TIỂU LUẬN học PHẦN CÔNG NGHỆ MẠNG TRUYỀN tải QUANG TIỂU LUẬN 14 tìm HIỂU về GIÁM sát MẠNG QUANG

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG
KHOA VIỄN THƠNG I
-------------------------------

TIỂU LUẬN HỌC PHẦN
CÔNG NGHỆ MẠNG TRUYỀN TẢI QUANG

TIỂU LUẬN 14: TÌM HIỂU VỀ GIÁM SÁT MẠNG QUANG
(Nhóm 14)

Họ và tên nhóm sinh viên:

Phùng Phương Hiền - B18DCVT137
Trần Thị Tuyết Mai - B18DCVT278
Trần Thị Nga - B18DCVT310

HÀ NỘI - 2021


MỤC LỤC

MỤC LỤC................................................................................................................ 1
THUẬT NGỮ VIẾT TẮT - DANH MỤC BẢNG BIỂU....................................... 2
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRUYỀN TIN................................... 4
1.1. Biểu diễn tín hiệu và hệ thống có dải tần hữu hạn...................................4
1.1.1.

Biểu diễn các tín hiệu có dải tần hữu hạn (Bandpass signal)................4

1.1.2.

Biểu diễn hệ thống tuyến tính có dải tần hữu hạn.................................7

1.1.3.

Đáp ứng của hệ thống thơng dải với tín hiệu vào có dải tần hữu hạn...8

1.1.4.

Biểu diễn q trình ngẫu nhiên dừng có dải tần hữu hạn......................9

1.2. Khơng gian tín hiệu.................................................................................. 13
1.2.1.

Các khái niệm về không gian vector.................................................... 13

1.2.2.

Các khái niệm về không gian tín hiệu.................................................. 15

1.2.3.

Khai triển trực giao tín hiệu................................................................ 16

CHƯƠNG 2: GIÁM SÁT MẠNG QUANG........................................................ 24
2.1. Bảo vệ trong lớp khách hàng................................................................... 24
2.2. Bảo vệ trong các vịng gói có khả năng phục hồi................................... 25
2.3. Bảo vệ trong Ethernet.............................................................................. 26
2.4. Bảo vệ trong IP......................................................................................... 28
2.5. Bảo vệ trong MPLS.................................................................................. 29

KẾT LUẬN............................................................................................................ 32
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 34

1


THUẬT NGỮ VIẾT TẮT - DANH MỤC BẢNG BIỂU
I. Thuật ngữ viết tắt

II.

MPLS
RPR
STP
RSTP
OSPF
LSP
PLR
MP

Danh mục bảng biểu
Hình 1.1.1
Hình 1.1.2
Hình 1.1.3
Hình 1.2.1
Hình 1.2.2
Hình 2.1.1
Hình 2.1.2
Hình 2.2.1

Hình 2.3.1 (a)
Hình 2.3.1 (b)
Hình 2.4.1
Hình 2.5.1

2


MỞ ĐẦU
Hiện nay, ngành cơng nghiệp máy tính- truyền thơng phát triển mạnh mẽ trong
thời đại khoa khoa - công nghệ bùng nổ là lý do tại sao hiểu biết về lý thuyết thông
tin, truyền thông cực kỳ quan trọng. Lĩnh vực tín hiệu và hệ thống truyền tin bao
gồm các nguyên tắc cơ bản của hệ thống, tín hiệu tương tự và kỹ thuật số, các cơng
cụ tốn học để phân tích các tín hiệu xác định và ngẫu nhiên, và các ứng dụng để xử
lý tín hiệu kỹ thuật số, xử lý hình ảnh kỹ thuật số và truyền thông kỹ thuật số/tương
tự. Để bổ sung thêm kiến thức cần có về lĩnh vực ấy, trong tiểu luận này, ta tìm hiểu
các tín hiệu và khơng gian tín hiệu thường gặp trong truyền thông tin qua kênh
quyền thông thơng qua chương 1 và tìm hiểu thêm về giám sát mạng quang qua
chương 2.
Chương 1: Tín hiệu và hệ thống truyền tin
Chương 2: Giám sát mạng quang

3


CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRUYỀN TIN
1.1. Biểu diễn tín hiệu và hệ thống có dải tần hữu hạn
Nhiều tín hiệu mang thơng tin được truyền đi dưới dạng điều chế. Kênh mà tín hiệu
điều chế truyền qua bị giới hạn trong dải thông ở miền tần số xung quang tần số của vật
mang như điều chế hai biên, lân cận tần số vật mang như điều chế đơn biên. Tín hiệu và

kênh(hệ thống) thỏa mãn điều kiện dải thông nhỏ hơn nhiều so với tần số của vật mang
gọi là tín hiệu và hệ thống băng hẹp. Việc điều chế được thực hiện ở phía phát để tạo ra
tín hiệu có dải tần hữu hạn và q trình giải điều chế được thực hiện ở phía thu để khơi
phục mang lại thơng tin. Khơng làm mất tính tổng qt cho việc biểu diễn tốn học, ta có
thể chuyển các kênh và tín hiệu thơng dải thành các kênh và tín hiệu đề chế là độc lập với
tần số của vật mang và dải tần của kênh. Việc biểu diễn các tín hiệu có dải phổ hạn chế và
các hệ thống thơng dải bằng các tín hiệu tần số thấp và các hệ thống thông thấp tương
đương, đặc trưng hóa các q trình ngẫu nhiên dừng có dải tần hữu hạn là mục đích chủ
yếu của Chương 1.
1.1.1. Biểu diễn các tín hiệu có dải tần hữu hạn (Bandpass signal)
Giả sử tín hiệu thực s(t) có dải tần số nằm trong một dải tần hữu hạn lân cận tần số
f c như trong hình 1-1-1. Mục tiêu là xây dựng mơ hình tốn học cho các tín hiệu như vậy.
Đầu tiên ta xây dựng tín hiệu chỉ chứa các thành phần tần số dương trong s(t). Tín hiệu
như vậy có thể được biểu diễn như sau:

S
+¿( f )=2u (f )S (f )¿

Với S(f) là biến đổi Fourier của s(t) và u(f) là biến đổi Fourier của hàm đơn vị.
Biểu diễn trong miền thời gian tín hiệu trong cơng thức (1-1-1) là:
s

+∞

+¿( t )=

S

∫
−∞

Hình 1.1.1: Phổ tín hiệu có dải tần hạn chế.

4

+ ¿(f )


Tín hiệu s+¿(t)¿ được gọi là tín hiệu giải tích hay đường bao trước của s(t). Lưu ý
rằng:F−1 [ S (f )]=s (t) và:

Từ đó:

^
s(t )
Tín hiệu s(t )có thể xem như tín hiệu ra của bộ lọc với đáp ứng xung:

^

1

h(t)= πt ,
Khi tín hiệu vào là s(t). Bộ lọc này thực hiên phép biến đổi gọi là phép biến đổi
Hilbert. Đáp ứng tần số của bộ lọc này là:
∞

H (f )=∫

−∞

− 1

1

Ta thấy rằng |H(f)|=1 và đáp ứng pha Θ (f )= 2 π với f>0 và Θ (f )= 2 π với f<0.
Như vậy, bộ lọc này đơn giản là bộ dịch pha 900 với tất cả các tần số của tín hiệu vào.

Tín hiệu giải tích s+¿(t)¿ là tín hiệu có dải tần hữu hạn. Ta có thể nhận được tín hiệu
tương đương tần số thấp bằng cách dịch chuyển tần số của S+¿¿ ¿) . Ta định nghĩa Sl ¿)
như sau:
Sl ¿)=

S
+¿(f +f

o

)¿

Biểu diễn ở miền thời gian của tín hiệu này là:
sl ¿)=

s

j 2π f t
j 2π f t
+¿( t ) e−
=[s ( t )+ j s^ (t)]e−
¿
c

c

hay một cách tương đương là:
s (t)+ j s^(t)=sl (t )e

j 2 πf t
c

Nói chung tín hiệu sl (t ) là tín hiệu phức và có thể được biểu diễn dưới dạng:

5


sl (t )=x (t )+ jy (t )

Từ đó ta nhận được:
s (t )=x (t )cos 2 π f c t . y (t ) sin 2 πf c t
s(t )=x (t )sin 2 πf c t+ y (t )cos 2 πf c t

Biểu thức (1-1-12) là dạng biểu diễn mong muốn của tín hiệu có dải tần hữu hạn.
Các thành phần tần số thấp x(t) và y(t) có thể xem như được điều chế biên độ với các tín
hiệ u mang cos 2 π f c t và

t ương ứng. Do các thà nh phần tí n hiệ u mang này ở

sin 2 π f c t

dạng pha vuông góc( phase quandrature), x(t) và y(t) được gọi là các thành phần vng
góc của tín hiệu thơng dải s(t).

Một cách biểu diễn khác của tín hiệu trong biểu thức (1-1-12) là:
s (t )=ℜ{[ x (t )+ jy (t )] e j 2 π f

t
c

}=ℜ[sl (t )e j 2 πf

t
c

]

với Re là ký hiệu phần thực của số phức. Tín hiệu tần số thấp sl (t) thường được gọi là
đương bao phức (complex envelope) của tín hiệu thực s (t ) và là tín hiệu tần số thấp
tương đương.
Cách biểu diễn thức ba của tín hiệu có dải tần hữu hạn có được bằng cách biểu
diễn sl (t ) như sau:
j Θ (t)

sl (t)=a(t )e

với:

a (t )=√ x2 (t )+ y

và:

Θ (t)=arctg

y (t)
x (t)

Như vậy:
s (t)=ℜ[sl (t) e j 2 π f

t
c

]=ℜ[a (t ) e j [2 π f

t +Θ (t )
c

]

]=a (t )cos [2 π f c t+ Θ(t )]

Tín hiệu a(t) được gọi là đường bao của s(t) và () được gọi là pha của s(t). Như vậy
(1.1.12), (1.1.14), (1.1.18) là các biểu diễn tương đương của tín hiệu có dải tần hữu hạn.

Biễn đổi Fourier của s(t) là:
∞∞

S (f )=∫ s (t ) e− j
−∞−∞

Sử dụng đẳng thức:

6

1

∞

2 −∫∞

S (f )=

[s (t ) e
l

ở đây Sl (f ) là biến đổi Fourier của sl (t). Đây là mối liên hệ cơ bản giữa phổ của tín

hiệu thực có dải tần hữu hạn S (f ) với phổ của tín hiệu thơng thấp tương đương Sl (f )
Năng lượng của tín hiệu s(t) là:

Từ (1-1-22) và theo đẳng thức (1-1-20), ta nhận được:

1 ∫ ¿ sl (t )∨¿
2

ξ=

Xét tích phân thứ hai trong cơng thức trên. Do tín hiệu s(t) là tín hiệu dải hẹp,
đường bao thực)a (t )≡∨s (t )∨¿ hay a2(t) biến đổi chậm hơn so với sự biến đổi nhanh
của thành phần cosin. Đồ thị mơ tả thành phần tích phân trong tích phân thứ hai trên hình
1-1-2. Do biên độ a2(t) biến đổi chậm hơn nhiều so với thành phần cosin nên thành phần
thứ hai trong (1-1-23) có thể bỏ qua và trong thực tế, năng lượng của tín hiệu có dải tần

hữu hạn s(t) được biểu diễn qua tính hiệu thơng thấp tương đương:
2
1 ∫ ¿ sl (t )∨¿ dt ¿
2

ξ=

7


Hình 1.1.2: Tín hiệu a2( t )cos [4 π jc t + 2Θ
(t )] 1.1.2. Biểu diễn hệ thống tuyến tính có dải tần hữu hạn.

Hệ thống tuyến tính có thể được biểu diễn hoặc qua đáp ứng xưng hoặc qua
đáp ứng tần số H(f) là biến đổi Fourier của h(t). Do h(t) là thực nên:
H¿ (−f )=H (f )

Để chuyển hệ thống về hệ thống thông thấp tương đương, ta định nghĩa Hl (f −f c) như
sau:

thì:

H¿
l

(

Do (1-1-25) ta có:
H (f )=Hl (f −f c)+ Hl¿ (−f −f c )

Công thức này tương tự công thức (1.1.21), ngoại trừ hệ số ½. Biến đổi
Fourier ngược của H(f) cho ta đáp ứng xung h(t):
h (t )=hl (t )e j 2 π f t +hl¿ (t )e− j 2 π f t=2 ℜ[hl (t ) e j 2 π f t ]
c

c

c

8


Với hl (t ) là biến đổi Fourier ngược của Hl (f ) . Tổng quát, đáp ứng xung của hl (t )
là đáp ứng xung của hệ thống thông thấp tương đương có giá trị phức.
1.1.3. Đáp ứng của hệ thống thơng dải với tín hiệu vào có dải tần hữu hạn.
Trong 2 mục trên, ta có thể thấy tín hiệu và hệ thống thơng dải băng hẹp có thể được
biểu diễn bởi tín hiệu và hệ thống tần số thấp tương đương. Trong mục 3, ta sẽ thấy đáp
ứng của một hệ thống thơng dải với tín hiệu có dải tần hạn chế có thể nhận được từ tín
hiệu và tần số thấp tương đương với hệ thống thơng thấp tương đương.
Giả thiết tín hiệu s(t) là tín hiệu có dải tần hữu hạn và sl (t ) là tín hiệu có tần số thấp
tương đương. Tín hiệu này kích thích một hệ thống thơng dải băng hẹp có đáp ứng xung
h(t) hay đáp ứng xung hl (t) của hệ thống thông thấp tương đương. Đầu ra của hệ thống
thơng dải cũng là một tín hiệu thơng dải có thể được biểu diễn dưới dạng:
r (t )=ℜ[rl (t )e

j 2 πf t
c

]

và r(t) có quan hệ với tín hiệu vào s(t) và đáp ứng xung h(t) theo công thức tích chập:
∞

r (t )=∫ s ( τ )h (t−τ ) dτ

−∞

Một cách tương đương, đầu ra của hệ thống được biểu diễn trong m
sau:

R (f )=S (f ) H ( f )

Thay vào (1.1.21) vào S(f) và (1.1.28) vào H(f) ta nhận được:

1

R (f )= 2 [Sl ( f −f c)+S¿l (−f −f c)][Hl (f −f c )+H¿l (−f −f c )]

(1.1.33)

với s(t) là tín hiệu có dải tần hữu hạn và h(t) là đáp ứng xung của hệ thống thông dải băng
hẹp, Sl (f −f c) ≈ 0 và Hl (f −f c)=0 với f<0. Điều đó rút ra từ điều kiện băng hẹp như sau:
Sl (f −f c) H¿l (−f −f c )=0; S¿l (−f −f c ) Hl (f −f c )=0
(1-1-33) được tối giản thành:
R (f ) =

1
¿
¿
2 {Sl (f −f c) Hl (f −f c )+S l (−f −f c ) Hl (−f −f c)}

=

1

¿
2 [ Rl (f −f c )+R l (−f −f c )]

(1.1.34)
Với

(1.1.35)

Rl (f )=Sl ¿

9


là phổ tín hiệu ra của hệ thống thơng thấp tương đương được kích thích bới tín hiệu tần số
thấp tương đương. Rõ ràng là quan hệ ở miền thời gian của đầu ra là rl (t ) được cho bởi
tích chập của sl (t ) và hl ( t):
∞

rl (t)=∫ sl (τ )hl (t−τ )dτ
−∞

Phối hợp giữa (1.1.36) với (1.1.30) cho ta quan hệ giữa tín hiệu ra có dải tần hữu hạn
với các tín hiệu và hệ thống thông thấp tương đương sl (t ) và hl (t). Quan hệ này cho phép
ta bỏ qua sự dịch chuyển tần số tuyến tính gặp trong điều chế tín hiệu với mục đích định
vị tần số của kênh với phổ tín hiệu. Về mặt tốn học, ta chỉ cần quan tâm đến việc truyền
tín hiệu thơng thấp tương đương qua hệ thống thơng thấp tương đương.

1.1.4. Biểu diễn q trình ngẫu nhiên dừng có dải tần hữu hạn.
Việc biểu diễn tín hiệu có dải tần hữu hạn trong (1.1.1) chỉ áp dụng cho tín hiệu xác
định. Mục này sẽ biểu diễn một thể hiện của một quá trình ngẫu nhiên dừng có dải tần
hạn chế. Đặc biệt, ta sẽ thấy sự liên hệ quan trọng giữa hàm tương qua và phổ mật độ
cơng suất của tín hiệu tần số thấp.
Giả sử n(t) là một thể hiện của một quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng với giá trị
trung bình bằng 0 và phổ mật đồ công suất Φnn(f ). Giả thiết Φnn(f ) =0 tại các tần số bên
ngoài tần số trung tâm ± f c với f c là tần số mang. Quá trình ngẫy nhiên n(t) gọi là q
trình có dải tần hữu hạn băng hẹp nếu độ rộng phổ nhỏ hơn nhiều so với (). Với điều kiện
này, thể hiện n(t) có thể được biểu diễn bới một trong ba dạng trong phần 1.1.1:
n (t )=a (t )cos [2 π f c t +Θ(t )]

=x (t ) cos 2 π f c t− y (t) sin 2 π f c t
=ℜ[z (t ) e

j 2 πf t
c

]

với a(t) là đường bao và Θ (t ) là pha của tín hiệu thực, x(t) và y(t) là các thành phần
vng góc của n(t), z(t) là đường bao phức của n(t).
Bây giờ xét kỹ hơn dạng biểu diễn (1.1.38). Nếu n(t) có giá trị trung bình bằng 0 thì
x(t) và y(t) phải có giá trị trung bình bằng 0. Hơn nữa, do n(t) là một thể hiện của quá
trình ngẫu nhiên dừng nên hàm tự tương quan và tương quan chép của x(t) và y(t) có các
tính chất sau:
ϕxx (τ )=ϕyy ¿)
ϕxy (τ )=−ϕyx (τ )

Hai tính chất trên được chứng minh như sau. Hàm tự tương quan của n(t) là

10


E [n (t )n (t + τ )]=E {¿
¿
¿−ϕxx ( τ ) cos2 π f c t cos 2 π f c (t+ τ )+ϕyy (τ )sin 2 π f c sin 2 π f c (t +τ )
−ϕxy (τ ) sin 2 π f c t cos 2 π f c (t+τ )−ϕ

yx

( τ ) cos2 π f c t sin 2 π f c (t +τ )

(1.1.42)

Sử dụng cơng thức:

Thay (1.1.43) vào (1.1.42) ta có:

1
2

E [n (t )n (t + τ )]=

Do n(t) là dừng, vế phải của (1.1.44) độc lập với t. Điều này chỉ thỏa mãn nếu (1.1.40)
và (1.1.41) đồng thời xảy ra. Khi đó, (1.1.44) trở thành:
ϕnn (τ )=ϕxx ( τ )cos 2 π f c τ −ϕyx (τ )sin 2 π f c τ

Ta thấy rằng quan hệ giữa hàm tự tương quan ϕnn (τ ) của q trình ngẫu nhiên dừng có
dải tận hạn chế với hàm tự tương qua và hàm tương qua chéo xx (τ ) và ϕ yx ( τ ) của các
thành phần vng góc có dạng giống như (1.1.38) là biểu diễn q trình ngẫu nhiên có dải

tần hữu hạn qua các thành phần bình phương.
Hàm tự tương quan của quá trình ngấu nhiên tần số thấp tương đương:

được định nghĩa là:
ϕzz (τ )=

Thay (1.1.46) vào (1.1.47) ta được:
ϕzz (τ )=

Nếu sử dụng tính chất đối xứng trong (1.1.40) và (1.1.41) trong (1.1.48) ta nhận được:
ϕzz (τ )=ϕxx (τ )+ j ϕyx (τ )
11


Đây là mối quan hệ giữa hàm tự tương quan của đương bao phức với hàm tự tương qua
và hàm tương quan chéo của các thành phần vng góc. Cuối cùng, kết hợp (1.1.45) với
(1.1.49) ta có:
ϕnn (τ )=ℜ ¿
(1.1.50)
Như vậy hàm tự tương quan ϕnn (τ ) của quá trình ngẫu nhiên dừng có dải tần hữu hạn
được xác định duy nhất từ hàm tương quan

của quá trình ngẫu nhiên thông thấp

ϕzz (τ )

tương đương z(t) và tần số mang f c.
Phổ mật độ công suất Φnn(f ) của quá trình ngẫu nhiên n(t) là biễn đổi Fourier của ϕnn (τ )

:

Φ nn (f )=∫ {ℜ[¿ ϕzz (τ ) e
−∞ 2

j 2 πf τ
c

]}e−

j 2 πf τ
c

dτ=

1

[Φ

zz

( f −f c )+Φzz (−f −f c) ]¿

∞

(1.1.51)
Φ zz ( f ) là phổ mật độ cơng suất của q trình ngẫu nhiên tần số thấp tương đương z(t). Do hàm tự

tương quan của z(t) có tính chất ϕzz (τ )=ϕzz (−τ ) nên ϕzz (τ ) là hàm thực theo tần số.

Tính chất của các thành phần vng góc:
Chúng ta đã chứng minh ở trên là hàm tương quan chéo của các thành phần vng

góc thỏa mãn điều kiện (1-1-41). Hơn nữa, hàm tương quan chéo thỏa mãn điều kiện:
ϕ

yx

( τ )=ϕxy (−τ )

Từ hai điều kiện trên rút ra rằng:
ϕxy (τ )=−ϕxy (−τ )

Như vậy, () là hàm lẻ theo (), do đó ()=0 và x(t) và y(t) khơng tương quan khi ()=0.
Nếu ()=0 với mọi () thì () là thực và phổ mật độ công suất () thỏa mãn điều kiện:
Φzz ( f )=Φzz (−f )

và ngược lại. Như vậy Φzz (f ) đối xứng xung quanh điểm f=0. Trong trường hợp đặc
biệt khi quá trình ngẫu nhiên dừng có phân bố Gauss thì các thành phân vng góc x(t) và
y(t+τ ) có phân bố Gauss đồng thời. Với τ =0, x(t) và y(t+τ ) là độc lập thống kê, hàm mật
độ phân bố xác suất đồng thời của chúng là:
p ( x, y )=

sai phương σ 2 được định nghĩa là σ 2=ϕxy ( 0)=ϕ

12

yy

( 0)=ϕnn (0).


Biểu diễn nhiễu trắng: Nhiễu trắng là một quá trình ngẫu nhiên theo định nghĩa là có

phổ mật độ cơng suất phẳng trong một dải tần hữu hạn. Loại nhiều này khơng được biển
diễn qua các thành phần vng góc do đặc điểm phổ rộng của nó.
Trong các vấn đề có liên quan tới giải điều chế các tín hiệu dải hẹp trong nền nhiễu, về
mặt tốn học có thể coi nhiều trắng là nhiễu công và biểu diễn nhiều theo các thành phần
vng góc. Điều đó thực hiện được khi coi tín hiệu và nhiễu ở phía thu là đã qua một bộ
lọc thơng dải lý tưởng có dải thơng chứa phổ của tín hiệu nhưng rộng hơn nhiều. Với bộ
lọc như thế, có thể bỏ qua sai lệch của tín hiệu và bỏ qua các thành phần tần số của nhiều
nằm ngồi dải thơng.
Nhiễu nhận được khi cho nhiễu trắng qua một bộ lọc thông dải lý tưởng gọi là nhiễu
trắng có dải tần hạn chế và nó có phổ mật độ cơng suất như trên hình 1-1-3. Nhiễu trắng
có dải tần hạn chế có thể được biểu diễn bởi một trong ba dạng biểu diễn đã xét ở trên.
Nhiễu tần số thấp tương đương z(t) có phổ mật đồ công suất như sau:

Φ (f )
zz

=

{

và hàm tự tương quan là:
Giới hạn của ϕzz (τ ) khi B tiến tới vô cùng là:
ϕzz (τ )=N o δ (τ )

Phổ mật độ cơng suất của nhiễu trắng có dải tần hạn chế là đối xứng qua điểm f=0 nên
ϕ xy (τ )=0 với mọi τ . Khi đó:
(1.1.59)

ϕzz (τ )=ϕxx (τ )=ϕyy (τ )

Như vật các thành phần vuông góc x(t) và y(t) là khơng có tương quan với nhau với
mọi dịch chuyển thời gian τ và hàm tự tương quan của z(t), x(t) và y(t) là bằng nhau.

13


Hình 1.1.3: Nhiễu có dải tần hạn chế với phổ
phẳng 1.2. Khơng gian tín hiệu.
Trong phần này ta sẽ thấy tín hiệu có các tính chất tương tự như các vector và ta
có thể sử dụng khái niệm vector để biểu diễn các tín hiệu.
1.2.1. Các khái niệm về khơng gian vector.
Một vector v trong không gina n chiều được xác định bởi n thành phần [ v1 ,
v2 , … ,vn]. Nó cũng có thể được biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của các vector
đơn vị hay các vector cơ sở ei, 1 ≤ i≤ n, nghĩa là:
n

v=∑ vi ei
i=1

Theo định nghĩa, vector đơn vị có độ dài đơn vị và vi là độ dài hình chiếu của
vector v trên trên trục của vector đơn vị ei.
Tích trong (cịn gọi là tích vơ hướng của hai vector n chiều v1 = [v11 , v12 , … ,
v1 n] và v2 = [v21 , v22 , … , v2 n] được định nghĩa là:

Hai vector v1 và v2được gọi là trực giao nếu v1 . v2= 0. Tổng quát, tập hợp m
vector vk, 1 ≤ k ≤ m là trực giao nếu:

≤ i, j ≤ m

Với mọi i

Chuẩn của vector v, ký hiệu ||v||, được định nghĩa là:

√

||v||=√v . v= ∑i=1
n

Chính là độ dài của vector. Một tập howojpwj m vector được gọi là trực chuẩn
nếu chúng trực giao và mỗi vector có chuẩn bằng đơn vị. Tập hợp m vector được
gọi là độc lập tuyến tính nếu khơng một vector nào trong tập hợp đó là một tổ hợp
tuyến tính của các vector cịn lại.
Hai vector n chiều v1 , v2 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:
| |v1 +v2| | ≤ | |v1|¿|
14


Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu

cùng hướng hay
v1 và v2

với a là số
v1 =a v2

thực dương. Từ bất đẳng thức tam giác ta rút ra bất đẳng thức Cauchy-Schwartz:

|v1 . v2|≤| |v1||.|∨v2∨¿|

(1.2.6)

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu v1 =a v2 với a là số thực dương. Chuẩn bình
phương của tổng hau vector được biểu diễn như sau:

||v1+ v2||2 =¿¿ + 2v1 . v2

(1.2.7)

Nếu v1 và v2trực giao thì v1 . v2=0 nên:

||v1+ v2||2 =¿¿

(1.2.8)

Đây là quan hệ Pytago cho hau vector trực giao.

Từ đại số ma trận ta đã biết một biến đổi tuyến tính trong khơng gian vector là
ma trận của phép biến đổi có dạng:
v'= Av

A là ma trận của phép biến đổi vector vthành v' .Trong trường hợp đặc
biệt, v' =λ v nghĩa là:
Av=λ v
λ là một vô hướng (dương hoặc âm), vector v được gọi là vector riêng của phép biến

đổi và λ là giá trị riêng tương ứng.
Cuối cùng cũng cần thiết phải nhắc lại thủ tục Gram-Schmidt để xây dựng tập
hợp các vector trực chuẩn từ một tập hợp vector n chiều vi, 1 ≤ i≤ m. Bắt đầu ta chọn
một vector bất lỳ, ví dụ v1, bằng cách chuẩn hóa độ dài, ta có được vector đầu tiên:
(1.2.11)
u1=

Tiếp theo ta chọn vector v2 và thu được vector u'2 theo cơng thức:
u'2=v2−( v2 . u1 ) .u1

(1.2.12)

Chuẩn hóa vector u'2 ta thu được vector u2:

u=
2

(1.2.13)
u'2

¿|u'2|∨¿¿

Tương tự, chọn vector v3 và ta có vector u'3 :
15


u3'=v3−( v3 .u1 ). u1−( v3 . u2 ).u2

Ta thu được vector chuẩn hóa u3 :
u3'
u3=

¿ u'

∨¿¿

| 3|

Tiếp tục thut tục này ta tìm được tập gồm n1 vector trực chuẩn và n1 ≤ n.
1.2.2. Các khái niệm về không gian tín hiệu.
Cũng giống như trong khơng gian vector, ta có thể xây dựng các khái niệm
tương ứng cho tập hợp các tín hiệu xác định trong khoảng [a,b] nào đó. Tích trong
của hai tín hiệu phức x1 (t) và x2 (t) , ký hiệu là <x1 (t), x2 (t) >, được định nghĩa là:
b

¿ x1 (t), x2 (t )>¿∫ x1 (t ). x2¿(t)dt
a

Hai tín hiệu trực giao nếu tích trong của chúng bằng 0. Chuẩn của một tín
hiệu được định nghĩa là:

| | x (t )| | =

√∫

b

a

Tập hợp m tín hiệu được gọi là trực chuẩn nếu chúng trực giao và chuẩn của
chúng bằng đơn vị. Tập m tín hiệu gọi là đơc lập tuyến tính nếu khơng có tín hiệu
nào trong số m tín hiệu đó biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu cịn
lại.
Bất đẳng thức tam giác của hai tín hiệu là:

Và bất đẳng thức Cauchy-Schwartz là:

|∫

a

||

|

x1 (t ) . x2¿ (t)dt ≤ ¿¿

b

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x2 (t )=a x1 (t ) với a là số phức nào đó.

16


1.2.3. Khai triển trực giao tín hiệu.
Trong phần này ta sẽ biểu diễn vector cho các tín hiệu và chứng minh sự tương
đương giữa tín hiệu và vector biểu diễn nó.
Giả sử s(t ) là tín hiệu thực. xác định, có năng lượng hữu hạn:
∞

ζ δ=∫ [ s(t )]2 dt
−∞

Giả sử tồn tại một tập hợp các hàm {f n (t ) ,1 ≤ n ≤ N } là trực chuẩn theo nghĩa:

Ta sẽ ước lượng tín hiệu s(t ) bằng một tơt hợp tuyến tính các hàm này, nghĩa
là:

Trong đó {sk , 1≤ k ≤ K} là các hệ số ước lượng của s(t ). Sai số phép ước lượng
là:

Ta sẽ chọn các hệ số {sk } để cực tiểu hóa năng lượng của tín hiệu sai số ζ e. Ta
có:
∞

ζ e=∫

−∞

Các hệ số trong khai triển s(t ) có thể tìm được bằng cách lấy đạo hàm của
(1.2.24) theo từng hệ số sk vào cho các đạo hàm bằng 0. Cách khác, ta có thể dùng
các kết quả đã biết của lý thuyết ước lượng dựa trên tiêu chuẩn trung bình bình
phương sai số ( Mean Square Approximation Error. MSE). Nghĩa là giá trị cực tiểu
của ζ e đạt được khi hàm sai số trực giao với các hàm trong khai triển chuỗi, nghĩa
là:
∞

∫
−∞

K

[s (t )− ∑

k =1

Do {f n (t)} là trực chuẩn nên (1.2.25) đơn giản còn:
∞

sn=∫ s (t ) f n (t ) dt , n=1,2
−∞


17


Như vậy các hệ số nhận được bằng cách “chiếu” s(t ) lên các hàm {f n (t)} và s^
(t ) chính là “hình chiếu” của s(t ) lên khơng gian tín hiệu K chiều cho bởi các hàm
{f n (t)}. Trung bình bình phương sai số tối thiểu của ước lượng là:
ζ

min=

∞

∫

−∞

Khi giá trị tối thiểu của trung bình bình phương sai số bằng 0, ζ min=0 thì:

Khi đó s(t ) được viết thành:
K

s(t )=∑ sk f k (t)
k=1

Chúng ta hiểu rằng s(t ) bằng khai triển chuỗi của nó theo nghĩa sai số có năng

lượng bằng 0. Khi mọi tín hiệu có năng lượng hữu hạn đều được biểu diễn bằng
khai triển chuỗi theo dạng (1.2.29) với ζ min=0 thì tập hợp các hàm trực chuẩn {f n
(t )} được gọi là hệ kín.

Ví dụ 1.2.1: Khai triển chuỗi Fourier
Một tín hiệu có năng lượng hữu hạn s(t ) chỉ khác 0 trong khoảng 0 ≤ t ≤T , có
số điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng này, có thể được biểu diễn bằng chuỗi
Fourier như sau:
∞

s(t )=
k

∑=0 (

a cosk
k

Các hệ số {ak , bk} với trung bình bình phương sai số cực tiểu là:
ak =

(1.2.31)
bk =


18


Tập hợp các hàm

{√2 /T cosk 2Tπ t ,√2/T sink 2Tπ t } là một hệ kín và

phép khai triển chuỗi có trung bình bình phương sai số bằng 0.
Thủ tục Gram-Schmidt: Giả sử ta có một tập hợp các tín hiệu có năng lượng
hữu hạn {s(t ), 1 ≤i ≤ M } và ta muốn xây dựng một tập hợp các tín hiểu trực chuẩn.
Cũng giống như trong phần 1.1.1. thủ tục Gram-Schmidt cho phép ta xây dựng một
tập hợp tín hiệu như thế. Ta bắt đầy với tín hiệu thứ nhất s1 (t) có năng lượng ζ 1. Tín
hiệu thứ nhất được xây dựng như sau:
(t ) =

f1

Như vậy f 1 (t ) được chuẩn hóa từ s1 (t) và có năng lượng đơn vị. Tín hiệu thứ
2 xây dựng từ s2 (t). Đầu tiên tính “hình chiếu” của f 1 (t ) trên s2 (t) là:
∞

c12=∫ s2 (t ) f 1 (t ) dt
−∞

Sau đó trừ s2 (t ) đi c12 f 1 (t ):
f

'
2

(t )=s2 (t )−c12 f 1 (t )

Tín hiệu này trực giao với f 1 (t ) nhưng khơng có năng lượng đơn vị. Nếu f

'

2

(t )

có năng lượng ζ 2 thì tín hiệu thứ 2 là:
f 2 (t )=

(t )

f

√'2ζ

(1.2.35)

2

Tổng quát, quá trình trực giao hóa tín hiệu thứ k dẫn tới:
f k (t )=

f

(t )

√'kζ

(1.2.36)

k

Với
k−1

f k (t )=sk (t )−∑ cik f
(t) i=1
'

Và

(1.2.37)
i

∞

cik =∫ sk (t ) f i (t ) dt ,i=1,2 , … , k −1
−∞

19

(1.2.38)


Như vậy q trình trực giao hóa kết thúc khi tất cả M tín hiệu { si (t)}đã được
xét hết và N ≤ M các vector trực chuẩn được xây dựng. Số chiều N của khơng gian
tín hiệu bằng M nếu các tín hiệu là độc lập tuyến tính, nghĩa là khơng có tín hiệu
nào là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu cịn lại.
Ví dụ 1.2.2: Sử dụng thủ tục Gram-Schmidt
Ta sử dụng thủ tục Gram-Schmidt để xay dựng tập hợp các vector trực chuẩn
của bốn vector trên hình 1.2.1(a). Tín hiệu s1 (t) có năng lượng ζ1=2 do đó:

f 1 (t ) = √1/2 s1 (t ). Do c12=0 nên s2 (t) và f 1 (t ) trực giao. Từ đó

√1/2 s2 (t ). Để tìm f 3 (t ) ta tính c13 và c23và dễ dàng tìm được c13=√2, c23= 0 nên:
−1(2≤ t ≤ 3)

'

{

(t)=s (t )− 2 f (t )=
3
√ 1
0(t<3 hoặc t>3)

f3

Do f

'

3

(t ) có năng lượng đơn vị nên f 3 (t )=f

'

3

(t ). Để tìm f 4 (t) ta thấy c14=−√2,

c 24=0 , c34=1 nên:
f

'

4

(t )=s4 (t )+ √2 f

1

(t )−f

3

(t )=0

Do đó s4 (t ) là tổ hợp tuyến tính của f 1 (t ) và f 3 (t ) nên f 4 (t)=0
chuẩn được vẽ trên hình 1.2.1(b).
Khi ta đã xây sựng tập hợp các vector trực chuẩn { f n (t )} thì M tín hiệu {sn (t )}
là tổ hợp tuyến tính của {f n (t )}. Do đó ta có thể viết:
sk (t )=∑ skπ f n (t )k =1,2 , … ,M

Và
∞

20


Hình 1.2.1: Chuẩn hóa bốn tín hiệu {s1 (t) , 1≤ i≤ 4} và các tín hiệu trực giao

Dựa trên biểu thức (1.2.39), mỗi tín hiệu có thể được biểu diễn bởi một vector:
sk =[sk 1 , sk 2 , … , skN ]

Là một điểm trong khơng gian tín hiệu N chiều với các tọa độ {ski , i=1,2 , … , N }.
Năng lượng tín hiệu là bình phương độ dài vector hay bình phương khoảng cách
Euclide từ gốc tọa độ tới đỉnh vector không gian. Như vậy tín hiệu có thể được biểu
diễn hình học bởi một điểm trong không gian xác định bởi các hàm trực chuẩn {
f n (t)}.
Ví dụ 1.2.3: Biểu diễn các vector bằng các hàm trực chuẩn
Xét việc biểu diễn vector của bốn tín hiệu trên hình 1.2.1(a) bằng việc sử dụng các
hàm trực chuẩn {f n (t)} trên hình 1.2.1(b). Số chiều của khơng gian tín hiệu là N=3
nên mỗi tín hiệu được biểu diễn bởi 3 thành phần. Tín hiệu s1 (t) được xác định bởi
vector
s1 (t )=(√2 , 0 , 0) đ ược xác đ ị nh b ở i vector iều c ủ a khơng giantín hi ệu là N =3 nên mỗ i tín hi ệ u đ ược bi ể u di ễ n

21


, tương tự ta có các tín hiệu s2 (t) , s3 (t ) , s4 (t ) được xác định bởi các vector s2=( 0 , √2 , 0)
, s3=(√2 , 0 , 1), s4 =(−√2 , 0 ,1) tương ứng. các vector này được biểu diễn trên hình

1.2.2. Độ dài của chúng là |s1| = √2 , |s2| = √2, |s3| = √3, |s4 | = √3 và năng lượng
tương ứng với các tín hiệu ζ k=¿ sk∨¿2 , k =1,2,3,4.¿

Hình
1.2.2:
vector tín hiệu được biểu diễn bởi bốn điểm trong khơng gia tín hiệu ba chiều

Bốn

Ta thấy rằng tập hợp M tín hiệu có năng lượng hữu hạn { sn (t )} có thể được
biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính các hàm trực chuẩn { f n (t)} số chiều N ≤ M .
Các hàm {sn (t )} được xác định nhờ thủ tục Gram-Schmidt. Cũng cần phải chú ý
rặng các hàm {f n (t)} thu được từ thủ tục đó khơng phải là duy nhất. Nếu thay đổi
thứ tự các tín hiệu trực giao hóa ta sẽ thu được một tập hợp các hàm trực chuẩn khác
{ f n (t) }.
Vấn đề khai triển trực giao ta xét ở trên là áp dụng với các tín hiệu thực. Việc
mở rộng cho các tín hiệu phức là bài tập đọc thêm và tự sinh viên thực hiện.
Cuối cùng ta xét tín hiệu có dải tần hữu hạn được biểu diễn như sau:
sm (t )=ℜ[slm (t) . e

j 2 πf t
c

] , m= 1,2,.., M

{slm (t )} là ký hiệu các tín hiệu tần số thấp tương đương. Nhắc lại rằng năng
lượng tín hiệu có thể được biểu diễn qua sm (t )hoặc slm (t ):
(1.2.43)

Sự tương quan giữa hai tín hiệu sm (t ) vàsk (t) được xác định bởi hàm tương
quan chéo chuẩn hóa:
22