định nghĩa: Cho hàm số và xác định trên cùng một tập hợp khi đó hàm
số gọi là hàm lũy thừa – mũ.
Nếu hàm số u và v có đạo hàm hữu hạn và tại một điểm x0 thì hàm số
cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm này và ta có đẳng thức:

[1]

(1.8)
1.1.6. Đạo hàm của hàm tham số.
Cho hàm số xác định trong lân cận của điểm . Nếu chúng có đạo hàm tại và
thì hàm có đạo hàm tại và: [1]

(1.9)

1.2. Đạo hàm cấp cao.
1.2.1. Đạo hàm cấp 2.
Cho hàm y = có đạo hàm . Nếu đạo hàm có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì
đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x), kí hiệu là:
Vậy = ()’. [1]

(1.10)
2


1.2.2. Đạo hàm cấp n.
Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) được tính theo cơng thức: [1]
= ()’ , n  ℕ

(1.11)

Tính chất: Nếu f(x) và g(x) có đạo hàm cấp n thì:
c1 f(x) + c2 g(x), c1, c2  ℝ cũng có đạo hàm cấp n:



[1]

(c1 f(x) + c2 g(x))(n) = c1 f (n)(x) + c2 g(n)(x)


(1.12)

f(x) . g(x) cũng có đạo hàm cấp n (cơng thức Leibnitz):

[1] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo

[1]

(1.13)

1.3. Tính đơn điệu của hàm số - Bảng biến thiên.
1.3.1. Tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà
x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là: x1 < x2 f(x1) < f(x2).
Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K
mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là: x1 > x2 f(x1) > f(x2).
Định lí:
a) Nếu f’ (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’ (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
1.3.2. Cách biểu diễn bẳng biến thiên.
Ví dụ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên có f’ (x) > 0 trong khoảng
(-  ,x0) và f’ (x) < 0 trong khoảng (x0,+  ), ta có được bảng biến thiên như sau:
x
-

f’ (x)
f(x)

+

+

x0
0 (*)
f (x0)

-

Hình 1.2. Đồ thị hàm số y = f ’(x)
Hình 1.1. Đồ thị hàm số y = f(x)
1.4. Giá trị lớn nhất (GTLN) - Giá trị nhỏ nhất (GTNN).
1.4.1. Định nghĩa.
3


Hàm số y = f(x) đạt GTLN tại d nếu f(d) f(x)
 x  D. Số f(d) gọi là GTLN của f trên D.

Hàm số y = f(x) đạt GTNN tại a nếu f(a) f(x)
 x  D. Số f(a) gọi là GTNN của f trên D.

Hình 1.3. Minh họa GTLN-GTNN.
1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

(*) f ’(x0) có thể bằng 0 hoặc khơng xác định

TH1: y = f(x) liên tục trên khoảng (a,b) (a có thể là -  , b có thể là +  ) 
Lập bảng biến thiên  Kết luận.
TH2: y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b].
 Tìm f ’(x)  tìm những điểm xi mà tại đó f ’(xi) = 0 hoặc KHÔNG TỒN TẠI
đạo hàm.
 Loại những điểm xi  [a, b]. Tính giá trị của f(x) tại những điểm xi  [a,b].
 So sánh f(a), f(b) và f(xi) với xi  [a,b]  GTLN, GTNN.
1.5. Bài tốn tối ưu.
1.5.1. Giới thiệu bài tốn tối ưu.
Có nhiều tình huống trong xã hội, cuộc sống đời thường,... người ta phải
quan tâm tới bài tốn tìm ra phương án tốt nhất để đạt được mục tiêu mong muốn
trong những điều kiện ràng buộc nhất định. Đó là các bài toán tối ưu.
Trong thực tiễn, đạo hàm thường mang ý nghĩa là tốc độ biến thiên của
một đai lượng theo tham số nào đó. Vì thế trong lĩnh vực kinh tế, bài tốn tối ưu
thường là các bài tốn tìm phương án sao cho lợi nhuận lớn nhất, chi phí nguyên
liệu thấp nhất, kế hoạch sử dụng công cụ để đảm bảo lợi nhuận,…; trong lĩnh vực
vật lí, kĩ thuật: đạo hàm của quãng đường mang ý nghĩa là vận tốc,… nên có thể
ứng dụng để tìm qng đường, thời gian di chuyển ngắn nhất hoặc tối ưu hóa hiệu
suất động cơ nhiệt,…
Để giải các bài toán thực tiễn này, thử thách lớn nhất chính là chuyển đổi
bài tốn bằng lời về dưới dạng một bài tốn tối ưu hóa được miêu tả bằng một hàm
số. Trong khuôn khổ chương trình Giải tích 1, chúng ta chỉ giải bài tốn tối ưu
bằng phương pháp đơn giản nhất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến số.
1.5.2. Các bước giải bài tốn tối ưu.
1. Phân tích bài tốn, giả thiết; gọi các biến (chẳng hạn x,y,…) có liên quan.
2. Vẽ biểu đồ, sơ đồ, hình minh họa (nếu cần).
3. Tìm điều kiện của các biến.
4

4. Biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng - Thành lập hàm số f(x) theo
giả thiết.
5. Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN  Kết luận.

Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TỐN - ỨNG DỤNG
THỰC TẾ
2.1. Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế.
2.1.1. Bài toán 1

[2]

(tối ưu hóa lợi nhuận). Khi ni cá trong hồ, người ta

thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con
cá sau một vụ cận nặng P(n) = 0,48 - 0,02n (kg). Biết mỗi kg cá bán được 30.000
đ. Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ trên một đơn vị diện tích mặt hồ là?
Giải
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá, thì sau một vụ, số cá trên
mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng: f(n) = n.P(n) = 0,48n -0,02n2(kg).
Giả sử như có thể ni được một số lượng vơ hạn con cá trên một đơn vị
diên tích thì n  (0,+  ).
Đạo hàm f theo n, ta được: f ’(n) = 0,48 - 0,04n.
Cho f ’(n) = 0  0,48 - 0,04n = 0  n = 12 (con).
Lập bảng biến thiên:
n
f

0
+

’(n)
f(n)

+

12
0

-

f(12) = 2,88

Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ trên một đơn vị diện tích mặt hồ là:
2,88 x 30.000 đ = 86.400đ, khi nuôi 12 con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ.
2.1.2. Bài tốn 2 [2] (tối ưu hóa lợi nhuận). Một đại lý bán một loại sản phẩm
với giá x đôla/đơn vị. Với giá bán này thì sẽ bán được 500-7x sản phẩm trong tuần.
Biết đại lý mua loại sản phẩm này với giá 30 đôla/đơn vị từ nhà phân phối. Hỏi đại
lý trên bán được bao nhiêu sản phẩm khi lợi nhuận hàng tuần lớn nhất?
Giải
Gọi u = u(x) = 500 - 7x (sản phẩm) là số đơn vị sản phẩm bán ra hằng tuần.
y = y(x) (đôla) là tổng lợi nhuận hàng tuần.
Giá bán sản phẩm phải là một số dương nên x  (0,+  ).
5


Tổng lợi nhuận hàng tuần = (giá bán - giá nhập) x số lượng sản phẩm bán được.
 y(x) = (x - 30).u(x) = (x - 30).(500 - 7x) = - 7x2 + 710x - 15000.

Đềxuất

bàitạiyêu
định khảo
số lượng sản phẩm bán được (u) khi lợi nhuận là
[2] Nguồn truy
mụccầu
Tài xác
liệu tham
lớn nhất. Ta có thể khảo sát hàm số y theo tham số u thay vì theo tham số x
Theo công thức (1.9)(*), đạo hàm của hàm tham số:
y’u =
Cho y’u = 0  14x - 710 = 0  x= . Bảng biến thiên:
x
u’(x
)
u(x)
y’(x
)
y’(u

+

0
-

-

+

145
0

-

-

0

+

)
(cực đại) (**)
Vậy đại lý trên bán được 145 đơn vị sản phẩm khi lợi nhuận hàng tuần lớn nhất.
2.1.3. Bài tốn 3

[3]

(tiết kiệm chi phí sản xuất): Khi sản xuất vỏ lon sữa bị

hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon
là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của
khối trụ đó bằng 2 và diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy là?
Giải
Gọi x là bán kính đáy của lon sữa. Điều kiện: x > 0.
Khi đó, thể tích của lon sữa là:
V
h 2
x (h là chiều cao lon)

Diện tích tồn phần của lon sữa là:
Bài tốn qui về tìm GTNN của hàm số

Đạo hàm S theo x, ta được:
Lập bảng biến thiên:
x
0
S’(x
)
S(x)

-

+

0.6827
0

+

S(0.6827)
(*) Xem
Chương
mục trụ
1.1, bằng
tiểu mục
Đểtạithể
tích 1,
khối
2 1.1.6.
và diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán
(**) Do u’(x)<0, nên ta sẽ đọc bảng biến thiên theo chiều từ phải sang trái, nếu trong khoảng nào đó
u’(x)<,

sẽ đọc
biến thiên từ trái sang phải.
đáytaxấp
xỉbảng
0,68.
[3] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo.
6

kinh


2.1.4. Bài tốn 4: Giá trị V (đv: nghìn đơla) của một máy cơng nghiệp được
mơ hình hóa bởi
Trong đó N là số giờ máy được sử dụng mỗi ngày. Giả sử rằng việc sử dụng máy
thay đổi theo thời gian: . Trong đó t là số tháng máy đã đi vào hoạt động. Giá trị
của máy đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và sau bao lâu kể từ khi hoạt động?
Giải
Đạo hàm V theo N, ta được:
Đạo hàm N theo t, ta được:
Do t là số tháng máy đi vào hoạt động nên: t > 0. Theo công thức (1.6) (*), đạo hàm
V theo t ta được:
Cho V’(t) = 0  t = 5
Lập bản biến thiên:
t
V’(t

0

+

5
0

+

)
V(t)

-

V(t=5)

Thay t = 5  N(5) = 2  V(N=2) 18.726 (nghìn đơla)  Vậy giá trị của
máy đạt giá trị lớn nhất là 18.726 (nghìn đơla) và sau 5 tháng kể từ khi hoạt động.
(*) Xem tại Chương 1, mục 1.1,[4]tiểu mục 1.1.3.

2.1.5. Bài tốn 5

(tối ưu hóa chi phí): Một người muốn mua một mảnh đất

hình chữ nhật trồng ruộng với diện tích 384 mét vng . Nhưng sau khi quyết định
xong chú nhận ra mình cần thêm diện tích đất để đào một ao chứa nước làm ruộng.
nên chú quyết định tăng đồng thời hai bên chiều dài của mảnh đất lên 6 m và hai
bên chiều rộng thêm 4 mét, để có thể mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất
( tiết kiệm chi phí ), thì chu vi mảnh đất là bao nhiêu?
Giải
Gọi x,y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của mảnh đất
dự tính ban đầu (x,y > 0).

S = (x + 4)(y + 6).

(2)

Ta có S0 = x.y = 384 (m2)  y = (1)

Từ (1) và (2) ta có:

Diện tích mảnh đất sau khi quyết định là:
7


S= =
Ta có = . Cho S’ = 0 ta được: .
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của S là 600 m2 và y = 24m và x = 16m
Chiều dài sau khi thay đổi: 24 + 6 = 30 ( mét ).
Chiều rộng sau khi thay đổi: 16 + 4 = 20 ( mét ).
Khi đó chu vi ta cần tìm là : C = ( 30 + 20 ) 2 = 100 ( mét)
2.2. Một số bài toán ứng dụng trong vật lí.
2.2.1. Bài tốn 6

[5]

(thời gian chuyển động ngắn nhất): Một ô tô xuất phát

từ điểm A trên đường cái trong khoảng thời gian ngắn nhất đến điểm B trên cánh
đồng. Điểm B cách đường cái một đoạn 2 3 (m). Hỏi ô tô phải rời đường cái từ
điểm C cách điểm D một đoạn là bao nhiêu? Biết rằng vận tốc ô tô khi chạy trên
cánh đồng giảm 2 lần so với chạy trên đường cái.
Giải
Từ đề bài: BD = 2 3 (m).
Đặt AD = L0 > 0(m), CD = x (m);

Vận tốc ô tô trên đường cái là v0 > 0;
Vận tốc ô tô trên cánh đồng là v > 0.
[4], [5] Nguồn truy xuất tại mục Tài liệu tham khảo. t  AC  L0  x
1

Thời gian chuyển động trên đường cái là:

v0

v0

Vận tốc trên cánh đồng giảm 2 lần so với trên đường cái:

(s)
v

v0
(m / s)
2

BC 2 ( 2 3 ) 2  x 2
t2 

v0
v0
2
Thời gian chuyển động trên cánh đồng:
(s)
L0  x 2 (2 3 ) 2  x 2


v
v0
0
Tổng thời gian: T = t1+t2 =
(s) là một hàm số theo x.



Do 0 CD AD nên x [0,L0]. Đạo hàm T theo x ta được:
8


 1 2 (( 2 3 ) 2  x 2 )'  1
2x
L0  x 2 (2 3 ) 2  x 2

 

2
2
v0 v0 2 (2 3 )  x
v0 v0 12  x 2
v0
T’ = ( v0
)’ =
1
2x
2x
1


0 

2
2
2
v
v0 
v0 12  x
Cho T’ = 0  0 v0 12  x
2x = 12  x

 4x2-x2-12 = 0  x1 = 2(m) và x2 = -2(m). Loại x2 = -2 vì x2  [0,L0].

Vậy T đạt GTNN tại x2 = 2 hoặc tại hai dầu mút xa = 0, xb = L0. Lần lượt thay vào
2

48  4 L0
L0  6
L0  4 3
v0
T. Ta được: T(2) = v0 ; T(0) = v0
; T(L0) =
.
L0  6
So sánh các giá trị, ta thấy T(2) = v0 là giá trị nhỏ nhất bất kể giá trị L0 và v0.(*)

Vậy ô tô phải rời đường cái từ điểm C cách điểm D một đoạn x = x1 = 2(m) để thời
gian di chuyển ngắn nhất.
2.2.2. Bài toán 7 (tối ưu hóa năng lượng tiêu hao): Một con thuyền bơi
ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km/h.

Nếu vận tốc bơi của con thuyền khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu
hao của con thuyền trong t giờ được cho bởi cơng thức . Trong đó c là một hằng
số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của thuyền so với bờ khi bơi ngược
dòng nước để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Giải
Gọi v(km/h) là vận tốc của thuyền khi nước đừng yên, v 0 = 6(km/h) là vận tốc của
dòng nước.
Vận tốc của thuyền so với bờ khi bơi ngược dòng là: v’ = v - v0 = (km/h)
Thời gian để thuyền bơi ngược dòng được vượt khoảng cách 300km là:
Năng lượng tiêu hao của thuyền là:
(*) Xem các bước tìm GTLN-GTNN: Chương 1, mục(jun)
1.4, tiểu mục 1.4.2, TH2.

Để chiếc thuyền bơi ngược dòng được thì v’ > 0 hay v > 6. Đạo hàm E theo v:
Cho:
Lập bảng biến thiên:
v
E’(v
)
E(v)

6
-

+

9
0

+

E(9)
9


Vận tốc bơi của thuyền so với bờ khi ngược dịng để năng lượng tiêu hao là ít nhất
là v’= 9 - 6 = 3(km/h).
2.2.3. Bài toán 8

[5]

(hiệu suất của động cơ nhiệt): Một động cơ nhiệt hoạt

động theo chu trình Carnot, với hiệu suất (tỉ lệ giữa cơng sinh ra và lượng nhiệt
 1 

cung cấp) được cho bởi cơng thức

T2
T1 , trong đó T và T lần lượt là nhiệt độ
2
1

nguồn nóng và nguồn lạnh, do tính chất đặc trưng mà tỉ lệ giữa nhiệt độ nguồn
lạnh và nguồn nóng là một hàm biến đổi theo thời gian với cơng thức:
1
t

t
2 (t là thời gian sau tính từ khi khởi động - được tính bằng giờ)

Biết được điều này, người ta sẽ điều chỉnh tỉ lệ trên sao cho phù hợp tại thời điểm
hiệu suất của động cơ thấp nhất nhằm tối ưu hóa hoạt động. Hỏi hiệu suất thấp
nhất của động cơ là bao nhiêu và tại thời điểm nào?
Giải
1
t

T2 t

Theo đề bài, ta có: T1 2 (t  0)
1

tt
 (t ) 1 
2
Thay vào công thức hiệu suất ta được một số theo t:

Đạo hàm hiệu suất động cơ theo thời gian theo công thức (1.8)(*), ta được:
' (t) 

1
t

1
t

1
1
1 1

(t )' (t .lnt.( )' .t
2
2
t t

1
1
t

.t' ) 

1
t

1
1 1
(t .lnt.( 2 )  .t
2
t
t

1
1
t

) 

t

 2t 1

t

( lnt 1)
2

(*) Xem tại Chương 1, mục 1.1.5. Đạo hàm của hàm lũy thừa - mũ.
' (t ) xuất
0 tạimục
ln t Tài
1 
0 tham
t khảo.
e 2.7( h)
[5] Nguồn
liệu
Cho truy

Lập bảng biến thiên:
t
 ’(t)
 (t)

0
-

+

e
0

+

 (e)
Vậy hiệu suất thấp nhất của động cơ là  (e), tại thời điểm 2.7 giờ sau khi hoạt

động.
2.2.4. Bài toán 9 (tối ưu hóa diện tích khung dây): Động cơ điện xoay chiều
đơn giản có cấu tạo gồm một nam châm và một khung dây hình chữ nhật được
xoay đều với vận tốc góc khơng đổi. Diện tích của khung dây càng lớn thì suất
10


điện động tạo ra càng lớn. Tuy nhiên, dây chỉ có chiều dài 10m. Để có thể có suất
điện động lớn nhất thì chiều dài các cạnh của khung dây là bao nhiêu?
Giải
Để có suất điện động lớn nhất, diện tích của
khung dây phải lớn nhất.
Chiều dài của dây điện làm khung chính là chu vi
của khung quay: C = L = 10(m)

11


Gọi chiều dài và chiều rộng của khung dây lần lượt là x và y, ta có: C=2x+2y=10
 y=

Diện tích của khung dây là: S = x.y = x.(5-x) = -x2 + 5x (0 < x < 10)
Đạo hàm S theo x, ta được: S’= -2x + 5. Cho S’ = 0  x = 2.5 (m)
Bảng biến thiên:
x

S’(x)
S(x)

0

2.5
0
S(2.5)

+

10
-

Từ bảng biến thiên, ta thấy diện tích của khung dây lớn nhát khi x = 2.5 (m)
 Chiều dài và chiều rộng của khung dây lần lượt là x=2.5(m) và y=5-2.5=2.5(m),

khi đó diện tích của khung dây lớn nhất và bằng S = 2.5 x 2.5 = 6.25(m2).
2.2.5. Bài toán 10 [7] (công suất của mạch điện xoay chiều): Đặt vào hai đầu
mạch truy
điệnxuất
xoay
chiều
điện khảo
thế có giá trị hiệu dụng U=100 (V); cảm kháng,
[7] Nguồn
tại mục
Tàihiệu
liệu tham
dung kháng và điện trở được mắc nối tiếp với nhau và có giá trị lần lượt là Z L =

100 (  ), ZC = 60 (  ) và R = x (  ). Biết cơng suất tiêu thụ của mạch có thể tính
U2
R 2
R  ( Z L  Z C ) 2 (W). Tính cơng suất lớn nhất mạch tiêu
được theo công thức P =

thụ.
Giải
Thay R = x, ta được: P(x) =

x

100 2
10000 x
 2
2
2
x  (100  60)
x  1600

Đạo hàm P theoo x:
x ' ( x 2  1600)  ( x 2  1600)' x
( x 2  1600)  2 x 2 10000( x 2  1600)
10000 

10000


( x 2  1600) 2
( x 2  1600) 2

( x 2  1600) 2
P’=

Cho P’ = 0  x = 40
Bảng biến thiên
x
P’
P

0
+

40
0
P(40)

+
-

Từ bảng biến thiên, ta thấy mạch tiêu thụ công suất lớn nhất khi R=x=40(  ).
Vậy công suất tiêu thụ lớn nhất của mạch là P(40)=125 (W).
2.3. Một số bài toán ứng dụng trong các lĩnh vực khác.


2.3.1. Bài toán 11 (tronh lĩnh vực sinh học): Mức kháng thể xuất hiện sau
khi tiêm vaccine trong máu, tính theo mg/cm 3, ở một người sau t tháng khi tiêm
t2
C (t )  3
2t  1 (t > 0). Người ta thấy rằng để có hiệu quả tốt nhất về
cho bởi hàm số:

miễn dịch, người ta sẽ tiêm vaccine mũi nhắc lại sau 3 tháng kể từ khi lượng
kháng thể trong máu đạt giá trị lớn nhất. Hỏi sau người ta sẽ tiêm vaccine nhắc lại
sau bao lâu kể từ lần tiêm vaccine đầu tiên?
Giải
Đạo hàm C theo t, ta được:
C ' (t ) 

(t 2 )' (2t 3  1)  (2t 3  1)' t 2 2t (2t 3  1)  6t 2 .t 2  2t 4  2t 3


( 2t 3  1) 2
(2t 3  1) 2
(2t 3  1) 2

Cho C’(t) = 0  t=0 (loại), t=1 (nhận).
t
C’(t)
C(t)

0

1
0
C(1)

+

+
-

Lượng kháng thể đạt giá trị lớn nhất sau t =1 tháng sau tiêm. Vậy người ta nên
tiêm mũi nhắc lại sau 1+3=4 tháng kể từ lần tiêm đầu tiên.
2.3.2. Bài toán 12: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy
triều. độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) trong ngày

cho bởi công thức

h 3 cos(

t 
 )
6 3 . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với

thời gian ngắn nhất?
Giải
Ta có:

h'  3(

t 
t 

t 
 )' sin(  )  sin(  )
6 3
6 3
2
6 3
h' 0  


t 
sin(  ) 0  t  2  6k , (k  Z  )
2
6 3

Ở đây ta chỉ xét một số giá trị:
k

1

2

3

4

t

4

1

16 22

0
Vì đề bài yêu cầu tìm thời gian ngắn nhất mực nước đạt giá trị lớn nhất, ta có thể
thay các giá trị t vào h và so sánh

Ta suy ra được h đạt GTLN khi t =10 (h)
2.4. Kết luận.
Đề tài này đã nêu lên các khái niệm, định nghĩa, tính chất, các cơng thức
liên quan, một số phương pháp tính tốn đạo hàm cũng như phương pháp chung
nhất để giải bài tốn tối ưu trong khn khổ Giải tích 1, đó là đi tìm giá trị lớn
nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến số dựa trên đạo hàm. Bên cạnh đó cịn
giới thiệu một số ứng dụng thực tiễn của các bài toán tối ưu trong lĩnh vực kinh tế
như tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí,… trong linh vực Vật lí với bài tốn tìm thời gian
ngắn nhất, tới ưu hóa hiệu suất động cơ ,… cùng một số lĩnh vực khác nhưng sinh
học,… giúp chúng ta có kinh nghiệm giải các bài tốn tương hoặc xử lí các tình
huống thực sự sau này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Giáo trình Giải tích 1, Chương 3: Đạo
hàm và vi phân của hàm số một biến số, tr.61-97.
[2] Bài

toán

tối

ưu

trong

kinh

tế.

(2021).

Truy

xuất

từ

/Home/ArticleDetail/vn/92/2768/
[3] Võ Minh Phổ, Lý thuyết tối ưu, Chương 1: Bài toán tối ưu và các kiên
thức cơ sở, tr.1-14.
[4] Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tiễn. (2017). Truy xuất từ
/>oc/.
[5] Trần Văn Lượng (Chủ biên), Bài tập Vật lí đại cương A1, Chương 1:
Động học chất điểm, tr.36; Chương 5: Các nguyên lý nhiệt động lực học,
tr.217.
[6] Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa - Giáo trình cho ngành tin học và Công
nghệ thông tin, Chương I: Bài toán tối ưu tổng quát và ứng dụng, tr.7-10;
Chương II: Bài tập ứng dụng, tr.62-74.
[7] Công suất cực đại trong điện xoay chiều. (2018). Truy xuất từ
https://mpc247
.com/vat-li-pho-thong/5006/.
[8] James Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Sixth Edition,
Thomson Brooks/Cole, 2008.


PHỤ LỤC
1. Đạo hàm của những hàm sơ cấp.
1.1. Hàm hằng:

y = C = const  y’ = 0

1.2. Hàm lũy thừa:


y= x  y’= x

y = x  y’ = 1

 1

y  x  y '

1
1
y   y '  2
x
x

y n x  y ' 

1
2 x
1

n x n 1
n

y a x , (a  0, a 1)  y ' a x ln a

1.3. Hàm mũ:

y e x  y ' e x (vì ln e 1)
y loga | x |, (a  0, a 1)  y ' 

1.4. Hàm logarit:

y ln | x | y ' 

1
x ln a

1
x

1.5. Hàm lượng giác:
y = sin x  y’ = cos x
y tan x  y ' 

y = cos x  y’ = -sin x

1
cos 2 x

y cot x  y ' 

1
sin2 x

1.6. Hàm lượng giác ngược:

y arcsin x, ( x  ( 1,1))  y ' 

1
2

1 x
1
y arctan x, ( x  ( ,))  y ' 
1 x2

y arccos x, ( x  ( 1,1))  y ' 

1 x2
1
y arc cot x, ( x  ( ,))  y ' 
1 x2

1.7. Hàm hyperbolic
y = sinhx  y’ = coshx
y tanh x  y ' 

1
cosh 2 x

y = coshx  y’ = sinhx
y cosh x  y' 

1
sinh2 x

2. Một số công thức đạo hàm cấp cao cơ bản
(ax)(n) = ax.lnna

(ex)(n) = ex

n
n
)
(cos ax) ( n ) a n cos(ax 
)
2
2
( 1) n  1 (n  1)!
( 1) n  1 (n  1)!
(n)
(log a | x |) ( n ) 
(ln
|
x
|)

x n ln a
xn
(( ax  b )  ) ( n )  a n  (   1 )...(   n  1 )( ax  b )   n
(sin ax) ( n ) a n sin(ax 

1