Các phương pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính ppsx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (802.83 KB, 66 trang )

50
2.3. Những phương pháp giải bài toán QHTT
2.3.1.
2.3.1.
Phương
Phương
ph
ph
á
á
p
p
đ
đ
ồ
ồ
th
th
ị
ị
2.3.2.
2.3.2.
Phương
Phương
ph
ph
á
á
p
p
đơn

đơn
h
h
ì
ì
nh
nh
a.
a.
Xác định miềnchấpnhận được
b.
b.
Tìm giá trị củahàmmụctiêutrênmiềnchấpnhận
a.
a.
Thuật toán đơnhìnhgiảibàitoándạng chuẩn
b.
b.
Thuật toán đơnhìnhgiảibàitoánmở rộng
c.
c.
Giảibằng máy tính
51
2.3.1. Phương pháp đồ thị
Trong các phương pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính,
phương pháp đồ thị (Phương pháp hình học) thường đượcsử
dụng. Phương pháp này có ưu điểmlàtrực quan, dễ hiểu. Tuy
nhiên, phương pháp này chỉ dùng để giảinhững bài toán hai
biếnquyết định.
Về cơ bảnphương pháp này gồmhaibướcsau:

 Xác định miềnphương án chấpnhận được;
 Từđótìmphương án tối ưutrênmiềnchấtnhận đó.
52
a. Xác định miềnchấpnhậnbằng đồ thị
 Mỗitrụcthể hiệnmộtbiếnquyết định;
 Mỗiràngbuộcvẽ một đường thẳng để xác định miềnchấp
nhận:
 Mỗi đường thẳng chỉ cầnvẽ 2 điểmvànối chúng với nhau;
 Chọnmột điểmbấtkỳ thoả mãn ràng buộc, miềnchứa điểm đó
sẽ là miềnchấpnhậnthỏamãnràngbuộc đang xét;
 Giao tấtcả các miềnchấpnhậncủa các ràng buộc hình thành
vùng chấpnhậncủa bài toán.
Bấtcứđiểmnàonằmtrênđường biên của vùng chấpnhậnhoặc
trong vùng chấpnhận đượcgọilàđiểmphương án chấpnhận được
đốivới bài toán qui hoạch.
53
a. Tiếp
Nguyên liệu 2
Nguyên liệu 1
Nguyên liệu 3
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1020304050
Số tấn chất phụ gia

Số tấn chất bazơ hoà tan
Vùng chấp nhận
54
b. Tìm giá trị củahàmmụctiêutrênmiền
chấpnhận
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1020304050
Số tấn chất phụ gia
Số tấn chất bazơ hoà tan
Phương án tối ưu
F=25
,
B=20
55
Tóm tắtvề phương pháp đồ thị
 Vẽđồthị các ràng buộc:
Mỗiràngbuộcvẽ một đường thẳng và xác định miềnchấp
nhận đượccủamỗiràngbuộc;

Xác định vùng chấpnhận được:
Giao củacácmiềnchấpnhậncủatấtcả những ràng buộccủa
bài toán;


Vẽđường mục tiêu
Cho hàm mục tiêu bằng mộtgiátrị bấtkỳ và vẽđường mục
tiêu. Đốivớibàitoáncực đại, tịnh tiến đường mục tiêu trong
vùng chấpnhậntheohướng làm giá trị củahàmmục tiêu lớn
hơnchođến khi giá trị củahàmmục tiêu lớnnhất(đốivới
bài toán cựctiểu thì ngượclại);

Bấtkỳ phương án trên đường mụctiêuvớigiátrị lớnnhất
(đốivớibàitoáncực đại) là phương án tối ưu.
56
2.3.2. Phương pháp đơnhình
b.
b.
Thuật toán đơnhìnhgiảibàitoándạng chuẩn
c.
c.
Thuật toán đơnhìnhgiảibàitoánmở rộng
d.
d.
Giảibằng máy tính
a.
a.
Cơ sở toán họccủaphương pháp
57
Cơ sở toán củaphương pháp
 Tính chất1: Nếu bài toán có phương án tối ưuthìcũng có
phương án cơ bảntối ưu.
 Tính chất2: Số phương án cơ bảnlàhữuhạn.
 Tính chất3: Điềukiệncầnvàđủ để bài toán có phương án
tối ưulàhàmmục tiêu củanóbị chặndưới khi f(x)→min và

bị chặn trên khi f(x)→max trên tậpphương án.
58
Thuật toán bài toán Min
Bước 1: Chuyểnbàitoánvề dạng chuẩn
Bước2: Lậpbảng đơnhìnhđầutiên
f
0
Δ
n

Δ
v

Δ
m+1
0 0 00
b
m
a
mn
a
mv
a
m(m+1)
1 0 00c
m
x
m
…
b

r
a
rn
a
rv
a
r(m+1)
0 1 00c
r
x
r
……
b
2
a
2n
a
2v
a
2(m+1)
0 0 10c
2
x
2
b
1
a
1n
a
1v

a
1(m+1)
0 0 01c
1
x
1
c
n
c
v
c
m+1
c
m
c
r
c
2
c
1
Tỷ số
λ
i
P.án
x
n
…x
v
…x
m+1

x
m
…x
r
…x
2
x
1
Hệ
số
Biến
cơ
bản
j
m
1i
ijij
m
1i
ii0
cac&bcf −=Δ=
∑∑
==
59
Thuật toán bài toán Min
 Bước3: Kiểm tra tính tối ưu
 Nếu Δ
j
≤0 ∀j Ö phương án đang xét là tối ưu và giá trị hàm
mục tiêu là f(x)=f

0
.
 Nếu ∃Δ
j
> 0 mà a
ij
≤0 ∀i Ö không có phương án tối ưu.
Nếucả 2 trường hợptrênkhôngxảyrathìchuyển sang bước3.
 Bước4: Tìmbiến đưavào
Nếu Δ
v
=max(Δ
j
) thì x
v
được đưavào, cộtv làcộtchủ yếu.

Bước5: Tìmbiến đưara
Tính λ
i
= b
i
/a
iv
ứng vớicáca
iv
> 0
Nếu λ
r
=minλ

i
thì x
r
là biến đưa ra. Hàng r là hàng chủ yếu,
phầntử a
rv
là phầntử trục xoay.
60
Thuật toán bài toán Min
 Bước6: Biến đổibảng như sau :
 Thay x
r
bằng x
v
và c
r
bằng c
v
. Các biếncơ bảnkhácvàhệ số
tương ứng để nguyên.
 Chia hàng chủ yếu(hàngr) chophầntử trụcxoaya
rv
, chúng ta
đượchàngr mớigọilàhàng chuẩn.
 Muốncóhàngi mới(i≠r), lấy–a
iv
nhân vớihàngchuẩnrồi
cộng vào hàng i cũ.
 Muốncóhàngcuốimới, lấy-Δ
v

nhân vớihàngchuẩnrồicộng
vàohàngcuốicũ.
 Hàng cuối(gồmf vàΔ
j
) cũng có thể tính trựctiếpnhưở bước
1 vớibảng mớivừa đượctạo.

Quay lạibước2
61
Ví dụ
Hàm mục tiêu
Min(6x
1
+x
2
+x
3
+3x
4
+x
5
-7x
6
)
Ràng buộc
-x
1
+x
2
-x

4
+ x
6
= 15
-2x
1
+ x
3
-2x
6
= 9
4x
1
+ 2x
4
+ x
5
-3x
6
= 2
Ràng buộcdấu
x
j
≥0 (mọij)
62
Giải
2630-200-5
2-3120041x
5
9-20010-21x

3
151510-101-11x
2
-713116
λ
i
P.án
x
6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Hệ
số
Biến
cơ
bản
Bài toán này có dạng chuẩn, vậycóthể lậpbảng như sau :
63
Lờigiải
Bảng 2
-190010-3-2
4701-10311x

5
3900-212-41x
3
1510-101-1-7x
6
-713116
λ
i
P.án
x
6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Hệ
số
Biến
cơ
bản
Khôngcóphương án tối ưu
64
Thuật toán bài toán Max
So với bài toán Min, bài toán Max có các thay đổisau:

1. Ở bước3: Kiểm tra tính tối ưu
+ Phương án tối ưukhi Δ
j
≥0 ∀j
+ Nếu ∃Δ
j
< 0 mà a
ij
≤0 ∀i thì bài toán không có phương án tối
ưu.
2. Ở bước4: Tìmbiến đưavào
Biếnchọn đưavàolàbiếncóΔ
j
âm và nhỏ nhất
65
Ví dụ 2: Bài toán ABC
Vì trong các ràng buộc có các bất đẳng thức ≤ nên đưa thêm các
biếnphụ (Slack) vào các ràng buộcnhư sau :
Hàm mục tiêu
Max 40F+30B
Ràng buộc
0,4F + 0,5B +1S
1
= 20 Nguyên liệu1
0,2B + 1S
2
= 5 Nguyên liệu2
0,6F + 0,3B + 1S
3
= 21 Nguyên liệu3

Ràng buộcdấu
F, B, S1, S2, S3 ≥0
66
Ví dụ 2: Bài toán ABC
Thành lậpbảng đơnhìnhđầutiên
0000-30-400
35211000,30,60S3
50100,200S2
50200010,50,40S1
0003040
λ
i
b
i
S3S2S1BF
Hệ số
Biến
cơ bản
67
Ví dụ 2: Bài toán ABC
Bảng 2
1400200/300-100
703510/6000,5140F
2550100,200S2
206-2/3010,300S1
0003040
λ
i
P.án
S3S2S1BF

Hệ
số
Biến
cơ
bản
68
Ví dụ 2: Bài toán ABC
Bảng 3
1600400/90100/300
2525/90-5/30140F
14/91-2/3000S2
20-20/9010/31030B
0003040
λ
i
P.án
S3S2S1BF
Hệ số
Biến
cơ
bản
69
b. Thuậttoánđơnhìnhgiải bài toán mở rộng
Dùng biếngiảđưabàitoándạng chính tắcvề dạng chuẩnvà
giảibàitoánấytheonhưđã trình bày.
Nhậnxét:
 Nếubàitoánmở rộng không có phương án tối ưu thì bài toán
xuấtphátcũng không có phương án tối ưu.
 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưumàcácbiếngiảđều
bằng 0 thì bỏ biếngiảđi, chúng ta đượcphương án tối ưucủa

bài toán xuấtphát.
 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu mà trong đócóít
nhấtmộtbiếngiả dương thì bài toán xuất phát không có
phương án tối ưu.
70
b. Thuậttoánđơnhìnhgiải bài toán mở rộng
 Trong bài toán mở rộng, Δ
j
và f(x*) sẽ gồm2 phần:
 mộtphầnphụ thuộcvàoM,
 mộtphần không phụ thuộcvàoM.
Ö
Hàng cuốicủabảng chia hai dòng nhỏ:
 dòng trên ghi phần không phụ thuộcM,
 dòng dưới ghi hệ số M.

Mỗi khi mộtbiếngiả bịđưakhỏihệ biếncơ bản thì sẽ không
được đưatrở lại, vì vậycóthể không cần chú ý tới các cột
ứng vớibiếngiả.
71
Ví dụ giải bài toán mở rộng
Min(x
1
+2x
2
+x
4
-5x
5
)

S.t.
-3x
3
-9x
4
=0
x
2
-7x
3
-x
4
-2x
5
=5
x
1
-1/3x
2
+2/3x
3
+4/3x
4
+1/3x
5
=2/3
x
j
≥0 ∀j
Chuyểndạng

Min(x
1
+2x
2
+x
4
-5x
5
+Mx
6
+Mx
7
)
S.t.
3x
3
-9x
4
+x
6
=0
x
2
- 7x3 - x
4
-2x
5
+ x
7
= 5

x
1
–1/3x
2
+ 2/3x
3
+ 4/3x
4
+ 1/3x
5
=2/3
x
j
≥0 ∀j
72
Giải bài toán mở rộng
5-2-10-1010
2/316/31/32/3-7/30
2/31/34/32/3-1/31
1x
1
5-2-1-710
Mx
7
00-9-300
Mx
6
-51021
λ
i

Ph.án
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Hệ số
Biến
cơ
bản
73
Giải bài toán mở rộng
00-9-300
37/02/3-2-47/3 00
7/3-1/31-5/3011x
1
5-2-1-7102x
2
00-9-300Mx
6
-51021
λ
i
Ph.án
x