CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

LỚP LIVE 9+ TỐN
THẦY HUY ĐEN

TỒN TẬP GHÉP TRỤC

LƯU HÀNH NỘI BỘ


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

TỒN TẬP PHƯƠNG PHÁP
GHÉP TRỤC
Lớp Tốn live 9+ Thầy Huy

A – Lý thuyết.

Phạm vi áp dụng: Các bài toán liên quan đến đơn điệu, tương giao, cực trị… của hàm hợp
y  f u  .

Bản chất: Từ dữ kiện đề bài ta lập sự biến thiên của hàm u  x  , sau đó suy ra sự biến thiên
của hàm y  f  u 
Sơ đồ


Ps: Nên kết hợp với các phương pháp để có các bước ghép trục thật nhanh như song trục,
sơ đồ V, ốc sên, truy ngược hàm…

1/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
B – Bài tập áp dụng
Câu 1: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 2  2   4 với trục hoành là
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Lời giải
Cách 1:

 x2  2  3
x 1

Ta có: y  f  x  2   4  f  x  2    4   2
.

 x  2  a , a  0  x  1
2

2

Vậy có hai giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 2  2   4 với trục hoành.
Cách 2: Ghép trục
Số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành bằng với số nghiệm phân biệt của phương
trình f  x 2  2  4  0  f  x 2  2  4 .
Ta lập bảng biến thiên của hàm y  f u  với u  x 2  2 .
Ta có

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  ta suy ra bảng biến thiên của hàm số
y  f u 

2/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Vậy có hai giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 2  2   4 với trục hoành.
Cách 3: Sơ đồ V
Đặt u  x 2  2 , ta có sơ đồ V

Suy ra bảng biến thiên
-1

f (x2 + 2)

1

0

+∞

f (2)

-4

-4

Vậy có hai giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 2  2   4 với trục hoành.
Cách 4: Song trục
0

f (x)

f (x2 + 2)

-1

2

+∞

3

0

1

+∞

f (2)

-4

-4

Vậy có hai giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 2  2   4 với trục hoành.

3/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

3


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Câu 2: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn  0 ;3  của phương trình 2 f  2sin x   3  0 là
A. 1.

C. 3.

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1:
3
Ta có 2 f  2 sin x   3  0  f  2 sin x    .
2

Đặt t  2sin x , x   0; 3   t   2; 2 .
Phương trình trở thành: f  t   

3
1 .
2

t  a, a  2 (loai )
Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x  , suy ra 1  
.
 t  b ,  2  b  0 (t / m )
b

b
Với t  b,  2  b  0  2sin x  b  sin x  ,  1   0  2  .
2
2

Ta có bảng biến thiên của hàm số y  sin x trên đoạn  0;3  .

Suy ra phương trình  2  có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trên đoạn  0;3  .
Cách 2: Ghép trục
3
Ta có 2 f  2 sin x   3  0  f  2 sin x    .
2

Đặt t  2 sin x , đường tròn LG
4/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

4


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Bảng biến thiên f t 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trên đoạn  0;3  .
Cách 3: ốc sên

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trên đoạn  0;3  .
Câu 3: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như
sau:

Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  4 x 2  4 x  là
A. 3 .
5/70

B. 9 .

C. 7 .

D. 5 .

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

5


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Lời giải
Chọn C
Cách 1 :

 Ta có g   x    8 x  4  f   4 x 2  4 x  .

1

x   2
 2
 4 x  4 x  a 1 , a    ;  1
8 x  4  0

g x  0  
  4 x 2  4 x  b  2  , b   1; 0  .
2
 f   4 x 4 x   0
 4 x 2  4 x  c  3 , c   0;1

 4 x 2  4 x  d  4  , d  1;   



1
Đặt h  x   4 x 2  4 x  h  x   8x  4  h  x   0  x   .
2

lim h  x    .

x

BBT

1

x

-∞

h'(x)

-

+∞

2
0

+∞

+
+∞

h(x)
-1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm h  x  có:
Phương trình 1 vơ nghiệm.
1
Phương trình  2  có 2 nghiệm phân biệt khác  .
2

Phương trình  3 có 2 nghiệm phân biệt khác 

1
và khác nghiệm của phương trình 1 .

2

Phương trình  4  có 2 nghiệm phân biệt khác 

1
và khác nghiệm của phương trình 1 ,
2

phương trình  2  .
 Do đó phương trình g   x   0 có 7 nghiệm đơn phân biệt.
 Vậy hàm số g  x  có 7 điểm cực trị.
6/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

6


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Cách 2: Ghép trục
Đặt t  4 x 2  4 x ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số g  x  có 7 điểm cực trị.
Cách 3: Sơ đồ V

Vậy hàm số g  x  có 7 điểm cực trị.

Cách 4: Song Trục
a
f (x)

-1

b

c

d

+∞

-1
f (4x2 + 4x)

2

+∞

Vậy hàm số g  x  có 7 điểm cực trị.

7/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

7

TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Câu 4: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số f  x   x3  3 x 2  1 . Số nghiệm của phương
trình f  f  x    0 là?
A. 3 .

B. 6 .

C. 9 .

D. 7 .

Lời giải
Chọn D
*) Cách 1
Xét hàm số f  x 
Tập xác định .
x  0
f '  x   3 x 2  6 x; f '  x   0  
.
x  2
Bảng biến thiên

x

-

f ' (x)

-1

0

1

2

+

0

-

0

+
+

1

f(x)

+
-1

-3

-3

-

 x  a  1  a  0 

Từ bảng biến thiên ta thấy f  x   0   x  b (0  b  1) .
 x  c (c  2)


 f  x   a 1

f  f  x   0   f  x  b  2
f x c 3
 
  
Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta thấy phương trình , có 3 nghiệm phân biệt, phương
trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình f  f  x    0 có 7 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Bấm máy tính giải trực tiếp.
Cách 3: Ghép trục
8/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

8

TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Đặt f  x  u ta có

Suy ra bảng biến thiên f u 

Vậy phương trình f  f  x    0 có 7 nghiệm phân biệt.
Cách 4: Sơ đồ V
Đặt u  f  x  , ta có sơ đồ V

Suy ra bảng biến thiên f u 

9/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

9


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Vậy phương trình f  f  x    0 có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 5: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  là hàm bậc 4 có đạo hàm trên  .
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị hàm số y  f   x  .

Hàm số g  x   f  x 2  2  có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3 .

B. 1.

C. 2 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1:
 Tập xác định D   .
 x  1
Từ đồ thị thấy f   x   0  
.
x  2
Xét g  x   f  x 2  2   g   x   2 xf   x 2  2  .

10/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
x  0
x  0
 2
g   x   0   x  2  1   x  1 .

 x2  2  2
 x  2


 Bảng biến thiên:

x -∞
g'(x)

-1

-2
0

+

0

+

+∞

0

1

2

0

0

0

+∞
+
+∞

g(0)

g(x)
g(-2)

g(2)

 Vậy hàm số g  x  có 1 điểm cực đại.
Cách 2: Ghép trục
Ghép trục
Ta có bảng biến thiên của y  f  x 

Suy ra bảng biến thiên của y  f  x 2  2

Vậy hàm số g  x  có 1 điểm cực đại.

Cách 3: Song trục

11/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
-2

f (x)

- 3

f (x2 - 2)

+∞

1

0

3

+∞

Vậy hàm số g  x  có 1 điểm cực đại.
Cách 4: Sơ đồ V

Vậy hàm số g  x  có 1 điểm cực đại.
Câu 6: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  là hàm bậc 3 có đạo hàm trên  .
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị hàm số y  f  x  .

Hàm số g  x   f  x 2  2  có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 3 .

B. 1.

C. 2 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn A
Cách 2: Ghép trục ta có
12/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1

TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Cách 3: Sơ đồ V

Từ đồ thị suy ra hàm số có 3 điểm cực tiểu.
Cách 4: Song trục

f(x)

f (x2 - 2)

-1

1

0

+∞

+∞

Từ đồ thị suy ra hàm số có 3 điểm cực tiểu.

13/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Câu 7: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình f  sin x  1  1 thuộc đoạn  0;3  là
A. 8 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Xét phương trình f  sin x  1  1 . Đặt t  sin x  1 , x   0;3   t   0; 2 .
Dựa theo đồ thị, đường thẳng y  1 cắt y  f  t  với t   0; 2 tại t  1, t  2 .
Với

t  1  sin x  1  1  sin x  0  x  k (k ) .

Do

x   0;3  ,

nên

nhận

k  0,1,2,3.
Phương trình có 4 nghiệm x  0, x   , x  2 , x  3 .
Với

t  2  sin x  1  2  sin x  1  x 


 k 2 (k  ) .
2

Do

x   0;3  ,

nên

nhận k  0,1.
Phương trình có 2 nghiệm x 


5
, x
.
2
2

Vậy phương trình f  sin x  1  1 có 6 nghiệm thuộc đoạn  0;3  .
Cách 2: Ghép trục
Sơ đồ ốc

14/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Ghép trục

Vậy phương trình f  sin x  1  1 có 6 nghiệm thuộc đoạn  0;3  .
Cách 3: ốc sên
Câu 8: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Biết rằng đồ thị của
hàm số y  f '  x  được cho bởi hình vẽ bên dưới.

Điểm cực đại hàm số g  x   f  x 2  3  là
A. x  2 .

B. x  0 .

C. x  1 .

D. x  1 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1:

15/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
x  0
x

0


Ta có: g   x   2 xf   x 2  3  g   x   0  
  x 2  3  2 .
2
 f   x  3   0

 x2  3  1


x  0
  x  1 .

 x  2
Tuy nhiên do x 2  3  1 là nghiệm kép nên x  2 là nghiệm kép.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x  có 3 điểm cực trị.
Cách 2: Sơ đồ V
Đặt u  x 2  3 ta có sơ đồ

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Cách 3: Ghép trục
Ta có bảng biến thiên y  f  x 

16/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Suy ra bảng biến thiên y  f  x 2  3

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Cách 4: Song trục

f (x)

f

(x2

- 3)

-3

+∞

-2

-1

0

1

+∞

Câu 9: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình f  x  1  1  2 là

A. 3 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn D
Cách 1:
 x  1  1  a ,  a  1
 x  1  a  1 (1)


f  x  1  1  2   x  1  1  b,  0  b  1   x  1  b  1 (2)
 x  1  1  c, c   1
 x  1  c  1 (3)





17/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1

TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Ta có.

a  1  2 nên phương trình 1 có 2 nghiệm
1  b  1  2 nên phương trình  2  có 2 nghiệm khơng trùng với hai nghiệm phương trình

1
c  1  0 nên phương trình  3 vơ nghiệm
Vậy số nghiệm của phương trình f  x  1  1  2 là 4 .
Cách 2: Ghép trục
Đặt t  x  1 1 ta có bảng ghép trục

Vậy số nghiệm của phương trình f  x  1  1  2 là 4 .
Cách 3: Song trục
-1

f (x)

f (x + 1 - 1)

-3

+∞

1

-1

3

1

+∞

3

-1

Vậy số nghiệm của phương trình f  x  1  1  2 là 4 .
Cách 4: Sơ đồ V
Đặt u  x  1  1 , ta có sơ đồ

18/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Suy ra bảng biến thiên của f  u 

Câu 10: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu f   x  . Hàm số





y  f x  3 có bao nhiêu điểm cực trị

B. 6 .

A. 5 .

C. 3 .

D. 1.

Lời giải
Chọn C
Cách 1:





y  f x  3 1 , Đặt t  x  3 , t  0 . Thì 1  trở thành: y  f  t  ,  t  0  .

Có t 

 x  3

2

 t x/ 

x 3

 x  3

2

Có yx/  t x/ f /  t 
x  3
x  3
 tx/  0


y  0  t f t   0   /
  t  2  L    x  7
 f  t   0
t  4
 x  1


/
x

19/70

/

x

/

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

1


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Lấy x  8 có t /  8  f /  5   0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến
thiên:
-∞

x

_

y/

0

+∞

7

3

-1

_

+

0

CT



+
+∞

CĐ

y

+∞

CT



Dựa vào BBT thì hàm số y  f x  3 có 3 cực trị.
Cách 2: Ghép trục
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  3 





Vậy hàm số y  f x  3 có 3 cực trị.
Cách 3: Sơ đồ V
Đặt u  x  3 ta có sơ đồ V

20/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC





Vậy hàm số y  f x  3 có 3 cực trị.
Cách 4: Song trục

-2

f (x)

-1

f (x - 1 )



+∞

4

3

+∞

7



Vậy hàm số y  f x  3 có 3 cực trị.
Câu 11: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn  0; 2  của phương trình 3 f  sin 2 x   2  0 là:
A. 7 .

B. 8 .

C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B
Đặt sin 2x  t , x   0; 2   t   1;1 .

2
Phương trình trở thành: f  t   .
3
21/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Từ bảng biến thiên ta có:

f t  

t  a
2
Với 1  a  0 và 0  b  1


3
t  b

Xét BBT của hàm số y  sin 2 x trên  0; 2  :

Dựa vào BBT của hàm số ta có
+) Phương trình sin 2x  a có 4 nghiệm.
+) Phương trình sin 2x  b có 4 nghiệm
Vậy phương trình 3 f  sin 2 x   2  0 có 8 nghiệm.
Cách 2: Ghép trục
Đặt t  sin u  sin 2 x, u  2 x  0; 4 
Ta có bảng ghép trục

Vậy phương trình 3 f  sin 2 x   2  0 có 8 nghiệm.

22/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC
Câu 12: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đạo hàm f   x 
liên tục trên  và có bảng xét dấu như hình vẽ bên

Hỏi hàm số y  f  x 2  2 x  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
B. 7 .

A. 4 .

C. 9 .

D. 11 .

Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Tập xác định của hàm số: D   .



2





2



* y  h  x  f x  2 x

y   h  x   f  x  2 x .

x
. 2 x  2  .
x

x  1
 x  1
x 1


x  2
 x  1

 2
 x  2
h  x   0   x  2 x  0  
.
x  1 2
 2

 x  2 x 1
 x  1  2
 2

x  1 3
 x  2 x  2

 x  1  3
Ta thấy phương trình h  x   0 có 8 nghiệm đơn 1 .

h  x  không tồn tại tại x  0 mà x  0 thuộc tập xác định đồng thời qua đó h  x  đổi dấu

2 .
Từ 1 và  2  suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Các 2: Ghép trục
Bảng biến thiên của y  f  x 

23/70

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2


TÀI LIỆU NỘI BỘ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP VD VDC

Suy ra bảng biến thiên của y  f  x 2  2 x 

suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Cách 3: Sơ đồ V
Đặt u  x 2  2 x ta có sơ đồ V

suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 13: (PP Ghép Trục - Thầy Huy Đen) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu của f   x  như
sau

Số điểm cực tiểu của hàm số y  f  x 3  3 x  bằng
A. 2 .
24/70

B. 3 .

C. 4 .

D. 7 .

Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN -

0909127555

2