Chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng toán 8

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1: Cho : 4a 2 + b 2 = 5ab và 2a  b  0 , Tính giá trị của : A =
HD :

ab
4a − b 2
2

Từ : 4a 2 + b2 = 5ab  4a 2 − 4ab − ab + b2 = 0  ( 4a − b )( a − b ) = 0

TH 1: 4a − b = 0  4a = b ( mâu thẫn vì 2a > b)
a2
1
TH 2: a − b = 0  a = b = A = 2
=
2
4a − a
3
a −b
Bài 2: Cho 3a 2 + 3b2 = 10ab và b  a  0 , Tính A =
a+b
HD:
Từ: 3a2 + 3b2 = 10ab  3a2 − 9ab − ab + 3b2 = 0  ( a − 3b )(3a − b ) = 0
TH 1: a − 3b = 0  a = 3b ( mâu thuẫn vì b > a > 0)
a − 3a −1
=
TH 2: 3a − b = 0  3a = b = A =
a + 3a 2
3x − 2 y
Bài 3: Cho 9 x2 + 4 y 2 = 20 xy ( 2 y  3x  0) , Tính A =
3x + 2 y

HD:
Từ: 9x2 + 4 y 2 = 20xy  ( x − 2 y )( 9x − 2 y ) = 0
3x − x 1
=
3x + x 2
TH2: 9 x = 2 y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)

TH1: x = 2 y = A =

Bài 4: Cho x2 − 2 y 2 = xy, ( y  0, x + y  0) ,Tính A =
HD:

x− y
x+ y

Từ x2 − 2 y 2 = xy  x2 − xy − 2 y 2 = 0  ( x − 2 y )( x + y ) = 0

2y − y 1
=
2y + y 3
TH2: x + y = 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 )
x+ y
Bài 5: Cho x  y  0 và 2x2 + 2 y2 = 5xy , Tính A =
x− y
HD:
Từ: 2x2 + 2 y 2 = 5xy  2 x2 − 5xy + 2 y 2 = 0  ( x − 2 y )( 2 x − y ) = 0
TH1: x − 2 y = 0  x = 2 y = A =

2y + y
=3

2y − y
TH2: 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0)
TH1: x = 2 y = A =

x 2 − 2 xy
Bài 6: Cho 3x − y = 3z và 2 x + y = 7 z , Tính A = 2
, x, y  0
x + y2
HD:
3x − y = 3z
 x = 2z
4 z 2 − 12 z 2 −8
= 
= A =
=
Từ gt ta có: 
4 z 2 + 9 z 2 13
2 x + y = 7 z
 y = 3z

1
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 7: Cho xy = −1 , Tính P =
HD:
Ta có: P =

1
1

+ 2
y − xy x − xy
2

−( x − y)
1
1
−x + y
+
=
=
=1
y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y )

Bài 8: Cho 3 y − x = 6 , Tính giá trị của A =

x
2x − 3 y
+
y−2
x−6

HD:
Ta có: 3 y − x = 6 = x = 3 y − 6 = A =

3 y − 6 2 (3 y − 6) − 3 y
+
= 3 + 1 = 12
y−2
3y − 6 − 6

Bài 9: Tính biểu thức :
x2
y2
z2
a, A = 2
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
+
+
y + z2 − x2 z2 + x2 − y 2 x2 + y 2 − z2
x
y
z
b, P =
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
−
+
− xy + x + 1 yz − y + 1 xz + z − 1
z 
x 
y

Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B =  1 −   1 −   1 + 
x 
y 
z

a+b
Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A =
với b> a> 0 và 2a 2 + 2b2 = 5ab

a−b
2
2
x + y 10
x−y
=
Bài 12: Cho y  x  0,
, tính giá trị của biểu thức: M =
xy
3
x+y
2a − 1 5 − a 
1
2
+
,  a    , Tính giá trị của P biết: 10a + 5a = 3
Bài 13: Cho biểu thức: P =
3a − 1 3a + 1 
3
2015a
b
c
+
+
Bài 14: Cho abc=2015, Tính A =
ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + 1
HD :
a2bc
b
c

A=
+
+
2
ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + 1
a 2bc
b
c
ac + c + 1
=
+
+
=
=1
ab (1 + ac + c ) b ( c + 1 + ac ) ac + c + 1 ac + c + 1
Bài 15: Cho abc=2, Tính B =

a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

HD :
B=

a
b
abc 2

a
b
abc 2
+
+
=
+
+
=1
ab + a + abc bc + b + 1 ac + abc 2 + abc a ( b + 1 + bc ) bc + b + 1 ac (1 + bc + b )

Bài 16: Cho abc=1, Tính A =

a
b
c
+
+
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

HD :
A=

a 2bc
b
c
a 2bc
b
c
+

+
=
+
+
=1
2
ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + 1 ab (1 + ac + c ) b ( c + 1 + ac ) ac + c + 1

Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B =

a
b
2012c
+
−
ab + a − 2012 bc + b + 1 ac − 2012c − 2012

HD :

2
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


B=

a
b
abc 2
a
b

abc 2
+
+
=
+
+
=1
ab + a + abc bc + b + 1 ac + abc 2 + abc a ( b + 1 + bc ) bc + b + 1 ac (1 + bc + b )

Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì

1
1
1
+
+
=1
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx

HD :

VT =

xyz
xyz
1
xyz
xyz
1
+

+
=
+
+
= 1 = VP
2
xyz + x yz + xy xyz + y + yz 1 + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + 1 + z ) 1 + z + zx

Bài 19: Cho xyz=2010, CMR:

2010 x
y
z
+
+
=1
xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + 1

HD :

x 2 yz
y
z
+
+
=1
2
xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + 1
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc = 2016
2bc − 2016

2b
4032 − 3ac
P=
−
+
3c − 2bc + 2016 3 − 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a
x + 2 xy + 1
y + 2 yz + 1
z + 2zx + 1
Bài 21: Tính GTBT P =
biết xyz = 1
+
+
x + xy + xz + 1 y + yz + yx + 1 z + zx + zy + 1
HD :
yz ( x + 2 xy + 1)
xz ( y + 2 yz + 1)
xy ( z + 2zx + 1)
P=
+
+
yz ( x + xy + xz + 1) xz ( y + yz + xy + 1) xy ( z + zx + xy + 1)
VT =

=

(1 + y) + y (1 + z ) + 1 + z + z (1 + x ) + 1 + x + x (1 + y )
(1 + y)(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y)

y

1
1
1
z
1
x
+
+
+
+
+
+
1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x
y +1 1+ z 1+ x
=
+
+
=3
y +1 1+ z x +1
16a 2 − 40ab
a 10
Bài 22: Cho = , Tính A =
b 3
8a 2 − 24ab
HD :
100 2
10
50
16.
b − 40. b 2

a 10
10
9
3
= = a = b = A =
= 9 =5
100
10
10
b 3
3
8.
.b 2 − 24. .b 2
9
3
9
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a + b + c = 0 , CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
HD :
3
Ta có : a + b = −c  ( a + b ) = −c3  a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3  a3 + b3 + c3 = 3abc
=

Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a3 + b3 + c3 = 3abc , CMR: a + b + c = 0
HD :
Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 3abc
Vì a3 + b3 + c3 = 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) = 0

Mà a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca = 0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0 ( Mâu thuẫn vì a  b  c )
2

2

2

Nên a + b + c = 0

3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức


 a  b  c 
Bài 25: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc, ( a, b, c  0) , Tính P = 1 + 1 + 1 + 
 b  c  a 
HD :
Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca ) + 3abc , Mà a3 + b3 + c3 = 3abc Nên
a + b b + c a + c −c −a −b
.
.
= . .
= −1
b
c
a
b c a
TH2 : a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 = a = b = c = P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

TH1 : a + b + c = 0 = P =

Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và

a+b b+c c+a
 a  b  c 
=
=
, Tính B = 1 + 1 + 1 + 
c
a
b
 b  c  a 

HD :

a + b b + c c + a 2( a + b + c)
=
=
=
c
a
b
a +b+c
a + b b + c a + c −c −a −b
.
.
= . .
= −1
TH1 : Nếu a + b + c = 0 = B =
b
c
a
b c a

a + b b + c a + c 2c 2a 2b
.
.
= . . =8
TH2 : nếu a + b + c  0 = gt = 2 = B =
b
c
a
b c a
 a  b  c 
Bài 27: Cho a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a 2b2c 2 , Tính A = 1 + 1 + 1 + 
 b  c  a 
HD :
ab = x
a+b b+c c+a y + z x+ z x+ y

.
.
=
.
.
Đặt bc = y = x3 + y 3 + z 3 = 3xyz = x + y + z = 0 = A =
b
c
a
bc
ac ab
ac = z

−ab −bc −ac

=
.
.
= −1 Hoặc : x = y = z = a = b = c = A = 8
bc ac ab
a +b−c b+c −a c + a −b
 a  b  c 
=
=
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn:
. Tính A = 1 + 1 + 1 + 
c
a
b
 b  c  a 
HD :
a +b −c b +c −a c + a −b a +b +c
=
=
=
Từ gt=>
c
a
b
a+b+c
a+b b+c a+c
.
.
= −1
TH1 : a + b + c = 0 = A =

a
c
a
TH2 : a + b + c  0 = gt = 1 = a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b = A = 8
ax + by = c

Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: bx + ay = a , CMR : a3 + b3 + c3 = 3abc
cx + ay = b

HD :
Cộng theo vế của gt=> ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c = ( a + b + c )( x + y − 1) = 0
Từ gt

TH1: a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc
TH2: x + y = 1 = a = b = c  a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 30: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c  0 , Tính giá trị N =

a 2 + b2 + c2

(a + b + c)

2

HD:

4
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Từ gt = a = b = c = N =

3a2 1
=
9a2 3

Bài 31: Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz , Rút gọn A =

xyz
( x + y )( y + z )( z + x )

HD:

xyz
x3
1
Từ gt=> TH1: x + y + z = 0 = A =
= −1 TH 2 : x = y = z = A =
=
− xyz
2 x.2 x.2 x 8
Bài 32: Rút gọn : A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b )
3

HD:

3

3

Đặt: a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z

A = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x 2 + y 2 + z 2 + ...) = 0

Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và

1 1 1
1
1
1
+ + = 0 , Rút gọn: A = 2
+ 2
+ 2
a b c
a + 2bc b + 2ac c + 2ab

HD:
1 1 1
+ + = 0  ab + bc + ca = 0 = a 2 + 2bc = a 2 + bc − ab − ca = ( a − b )( a − c )
a b c
Tương tự: b2 + 2ac = ( b − a )(b − c ) , c2 + 2ba = ( c − a )( c − b )

Ta có:

Khi đó: A =

1

+

1

+

1

( a − b )( a − c ) ( b − a )(b − c ) ( c − a )( c − b )

=

c −b + a −c +b−a
=0
( a − b )(b − c )(c − a )

1 1 1
1
1
1
+ + = 0 , Tính P = 2
+ 2
+ 2
a b c
a − 2bc b + 2ac c + 2ab
1 1 1
bc
ac
ab
+ 2
+ 2
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 , Rút gọn: B = 2
a b c

a + 2bc b + 2ac c + 2ab
HD:
Theo bài 26 =>
ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a )
bc
ac
ab
B=
+
+
=
( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b )
( a − b )(b − c )( c − a )
Phân tích tử => B
a2
b2
c2
1 1 1
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 ,Rút gọn: C = 2
+ 2
+ 2
a b c
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
HD:
Theo bài 26
a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a )
a2
b2
c2
= C =

+
+
=
( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b )
( a − b )(b − c )( c − a )
Phân tích tử =>C
1 1 1
bc ac ab
Bài 37: Cho a,b,c  0, và + + = 0 , Tính A = 2 + 2 + 2
a b c
a b
c
HD:
1 1 1
1 1 1
3
Từ gt = + + = 0 = 3 + 3 + 3 =
a b c
a b c
abc
abc abc abc
3
1 1 1
=3
Khi đó: A = 3 + 3 + 3 = abc  3 + 3 + 3  = abc.
a
b
c
abc
a b c 

yz
xz
xy
1 1 1
+ 2
+ 2
Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và + + = 0 , Tính A = 2
x + 2 yz y + 2xz z + 2xy
x y z
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và

5
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c  0, Rút gọn A =

ab
bc
ac
+ 2 2
+ 2
2
2
2
a + b − c b + c − a c + a 2 − b2
2

HD:
Từ a + b + c = 0 = a + b = −c = a 2 + b2 + 2ab = c 2 = a 2 + b2 − c 2 = −2ab

Tương tự: b2 + c2 − a2 = −2bc, c2 + a2 − b2 = −2ac , Khi đó:
ab
bc
ac
−3
A=
+
+
=
−2ab −2bc −2ac 2
a2
b2
c2
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn B = 2 2 2 + 2
+
a − b − c b − a 2 − c 2 c 2 − a 2 − b2
HD:
Từ a + b + c = 0 = b + c = −a = b2 + c 2 + 2bc = a 2 = a 2 − b2 − c 2 = 2bc ,
Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó:

a2
b2
c2
1
3abc 3
B=
+
+
=
a3 + b3 + c3 ) =

=
(
2bc 2ac 2ab 2abc
2abc 2
1
1
1
+ 2
+ 2
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = 2 2
2
2
2
b + c − a c + a − b a + b2 − c 2
HD:
Từ: a + b + c = 0 = b + c = −a = b 2 + c 2 + 2bc = a 2 = b2 + c 2 − a 2 = −2bc
Tương tự: c2 + a2 − b2 = −2ac, a2 + b2 − c2 = −2ab , Khi đó:
1
1
1
−1  a + b + c 
A=
+
+
= 
=0
−2bc −2ac −2ab 2  abc 
a 2 b2 c 2
Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + +
bc ca ab

HD:
a3
b3
c3 3abc
Từ a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc , khi đó: A =
+
+
=
=3
abc abc abc abc
1 1 1
yz xz xy
Bài 43: Cho + + = 0, ( x  0, y  0, z  0) , Tính giá trị của biểu thức: 2 + 2 + 2
x y z
x
y
z
HD:
1
1
1
Với a = , b = , c = , Áp dụng kết quả câu a ta có:
x
y
z
1 1 1
1 1 1
3
yz zx xy xyz xyz xyz
3

+ 3+ 3=
= 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz  3 + 3 + 3  = xyz.
=3
3
x
y
z
xyz
x
y
z
x
y
z
y
z 
xyz
x
1 1 1
Bài 44: Cho a+b+c=1, + + = 0 , CMR: a 2 + b2 + c 2 = 1
a b c
HD:
Từ a + b + c = 1  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 1 , (1)
1 1 1
ab + bc + ca
+ + =0
= 0  ab + bc + ca = 0 , thay vào (1)=> ĐPCM
Mà:
a b c
abc

1 1 1
1 1 1
Bài 45: Cho x,y,z  0, Thỏa mãn: x + y + z = xyz và + + = 3 , Tính A = 2 + 2 + 2
x y z
x
y z
HD:
 1 1 1
 x+ y+z
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Từ: + + = 3  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 3  2 + 2 + 2 + 2 
=3
x y z
x
y
z
x
y
z
 xy yz zx 
 xyz 

6
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Nên A + 2 = 3 = A = 1
1 1 1

Bài 46: Cho a,b,c  0 và + + = 2 , và a + b + c = abc , CMR:
a b c
HD:
1 1 1
1 1 1
1
 1 1 1
+ + = 2  2 + 2 + 2 + 2 + +  = 4  2
a b c
a b c
a
 ab bc ca 
a b c
Bài 47: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và + + = 0 , CMR:
x y z
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a + b + c = 3 và
HD:

1 1 1
+ + =2
a 2 b2 c2

+

1 1
 a+b+c 
+ 2 + 2
=4
2
b c

 abc 

a.x 2 + b.y2 + c.z 2 = 0

1 1 1
+ + = 0 , Tính A = a 2 + b2 + c 2
a b c

Từ: a + b + c = 3  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 9 , (1)

1 1 1
+ + = 0  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) A + 2.0 = 9 = A = 9
a b c
1 1 1
1 1 1
Bài 49: Cho + + = 2 và a + b + c = abc , Tính A = 2 + 2 + 2
a b c
a b c
HD:
1 1 
1 1 1
 1 1 1
Từ: + + = 2  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 4
a b c
a b c
 ab bc ca 
 a+b+c 
 A + 2
 = 4  A+ 2 = 4  A = 2
 abc 

1 1 1
1 1 1
Bài 50: CMR: Nếu + + = 3 và a+b+c=abc Thì ta có: 2 + 2 + 2 = 7
a b c
a b c
2
x
y2 z2
a b c
x y z
Bài 51: Cho + + = 1 và + + = 0 , Tính A = 2 + 2 + 2
a b c
a b c
x y z
HD:
x y z
x2 y 2 z 2
 xy yz zx 
 cxy + ayz + bzx 
Từ: + + = 1  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 1  A + 2 
 = 1 (1)
a b c
a b c
abc
 ab bc ca 


a b c
Mà: + + = 0  ayz + bxz + cxy = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 1  A = 1
x y z

x y z
a b c
a 2 b2 c 2
Bài 52: Cho + + = 0, + + = 2 , Tính A = 2 + 2 + 2
x
y
z
a b c
x y z
HD:
 ab bc ca 
 abz + bcx + cay 
a b c
a 2 b2 c 2
Từ: + + = 2  2 + 2 + + 2  + +  = 2  A + 2 
 = 2 (1)
x y z
x
y
z
xyz
 xy yz zx 


x y z
Mà: + + = 0  bcx + acy + abz = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 2 = A = 2
a b c
a b c b2 c 2 a 2
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc = 1 và 2 + 2 + 2 = + + , CMR trong ba số a,b,c
b c a

a b c
phải có 1 số bằng bình phương số cịn lại
HD:
a
b
c
b2 1 c 2 1 a 2 1
Đặt: x = 2 , y = 2 , z = 2 = = , = , = = xyz = 1 và
b
c
a
a x b y c z
1 1 1
x + y + z = + + = xy + yz + zx
x y z

Mà:

7
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Xét tích: ( x −1)( y −1)( z −1) = 0 = x = 1, y = 1, z = 1 . Với x = 1 = a = b2 (ĐPCM)

x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b2 + c 2 )
(
x y z
=
=


0
Bài 54: Cho
, Rút gọn: A =
2
a b c
( ax + by + cz )
HD:

x y z
= = = k = x = ak , y = bk , z = ck thay vào A
a b c
2 y + 2z − x 2z + 2x − y 2x + 2 y − z
=
=
Bài 55: Cho:
, trong đó a,b,c thỏa mãn:
a
b
c
x
y
z
=
=
2b + 2c − a, 2c + 2a − b, 2a + 2b − c  0 , CMR:
2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c
HD:
2 ( 2z + 2x − y ) + 2 ( 2x + 2 y − z ) − ( 2 y + 2z − x )
Từ gt =
=

2b + 2c − a
2 ( 2x + 2 y − z ) + 2 ( 2 y + 2z − x ) − ( 2z + 2x − y )

Đặt

2c + 2a − b
x
y
z
=
=
=
2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c
Bài 56: Cho

yz zx xy
1 1 1
+ + = 0, xyz  0 , Tính A = 2 + 2 + 2
x
y
z
x y z
a3 + b3 + c3

Bài 57: Cho a + b + c = 0 , Tính

( a − b) + ( b − c ) + ( c − a)
( a + b + c ) ( a + b + c) + ( ab + bc + ca)
Bài 58: Tính : A =
( a + b + c) − ( ab + bc + ca)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Bài 59: Cho c + 2ab − 2ac − 2bc = 0 , Rút gọn biểu thức :
2

Bài 60: Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, và

a2 + ( a − c )

b2 + ( b − c )

2
2

x y z
= = , CMR: xy + yz + zx = 0
a b c

HD:
x y z
= = = k = xy + yz + zx = k 2 ( ab + bc + ca ) (1)
a b c
Mà: a + b + c = 1  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 1  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) ta được:
xy + yz + xz = 0

Đặt:

Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 0, ab + bc + ca = 0 , Tính A = ( a − 1)

2015

+ b2014 + ( c + 1)

2013

HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét:
a + b + c = 0  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0  a 2 + b2 + c2 = 0
Do đó : a=b=c=0 thay vào A = ( −1)

2015

+ 02014 + 12013 = 0

Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và x + y + z =
HD:

1 1 1
+ + , Tính P = ( x19 − 1)( y 5 − 1)( z1890 − 1)
x y z

Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0

8
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0
1 1 1
Bài 63: Cho xyz=1, x + y + z = + + , Tính A = ( x 2015 − 1)( y1006 − 1) ( z − 1) + 2016
x y z
HD :
xy + yz + zx
Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x + y + z =
= xy + yz + zx
xyz
Xét tích : ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016
1 1 1
Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và x + y + z = + + ,
x y z
Tính : A = ( x15 − 1)( y 27 − 1)( z 2016 − 1)

HD :

1 1 1
+ + = xy + yz + zx
x y z
Xét ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0
1 1 1
Bài 65: Cho x2 + y 2 + z 2 + 2 + 2 + 2 = 6 , Tính A = x2012 + y2013 + z 2014
x
y z
HD :
Từ gt ta có : x + y + z =

2

1 
1 
1
 
1
1
1


 

Từ gt=>  x 2 + 2 − 2  +  y 2 + 2 − 2  +  z 2 + 2 − 2  = 0   x −  +  y −  +  z −  = 0
x 
y 

z
x
y
z


 

 
2012
2014
Vì x , y
ln nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
TH1 : y = 1 = A = 3
TH2 : y = −1 = A = 1
1 1 1
1
Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và + + =
, thì 1 trong ba số phải có 1
a b c 2000
số bằng 2000
HD :
1 1 1
1
1
a+b
a +b
1 1 1

  + + −

+
=0
Từ gt ta có : + + =
=0
a b c a +b+c
ab c ( a + b + c )
 a b   c a +b +c 
2

2

( a + b ) c ( a + b + c ) + ab = 0  ( a + b )(b + c )( c + a ) = 0
TH1 : a + b = 0  c = 2000
TH2 : b + c = 0  a = 2000
TH3 : c + a = 0  b = 2000
Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và a + b + c =

1 1 1
+ + ,
a b c

CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1
HD :
1 1 1
Từ gt ta có : a + b + c = + + = ab + bc + ca
a b c
Xét tích : ( a −1)( b −1)( c −1) = abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) −1 = 0 nên hoặc a=1 hoặc b=1
hoặc c=1

9

GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 , Tính P = a 2015 + b2015
HD :
Từ : a100 = b100 = a101 + b101  a100 ( a −1) + b100 ( b −1) = 0
(1)
và a101 + b101 = a102 + b102  a101 ( a − 1) + b101 (b − 1) = 0

(2)

Từ (1) và (2)
2
2
=> a101 ( a − 1) + b101 ( b − 1) − a100 ( a − 1) − b100 ( b − 1) = 0  a100 ( a − 1) + b100 ( b − 1) = 0

( a − 1)2 = 0
a = 1

Do a, b  0 = 
khi đó : P = 12015 + 12015 = 2

2
b = 1
( b − 1) = 0
 a 3 + b3 = 1

Bài 69: Cho  2
, Tính A = a 2014 + b2014
(CL)

2

a + b = 1
x + y = a + b
Bài 70: Cho  2
CMR: xn + yn = an + bn
2
2
2
x + y = a + b
HD:
Ta có: x2 + y 2 = a2 + b2  ( x − a )( x + a ) + ( y − b )( y + b ) = 0

(1)

Mà x − a = b − y thay vào (1) ta được: ( b − y )( x + a − b − y ) = 0
TH1 : b − y = 0  b = y = x = a = xn + y2 = an + b2
TH2 : x + a − b − y = 0  x − y = b − a = 2 x = 2b  x = b = y = a => xn + yn = an + bn
Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A =
HD :

x2 + y 2 + z 2

( y − z ) + ( z − x) + ( x − y)
2

2

2

Ta có : x + y + z = 0  x2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0  x2 + y 2 + z 2 = −2 ( xy + yz + zx )
Mẫu : 2x2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2 ( xy + yz + zx ) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 3 ( x3 + y 2 + z 2 )
Khi đó : A =

x2 + y 2 + z 2
1
=
2
2
2
3( x + y + z ) 3

Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = 3xyz , Tính giá trị của biểu thức :

T=

x10 + y10 + z10

( x + y + z)

10

Bài 73: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 , Tính giá trị của biểu thức :

bc ( y − z ) + ac ( z − x ) + ab ( x − y )
2

A=

2

2

ax 2 + by2 + cz 2
Bài 74: Cho a + b + c = 1 ( a, b, c khác 1 và 2), CMR :

c + ab
a + bc
b + ac
bc + ac + ab + 8
+ 2
+ 2
=
2
2
2
a + b + abc − 1 b + c + abc − 1 a + c + abc − 1 ( a − 2 )( b − 2 )( c − 2 )
2

Bài 75: Rút gọn :
HD :

(a
A=

2

+ b2 + c 2 ) ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca )
2

2

( a + b + c ) − ( ab + bc + ca )
2

Ta có : Đặt : a 2 + b2 + c 2 = x và ab + bx + ca = y khi đó : ( a + b + c ) = x + 2 y , thay vào A ta có :
2

10
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


A=

x( x + 2 y) + y 2 x 2 + 2 xy + y 2
=
= x + y = a 2 + b2 + c 2 + ab + ab + ca
x + 2y − y
x+ y

1
2
2
2
a + b ) + (b + c ) + ( c + a ) 
(

2
a2
b2

c2
a
b
c
+
+
= 1 , Tính giá trị của: Q =
Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn :
+
+
b+c c+a a +b
b+c c+a a+b
HD:
Nhận thấy a + b + c = 0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a + b + c = 0 ta được :
a
b
c 
+
+
( a + b + c ) 
 = a+b+c
b+c c+a a+b 
a ( b + c ) b ( c + a ) b2
c ( a + b ) c2
a2

+
+
+
+

+
= a+b+c 
b+c
b+c
c+a
c+a
a +b
a +b
Q+a+b+c = a+b+c  Q = 0
a
b
c
+
+
= 0 , Tính giá trị của biểu thức :
Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và
b −c c −a a −b
a
b
c
A=
+
+
2
2
2
(b − c ) (c − a ) ( a − b )

HD:

b
c  1
1
1
1 
1 
 a
 1
Nhân 
+
+
+
+
+
+

=0
 vao gt ta được : 
 b − c c − a a − b  b − c c − a a − b 
 b −c c −a a −b 
a+b
b+c
c+a
 P+
+
+
=0
( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) ( a − b )(b − c )

( a + b )( a − b ) + ( b + c )( b − c ) + ( c + a )( c − a ) = 0  P = 0

( a − b )( b − c )( c − a )
2
2
2
a + b) (b + c ) ( c + a )
(
Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab + bc + ca = 1 , Tính A =
 P+

(1 + a )(1 + b )(1 + c )
2

HD :

2

2

Ta có : 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = b ( a + c ) + a ( a + c ) = ( a + b )( a + c )

Tương tự : 1 + b2 = ( b + a )( b + c ) , 1 + c2 = ( c + a )( c + b ) khi đó : A = 1
Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab + bc + ca = 1 ,
a 2 + 2bc − 1)( b2 + 2ca − 1)( c 2 + 2ab − 1)
(
Tính B =
2
2
2
( a − b) (b − c ) (c − a )
HD :

Ta có :
a2 + 2bc −1 = a2 + 2bc − ab − bc − ca = a2 + bc − ab − ac = a ( a − b ) + c (b − a ) = ( a − b )( a − c )
Tương tự : b2 + 2ca −1 = ( b − a )( b − c ) , c2 + 2ab − 1 = ( c − a )( c − b )
Khi đó : B = −1
Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR :
b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
( a − b )( a − c ) (b − c )(b − a ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a
HD :
(a − c) − (a − b) = 1 − 1 = 1 + 1
b−c
=
Ta có :
( a − b )( a − c ) ( a − b )( a − c ) a − b a − c a − b c − a

11
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


a −b
c−a

1
1
1
1
=
=
+
+
,
( b − c )( b − a ) b − c a − b ( c − a )( c − b ) c − a b − c
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
= VP
Khi đó : VT =
a −b c −a b−c a −b c −a b−c
ab
bc
ca
+
+
Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị : A =

( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) ( a − b )(b − c )
HD :
a
b
c
= x,
= y,
= z khi đó :
Đặt :
b−c
c−a
a −b
( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1)  xy + yz + zx = −1
a
b
c
+
+
= 0 , CMR trong ba số a,b,c phải có
Bài 82: Cho 3 số a,b,c đơi 1 khác nhau thỏa mãn :
b −c c −a a −b
1 số âm, 1 số dương
HD :
1
1
1
a
b
c
+

+
 0 Mà :
+
+
=0
Vì a  b, b  c, c  a =
b−c c −a a −b
b −c c −a a −b
b
c  1
1
1 
 a
+
+
+
+


=0
 b − c c − a a − b  b − c c − a a − b 
 a

b
c  
a+b
a+c
b+c

+

+
+ 
+
+
 = 0
2
2
2
 ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )   ( b − c )( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( c − a )( a − b ) 
a
b
c
+
+
= 0,
Nhận thấy Tổng B  0 =>
2
2
2
(b − c ) ( c − a ) ( a − b )
Tương tự :

Do đó a,b,c khơng cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương
1
1
1
+
+
Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR : A =
là bình

2
2
2
( a − b) (b − c ) (c − a )
phương của 1 số hữu tỉ
HD :
Ta có :
2

 1
1
1 
1
1
1
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+

 =
2
2
2

 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b )
A+

2 ( a − b) + 2 (b − c ) + 2 ( c − a )
= A + 0 = A Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ :
( a − b )( b − c )( c − a )

Bài 84: Cho a+b+c=0, P =
HD :

a −b b −c c −a
c
a
b
+
+
+
+
và Q =
, CMR : P.Q=9
a −b b −c c −a
c
a
b

c
c  b−c c −a 
c b 2 − bc + ac − a 2
c ( a − b )( c − a − b )
Xét P.

= 1+
+
.
= 1+
.

 = 1+
a −b
a −b  a
b 
a −b
ab
a −b
ab

a
2a3
b
2b3
2c 2
2c3
= 1+
= 1+
= 1+
, Tương tự : P.
và P.
khi đó :
b−c
abc
c−a

abc
ab
abc
2 ( a 3 + b3 + c 3 )
P.Q = 3 +
=9
abc

1+

12
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 85: Cho a,b,c đơi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức:
a2
b2
c2
A=
+
+
( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − b )( c − a )
HD :
a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a )
A=
=1
( a − b )( b − c )( c − a )
Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b  c, a + b  c và c2 = 2 ( ac + bc − ab ) ,
CMR:

a2 + ( a − c )
b + (b − c )
2

2

2

=

a−c
b−c

HD :
Ta có : a 2 + ( a − c ) = a 2 + c 2 − c 2 + ( a − c ) = a 2 + c 2 − 2 ( ac − bc − ab ) + ( a − c )
2

(a

2

2

2

+ c 2 − 2ac ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = ( a − c ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = 2 ( a − c )( a − c + b )
2

2

2

Tương tự ta có : b2 + ( b − c ) = 2 ( b − c )( b − c + a )
2

Khi đó :

a2 + ( a − c )

2

=

a−c
b−c

b + (b − c )
Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR:
y−z
z−x
x− y
2
2
2
+
+
=
+
+
( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x ) ( z − x )( z − y ) x − y y − z z − x

HD:
−( x − y) + ( x − z)
y−z
−1
1
1
1
=
=
+
=
+
Ta có:
( x − y )( x − z ) ( x − y )( x − z ) x − z x − y x − y z − x
2

2

x− y
z−x
1
1
1
1
=
=
+
+
và
( y − z )( y − x ) y − z x − y ( z − x )( z − y ) z − x y − z

Cộng theo vế ta được:
Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR:
3
3
3
2
2
2
a 5 + b5 + c 5 ( a + b + c ) ( a + b + c )
5
5
5
2
2
2
=
.
a, 2 ( a + b + c ) = 5abc ( a + b + c )
b,
5
3
2
HD:
Ta có: a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3abc ( a 2 + b2 + c 2 ) = ( a3 + b3 + c3 )( a 2 + b2 + c 2 )
Tương tự ta có:

=> 3abc ( a 2 + b2 + c 2 ) = a5 + b5 + c5 + a3 (b2 + c 2 ) + b3 ( c 2 + a 2 ) + c3 ( a 2 + b 2 )

Mà: b + c = −a = b2 + c 2 = ( b + c ) − 2bc = a 2 − 2bc ,Tương tự ta có: c 2 + a 2 = b 2 − 2ac
2

a 2 + b 2 = c 2 − 2ab Nên ta có :
( a3 + b3 + c3 )( a2 + b2 + c2 ) = a5 + b5 + c5 + a3 ( a2 − 2bc ) + b3 (b2 − 2ac ) + c3 (c2 − 2ab )

= 2 ( a5 + b5 + c5 ) − 2abc ( a 2 + b2 + c 2 )  2 ( a5 + b5 + c5 ) = 5abc ( a 2 + b2 + c 2 )

a2
b2
c2
3
+ 2 2 2=
Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: 2 2 2 + 2
2
2
a −b −c b −a −c c −a −b
2
HD:
Từ a + b + c = 0 = b + c = −a = b2 + c 2 + 2bc = a 2 = a 2 − b2 − c 2 = 2bc ,
Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó:
a2
b2
c2
1
3abc 3
+
+
=
a3 + b3 + c3 ) =
=
(

2bc 2ac 2ab 2abc
2abc 2

13
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


( a + b ) + (b + c ) + ( c + a )  2
2
2
2
( a − b ) (b − c ) (c − a )
2

Bài 90: CMR:
HD :

2

2

a+b
b+c
c+a
= x,
= y,
= z = M = x 2 + y 2 + z 2 , Ta cần CM :
a −b
b−c
c−a

( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1) => xy + yz + zx = −1 (1)

Đăt :

Từ : ( x + y + z )  0  x 2 + y 2 + z 2  −2 ( xy + yz + zx ) = −2 ( −1) = 2 = M  2
2

a+b b+c c+a
+
+
=0
a −b b−c c −a
Bài 91: Cho a+b+c=0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14 , Tính A = a 4 + b4 + c 4
HD :

Dấu bằng khi x + y + z = 0 

Ta có : 142 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 )
2

(1). Ta lại có :

a + b + c = 0 = ( a + b + c ) = 0  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0
2

 ab + bc + ca = −7  a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc ( a + b + c ) = 49 , Thay lên (1)
142 = A + 2.49
Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 2010 , Tính giá trị của biểu thức:

A = a4 + b 4 + c 4

HD:

(a + b + c) − (a
Ta có: ab + bc + ca =
2

2

+ b2 + c2

2

) = 0 − 2010 = −1005
2

= a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052
2

2

2 2

2

2

2

(

= A = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2
Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: x 2 +

)

2

2

(

)

− 2 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 20102 − 10052 = 2.10052

1
1
= 7 , CMR: x 5 + 5 là 1 số nguyên
2
x
x

HD :

1  4 1 
1 
1
=  x + 4  x +  −  x3 + 3 
5
x 

x 
x 
x 
2
1 
1 
1 
1
1
1
1

Ta tính :  x +  = x 2 + 2 + 2 = 9 = x + = 3 , x3 + 3 =  x 2 + 2  x +  −  x +  = 18
x
x
x
x 
x 
x 
x

1 
1 
1 
1
Và x 4 + 4 =  x3 + 3  x +  −  x 2 + 2  = 47
x 
x 
x 
x 

1
Bài 94: Cho x  0 và x + = a , Tính theo a các giá trị của:
x
1
1
1
a, x 3 + 3
b, x 6 + 6
c, x 7 + 7
x
x
x
HD :
1
1
1 
1 
1 
1
a, x + = a  x 2 + 2 = a 2 − 2 Nên x3 + 3 =  x +  x 2 + 2  −  x +  = a ( a 2 − 2 ) − a
x
x
x 
x 
x  
x
2
1 
1
b, x 6 + 6 =  x3 + 3  − 2

x
x 

1 
1 
1 
1
c, x7 + 7 =  x3 + 3  x4 + 4  −  x + 
x 
x 
x  
x
Ta có : x5 +

14
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 95: Cho x  0 và x 2 +
a, x 3 +

1
x3

1
= a , Tính theo a các giá trị của:
x2
1
1
b, x 6 + 6

c, x 7 + 7
x
x

HD :
2

Ta có : x 2 +

1 
1
1
=  x +  − 2 = x + = a + 2 . Làm giống bài 68
2
x 
x
x

Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn : a + b = 5 và a + b = 5 , Tính a + b
6
1  6 1 

 x +  − x + 6 −2
1
x 
x 
2
Bài 97: Cho x + 2 = 2 , và x > 0. Tính A = 
3
x

1  3 1 

x+  +x + 3 
x 
x 

HD :
2
1 
1  2 1  
1
1
1
1

3
2
 x +  = x + 2 + 2 = 4 = x + = 2 và x + 3 =  x +  x + 2  −  x +  = 2.2 − 2 = 2
x
x
x
x 
x 
x  
x

2

2

3

3

2

1  3 1
=  x + 3  − 2 = 2 thay vào A
x6 
x 
Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x2 + y2 + z 2 = a2 , Tính A = x4 + y4 + z 4 theo a
HD :

và x 6 +

Ta có : a 4 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) = A + 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) , Mặt khác:
2

( x + y + z)

2

= a 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0

−a 2
a4
a4
2
2 2
2 2

2 2
 xy + yz + zx =
 ( xy + yz + zx ) =  x y + y z + z x + 2xyz ( x + y + z ) =
2
4
4
4
4
4
a
a
a
Thay lên trên ta đươc : a 4 = A + 2. = A +
x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 =
4
4
2
Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và a2 + b2 + c2 = 2010, Tính giá trị của biểu thức:
A = a 4 + b4 + c 4
HD:
2
( a + b + c ) − ( a 2 + b2 + c 2 ) 0 − 2010
=
= −1005
Ta có: ab + bc + ca =
2
2
2
2
=> a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052

=> A = a 4 + b 4 + c 4 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) = 20102 − 10052 = 2020050
2

Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a 4 + b 4 + c 4 =
a+b+c=abc . Thì ta có:
HD :

2
1 1 1
1 2
a + b 2 + c 2 ) Bài 10: CMR: Nếu + + = 3 và
(
a b c
2

1 1 1
+ + =7
a 2 b2 c2

Ta có : ( a + b + c ) = 0  a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0  a 2 + b2 + c 2 = −2 ( ab + bc + ca )
2

(a

2

+ b 2 + c 2 ) = 4 ( ab + bc + ca )
2

2

 a 4 + b4 + c 4 + 2 ( a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 ) = 4 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 + 2abc ( a + b + c ) )

 a 4 + b4 + c 4 = 2 ( a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 )  2 ( a 4 + b4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2a 2

15
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = ( a 2 + b 2 + c 2 ) => ĐPCM
2

Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy + x + y = −1, và x2 y + xy2 = −12 , Tính A = x3 + y3
HD :

a = −4
 xy + ( x + y ) = −1 a + b = −1 a = 3
Từ gt ta có : 
hoặc 

= 
b = 3
ab = −12
b = −4

 xy ( x + y ) = −12
Khi đó A = ( x + y ) − 3xy ( x + y )
3

Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính

a, x2 + y 2
b, x3 + y3
c, x − y
HD :
2
a, x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = 81 − 28

d, x5 + y5

b, x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 93 − 3.14.9 = 351
3

c,

( x − y)

2

= ( x + y ) − 4 xy
2

d, x5 + y 5 = ( x3 + y 3 )( x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 ( x + y )

(

)

Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A = 2 x3 − y 3 − 3 ( x + y )
HD :

2

Ta có : x3 − y3 = ( x − y ) + 3xy ( x − y ) , Mà :
3

( x + y)

2

= ( x − y ) + 4 xy = A = 2.8 + 12 xy − 3. ( 4 + 4 xy )
2

(

) (

)

) (

)

Bài 104: Cho a + b = 1 , Tính giá trị của biểu thức: C = 2 a3 + b3 − 3 a2 + b 2
HD:

(

) (
)
= 2 ( a − ab + b ) − 3 ( a + b )

= 2 ( a + b ) − 2ab − 3( a + b ) = − ( a

(

Ta có: C = 2 a3 + b3 − 3 a2 + b2 = 2 ( a + b ) a2 − ab + b 2 − 3 a2 + b 2
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính
a, x2 + y 2
b, x3 + y3
HD :
2
a, x 2 + y 2 = ( x − y ) + 2 xy

)

+ b2 − 2ab = − ( a + b ) = −1
2

c, x − y ,

b, x3 + y3 = ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) − xy ( x + y ) , mà : ( x + y ) = ( x − y ) + 4 xy = 49 + 4.60
2

2

Bài 106: Cho a+b=1, tính A = a3 + b3 + 3ab ( a 2 + b2 ) + 6a 2b2 ( a + b )
HD :

Ta có : a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) , và a 2 + b2 = ( a + b ) − 2ab
3

2

Bài 107: Cho x2 − y2 = 1, Tính A = 2 ( x6 − y 6 ) − 3 ( x 4 + y 4 )
HD :

(

x6 − y 6 = ( x 2 − y 2 )( x 4 + y 4 ) + x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) , mà : x 4 + y 4 = x 2 − y 2

Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức C = 2 ( a3 + b3 ) − 3 ( a 2 + b2 )
HD :

)

2

+ 2 x 2 y 2 , thay vào ta được

Ta có: C = 2 ( a3 + b3 ) − 3 ( a 2 + b2 ) = 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) − 3 ( a 2 + b2 )

(

) (

)

(

)

= 2 a 2 − ab + b2 − 3 a 2 + b 2 = − a 2 + b 2 − 2ab = − ( a + b ) = −1
2

16
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


a + b + c = 0
Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:  2
, Tính A = a 4 + b4 + c 4
2
2

a
+
b
+
c
=
2012

HD:
2
a 2 + b2 + c 2 = ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) = −2 ( ab + bc + ca )
2

 a2 + b2 + c2  20122
=> a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = 
 =
2
4


20122
=> A = a 4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − 2 ( a 2b2 + b2c2 + c2 a 2 ) =
2
1
1
1
3
2
Bài 110: Cho ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 và x, y, z  0 , CMR: 3 + 3 + 3 =
x y z

xyz
HD :
xy + yz + zx
1 1 1
2
Từ : ( x + y + z ) = x2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx = 0 =
= 0 = + + = 0
xyz
x y z
1 1 1
3
Khi đó : 3 + 3 + 3 =
x y z
xyz
2 2

2 2

2

2 2

Bài 111: CMR: Nếu ( a + b + c ) = 3 ( ab + bc + ca ) thì a=b=c
2

HD:

Từ: a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca = 0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0
2

2

2

Bài 112: Cho a 2 + b2 + c 2 = m , Tính theo m giá trị của: A = ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b )
2

2

2

HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức:
2
Bài 113: Cho a 2 − b2 = 4c 2 , CMR: ( 5a − 3b + 8c )( 5a − 3b − 8c ) = ( 3a − 5b )
HD:

VT = ( 5a − 3b ) − 64c 2 = 25a 2 − 30ab + 9b 2 − (16a 2 + 16b 2 ) = ( 3a − 5b )
2

Bài 114: Tìm x,y biết: x 2 + y 2 +

2

1 1
+ =4
x2 y 2

HD:



1
1
− 2 +  y2 + 2 − 2  = 0
2
x
y


2
2
x
y z 2 x2 + y 2 + z 2
Bài 115: Tìm x,y,z biết :
+ + =
2 3 4
5
HD:
 x2 x2   y 2 y 2   z 2 z 2 
 − + − + −  = 0
5   4 5
 2 5   3
x2 +

x2 − yz y 2 − zx z 2 − xy
a 2 − bc b2 − ca c 2 − ab
=
=
=

=
Bài 116: Cho
, CMR :
x
y
z
a
b
c
HD:
x2 − yz
y 2 − zx
z 2 − xy
,b =
,c =
Đặt gt =k=> a =
, sau đó tính: a2 − bc, b2 − ca, c2 − ab rồi thay vào
k
k
k

17
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 117: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c =

ax 2 + by 2 + cz 2
1
= 2000

, CMR :
2
2
2
2000
bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y )

HD:
Từ ( ax + by + cz ) = 0  a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 = −2 ( abxy + bcyz + acxz )
2

Xét mẫu số: bc ( y 2 − 2 yz + z 2 ) + ac ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ab ( x 2 − 2 xy + y 2 )
= bcy 2 + bcz 2 + acx 2 + acz 2 + abx 2 + aby 2 + ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 )

= c ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + b ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + a ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) = ( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 )

VT =

1
= 2000
a+b+c

Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn :

( ax + by + cz )
HD:

2

= ( x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b 2 + c 2 )

ay − bx cx − az bz − cy
=
=
, CMR :
c
b
a

acy − bcx bcx − abz abz − acy
=
=
= k = 0 = ay − bx = cx − az = bz − cy = 0
c2
b2
a2
2
2
2
2
2
2
=> ( ay − bx ) = ( cx − az ) = ( bz − cy ) = 0  ( ay − bx ) + ( cx − az ) + (bz − cy ) = 0

Đặt gt=k=>

= ( a 2 y 2 + b2 x 2 + c 2 x 2 + a 2 z 2 + b2 z 2 + c 2 y 2 ) − 2 ( aybx + cxaz + bzcy ) = 0

=> ( a 2 y 2 + a 2 z 2 + a 2 x2 ) + ( b2 x2 + b2 y 2 + b2 z 2 ) + ( c 2 x 2 + c 2 y 2 + c 2 z 2 )
− ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 + 2axby + 2bycz + 2axcz ) = 0

 ( a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) − ( ax + by + cz ) = 0 =>ĐPCM
2

Bài 119: Cho x2 − yz = a, y2 − zx = b, z 2 − xy = c CMR : ax + by + cz = ( x + y + z )( a + b + c )
Với x, y, z  0
HD:
 x3 − xyz = ax

Từ gt=>  y 3 − xyz = by = ax + by + cz = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
 z 3 − xyz = cz

= ax + by + cz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = ( x + y + z )( a + b + c )

 x2 + 2 y + 1 = 0

Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :  y 2 + 2 z + 1 = 0 , Tính A = x2000 + y2000 + z 2000
z2 + 2x + 1 = 0

HD:
Cộng theo vế của gt ta được: ( x 2 + 2 x + 1) + ( y 2 + 2 y + 1) + ( z 2 + 2 z + 1) = 0 = x = y = z = −1
Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P = x + y + z
HD:
( x + 1)( y + 1) = 4

2
2
2
Từ gt ta có: ( x + 1)( z + 1) = 16 = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 4.16.9 = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 24


( y + 1)( z + 1) = 9

18
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


3
Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2 x +

1 3
2
y − xyz = − z 3 , Tính giá trị của biểu
4
27

2018

 6 x + 3y − 2 z 
thức: N = 1 −

 6 x − 3y + 2 z 
HD:
3
3
3
1 3
−2z3
3
Vì 2 x + y − xyz =
= ( 6x ) + ( 3y ) + ( 2z ) = 108xyz

4
27
a + b + c = 0
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c 3 = 3abc = 
a = b = c
3
3
3
Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: a + b + c = 3abc , mà x, y,z dương nên
6 x + 3y + 2z  0 = 6 x = 3y = 2z thay vào ta có :


6 x + 3y − 2 z 
N = 2 −
6 x − 3y + 2 z 


2018


2z + 2z − 2z 
= 2 −
2 z − 2 z + 2 z 


2018

=0

Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn: a +

1
1
1
=b+ =c+ ,
b
c
a

CMR: abc=1 hoặc abc=-1
HD:
1 1
b−c 2
c−a
a −b
, T = b − c =
,c − a =
Từ gt=> a − b = − = a − b =
c b
bc
ca
ab
( a − b )( b − c )( c − a ) = a − b b − c c − a a 2b 2c 2 − 1 = 0
Nhân theo vế: ( a − b )( b − c )( c − a ) =
(
)( )(
)(
)
2
( abc )

Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên ( abc ) = 1 = abc = 1, hoặc -1
2

Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by + cz = a, và ax + cz = b và ax + by = c , Trong đó a,b,c là các số dương
1
1
1
cho trước, CMR :
, khơng phụ thuộc vào a,b,c
+
+
x +1 y +1 z +1
HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
1
2c
a + b + c = 2 ( ax + by + cz ) = a + b + c = 2 ( c + cz ) = 2c (1 + z ) =
=
z +1 a + b + c
1
2a
1
2b
Tương tự:
=
,
=
x +1 a + b + c y +1 a + b + c
a −b
b−c

c−a
,y=
,z =
Bài 125: Cho x =
, Thì (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1 − x )(1 − y )(1 − z )
a+b
b+c
c+a
HD:
a −b
2a
+1 =
Tính x + 1 =
, Tương tự là ra
a+b
a+b
a+b b+c a+c b+c a+c b+a
.
+
.
+
.
= −1
Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR:
a −b b −c c −a b −c c −a a −b
HD:
a+b
2a
2b
b+c

2a
2c
= x + 1 =
, x −1 =
= y + 1 =
, y −1 =
Đặt: x =
, y=
a −b
a −b
a −b
b−c
b−c
b−c
c+a
2c
2a
z=
= z + 1 =
, z −1 =
, Khi đó: ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ( x −1)( y −1)( z −1)
c−a
c−a
c−a
Khi đó: xy + yz + zx = −1

19
GV: Ngơ Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

Bài 127: Cho x = by + cz và y = ax + by , z = ax + by và x+y+z khác 0.
1
1
1
+
+
Tính giá trị: A =
1+ a 1+ b 1+ c
HD:
Cộng theo vế gt ta được: x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) = 2 ( ax + x ) = 2x ( a + 1) =

1
2x
=
a +1 x + y + z

1
2y
1
2z
=
,
=
b +1 x + y + z c +1 x + y + z
2a = by + cz
1
1
1

Bài 128: Cho 2b = ax + cz và a + b + c  0 , Rút gọn: M =

+
+
x+2 y+2 z+2
2c = ax + by

HD:
Cộng theo vế gt tacó 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz  a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + 2)
Tương tự:

=

1
b
1
a
1
c
=
=
, Tương tự:
,
=
x+2 a+b+c
y +2 a +b+c z + 2 a +b + c

Bài 129: Cho
kia
HD:

a 2 + b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 c 2 + a 2 − b2

+
+
= 1 , CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số
2ab
2bc
2ac

Từ gt ta có: ( a 2 + b2 − c 2 ) c + ( b2 + c 2 − a 2 ) a + ( c 2 + a 2 − b2 ) b = 2abc

(a

2

+ b2 − c 2 + 2ab ) c + ( b2 + c 2 − a 2 − 2bc ) a + ( c 2 + a 2 − b2 − 2ac ) b = 0

( a + b + c )( a + b − c ) c + (b − c + a )(b − c − a ) a + (c − a + b )(c − a − b ) b = 0
( a + b − c )( a + c − b)(b + c − a ) = 0
c = a + b hoặc a + c = b hoặc: b + c = a
2
2
2
bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y )
Bài 130: Cho ax + by + cz = 0 , Rút gọn A =
ax 2 + by 2 + cz 2
HD:
2
Từ ( ax + by + cz ) = 0  a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 = −2 ( abxy + bcyz + acxz )
Xét mẫu số: bc ( y 2 − 2 yz + z 2 ) + ac ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ab ( x 2 − 2 xy + y 2 )
= bcy 2 + bcz 2 + acx 2 + acz 2 + abx 2 + aby 2 + ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 )

= c ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + b ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + a ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) = ( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 )

Khi đó: A =

( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 )
ax 2 + by 2 + cz 2

Bài 131: Cho x + y + z = 0 , Rút gọn: B =
HD:
Ta có:

( x + y + z)

2

= a+b+c

x2 + y 2 + z 2

( y − z ) + ( z − x) + ( x − y)
2

2

2

= x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0  x 2 + y 2 + z 2 = −2 ( xy + yz + zx )

Khi đó: Mẫu = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 ( xy + yz + zx ) = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + x 2 + y 2 + z 2 = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 )
Vậy B =

1
3

20
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c  0 và

x4 + y 4 + z 4 x4 y 4 z 4
= + + , Tính
a 4 + b4 + c 4 a 4 b4 c 4

P = x2 + y9 + z1945 + 2017
HD:

x4
x4  
y4
y4  
z4
z4 
−
+
−
+
+
Từ gt=>  4
 4

 
=0
4
4
4 
4
4
b4   a 4 + b4 + c 4 c 4 
 a +b +c a   a +b +c
nên x = y = z = 0 = P = 2017
1 1 1
1
Bài 133: Cho a,b,c là ba số thực  0 thỏa mãn: + + =
, CMR:
a b c a +b+c
1
1
1
1
+ 2015 + 2015 = 2015
2015
2015
a
b
c
a + b + c 2015
HD:
1
1
b+c

b+c
1 1
+ +  = 0 
+
=0
Từ gt ta có: −
a a+b+c b c 
a ( a + b + c ) bc

TH1: b + c = 0 = b = −c =

1
a

2015

+

1
b

2015

+

−1
1
= 2015
2015
2015

b
a + b − b 2015

1
1
+ = 0  bc + a 2 + ab + ac = 0  ( a + b )( a + c ) = 0 => giống TH1:
a + ab + ac bc
a3
b3
c3
Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: 2
+
+
= 1006 ,
a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a 2
a3 + b3
b3 + c3
c3 + a 3
Tính giá trị của biểu thức:
M= 2
+
+
a + ab + b2 b2 + bc + c3 c2 + ca + a 2
HD :
M = 2(a + b + c)

TH2:

2

Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: x  y, xyz  0, và x ( y 2 − xz ) (1 − yz ) = y ( x 2 − yz ) (1 − xz ) ,
CMR :
HD:

1 1 1
+ + = x+ y+ z
x y z
Từ GT ta có: ( x 2 − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y 2 − xz )
= x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 = xy2 − x2 z − x2 yz 2
= x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 − xy 2 + x2 z + xy3 z − x2 yz 2 = 0
= xy ( x − y ) − xyz ( yz + y 2 − xz − x 2 ) + z ( x 2 − y 2 ) = 0

= ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0

Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0 hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z )
1
1
Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a + b + c = , a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca = , Tính giá trị của
2
6
a
b
c
+
+
biểu thức: P =
b+c c+a a+b

(b
Bài 137: Cho x =

2

+ c2 − a2 )
2bc

( a − (b − c ) ) , Tính giá trị của biểu thức M = x + y + xy
;y=
((b + c ) − a )
2

2

2

2

21
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 138: Cho biết

x2
x
2
=
−
,
Tính

độ
dài
của
biểu
thức
:
x2 + x + 1
3
x4 + x2 + 1

HD :

x
−2
x2 + x + 1 −3
1
−3
1 −5
Từ gt ta có : 2
=
=
=
= x + + 1 =
= x + =
x + x +1 3
x
2
x
2
x 2

2
2
4
2
x
4
x + x +1
1
1
25
21

Nên
Vậy 4
= x2 + 2 + 1 =  x +  − 1 =
−1 =
=
2
2
x
x
x
4
4
x + x + 1 21

1
(Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được x1 = 2, x2 = rồi thay vào)
2
2

2
x − yz
y − xz
Bài 139: CMR:
với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z)
=
x (1 − yz ) y (1 − xz )
HD:
Từ GT ta có: ( x 2 − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y 2 − xz )
= x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 = xy2 − x2 z − x2 yz 2
= x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 − xy 2 + x2 z + xy3 z − x2 yz 2 = 0
= xy ( x − y ) − xyz ( yz + y 2 − xz − x 2 ) + z ( x 2 − y 2 ) = 0

= ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0

Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0 hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z )
Bài 140: Cho x>y>0, hãy so sánh A =
HD:

A=

( x − y )( x + y )
, Mà
2
( x + y)

x− y
x2 − y 2
và B = 2
x + y2

x+ y

x + y + 2xy  x + y , x − y  0 nên A =
2

2

2

2

2

2

x2 − y 2
x2 − y 2

2 xy + x 2 + y 2 x 2 + y 2

Vậy ABài 141: Cho x(m+n)=y(n+p)=z(p+m), Trong đó x,y,z là các số khác nhau và khác 0
m−n
n− p
p−m
CMR :
=
=
x ( y − z ) y ( z − x) z ( x − y )
HD :

x ( m + n) y ( n + p ) z ( p + m)
m+n n+ p p+m
Từ giải thiết ta có :
=
=
=
=
+
xyz
xyz
xyz
yz
xz
xy
( p + m) − ( n + p ) = ( m + n ) − ( p + m ) = ( n + p ) − ( m + n ) = ĐPCM
=
xy − xz
yz − xy
xz − yz
2
8
1
x 2 − y 2 − z 2 + 2 yz x + y − z
:
Bài 142: Tính giá trị của biểu thức: a, A = 2
với x = 1 , y = , z = 3
2
3
3
3

x + xz − y − yz x + y + z
HD:
( x + y − z )( x − y + z ) : x + y − z = x − y + z
Rút gọn biểu thức A =
( x − y )( x + y + z ) x + y + z x − y

Bài 143: Cho các số a,b lần lượt thỏa mãn hệ thức: a3 − 3a2 + 5a − 2011 = 0, b3 − 3b + 5b + 2005 = 0 , Tính
a+b
HD:
3
3
Từ điều kiện ta có: ( a − 1) + 2 ( a − 1) − 2008 = 0 và ( b − 1) + 2 ( b − 1) + 2008 = 0

22
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Cộng theo vế ta được:

( a −1) + (b −1) + ( a + b − 2) = 0 = ( a + b − 2) ( a −1) − ( a −1)(b −1) + (b −1)
3

3

2

2

 + 2 ( a + b − 2) = 0


2
2
2
2
=> ( a + b − 2) ( a −1) − ( a −1)( b −1) + ( b − 1) + 2 = 0 , Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2


1
1
1
2
2
2
= ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + 2  0 nên a+b - 2=0=> a+b=2
2
2
2
Bài 144: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + 2 = 0

(

)

Tính giá trị của biểu thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b 2 + 6a2b 2 ( a + b )

 z  x  y 
Bài 145: Cho x,y,z khác 0 và x-y-z=0, Tính B = 1 −  1 −  1 − 
 x  y  z 
a +b−c b+c −a c + a −b

−
−
=0,
Bài 146: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn:
ab
bc
ca
CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số kia
1 1 1
1 1 1
Bài 147: Cho + + = k và a+b+c=abc, Tính k để 2 + 2 + 2 = k
a b c
a b c
x
y
2z
b, Q =
với xyz=2 và các mẫu thức đều khác 0
+
+
xy + x + 2 yz + y + 1 xz + 2 z + 2
Bài 148: Tính tổng:
x
y
z
x2
y2
z2
a, A = 2
, P=

với xyz=1 và các
−
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
y +z −x
z +x −y
x + y −z
− xy + x + 1 yz − y + 1 xz + z − 1
mẫu thức đều bằng 0
Bài 149:
1 
1 
1
a, CMR: n4 + = ( n − 1) n +   n ( n + 1) + 
4 
2 
2
 4 1  4 1  4 1   4 1 
 1 + 4   3 + 4   5 + 4  ...  13 + 4 



 

b, Áp dụng câu a, thu gọn: A = 
 4 1  4 1  4 1   4 1 
 2 + 4   4 + 4   6 + 4  ...  14 + 4 



 

Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì :
a3
b3
c3
+
+
= a+b+c
( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b )
4
4
4
4
Bài 151: Chứng minh rằng : Nếu a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d
a
b
c
+
+
= 0 , CMR :
Bài 152: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :

b−c c−a a−b
a
b
c
+
+
=0
2
2
2
b
−
c
c
−
a
a
−
b
( ) ( ) ( )

Bài 153: Chứng minh rằng nếu : x1 +

1
1
1
1
= x2 + = x3 + = ... = xn +
, thì x1 = x2 = x3 = .... = xn
x2

x3
x4
x1

hoặc : x1.x2 .x3 ....xn = 1
Bài 154: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn:

1 1 1
+ + = 2 và a + b + c = abc , thì
a b c

1 1 1
+ + =2
a2 b 2 c 2

23
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 155: Cho a + b + c = 2 p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = 4 p ( p − a )
3
Bài 156: Cho x + y = a, x 2 + y2 = b, x 3 + y3 = c , CMR: a − 3ab + 2c = 0
4
4
4
Bài 157: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1 , Tính giá trị của: M = a + b + c

Bài 158: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( a + b + c ) = a2 + b 2 + c 2 , CMR:
2

a2
b2
c2
+
+
=1
a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab
1 1 1
b+c c+a a+b
+
+
Bài 159: Cho + + = 0 , Tính giá trị của: M =
a b c
a
b
c
2
2
2
a
b
c
a
b
c
+
+
= 1 , CMR:
Bài 160: Cho
+

+
=0
b+c c+a a+b
b+c c+a a+b
a.x 2 + b.y2 + c.z 2
Bài 161: Cho a.x + b.y + c.z = 0 , Rút gọn: A =
2
2
2
bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y )
Bài 162: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = −3 thì: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 3 ( x + 1)( y + 1)( z + 1)
3

3

3

a b c
Bài 163: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0 , CMR: a.x 2 + by2 + cz2 = 0
x y z
a
b
c
a
b
c
+
+
= 0 , CMR:
Bài 164: Cho

+
+
=0
2
2
2
b−c c−a a−b
b
−
c
c
−
a
a
−
b
( ) ( ) ( )

x
2
x2
=
Bài 165: Cho 2
, Hãy tính giá trị của biểu thức: 4
x + x +1 3
x + x2 + 1
HD:
1
−3
1 −5

x
−2
x 2 + x + 1 −3
= x + =
Từ: 2
, hay x + + 1 =
=
=
=
x
2
x 2
x
2
x + x +1 3
2


x4 + x2 + 1
1
1
21
x2
4
2
=
=
x
+
+

1
=
x
+
−
1
=
, vậy 4
=


2
2
2
x
4
x
x
x + x + 1 21

3
2

a − 3a + 5a − 2011 = 0
Bài 166: Cho các số a, b, c thỏa mãn các hệ thức sau:  3
, Tính a+b

b − 3b + 5b + 2005 = 0
HD:

Từ điều kiện ta có: ( a − 1) + 2 ( a − 1) − 2008 = 0
2

Và ( b − 1) + 2 ( b − 1) + 2008 = 0
2

(1)

(2)

Cộng theo vế ta được :

( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = 0 = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + (b − 1)  + 2 ( a + b − 2 ) = 0
2

2

2

2

2
2
= ( a + b − 2 ) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2 = 0


2
2
2
2

2
1
1
1
Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + 2  0
2
2
2
Nên a + b − 2 = 0 = a + b = 2

24
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 167: Chứng minh rằng nếu:
xy + xz + yz = xyz ( x + y + z )

HD:

(

x 2 − yz
y 2 − xz
=
, ( x  y ) , xyz  0, yz  1, xz  1 , thì:
x (1 − yz ) y (1 − xz )

)

(

Từ GT = x 2 − yz y (1 − xz ) = x (1 − yz ) y 2 − xz

)

= x2 y − x3yz − y2 z + xy2z2 = xy2 − x 2 z − xy3z + x 2 yz 2
= x2 y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x 2 yz2 = 0

(

) (

)

<=> xy ( x − y ) + xyz yz + y 2 − xz − x 2 + z x 2 − y 2 = 0

= xy ( x − y ) − xyz ( x − y )( x + y + z ) + z ( x − y )( x + y ) = 0

= ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0

Do x − y  0 = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z )

Bài 168: Cho x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m ) , trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0, CMR :
m−n
n− p
p−m
=
=
x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y)

HD :

Vì xyz  0 và x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m )
x ( m + n)

y (n + p)

z ( p + m)

m+n n+ p p+m
=
=
xyz
xyz
xyz
yz
xz
xy
( p + m) − ( n + p) = ( m + n) − ( p + m) = ( n + p ) − ( m + n) = m − n = n = p = p − m
=
xy − xz
yz − xy
xz − yz
x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y)

=

=

Bài 169: Rút gọn: A =
HD:

=

, hay

xy + 2 x + 1
yz + 2 y + 1
zx + 2z + 1
+
+
xy + x + y + 1 yz + y + z + 1 zx + z + x + 1

( xy + x + y + 1) + ( x − y ) = 1 + x − y = 1 + x − y
xy + 2 x + 1
=
xy + x + y + 1
xy + x + y + 1
x +1 y +1
( x + 1)( y + 1)

Ta có:

zx + 2z + 1
z
x
yz + 2 y + 1
y
z

= 1+
−
,
= 1+
−
z +1 x +1
yz + y + z + 1
y + 1 z + 1 zx + z + x + 1
Cộng theo vế ta được A=3

(

Bài 170: Chứng minh rằng: x 2 + y2 + z 2

)

2

(

)

= 2 x 4 + y4 + z 4 , biết rằng: x+y+z=0

HD:
Ta có: x + y + z = 0 = x = − ( y + z ) = x 2 = − ( y + z )

(

2

= x 2 = y2 + z2 + 2 xz = x 2 − y2 − z2 = 2 xz = x 2 − y2 − z2

) = (2xz)
2

2

= x 4 + y4 + z 4 − 2x 2 y2 − 2x 2z2 + 2y2z2 = 4x 2z2 = x 4 + y4 + z4 = 2x 2 y2 + 2x2z2 + 2y2z2
= x 4 + y4 + z4 + x 4 + y4 + z 4 = x 4 + y4 + z 4 + 2x 2 y2 + 2x 2z2 + 2y2z2

(

) (

= 2 x 4 + y4 + z 4 = x 2 + y2 + z 2

)

2

25
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức