Chuyên đề giá trị tuyệt đối bồi dưỡng toán 7

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. Lý thuyết :
+ ĐN: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực)
- Giá trị tuyệt đối của số khơng âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
TQ: Nếu a  0  a = a
Nếu a  0  a = −a
Nếu x - a  0=> |x-a| = x - a
Nếu x - a  0=> |x-a| = a - x
+Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: a  0 với mọi a  R
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối
a = b
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a = b  
a = −b
- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị
tuyệt đối của nó: − a  a  a và − a = a  a  0; a = a  a  0
- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu a  b  0  a  b
- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu 0  a  b  a  b
- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: a.b = a . b
- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối:

a
a
=
b
b

- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: a = a 2
2

- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu: a + b  a + b và a + b = a + b  a.b  0

1
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối:
a, 2 x + 3
b, 4 x − 2
HD :

−3 

2 x + 3  x  2 


a, Ta có: 2 x + 3 = 

−3 

 −2 x − 3  x  
2 



c, 3x − 5

d, 2 − x



1

4 x − 2  x  2 


b, 4 x − 2 = 

1

2 − 4 x  x  
2




5

3 x − 5  x  3 
2 − x ( x  2)


c, 3x − 5 = 
d, 2 − x = 

5

 x − 2 ( x  2 )
5 − 3 x  x  
3



Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối:
a, 2x − 4 + x − 3
b, x − 5 + x + 6
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
2
3
2x-4
0
+
/
+
x-3
/
0
+
Khi đó ta có :
Nếu x  2 = 2x − 4 + x − 3 = ( 4 − 2 x ) + (3 − x ) = −3x + 7
Nếu 2  x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2x − 4 + 3 − x = x −1
Nếu x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2 x − 4 + x − 3 = 3x − 7
b,
Ta có bẳng sau :
x
-6
5
x-5
/
0

+
x+6
0
+
/
+
Khi đó ta có :
Nếu x  −6 = x − 5 + x + 6 = 5 − x − x − 6 = −2x − 1
Nếu −6  x  5 = x − 5 + x + 6 = 5 − x + x + 6 = 11
Nếu x  5 = x − 5 + x + 6 = x − 5 + x + 6 = 2 x + 1
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a, 3( 2 x − 1) − x − 5
b, 2 x + 3 + x + 2
HD:
a, Nếu x  5 = 3 ( 2 x −1) − x − 5 = 6 x − 3 − ( x − 5) = 5x + 2
Nếu x  5 = 3 ( 2 x −1) − x − 5 = 6 x − 3 − (5 − x ) = 7 x − 8

−3
= 2 x + 3 + x + 2 = 2 x + 3 + x + 2 = 3x + 5
2
−3
= 2 x + 3 + x + 2 = −2 x − 3 + x + 2 = − x − 1
Nếu x 
2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a, 3x −1 + 1 − 3x
b, 3( x −1) − 2 x + 3
HD:
b, Nếu x 

2
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


a, Nếu : x 
Nếu x 

1
= 3x − 1 + 1 − 3x = 3x − 1 + 1 − 3x = 0
3

1
= 3x − 1 + 1 − 3x = 3x − 1 + ( 3x − 1) = 6 x − 2
3

b, Nếu x  −3 = 3 ( x −1) − 2 x + 3 = 3x − 3 − 2 ( x + 3) = x − 9
Nếu x  −3 = 3( x −1) − 2 x + 3 = 3x − 3 + 2 ( x + 3) = 5x + 3
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
a, A = 3x 2 − 2 x + 1 , Với x = 0,5

b, B = 3x − 1 + x − 3 với x =

1
3

HD:

 x = 0,5
a, Vì x = 0,5 = 
 x = −0,5

2

1
3
1
TH1 : x = 0,5 = A = 3.   − 2. + 1 =
2
4
2

−1
3
11
 −1 
TH2 : x = −0,5 = A = 3   − 2. + 1 = + 2 =
2
4
4
 2 
1

x
=

1
3
b, Vì x = = 
3
 x = −1


3
1
1
1
−8
TH1 : x = = B = 3. − 1 + − 3 =
3
3
3
3
−1
−1 −1
−10 −7
= B = 3. + − 3 = 1 +
=
TH2 : x =
3
3
3
3
3
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
−2
1
a, A = 6 x3 − 3x2 + 2 x + 4 với x =
b, 2 x − 3 y với x = ; y = −3
3
2
HD:
3

2
52
−2
−2 2
2
2
2
a, Với x =
= x =
= = A = 6.   − 3.   + 2. + 4 =
9
3
3
3
3
3
3
1
1
1
b, Với x = = x = , y = −3 = y = 3 = B = 2 x − 3 y = 2. − 3.3 = 1 − 9 = −8
2
2
2
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
1
5x2 − 7 x + 1
a, 2 x − 2 − 31 − x với x = 4
b, D =
với x =

2
3x − 1
HD:
a, Với x = 4 = A = 2 x − 2 − 3 1 − x = 2. 2 − 3 −3 = 4 − 9 = −5
2

 x = 1/ 2
1
= 
2
 x = −1/ 2
1
1
5. − 7. + 1
1
−5
2
=
TH1 : x = = D = 4
1
2
2
3. − 1
2
b, Với x =

−1
= D =
TH2 : x =
2

1
1
5. + 7. + 1
−23
4
2
=
−1
10
3. − 1
2

3
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 2: A ( x ) = k ( k  0 )
Bài 1: Tìm x biết:
a, 2 3x −1 + 1 = 5

b, 3x −

2 1
4
= +2
5 35
7

c, x + 5 − 4 = 3

HD:

3 x − 1 = 2
a, 2 3x − 1 + 1 = 5 = 2 3x − 1 = 4 = 3x − 1 = 2 = 
3x − 1 = −2
2 13

3x − =

2 1
4
2 13
5 5
b, 3x − = + 2 = 3x − = = 
5 35
7
5 5
3x − 2 = −13

5
5
 x+5 −4 = 3
c, x + 5 − 4 = 3 = 
 x + 5 − 4 = −3
Bài 2: Tìm x biết:
a, 3x + 1 − 11 = 3

b, x + 3 − 8 = 20

HD :

 3x + 1 − 11 = 3
a, Ta có : 3x + 1 − 11 = 3 = 
 3x + 1 − 11 = −3
 x + 3 − 8 = 20
b, Ta có : x + 3 − 8 = 20 = 
 x + 3 − 8 = −20
Bài 3: Tìm x nguyên biết :
a, 5 ( 2 x + 3) + 2 ( 2 x + 3) + 2 x + 3 = 16

b, x 2 + 6 x − 2 = x 2 + 4

HD :

2 x + 3 = 2
a, VT = 5 2 x + 3 + 2 2 x + 3 + 2 x + 3 = 16 = 8 2 x + 3 = 16 = 2 x + 3 = 2 = 
2 x + 3 = −2
 x2 + 6 x − 2 = x2 + 4
2
2
2
b, Vì x + 4  0 = x + 6 x − 2 = x + 4 =  2
2
 x + 6 x − 2 = − x − 4
Bài 4: Tìm x biết:
1
1
21
a, 3 : 2 x − 1 =

b, 2 2 x − 3 =
c, 7,5 − 3 5 − 2x = −4,5
2
22
2
Bài 5: Tìm x biết:
1 5
1
a, x − 1 + 2 = 3
b, 2 x − 5 = 4
c, − − 2 x =
3 4
4
Bài 6: Tìm x, y biết:
3
7
1
1 1
1
a, x + − 4 = −2
b, − x + =
c, − 2 x + 1 =
4
8
5
2
5 3
Bài 7: Tìm x biết:
3
1

1 4
a, 2 x − 1 + =
b, x2 + 2 x − = x 2 + 2
c, x 2 x + = x 2
4
2 5
2
Bài 8: Tìm x biết:

4
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


a, 2 x − 1 −

1 1
=
2 5

Bài 9: Tìm x biết:
1
3
3

a,  x +  2 x − = 2 x −
2
4
4

Bài 10: Tìm x biết:

a, x − 1 − 1 = 2
Bài 11: Tìm x biết:
4
− − 3,75 = − − 2,15
a, x +
15
Bài 12: Tìm x biết:
2 1
a, − x + + = 3,5
5 2
Bài 13: Tìm x biết:
3 4
3 7
a, + x − =
2 5
4 4
Bài 14: Tìm x biết:
9
1
a, 6,5 − : x + = 2
4
3
Bài 15: Tìm x biết:
21
x 2
+ 3: − = 6
a,
5
4 3

b,

1
3 2
x +1 − =
2
4 5

b, x −

1
3
3
2x − = 2x −
2
4
4

c, x x 2 +

3
=x
4

c, 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1

b, 3x + 1 − 5 = 2

c, 5 − 3 2 x − 1 = 7

b, 2 3x − 1 + 1 = 5

c,

b) x −

x
−1 = 3
2

1
1
=2
3
5

b, 4,5 −

31
5 5
x+ =
4 2
3 6

c, 2 −

c, x +

3
1 −5

x− =
2
4
4

1 3
− = 5%
4 4

b,

11 3
1 7
+ : 4x − =
4 2
5 2

c,

15
3
1
− 2,5 : x + = 3
4
4
2

b,

−2

1
1
:x+ =
3
6 12

c,

9 91 1 2 3
:
− x =
4 2 2 2
4

5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 3: A ( x ) = B ( x )
Phương pháp: Chia khoảng phá GTTĐ
Bài 1: Tìm x biết:
a, 2 x + 3 = x + 2

b, x −

1 4
2
+ = ( −3,2) +
3 5
5

HD:

−3
= 2 x + 3 = x + 2 = x = −1 (t/m)
2
−3
−5
= −2 x − 3 = x + 2 = x =
TH2 : x 
(t/m)
2
3
 1
x − 3 = 2
1 4 14
1 14 4
x − + = = x − = − = 2 = 
b,
3 5 5
3 5 5
 x − 1 = −2
 3
Bài 2: Tìm x biết:
a, 4 − x + 2 x = 3
b, x − 7 + 2 x + 5 = 6
c, 3x − 2 x + 1 = 2
HD:
a,
TH1 : x  4 = ( 4 − x ) + 2 x = 3 = x = −1( t / m)

a,

TH 1 : x 

7
(l )
3
8
b,
TH1 : x  7 = x − 7 + 2 x + 5 = 6 = x = (loại)
3
TH2 : x  7 = 7 − x + 2x + 5 = 6 = x = −6 (t/m)
−1
= 3x − ( 2 x + 1) = 2 = x = 3 (t/ m)
c,
TH1 : x 
2
−1
1
= 3x + ( 2 x + 1) = 2 = x = (loại)
TH2 : x 
2
5
Bài 3: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 = x − 3
b, 5x − 3 − x = 7
HD :
3
TH 1: x  = 2 x − 3 = x − 3 = x = 0 ( l )
a,

2
3
TH 2 : x  = 3 − 2 x = x − 3 = x = 2 ( l )
2
3
5
TH 1: x  = 5 x − 3 − x = 7 = x = (t/m)
b,
5
2
3
−2
TH 2 : x  = 3 − 5 x − x = 7 = x =
(t/m)
5
3
2
9
TH 1: x  = 3x − 2 = x + 7 = x = (t/m)
c,
3
2
2
−5
TH 2 : x  = 2 − 3x = x + 7 = x =
(t/m)
3
4
TH2 : x  4 = ( x − 4 ) + 2 x = 3 = x =

c, 3x − 2 = x + 7

6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


Bài 4 : Tìm x biết :
a, 4 x + 3 − x = 15
HD:

b, 2 5x − 3 − 2 x = 14

−3
= 4 x + 3 − x = 15 = x = ...
4
−3
TH 2 : x 
= −4 x − 3 − x = 15 = x = ...
4
3
TH 1: x  = 2 ( 5 x − 3) − 2 x = 14 = x = ...
b,
5
3
TH 2 : x  = 2 ( 3 − 5 x ) − 2 x = 14 = x = ...
5
2
TH1: x  = 3x − 2 + 5 x = 4 x − 10 = x = ...
c,
3

2
TH 2 : x  = 2 − 3x + 5 x = 4 x − 10 = x = ...
3
Bài 5: Tìm x biết:
a, x − 2016 = x − 2012
b, x + 1 − 5 = 0
HD:
a,
TH1: x  2016 = x − 2016 = x − 2012 = x = ...
a,

c, 3x − 2 + 5x = 4 x − 10

TH1: x 

b,

TH 2 : x  2016 = 2016 − x = x − 2012 = x = ...
x + 1 = 5 = x + 1 = 5 = x = ...

c,

x + 4 = 7 = x + 4 = 7 = x = ...

Bài 6: Tìm x biết:
a, x − 20 = 11
b, x − 5 = x − 5
HD:
a,
x − 20 = 11 = x − 20 = 11

b,

x − 5 = x − 5 = x − 5  0 = x  5

c,

x − 6 = 6 − x = x − 6  0 = x  6

c, x + 4 = 7

c, x − 6 = 6 − x

Bài 7: Tìm x biết:
a, x − 7 + x − 7 = 0
b, 17 − x + x − 4 = 0
c, x − 3 + x − 3 = 0
HD:
a,
x − 7 + x − 7 = 0 = x − 7 = 7 − x = x − 7  0 = x  7

17 − x + ( x − 4 ) = 0 ( x  4 )
17 − x + x − 4 = 0 = 
17 − x + ( 4 − x ) = 0 ( x  4 )
c,
x − 3 + x − 3 = 0 = x − 3 = 3 − x = x − 3  0 = x  3
Bài 8: Tìm x biết:
a, x + 2 − x = 2
b, x − 3 = 21
c, 2 x + 3 − x − 3 = 0
HD:

a,
x + 2 − x = 2 = x + 2 = x + 2 = x + 2  0 = x  −2
b,

b,

 x − 3 = 21
x − 3 = 21 = 
 x − 3 = −21

c,

2 x − 3 = x − 3
2 x + 3 − x − 3 = 0 = 2 x − 3 = x − 3 = 
2 x − 3 = 3 − x

7
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 9: Tìm x biết:
a, 2 x + 3 = x + 2
HD:

a,

b, x − 7 + 2x + 5 = 6


−3 


2 x + 3 = x + 2  x  2 


2 x + 3 = x + 2 = 

−3 

 −2 x − 3 = x + 2  x 

2 



 x − 7 + 2x + 5 = 6 ( x  7)
x − 7 + 2 x + 5 = 6 = 
7 − x + 2 x + 5 = 6 ( x  7 )
Bài 10: Tìm x biết:
a, 5x = x − 12
b, 9 + x = 2 x
c, 5x − 3x = 2
Bài 11: Tìm x biết:
a, x − 5 + 5 = x
b, x + 7 − x = 7
c, 3x − 4 + 4 = 3x
Bài 12: Tìm x biết:
1
a, x = 3 − 2 x
b, x − 1 = 3x + 2
c, 7 − x = 5x + 1

2
Bài 13: Tìm x biết:
a, 4 + 2 x = −4 x
b, 3x − 1 + 2 = x
c, x + 15 + 1 = 3x
Bài 14: Tìm x biết:
a, 2 x − 5 = x + 1
b, 3x − 2 − 1 = x
c, 3x − 7 = 2 x + 1
Bài 15: Tìm x biết:
a, 4 − x + 2 x = 3
b, 3x − 4 + 4 = 3x
c, 7 − 2x + 7 = 2x
b,

Bài 16: Tìm x biết:
a. 2 x − 5 = x + 1
Bài 17: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 = x − 5
Bài 18: Tìm x biết:
a. 2 − x = 2 x −1
Bài 19: Tìm x biết:
a. x − 2 = 2 − x

d, x + 6 − 9 = 2 x
d, 7 − 2 x + 7 = 2 x
d, 2 x − 3 + x = 21
d, 2 x − 5 = x + 2
d, 2 x − 1 + 1 = x
d, 6 x − 2 − 5 = 2016 x − 2017

b. 6 x − 2 = 3x − 4

c. 3x − 2 = x − 2

d, 2 x − 3 = 3x + 2

b. 3x + 2 = x + 1

c. 2 x + 1 = 7 − x

d. 2 x + 3 = 1

b. 2 x − 1 = x − 3

c. 2 x −1 = x + 2

d, x − 1 = 2 x − 1

8
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 4: A ( x ) = B ( x )
Phương pháp:
Cách 1: Tách 2 TH:
TH1: A ( x ) = B ( x )
TH2: A ( x ) = − B ( x )
Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu:
Bài 1: Tìm x biết: x − 2 − 2 x + 3 − x = −2

HD:
Lập bảng xét dấu ta có:
x
x-2
2x+3

- 3/2
/
0

-

Khi đó ta có : TH1 : x 
TH2 : −

+

2
0
/

+
+

−3
= ( 2 − x ) − ( −2 x − 3) − x = −2
2

3
 x  2 = ( 2 − x ) − ( 2 x + 3) − x = −2

2

TH3 : x  2 = ( x − 2) − ( 2x + 3) − x = −2
Bài 2: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 − x = 2 − x
HD :
a, Ta có bẳng xét dấu :
x
2x - 3
2-x

b, 2 x − 3 − 4x −1 = 0

3/2
0
/

+

Khi đó ta có : TH 1: x 

+
+

2
/
0

+
-

3
= ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x
2

3
TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x )
2
TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2

 2 ( x − 3) = 4 x − 1
b, 2 x − 3 − 4 x − 1 = 0 = 2 x − 3 = 4 x − 1 = 
 2 ( x − 3) = 1 − 4 x
Bài 3: Tìm x biết:
a, 3x − 5 + 2x + 3 = 7
b, x + x + 2 = 3
HD :
a, Ta có bằng xét dấu :
x
3x - 5
2x + 3

-3/2
/
0

-

Khi đó ta có : TH 1: x 

+

5/3
0
/

c, 3x − 5 = x + 2

+
+

−3
= ( 5 − 3x ) + ( −2 x + 3) = 7
2
9

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


3
5
TH 2 : −  x  = ( 5 − 3x ) + ( 2 x + 3) = 7
2
3
5
TH 3: x  = 3x − 5 + 2 x + 3 = 7
3
b, Ta có bẳng xét dấu :
x
-2

0
x
/
0
+
x+2
0
+
/
+
Khi đó ta có : TH1: x  −2 = ( − x ) + ( − x − 2) = 3
TH 2 : −2  x  0 = ( − x ) + ( x + 2) = 3
TH 3: 2  x = x + ( x + 2) = 3

3 x − 5 = x + 2
c, Ta có : 3x − 5 = x + 2 = 
3 x − 5 = − x − 2
Bài 4: Tìm x biết:
a, x − 1 + x + 3 = 4
b, 2 x + 3 − 2 4 − x = 5
HD :
a, Ta có bẳng sau :
x
-3
1
x-1
/
0
+
x+3

0
+
/
+
Khi đó ta có : TH1: x  −3 = (1 − x ) + ( − x − 3) = 4
TH 2 : −3  x  1 = (1 − x ) + x + 3 = 4

TH 3: x  1 = ( x −1) + x ( x + 3) = 4

b, Ta có bẳng sau :
x
2x+3
4-x
-

-3/2
0
/

+
-

4
/
0

+
+

−3

= ( −2 x − 3) − 2 ( x − 4 ) = 5
2
−3
TH 2 :  x  4 = ( 2 x + 3) − 2 ( x − 4 ) = 5
2

Khi đó ta có : TH 1: x 

TH 3: x  4 = ( 2 x + 3) − 2 ( 4 − x ) = 5

Bài 5: Tìm x biết:
a, x + 8 − x = 0
b, x + − x = 3 − x
HD :
a, Ta có bảng xét dấu :
x
0
8
x
0
+
/
8-x
+
/
+
0
Khi đó ta có : TH1: x  0 = ( − x ) + (8 − x ) = 0

c, 2 x − 3 − x = 2 − x

+
-

TH 2 : 0  x  8 = x + 8 − x = 0
TH 3: x  8 = x + ( x − 8) = 0

b, Ta có − x = x = x + − x = 3 − x = 2 x = 3 − x
TH1: x  0 = 2.x = 3 − x
TH 2 : x  0 = 2 ( − x ) = 3 − x

10
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


c, Ta có bảng xét dấu ta có :
x
3/2
2
2x - 3
0
+
/
+
2-x
+
/
+
0
3

Khi đó ta có : TH 1: x  = ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x
2
3
TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x )
2
TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2
Bài 6: Tìm x biết: x − 2011 + x − 2010 = 2012
HD :
Ta có bảng xét dấu :
x
2010
2011
x - 2011
/
0
+
x - 2010
0
+
/
+
Khi đó ta có : TH1: x  2010 = ( 2011 − x ) + ( 2010 − x ) = 2012
TH 2 : 2010  x  2011 = ( 2011 − x ) + ( x − 2010 ) = 2012
TH 3: ( x − 2011) + ( x − 2010) = 2012

Bài 7: Tìm x biết: x −1,5 + 2,5 − x = 0
HD:

 x − 1,5 = 0
 x − 1,5  0

= x − 1,5 + 2,5 − x = 0 = 
Vì 
2,5 − x = 0

 2,5 − x  0
Bài 8: Tìm x, y biết :
a, x + x + 2 = 0
b, x −1,38 + 2 y + 4,2 = 0
HD:

x = 0
x 0
= x + x + 2 = 0 = 
a, Vì 
x + 2 = 0

 x+2 0

c, 5x − 4 = x + 2

 x − 1,38  0
 x − 1,38 = 0
= x − 1,38 + 2 y + 4, 2 = 0 = 
b, Vì 
2 y + 4, 2 = 0
 2 y + 4, 2  0
5 x − 4 = x + 2
c, 5 x − 4 = x + 2 = 
5 x − 4 = − x − 2
Bài 9: Tìm x biết: x + x − 1 = 1

HD :
Ta có bảng xét dấu :
x
0
1
x
0
+
/
+
x-1
/
0
+
Khi đó ta có : TH1: x  0 = ( − x ) + (1 − x ) = 1
TH 2 : 0  x  1 = x + (1 − x ) = 1
TH 3: x  1 = x + ( x −1) = 1

11
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 10: Tìm x, y biết: 4 x + 3 − x −1 = 7
HD :
a, Ta có bảng xét dấu :
x
-3/4
1
4x + 3
0

+
/
+
x-1
/
0
+
−3
= ( −4 x − 3) − (1 − x ) = 7
Khi đó ta có : TH 1: x 
4
−3
TH 2 :
 x  1 = ( 4 x + 3) − (1 − x ) = 7
4
TH 3: x  1 = ( 4 x + 3) − ( x −1) = 7
Bài 11: Tìm x biết : 2 x − 3 − x = 2 − x
HD :
Ta có bẳng xét dấu :
x
3/2
2
2x - 3
0
+
/
+
2-x
+
/

+
0
Khi đó ta có :
3
TH 1: x  = ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x
2
3
TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x )
2
TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2
Bài 12: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 − 3x + 2 = 0

b, 7 x + 1 − 5x + 6 = 0

c,

5
7 5
3
x− − x+ =0
4
2 8
5

Bài 13: Tìm x biết:
7
3
5 1
1

a, x + − x + 5 = 0
b, 2 + 3x = 4 x − 3
c, x + = 4 x − 1
8
2
6 2
2
7
2 4
1
Bài 14: Tìm x biết: x + = x −
3
3 3
4
Bài 15: Tìm x biết :
a, x − 1 − x − 3 = 2 x − 1
b, 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12
Bài 16: Tìm x biết:
1
1
1
a, 2 − x + x − + 8 = 1,2
b, 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5
5
5
5
Bài 17: Tìm x biết:
1
1
1

a, 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x
b, 2 x − 6 + x + 3 = 8
2
2
5
Bài 18: Tìm x biết:
a, x + 5 + x − 3 = 9
b, x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6
Bài 19: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2
b, 2 x + 2 + 4 − x = 11
Bài 20: Tìm x biết:
a, x + 5 + 3 − x = 8
b, x − 2 + x − 5 = 3
c, 3x − 5 + 3x + 1 = 6
Bài 21: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 + 2 x = 5 = 11
b, x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2
c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2
12
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 22: Tìm x biết:
a, x − 4 + x − 6 = 2
Bài 23: Tìm x biết:
a, 5x + 1 + 3 − 2 x = 4 − 3x
Bài 24: Tìm x biết:
a, 5x − 4 = x + 2
Bài 25: Tìm x biết:

a, 7 x + 1 − 5x + 6 = 0

b,

Bài 26: Tìm x biết:
7
2 4
1
a, x + = x −
5
3 3
4

b, x + 1 + x + 5 = 4

c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13

b, x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3

c, x − 2 + x − 7 = 4

b, 2 x − 3 − 3x + 2 = 0

c, 2 + 3x = 4 x − 3

3
1
x + = 4x − 1
2
2

b,

c,

5
7 5
3
x− − x+ =0
4
2 8
5

7
5 1
x+ − x+5 = 0
8
6 2

13
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp: Lập bảng xét dấu
Bài 1: Tìm x biết:
a, 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12
Bài 2: Tìm x biết:
1
1
1

a, 2 − x + x − + 8 = 1,2
5
5
5
Bài 3: Tìm x biết:
a, 2x − 6 + x + 3 = 8
Bài 4: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2

b, 3 x + 4 − 2x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5
b, 2 x + 3

1
1
1
+ x −3 = 2 − x
2
2
5

b, x + 5 + x − 3 = 9
b,

x +1 + x − 2 + x + 3 = 6

Bài 5: Tìm x biết:
a,

2 x + 2 + 4 − x = 11

b, x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9

Bài 6: Tìm x biết:
a,

3x x + 1 − 2x x + 2 = 12

b, x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4

Bài 7: Tìm x biết:
a,

x + 5 − 1 − 2x = x

b, x − 2 x + 3 = x − 1

Bài 8: Tìm x biết:
a, x + 1 − x = x + x − 3

b, x − 2 + x − 5 = 3

Bài 9: Tìm x biết:
a, x − 3 + x + 5 = 8

b, 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4

Bài 10: Tìm x biết:
a, x − 3 + 3x + 4 = 2x + 1
Bài 11: Tìm x biết:
a, x − 2 x + 3 = x − 1

Bài 12: Tìm x biết:
a, x + 5 − 1 − 2 x = x

b, 3x x + 1 − 2 x x + 2 = 12
b, x + 1 − x = x + x − 3

14
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 6: A ( x )  a hoặc A ( x )  a
Phương pháp:
Với A ( x )  a = −a  A ( x )  a

 A( x )  a
Với A ( x )  a = 
 A ( x )  −a
Bài 1: Tìm x biết:
a, x − 2  4
b, 5x − 3  2
HD :
a, x − 2  4 = −4  x − 2  4

c, 3x + 1  4

b, 5x − 3  2 = −2  5x − 3  2

3 x + 1  4
c, 3x + 1  4 = 
3x + 1  −4

Bài 2: Tìm x biết:
a, 3x − 2 − x  1
b, 3x − 2  x + 1
HD:
2
TH 2 : x 
a, TH 1: x  = 3x − 2 − x  1
3
2
TH 2 : x 
b, TH 1: x  = 3x − 2  x + 1
3
c, 2 x + 3  5 = −5  2 x + 3  5
Bài 3: Tìm x biết:
a, 2 x − 3  5
b, 3x − 1  7
HD:
2 x − 3  5
a, 2 x − 3  5 = 
 2 x − 3  −5
b, 3x −1  7 = −7  3x −1  7
 2 x + 5  10
c, = 2 x + 5  10 = 
 2 x + 5  −10
Bài 4: Tìm x biết:
a, 2 x + 3 − 4 x  9
b, x − 1  4
HD:
−3
= ( 2 x + 3) − 4 x  9

a, TH 1: x 
2

c, 2 x + 3  5

2
= 2 − 3x − x  1
3
2
= 2 − 3x  x + 1
3

c, 3 + 2 x + 5  13

c, x − 2001  2002

TH 2 : x 

−3
= −2 x − 3 − 4 x  9
2

15
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT: A + B  A + B
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
a, x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8
b, x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2

HD :
a, Ta có : = ( x − 1 + x − 7 ) + ( x − 3 + x − 5 ) = x − 1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x
 x −1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x = 6 + 2 = 8

( x − 1)( 7 − x )  0
Dấu bằng xảy ra khi 
= 3  x  5
( x − 3)( 5 − x )  0
b, ta có :
VT = x −1010 + 2014 − x + x − 2012  x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 = 2 + x − 2012  2


( x − 2010 )(1014 − x )  0
Vì x − 2012  0 , dấu bằng khi 
= x = 2012

 x − 2012  0
Bài 2: Tìm x nguyên biết: x −1 + x − 2 + x − 3 + ... + x −100 = 2500
HD :
Ta có : VT = ( x − 1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + ... + ( x − 50 + 51 − x )
VT  ( x −1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + ... + ( x − 50 + 51 − x )
= 99 + 97 + 95 + ... + 1 = 2500

Dấu bằng xảy ra khi : ( x −1)(100 − x )  0, ( x − 2)(99 − x )  0,... ( x − 50 )(51 − x )  0

 x = 50
= 
 x = 51
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
a, x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3

HD :
a, Ta có : Đặt A = x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4
Ta có : x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x  3 Nên A=3 khi và chỉ khi
x − 2 = y − 3 = 0 và ( x −1)( 4 − x )  0 = x = 2, y = 3

Bài 4: Tìm x nguyên biết:
a, 2004 = x − 4 + x −10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000
HD :
a, Ta có VP = 4 − x + x + 1000 + 10 − x + x + 990 + x + 101
VP  1004 + 1000 + x + 101  2004

( 4 − x )( x + 1000 )  0

Dấu bằng khi (10 − x )( x + 990 )  0 = x = −101
 x + 101 = 0

Bài 5: Tìm x nguyên biết: x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008 = 3
HD :
Đặt A = x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008

Khi đó ta có : A = x − 2005 + 2008 − x + x − 2006 + y − 2007  3 + x − 2006 + y − 2007


 x = 2006
( x − 2005)( 2008 − x )  0
= 
Dấu bằng xảy ra khi : 
 y = 2007

 x − 2006 = y − 2007 = 0

16
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 6: Tìm x biết: 2 x − 3 + 2 x + 4 = 7
HD :
3

3 − 2 x  0
x 
Ta có: 3 − 2 x + 2 x + 4  3 − 2 x + 2 x + 4 = 7 dấu bằng xảy ra khi 
= 
2
2 x + 4  0

 x  −2
Bài 7: Tìm x biết: x + 2,5 + x + 6,5 + x + 9,5 = 7
HD:
x + 2,5  − x − 2,5 , x + 6,5  0 và x + 9,5  x + 9,5

Nên: VT  − x − 2,5 + x + 9,5 = 7 , dấu bằng xảy ra khi x = −6,5
Bài 8: Tìm x nguyên biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 100 = 605x
HD :
Vì x + 1  0, x + 2  0,... x + 100  0 = VT  0 = 605x  0 = x  0
Với x  0 = VT = ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ... + ( x + 100) = 605x
= 100x + 5050 = 605x

Bài 9: Tìm biết: x + 3 + x + 1 = 3x
HD :
Vì x + 3  0, x + 1  0 = 3x  0 = x  0


 x+3 = x+3
Với x  0 = 
= ( x + 3) + ( x + 1) = 3x
x
+
1
=
x
+
1


Bài 10: Tìm x, biết x + 1 + x + 3 + ... + x + 2019 = 2020x .
Bài 11: Tìm x biết: x +

11
2
4
+ x+
+ x+
= 4x
17
17
17

HD :

11

2
4
 0, x +
 0, x +
 0 = VT  0 = 4 x  0 = x  0
17
17
17
2 
4
 11  
Khi đó :  x +  +  x +  +  x +  = 4 x
 17   17   17 
Bài 12 : Tìm x biết :
a, x + 0,8 + x + 5, 2 + x + 9,7 = 4 x
HD:
a, Vì x + 0,8  0, x + 5, 2  0, x + 9,7  0 = 4 x  0 = x  0
Vì x +

Khi đó: ( x + 0,8) + ( x + 5, 2) + ( x + 9,7 ) = 4 x
Bài 13: Tìm x biết :
a, x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9
b, x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4
Bài 14: Tìm x biết:
a, x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x
b, x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x − 1
Bài 15: Tìm x biết:
3
1
a, x + 2 + x + + x + = 4 x

b, x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5x
5
2
Bài 16: Tìm x biết:
1
2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
a, x +
101
101
101
101
1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
Bài 17: Tìm x biết: x +
1.2
2.3
3.4
99.100

17
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 18: Tìm x biết:
a, x − 2 + x − 5 = 3
Bài 19: Tìm x biết:
a, x + 5 + 3 − x = 8

b, 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4
b, x − 2 + x − 5 = 3

Bài 20: Tìm x biết:
a, 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11
Bài 21: Tìm x biết:
a, x − 4 + x − 6 = 2
Bài 22: Tìm x biết:
a, 5x + 1 + 3 − 2x = 4 + 3x
Bài 23: Tìm x, y thoả mãn :

c, 3x − 5 + 3x + 1 = 6

b, x + 1 + 2x − 3 = 3x − 2

c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2

b, x + 1 + x + 5 = 4

c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13

b, x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3

c, x − 2 + x − 7 = 4

a) (x − 1) + ( y + 3) = 0
Bài 24: Tìm x, y thoả mãn:
2

a)

2

x − 2007 + y − 2008  0

Bài 25: Tìm x thoả mãn:
a) x + 5 + 3 − x = 8

1
1
1
+ x+
+ ... + x +
= 50 x
1.3
3.5
97.99
1
1
1
+ x+

+ ... + x +
= 101x
Bài 27: Tìm x biết: x +
1.5
5.9
397.401
Bài 28: Tìm x biết: x + 5 + x + 3 + x − 2 = 8 ( x − 3)
Bài 26: Tìm x biết: x +

Bài 29: Tìm x biết c, 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8
Bài 30: Tìm x nguyên biết:
a, x − 1 + 4 − x = 3
Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=4 và x + 2 + y = 6
Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y =3 và x + y = 3
Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x+y=5 và x + 1 + y − 2 = 4
Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết:
a, x-y=2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4

b, x + 2 + x − 3 = 5

c, x + 1 + x − 6 = 7

b, x+y=4 và 2 x + 1 + y − x = 5
b, x-2y=5 và x + 2 y − 1 = 6
b, x-y=3 và x − 6 + y − 1 = 4
b, 2x+y=3 và 2 x + 3 + y + 2 = 8

Bài 35: Tìm x biết : x − 2014 + x − 2015 + x − 2016 = 2

18
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : A + B = m
Phương pháp :

A = 0
+ Nếu m = 0 = 
B = 0
+ Nếu m  0........Do A  0 = 0  B  m = Tìm B rồi suy ra tìm A
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, x − 2007 + x − 2008 = 0
b, x − y − 2 + y + 3 = 0
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
4
5
a, x − 3 y + y + 4 = 0
b, x − y − 5 + ( y − 3) = 0
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, x + 4 + y − 1 = 3
b, 2 x + 1 + y − 1 = 4
HD :
a, Do x + 4  0 = 0  y − 2  3 = y − 2 0;1;2;3
Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a, 5x + 2 y + 3 = 7
b, 3 x − 5 + y + 4 = 5
Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :

a, 2 3x + y + 3 = 10
b, 3 4 x + y + 3 = 21
Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, y 2 = 3 − 2 x − 3
b, 2 y 2 = 3 − x + 4
Bài 7: Tìm x, y biết :
a, 3x − 4 + 5 y + 5 = 0
b, 3x − 4 + 3 y + 5 = 0
HD:

3x − 4 = 0
 3x − 4  0
= 3x − 4 + 5 y + 5 = 0 = 
a, Vì 
5 y + 5 = 0

 5y + 5  0

c, ( x + 2 ) + 2 y − 1 = 0
2

c, x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0
c, 3x + y + 5 = 5

c, x + 6 + 4 2 y − 1 = 12
c, y 2 = 5 − x − 1
c, 3 y 2 = 12 − x − 2


 x − 1,5 = 0

 x − 1,5  0
= 3x − 4 + 3 y + 5  0 = 
b, Vì 
3 y + 5 = 0

 3y + 5  0
Bài 8: Tìm x, y biết :
2012
a, x −1006 y + x − 2012  0 b, x + 5 + ( 3 y − 4 )
=0
HD :
 x − 1006 y = 0
a, x − 1006 y + x − 2012  0 = 
 x − 2012 = 0
 x + 5  0
x + 5 = 0
2012
= x + 5 + ( 3 y − 4 ) = 0 = 
b, Vì 
2012
3 y − 4 = 0
( 3 y − 4 )  0
Bài 9: Tìm x nguyên biết:
2
2012
a, ( 2 x − 1) + 2 y − x − 8 = 12 − 5.22
b, x − 2011y + ( y − 1) = 0
HD:
2 x + 1 = 0
2

a, ( 2 x − 1) + 2 y − x = 0 = 
2 y − x = 0
b, x − 2011y + ( y − 1)

2012

 x = 2011y
= 0 = 
 y −1 = 0

19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


Bài 10: Tìm x, y biết:
b, x − y + y +

a, 3x − 4 + 3 y + 5 = 0

9
=0
25

c, 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0

Bài 11: Tìm x,y biết:
2 1 3
3
2
11 23

y = 0 c, x − 2007 + y − 2008 = 0
a, 5 − x + y − 3 = 0
b, − + x + 1,5 − +
3 2 4
4
7
17 13
Bài 12: Tìm x,y biết:
a, 5x + 1 + 6 y − 8  0 b, x + 2 y + 4 y − 3  0
c, x − y + 2 + 2 y + 1  0
Bài 13: Tìm x,y biết:
a, 12x + 8 + 11y − 5  0
b, 3x + 2 y + 4 y − 1  0
c, x + y − 7 + xy − 10  0
Bài 14: Tìm x,y biết:
2007
2008
a, x − y − 2 + y + 3 = 0
b, x − 3 y
+ y+4
=0
Bài 15: Tìm x,y biết:
a, (x + y )2006 + 2007 y − 1 = 0
b, x − y − 5 + 2007( y − 3)2008 = 0
Bài 16: Tìm x,y biết:
2
2
a, (x − 1) + ( y + 3) = 0

b, 2(x − 5) + 5 2 y − 7 = 0

5

4

Bài 17: Tìm x,y biết:
a, 3(x − 2 y )2004 + 4 y +

1
=0
2

1
b, x + 3 y − 1 +  2 y − 


2000

2

=0

Bài 18: Tìm x,y biết:
a, x − 2007 + y − 2008  0

7

b, 3 x − y 5 + 10 y + 2  0
3

Bài 19: Tìm x,y biết:

1 3
1
a,  x − 
24
2

2006

+

2007 4
6
y+
0
2008 5
25

b, 2007 2 x − y

2008

+ 2008 y − 4

2007

0

20
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

DẠNG 9: A + B  m, ( m  0)
A + B 0

Phương pháp : Vì  A  0
= A + B  0 = 0  A + B  m , Đưa về dạng 4

B 0

Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn :
a, x + y  3
b, x + 5 + y − 2  4
HD :
x + y 3

a, Vì  x  0
= x + y = 0 = 0  x + y  3

 y 0
 x  0
TH1 : x + y = 0
TH2 : x + y = 1 = 
0  y  1
Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 3x + y + 5  4
b, 5 x + 1 + y − 2  7
Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho :
a, 3 x + 5 + 2 y − 1  3
b, 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1  7

c, 2 x + 1 + y − 4  3

TH3 : x + y = 2
c, 4 2 x + 5 + y + 3  5

21
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 10: A ( x ) .B ( x ) = C ( y )
Phương pháp :
Vì A ( y )  0 = A ( x ) .B ( x )  0 = n  x  m = Tìm được x
Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :
a, ( 2 − x )( x + 1) = y + 1
b, ( x + 3)(1 − x ) = y
HD :
a, y + 1  0 = ( 2 − x )( x + 1)  0 = −1  x  2 = y = ...
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, ( x + 1)( 3 − x ) = 2 y + 1
b, ( x − 2 )(5 − x ) − y + 1 = 1
Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a, (x + 2)(x − 3)  0
b, (2 x − 1)(2 x − 5)  0
Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a) (2 − x)(x + 1) = y + 1
b, (x + 3)(1 − x) = y
Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a) (x + 1)(3 − x ) = 2 y + 1
b, (x − 2)(5 − x) − y + 1 = 1
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:

a, (3x + 1)(5 − 2 x )  0

c, ( x − 2)(5 − x ) = 2 y + 1 + 2

c, ( x − 3)( x − 5) + y − 2 = 0
c, (3 − 2 x )( x + 2)  0
c, (x − 2)(5 − x ) = 2 y + 1 + 2
c, (x − 3)(x − 5) + y − 2 = 0

22
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 11: Sử dụng phương pháp đối lập 2 vế của đẳng thức:
A  m
A = m
= A = B = 
A = B , trong đó: 
B  m
B = m
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a, x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2 )

2

b, x − 5 + 1 − x =

12
y +1 + 3

c, y + 3 + 5 =

10

( 2 x − 6)

2

+2

HD:
a, Vì x + 2 + 1 − x  x + 2 + 1 − x = 3

 x + 2 + x − 1 = 3
 −2  x  1
2
2
=
Mặt khác: 3 − ( y + 2 )  3 , Để x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2 ) = 

2
 y = −2
3 − ( y + 2 ) = 3
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
8
6
a, x − 1 + 3 − x =
b, 2 x + 3 + 2 x − 1 =
2
y+3 +3

2 ( y − 5) + 2
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
12
16
a, 3x + 1 + 3x − 5 =
b, x + 3 + x − 1 =
2
y−2 + y+2
( y + 3) + 2
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x − 2 y − 1 + 5 =

10
y−4 +2

23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A = 2 3x −1 − 4
b, B = 1,5 − 2 − x
HD :
a,
Ta có: 3x −1  0 = 2 3x −1 − 4  −4 = A  −4

c, C = x − 3

Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi 3x − 1 = 0 = x =
b,

c,

1
3

Ta có: 2 − x  0 = − 2 − x  0 = B = 1,5 − 2 − x  1,5
Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi x = 2
Ta có: C = x − 3  0 khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3

Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A = 0,5 − x − 3,5
b, E = − 1,4 − x − 2
HD :
a,
Ta có: A = 0,5 − x − 3,5  0,5 = MaxA = 0,5 khi x=3,5
b,

B = − 1, 4 − x − 2  −2 = MaxB = −2 khi x=1,4

c,

F = 5,5 − 2 x −1,5  5,5 = MaxF = 5,5 khi x =

c, F = 5,5 − 2 x −1,5

1,5 3
=
2 4

Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, G = − 10,2 − 3x −14
b, A = − 2,5 − x − 5,8
c, K = 10 − 4 x − 2
HD :
a,
Ta có: G = − 10, 2 − 3x −14  −14 = MaxG = −14 khi 10, 2 − 3x = 0
b,

A = − 2,5 − x − 5,8  −5,8 = MaxA = −5,8 , khi 2,5 − x = 0

c,

K = 10 − 4 x − 2  10 = MaxK = 10 khi x − 2 = 0

Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, H = 4 − 5x − 2 − 3 y + 12
b, M = 5 − 2 x − 1
HD:

c, A = 1,7 + 3,4 − x

5 x − 2 = 0
3 y + 12 = 0

a,

H = 4 − ( 5 x − 2 + 3 y + 12 )  4 = MaxH = 4 khi 

b,

M = 5 − 2 x −1  5 = MaxM = 5 khi 2x −1 = 0

c,

A = 1,7 + 3, 4 − x  1,7 = MinA = 1,7 khi 3, 4 − x = 0

Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A= x + 2,8 − 3,5
b, A = 3,7 + 4,3 − x
HD:
a,
A = x + 2,8 − 3,5  −3,5 = MinA = −3,5 khi x + 2,8 = 0
b,

A = 3,7 + 4,3 − x  3,7 = MinA = 3,7 khi 4,3 − x = 0

c,

N = 2,5 − x + 5,8  5,8 = MinN = 5,8 khi 2,5 − x = 0

Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, B = 4x − 3 + 5 y + 7,5 + 12,5
b, A = 4,9 + x − 2,8
HD:

c, N = 2,5 − x + 5,8

c, A = −4 + 2 3x −1

4 x − 3 = 0

5 y + 7,5 = 0

a,

B = 4x − 3 + 5 y + 7,5 + 12,5  12,5 = MinB = 12,5 khi 

b,

A = 4,9 + x − 2,8  −2,8 = MinA = −2,8 khi 4,9 + x = 0

c,

A = −4 + 2 3x −1  −4 = MinA = −4 khi 3x −1 = 0

24
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
a, A= 2 3x − 2 + 1
b, A = 2 x + 4,5 + x − 2,7
HD:
a,
A = 2 3x − 2 + 1  1 = MinA = 1 khi 3x − 2 = 0
b,

c, B = − 2 x − 3 − 4 y − 5 − 17

2 x + 4,5 = 0
 x − 2, 7 = 0

A = 2x + 4,5 + x − 2,7  0 Dấu = xảy ra khi 

=> Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng
Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
2

b, B = 3x − 5

a, A = x + 1
2

4

1

c, C =  x +  − 7
2


HD:
a,
b,
c,

A = x 2 + 1  1 = MinA = 1 khi x=0
B = 3x 4 − 5  −5 = MinB = −5 khi x=0
2
−1
1


C =  x +  − 7  −7 = MinC = −7 khi x =
2
2


Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
2
a, A= x + 5 − 12
b, B= x + 2 + x + y + 5 − 17
c, C = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30
HD:
a,
A = x + 5 −12  −12 = MinA = −12 khi x + 5 = 0

x + 2 = 0
x + y + 5 = 0

b,

B = x + 2 + x + y + 5 −17  −17 = MinB = −17 dấu bằng khi: 

c,

C = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30  30 = MinC = 30
2

x +1 = 0
Dấu bằng khi 
2 x − 3 − y = 0

Bài 10: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
4
2
a, A = 100 − x
b, B =
c, A = x2 + 3 y − 2 −1
x+4 +2
HD:
A = 100 − x 2  100 = MaxA = 100 , Dấu bằng khi x = 0
a,
4
4
b,
Ta có: x + 4 + 2  2 =
 = 2 = B  2 = MaxB = 2
x+4 +2 2
Dấu bằng khi: x + 4 = 0
x = 0
c,
A = x2 + 3 y − 2 −1  −1 = MinA = −1 , Dấu bằng khi 
y − 2 = 0
Bài 11: Tìm GTNN hoặc GTLN của :
2
a, B = x + x
b, C = x − x
c, D = −10 − ( x − 3) − y − 5
HD:
a,
Xét: x  0 = B = x + x + 2x  0
với x  0 = B = x − x = 0 = B  0 = MinB = 0 , dấu bằng khi x  0

b,
Xét x  0 = C = x − ( − x ) = 2x  0
Xét x  0 = C = x − x = 0 = C  0 = MaxC = 0 dấu bằng khi x  0
x − 3 = 0
2
c,
D = −10 − ( x − 3) − y − 5  −10 = MaxD = −10 , Dấu bằng khi 
y −5 = 0

25
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức