Chuyên đề tỉ lệ thức bồi dưỡng toán 7

CHUN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC
DẠNG 1: TÌM X
Bài 1: Tìm x biết:
x −3 5
7
x +1
=
=
a,
b,
x −1
x+5 7
9
HD:
a, = 7 ( x − 3) = 5 ( x + 5) = 2 x = 46 = x = 23

c,

44 − x x − 12
=
3
5

c,

x −1 x − 2
=
x+2 x+3

b, = ( x − 1)( x + 1) = 7.9 = (8 − 1)(8 + 1) = x = 8
c, = 5 ( 44 − x ) = 3 ( x − 12) = 8x = 256 = x = 32

Bài 2: Tìm x biết:
x+4
5
x
x− y 3
=
a,
b,
= ( tìm )
20
x+4
y
x + 2y 4
HD:
2
a, = ( x + 4 ) = 100 = 102 = x + 4 = 10

x
= 10
y
x −1− x − 2 x − 2 − x − 3
−3
−5
 x −1   x − 2 
c, = 
− 1 = 
− 1 =
=
=
=

x+2
x+3
x+2 x+3
 x+2   x+3 
−1
= 3 ( x + 3) = 5 ( x + 2 ) = 2 x = −1 = x =
2
Bài 3: Tìm x, y, z biết:
15
40
20
20
40
28
a,
và x.y=1200
b,
và x.y.z = 22400
=
=
=
=
x − 30 y − 15 z − 21
x − 9 y − 12 z − 24
HD:
x − 9 y − 12 z − 24 x 3 y 3 z 3
=
=
= − =
− =

−
a, Từ gt =
15
20
40
15 5 20 5 40 5
 x = 15k
x
y
z
=
=
=
= k = 
, Mà x. y = 1200 = k = 2
15 20 40
 y = 20k
b, = 4 x − 4 y = 3x + 6 y = x = 10 y =

 x = 40k
x − 30 y − 15 z − 21
x
y
z

=
=
=
=
=

= k =  y = 20k
b, Từ gt =
40
20
28
40 20 28
 z = 28k

 x = 40

Mà: x. y.z = 22400 =  y = 20
 z = 28

Bài 4: Tìm x, y, z biết:
x −1 y − 2 z − 3
x −1 y − 2 z − 3
=
=
=
=
a,
và 2 x + 3 y − z = 50
b,
và x - 2y +3z =14
2
3
4
2
3
4

HD :
x − 1 y − 2 z − 3 2 ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) − ( z − 3) ( 2 x + 3 y − z ) − 5
a, =
=
=
=
=
=5
2
3
4
4+9−4
9
x − 1 y − 2 z − 3 ( x − 1) − 2 ( y − 2 ) + 3 ( z − 3) ( x − 2 y + 3z ) − 6
b,
=
=
=
=
=1
2
3
4
2 − 6 + 12
8

1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

Bài 5: Tìm x, y, z biết:
x −1 y + 3 z − 5
4
3
2
=
=
a,
và 5 z − 3x − 4 y = 50
b,
và x + y − z = −10
=
=
2
4
6
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
HD :
x − 1 y + 3 z − 5 5 ( z − 5) − 3 ( x − 1) − 4 ( y + 3) ( 5z − 3x − 4 y ) − 34
=
=
a, Từ :
=
=
2
4
6
30 − 6 − 16
8
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z

4
3
2
=
=
b, Từ :
=>
=
=
4
3
2
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z

=

4 ( 3x − 2 y )

=

3( 2z − 4x )

=

2 ( 4 y − 3z )

=

(12 x − 8 y ) + ( 6 z − 12 x ) + (8 y − 6 z )

16
9
2
3x = 2 y
x y z x+ y−z

= 2 z = 4 x = = = =
= −10
2 3 4 2+3−4
4 y = 3 z


27

=0

7
3
5
và x + y + z = 17
=
=
2x + 2 2y − 4 z + 4
Bài 7: Tìm các số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 3x + 2 y + z = 169 và
3x + 25 2 y − 169 z + 144
=
=
144
25
169

HD :
3x + 25 2 y − 169 z + 144 ( 3x + 2 y + z ) + ( 25 − 169 + 144 ) 169 1
Từ :
=
=
=
=
=
144
25
169
338
338 2
144
47
= 3x + 25 =
= 72 = x =
, Tương tự cho y và z
2
3
Bài 8: Tìm x, y, z biết:
x y z
a, = = và x2 + y2 − z 2 = 585
b, x:y:z=3:4:5 và 2x2 + 2 y2 − 3z 2 = −100
5 7 3
HD:
x2 y 2 z 2 x2 + y 2 − z 2
a, =
=
=

=
=9
25 49 9
25 + 49 − 9
x y z
x2 y 2 z 2 2 x 2 + 2 y 2 − 3z 2 −100
b, = = =
=
=
=
=
=4
3 4 5
9 16 25
18 + 32 − 75
−25
Bài 9: Tìm x, y, z biết:
a b c
a, = = và a 2 − b2 + 2c 2 = 108
b, x : y : z = 3: 4 : 5 và 5z 2 − 3x2 − 2 y2 = 594
2 3 4
HD:
a b c
a 2 b2 c 2 a 2 − b2 + 2c 2 108
a, = = =
=
=
=
=
=4

2 3 4
4
9 16
4 − 9 + 32
27
x y z
x2 y 2 z 2 5z 2 − 3x 2 − 2 y 2 594
b, = = =
=
=
=
=
=9
3 4 5
9 16 25
125 − 27 − 32
66
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết:
x3 y 3 z 3
x3 y 3
z3
a,
và x2 + y2 + z 2 = 14
b,
và x2 + 2 y2 − 3z 2 = −650
=
=
=
=
8 64 216

8 27 64
HD :
3
3
3
x y z
x2 y 2 z 2
x 2 + y 2 + z 2 14 1
 x  y  z
a, Từ GT ta có :   =   =   = = = =
=
=
=
=
=
2 4 6
4 16 36
4 + 16 + 36 56 4
 2  4 6
Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết :

2
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


x y z
x2 y 2 z 2 x2 + 2 y 2 − 3z 2 −650
b, = = = =
=
=

=
=
= 25
2 3 4
4
9 16
−26
−26
x3 + y 3 x3 − 2 y 3
Bài 11: Tìm x, y biết:
và x6. y6 = 64
=
6
4
HD :
( x3 + y 3 ) − ( x3 − 2 y 3 ) = 2 ( x3 + y 3 ) + ( x3 − 2 y 3 ) = 3 y 3 = 3x3
Ta có : GT =
6−4
12 + 4
2
16
6
3
6

x
x
 x = 64k
= y3 =
=

= y 6 =  6
= k = 1
8
64

y = k
Bài 12: Tìm x, y, z biết:

3x 3 y 3z
=
=
và 2x2 + 2 y2 − z 2 = 1
8 64 216

HD :

x y
z
x2
y2
z2
2x2 + 2 y 2 − z 2
1
Từ GT ta có : =
( Vô lý)
=
=
=
=
=

=
8 64 216
64 4096 46656 8320 − 46656 −38336
Vậy không tồn tại x, y, z thỏa mãn :
Bài 13: Tìm x, y, z biết:
2x 3y 4z
6
9
18
x = y = z và − x + y + z = −120
=
=
a,
và x+y+z=49
b,
11
3
2
4
5
5
HD:
x
y
z
x
y
z x+ y+z
=
=

=
=
=
=
=1
a, =
3.6 4.4 5.3
18 16 15
49
x
y
z
x
y z − x + y + z −120
=
= =
= = =
=
=5
b, =
11.3 2.2 5
33 4 5
−24
−24
Bài 14: Tìm x, y, z biết:
6
9
18
x = y = z và − x + z = −196
a, 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95

b,
11
2
5
HD :
 x + y − z = 95
a, Từ : x + y − z = 95 = 
 x + y − z = −95
x
y z
x+ y−z
95
= =
=
Nên 2 x = 3 y = 5 z = =
15 10 6 15 + 10 − 6 19
6
9
18
x y z − x + z −196
x = y = z => = = =
=
b, Từ :
11
2
5
33 4 5 −33 + 5 −28
x
y
z

Bài 15: Tìm x,y,z biết:
=
=
= x+ y+ z
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
HD :
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
x
y
z
Từ :
=
=
=
=
=
x
y
z
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
( y + z + 1) + ( x + z + 2 ) + ( x + y − 3) 2 ( x + y + z )
=
=
=2= x+ y+ z
x+ y+z
x+ y+z
= y + z + 1 = 2 x = x + y + z = 3x − 1 = 2 = x = 1
4
=> x + z + 2 = 2 y = x + y + z = 3 y − 2 = 2 = y =
3

−1
=> x + y − 3 = 2 z = x + y + z = 3z + 3 = 2 = z =
3

3
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 16: Tìm x, y, z biết :

y + x +1 x + z + 2 z + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z

HD :
Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta được : GT =

2( x + y + z)

=2=

1
1
= x + y + z =

x+ y+z
2

x+ y+z
1
5
Khi đó : x + z + 2 = 2 y = x + y + z = 3 y − 2 = = y =
2
6
5
−13
= x = …
Và z + y − 3 = 2 z = z = y − 3 = − 3 =
6
6
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
Bài 17: Tìm x, y, z biết:
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
HD :
2x + 2 y + 2z
1
1
Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT =

=2=
= x + y + z =
x+ y+z
x+ y+z
2
1
3
1
Khi đó : y + z + 1 = 2 x = x + y + z = 3x − 1 = = 3x = = x =
2
2
2
Tượng tự để tìm ra y, z
y + z + 2 x + z +3 x + y −5
1
Bài 18: Tìm x, y, z biết:
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
HD :
2( x + y + z)
1
1
=2=
= x + y + z =
Từ GT=> Tử + Tử + Tử => GT =

x+ y+z
x+ y+z
2
1
5
Khi đó : y + z + 2 = 2 x = x + y + z = 3x − 2 = = x = . Làm tương tự cho y và z
2
6
x
y
z
Bài 19: Tìm x, y, z biết:
=
=
= x+ y+z
y + z +1 z + x +1 x + y − 2
HD :
x+ y+z
1
= = x+ y+z
Ta có : GT =
2( x + y + z) 2
1
1
Khi đó : 2 x = y + z + 1 = x + y + z = 3x − 1 = = x = . Tương tự cho y và z
2
2
2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y −1
=
=

Bài 20: Tìm x, y biết:
5
7
6x
HD :
( 2 x + 1) + ( 3 y − 2) 2 x + 3 y − 1
5 3y − 2
= y = 3
Từ GT =
=
= x = 2 = =
5
7
12
6x
2x +1 4 y − 5 2x + 4 y − 4
=
=
Bài 21: Tìm x, y biết:
5
9
7x
HD :
( 2 x + 1) + ( 4 y − 5) 2 x + 4 y − 4
Từ GT =
=
= x = 2 , Thay vào tìm được y
5+9
7x
1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y

=
=
Bài 22: Tìm x, biết:
18
24
6x
HD :
2 (1 + 2 y ) − 1(1 + 4 y ) (1 + 2 y ) + (1 + 4 y ) − (1 + 6 y )
1
1
=
=
= x = 5 ,
Ta có : GT =
=
12 42 − 6 x
36 − 24
18 + 24 − 6 x
Thay vào tìm được y
4
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 23: Tìm x biết
HD:

5x −1 7 y − 6 5x − 7 y − 7
=
=
3

5
4x

5x − 1 7 y − 6 5x − 7 y − 7 5x − 7 y − 7
=
=
=
=>
3
5
8
4x

1
6
Nếu 5x-7y-7 # 0 thì x = 2 , Thay vào ta được y=3. Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x = ; y =
5
7
1+ 3y 1+ 5y 1+ 7 y
=
=
Bài 24: Tìm x, y biết:
12
5x
4x
HD :
(1 + 3 y ) − (1 + 5 y ) (1 + 5 y ) − (1 + 7 y )
Ta có : GT =
=
12 − 5x

5x − 4 x
−2 y
−2 y
=
=
= 12 − 5 x = x = 6 x = 12 = x = 2 . Thay vào tìm được y
12 − 5 x
x
7x − 3y + 12
y + 2z
x
Bài 25: Tìm x,y,z biết :
=
=
2y
z − 3y + 2 − y
Bài 26: Tìm x, y, z biết :
Bài 27: Cho

3x + y x + y −2 − xz 2 − yz 2
=
=
=
( x  0)
47
−17 x 2
z2 + 1

a b c
= = và a + b + c  0, a = 2012 . Tính b, c

b c a

HD :

a b c a+b+c
= = =
= 1 = a = b = c = 2012
b c a b+c+a
a b c
Bài 28: Cho = = và a + b + c  0, a = 2017 . Tính b, c
b c a
HD:
a b c a+b+c
= 1 = a = b = c = 2017
Ta có: = = =
b c a a+b+c
a b 10
= , a + b  −10
Bài 29: Tìm a, b biết: =
b 10 a
HD:
a b 10 a + b + 10
=
=
= 1 = a = b = 10
Ta có: =
b 10 a a + b + 10
x y z
Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác 0 biết : = = và x 2018 − y2019 = 0
y z x

a
b
c
;
;
Bài 31: Cho 3 số hữu tỉ bằng nhau:
và a + b + c  0 , Tính giá trị của mỗi tỉ số đó
b+c c+a a+b
HD :
a
b
c
a +b+c
1
=
=
=
=
b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2
Từ :

Bài 32: Tìm x biết : x =

a
b
c
=
=
, và các tỉ số đều có nghĩa
b+c c+a a +b

HD :

a
b
c
=
=
= −1
−a −b −a
a
b
c
a +b+c
1
=
=
=
=
Nếu a+b+c  0 thì x =
b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2
Nếu a+b+c=0 thì b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c khi đó x =

5
GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


Bài 33: Tìm x, biết:

x

x
= 2 , = 16
2
y
y

HD :

x
x 1
1
= 2 = . = 2 = 16. = 2 = y = 8 = x = 16.8
2
y y
y
y
 x + y + z = 94
Bài 34: Tìm x, y, z biết: 
3 x = 4 y = 5 z
 a + b + c = 260
Bài 35: Tìm a, b, c biết: 
a = 3b = 0,3(b + c)
HD:
a b
a
b + c a + b + c 260
60
Từ a = 3b = = , và
=
=

=
= 200 = a = 60, b =
= 20 = c
3 1
0,3
1
1,3
1,3
3
Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( 8 – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4
HD :
a + b 8 − c b + c 10 + c
=
=
=
=t
Từ GT =
2
5
3
4
a + b = 2t
= b = 8, a = −4
mà 4 (8 − c ) = 5 (10 + c ) = c = −2 = t = 2 = 
b + c = 3t
a b c b c a
+ + = + + = a+b+c = 3
Bài 37: Tìm các số a, b, c  Z biết :
b c a a b c
HD :

a b c b c a
a c  b a  c b
Ta có : GT =  + +  +  + +  = 6 =  +  +  +  +  +  = 6
b c a a b c
b b c c a a
1 1 1
 a+b+c a +b+c a +b+c
= 
+
+
 = 9 , Vì a + b + c = 3 = a + b + c = 3
a
b
c

 
 

1
1
1
1 1 1
Do a,b,c nguyên nên  1.  1.  1 = + +  3 = a = b = c = 1
a
b
c
a b c
x− y x+ y
xy
=

=
Bài 38: Tìm x, y biết:
3
13
200
HD:
x − y x + y ( x − y) + ( x + y) x
x
xy
GT =
=
=
= = =
3
13
16
8
8 200
x = 0
=> 8 xy − 200 x = 0 = x (8 y − 200 ) = 0 = 
 y = 25
TH1: x = 0 = y = 0
TH2: y = 25 = x = 40
3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c
=
=
Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết:
và a+b+c=-50
5
3

2
HD :
5 ( 3a − 2b ) 3 ( 2c − 5a ) 6c −10b −5b + 3c 5b − 3c
Ta có : GT =
=
=
=
=
=0
25
9
34
17
2
3a = 2b
a b c a +b+c

=> 2c = 5a = = = =
= −5
2 3 5
10
5b = 3c

Ta có :

6
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 40: Tìm x,y,z biết :

HD:

4 z − 10 y 10 x − 3z 3 y − 4 x
=
=
và 2x+3y-z=40
3
4
10

4 z − 10 y 10 x − 3z 3 ( 4 z − 10 y ) 4 (10 x − 3z )
=
=
=
3
4
9
16
4 z = 10 y
40 x − 30 y 30 y − 40 x

=
=
= 0 = 10 x = 3z
13
100
3 y = 4 x


Ta có: GT =

x y z 2 x + 3 y − z 40
= = =
=
=5
3 4 10 6 + 12 − 10
8
12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z
=
=
Bài 41: Tìm x, y, z biết:
và x+ y+ z=48
7
9
11
HD:
(12 x − 15 y ) + ( 20 z − 12 x ) + (15 y − 20 z )
Ta có: GT =
=0
7 + 9 + 11
x
y
x y
=
= =
=> 12 x − 15 y = 0 = 12 x = 15 y =
15 12
5 4
x z
x y z x + y + z 48

=
làm tương tự ta được: = = = = =
5 3
5 4 3 5 + 4 + 3 12
5z − 6 y 6 x − 4 z 4 y − 5x
Bài 42: Tìm x, y, z biết:
và 3x − 2 y + 5z = 96
=
=
4
5
6
x + 3y 3y + 9z 5z + 15x
Bài 43: Tìm x, y,z biết:
và x+y+2z= -31
=
=
19
114
115
3b
1 − 125a − 3b
=
= 1 − 125a
Bài 44: Tìm các cặp số a, b thỏa mãn: 2
6a + 13
a −4
HD:
−13
ĐKXĐ: a  2, a 

6
3b
1 − 125a − 3b 1 − 125a
1 − 125a
=
=
= 2
2
6a + 13
1
a −4
a + 6a + 9

1 
Suy ra: a2 + 6a + 8 = 0,  a 
125 

a = −2(l), a = −4 , Với a = −4 = b = 2004
Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy = z ; yz = 9 x ; xz = 16 y
HD:
x 16
z 16
x z
Ta có: GT = = và = = = = z 2 = 9.16 = 144 = z = 2
y z
9 z
y 9
 x = 4k
x 12 4
= 4k.3k = 12 = k =  1

TH1: z = 12 = = = = 
y 9 3
 y = 3k
TH2: z = −12 làm tương tự
a − 100
a − 1 a2 − 2
=
= .. = 100
Bài 46: Tìm các số: a1; a2 ;...a100 , biết: 1
và a1 + a2 + a3 + ... + a100 = 10100
100
99
1
HD:
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
( a1 + a2 + ... + a100 ) − (1 + 2 + ... + 100) = ( a1 + a2 + ... + a100 ) −1 = 10100 −1 = 1
100 + 99 + ... + 1
100 + 99 + ... + 1
5050
=>

7
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 47: Tìm a1, a2 , a3,...., a9 , biết rằng :

a1 − 1 a2 − 2 a3 − 3
a −9
=

=
= ... = 9
, và
9
8
7
1

a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 90
Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c + d = e + f biết: a, b,
a 14 c 11 e 13
c, d, e, f thuộc N * và = ; = ; =
b 22 d 13 f 17
HD:
a b a+b M
a 7 c 11 e 13
=
Từ gt=> = ; = ; = => = =
7 11 7 + 11 18
b 11 d 13 f 17
e
c d c+d M
f
e+ f
M
=
= =
=
=
=

Tương tự ta có:
và
khi đó M  BC (18; 24;30) , và M
13 17 13 + 17 30
11 13
24
24
là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên M=1080
x+4 4
Bài 49: Tìm x,y biết:
= và x+y=22
7+ y 7
HD :
x y x+ y
=2
Ta có : GT = 7 x + 28 = 28 + 4 y = = =
4 7
11
3
2
Bài 50: Tìm x, y biết: x = y và x2 − y2 = 38
5
3
HD:
x y
x2 y 2 x2 − y 2
=
=
= 72
Ta có: Gt = = =

5 3
25 9
19
3 2
9
4
36
2
Khi đó: x = 200 = x =  200 và y2 = 162 = y =  162
Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b và a-b=3(a+b)
HD:
a
Ta có: a − b = 3 ( a + b ) = 2a = −4b = a = −2b = = −2
b
a
Mà = a − b = a − b = −2 = a = b − 2 thay vào
b
a − b = 3( a + b ) = −2 = 3 ( 2b − 2) = 6b − 6 = b =..
Bài 52: Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó là ba số
nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12
HD:
Gọi số cần tìm là: ab ( a  0, a, b 0;1;2;...;9) , Giả sử : a>b

( a + b ) 6 = a − b = a.b
a + b a − b ab
=
=
=
35
210 12

35.6
6.35 12
= 6a + 6b = a − b = 5a = −7b , Vơ lý vì a, b cùng dấu.
Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần tổng của a và b,
HD:
a
a
Theo bài ra ta có: a − b = = 2 ( a + b ) = a − b = 2 ( a + b ) = = −3
b
b
−9

a=
a − b = −3



4
= 
−3 = 
a + b = 2
b = −3

4
Theo bài ra ta có :

8
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

Bài 54: Tìm x,y,z biết:

2x − y 3y − 2z
=
, x + z = 2y
5
15

HD :
Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z
2x − y 3y − 2z
1
=
Mà
nên 2x-y=3y-2z=0. Từ 2x-y=0=> x = y
5
2
15
1
3
2
Từ 3y-2z=0 và x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay y + y − z = 0 hay y − z = 0 hay y = z
2
2
3
1
1
2



=> x = z . Vậy các giá trị x,y,z cần tìm là  x = z, y = z, z  R 
3
3
3


1
Bài 55: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu số tương
70
ứng của chúng tỉ lệ với 5:1:2
HD :
a b c
a b c
1 a b c
x y z
Gọi 3 phân số cần tìm là ; ; thì ta có: + + = 1 , = = và = =
5 1 2
x y z
x y z
70 3 4 5
a b c a+b+c
1
1
a x b y c z
1
y
x y z
= : = : = : = x = = z =
= 70 =
3

4
5
3
4
5
71
3 5 4 1 5 2
7
+ +
5 1 2 5 1 2
10
a 3 b 4 c 5
=> = ; = ; =
đó là ba phân số cần tìm
x 35 y 7 z 14
2 1
Bài 56: Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số đó
3 4
bằng 4660
HD :
1 5 9 6 20 27
2 5
1 9
= 6 : 20 : 27
Ta có : 0,5 : 1 = : 2 = nên ta có : : : = : :
2 3 4 12 12 12
3 3
4 4
Giả sử M được chia thành 3 số là x ;y ;z.
Theo bài ra ta có :

x y
z
x2
y2
z2
x2 + y 2 + z2
4660
=
=
= 2 = 2 = 2 = 2
=
= 4 = 22
2
2
6 20 27
6
20 27 6 + 20 + 27 1165
2
2
=> x = 12 = x = 12, y2 = 402 = y = 40, z2 = 542 = z = 54
Vậy M=12+40+54=106 hoặc M=-106

9
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=

=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính giá trị biểu thức: M =
c+d d +a a+b b+c
HD:
Từ GT trừ đi 1 vào mỗi vế của tỉ số ta có:
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
=
=
=
a
b
c
d
TH1: Nếu a + b + c + d  0 = a = b = c = d = M = 4
TH2: Nếu a + b + c + d = 0 = a + b = − ( c + d ) = M = −4
Bài 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn:

 x   y  z 
y+z−x z+x− y x+ y−z

.Tính B = 1 + 1 + 1 + 
=
=
x
y
z
 y   z  x 

HD:
Từ GT cộng thêm 2 vào mỗi vế của của tỉ số ta được:
  x+ y−z
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
 y+z−x
  z+x− y

+ 2 = 
+ 2 = 
+ 2  =
=
=

x
y
z
x
y
z

 




TH1: x + y + z  0 = x = y = z = B = 8
TH2: x + y + z = 0 = x + y = − z, y + z = − x.x + z = − y = B = −1
a+b+c−d b+c+d −a c+d +a−b d +a+b−c
=
=
=
Bài 2: Cho
, (a + b + c + d )  0
d
a
b
c
 b + c  c + d  d + a  a + b 
1+
1+
1+
Tính giá trị của biểu thức: P = 1 +
a 
b 
c 
d 




2 b + c − a 2c − b + a 2 a + b − c
=
=

.
a
b
c
(3a − 2b)(3b − 2c)(3c − 2a)

Bài 3: Cho a, b, c  0 và dãy tỉ số:
Tính: P =

(3a − c)(3b − a)(3c − b)

2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính giá trị biểu thức: M =
c+d d +a a+b b+c
HD:
Trừ 2011 vào mỗi vế của tỉ số trong tỉ lệ thức ta được:
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
=
=

=
a
b
c
d
TH1: a + b + c + d  0 = a = b = c = d = M = 8
Th2: a + b + c + d = 0 = a + b = − ( c + d ) = M = −4
Bài 4: Cho dãy tỉ số :

a +b−c b+c −a c + a −b
=
=
c
a
b
b
c
a


Tính giá trị của biểu thức: A = 1 + 
1 + 1 + 
c
 a  b 
HD :
Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn:

Từ GT ta cộng thêm 2 vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau có:
TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = A = 8
TH2 : a + b + c = 0 = a + b = −c, b + c = −a, a + c = −b = A = −1

a+b+c a+b+c a+b+c
=
=
c
a
b

10
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


a
b
c
d
=
=
=
b+c+d a +c +d a +b+d a +b+c
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính giá trị biểu thức: A =
c+d a+d a+b b+c
HD :
b+c+d a +c +d a +b+d a +b+c
=
=

=
Từ GT nghịch đảo ta có =>
a
b
c
d
Cộng 1 vào các tỉ số ta được :
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
=
=
=
vì a + b + c + d  0
a
b
c
d
nên a = b = c = d = A = 4
1
a + 4b − c b + 4c − a c + 4 a − b
=
=
=
Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn :
,
a+b+c
c
a
b

a 

b 
c
Tính P =  2 +  3 +  4 + 
b 
c 
a

a + 2b − c b + 2c − a c + 2a − b
a
b 
c
=
=
Bài 8: Cho a, b, c  0 và a + b + c =
, Tính P =  2 + 
2 +  2 + 

c
a
b
b 
c 
a

HD:
( a + 2b − c ) + (b + 2c − a ) + ( c + 2a − b ) = 2 ( a + b + c )
Từ GT ta có : GT =
a +b+c
a +b +c
a

+
2
b
−
c
=
0
a
+
2
b
=
c




TH1 : a + b + c = 0 = b + 2c − a = 0 = b + 2c = a = P = 1
c + 2a − b = 0
c + 2a = b


Bài 6: Cho a +b +c +d  0, và

a + 2b − c = 2c
a + 2b = 3c


TH2 : a + b + c  0 = GT = 2 = b + 2c − a = 2a = b + 2c = 3a => P=27
c + 2a − b = 2b

c + 2a = 3b



a+b b+c c+a
b 
c
 a 
=
=
.Tính P = 1 +  a +  1 + 
c
a
b
c  a 
 b 
a
b
c
=
=
Bài 10: Cho a, b, c khác nhau và khác 0, t/m:
. Tính giá trị của biểu thức:
b+c a+c a+b
b+c a+c a +b
A=
+
+
a
b

c
HD:
b+c a +c a +b
=
=
Từ GT ta nghịch đảo =>
a
b
c
a+b+c a+b+c a+b+c
=
=
Cộng 1 vào các tỉ số ta được :
a
b
c
TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = A = 6
TH2 : a + b + c = 0 = b + c = −a, a + c = −b, a + b = −c = A = −3
y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt
Bài 11: Cho 3 số x,y,z,t thỏa mãn:
=
=
=
x
y
z
t
Và x+ y+ z+ t = 2012. Tính giá trị P= x+2y – 3z +t
HD:
Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x+ y + z +t x+ y + z +t x + y + z +t x + y + z +t
=
=
=
=
x
y
z
t
Bài 9: Cho a,b,c dôi 1 khác nhau và

11
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


2012 2012 2012 2012
2012
=
=
=
= x = y = z = t =
= 503
x
y
z
t
4
Thay vào ta tính được P = x + 2x − 3x + x = x = 503
 z  x  y 
Bài 12: Cho x, y, z  0 & x − y − z = 0 , Tính giá trị của biểu thức: B = 1 −  1 −  1 + 

 x  y  z 
HD :
 x − z   y − x   y + z  y.(− z).x
= −1
Ta có : B = 


=
x. y.z
 x  y  z 
a
b
c
d
=
=
= ( a, b, c, d  0 )
Bài 13: Cho
2b 2c 2d 2a
2011a − 2010b 2011b − 2010c 2011c − 2010d 2011d − 2010a
+
+
+
Tính A =
c+d
a+d
a+b
b+c
HD :
a

b
c
d
a+b+c+d
1
=
=
=
=
= => a = b = c = d
Từ GT ta có :
2b 2c 2d 2a 2a + 2b + 2c + 2d 2
Thay vào A ta được A = 2
a + b − c a − b + c −a + b + c
=
=
Bài 14: Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0, sao cho:
c
b
a
( a + b )(b + c )( c + a )
Tính M =
abc
HD :
a+b+c a+b+c a+b+c
=
=
Cộng thêm 2 vào GT ta được :
a
b

c
TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = M = 8
TH2 : a + b + c = 0 = a + b = −c, b + c = −a, c + a = −b = M = −1
x + y y + z z +t t + x
x
y
z
t
Bài 15: Cho
,Tính M =
+
+
+
=
=
=
z +t t + x x+ y y + z
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z
HD :
Từ GT nghịch đảo ta được :
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z
=
=
=
x
y
z
t
y + z +t
z +t + x

t +x+ y
x+ y+z
Cộng thêm 1 vào các tỉ số ta được :
+1 =
+1 =
+1 =
+1
x
y
z
t
x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t
=
=
=
=
x
y
z
t
x
+
y
+
z
+
t

0
=

x
=
y
=
z
=
t
=
M
=
8
TH1 :
=

x + y = − ( z + t )

 y + z = − (t + x )
TH2 : x + y + z + t = 0 = 
= M = −4
z + t = − ( x + y )
t + x = − y + z
(
)

a
c
b
=
=
Bài 16: Tính A biết A=

b+c a+b c+a
HD:
a
c
b
a +b+c
1
1
Ta có : A =
=
=
=
= = A =
b + c a + b c + a 2(a + b + c) 2
2

12
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 17: Cho

a b c d
2a − b 2b − c 2c − d 2d − a
= = = và a + b + c + d  0 .Tính: A =
+
+
+
b c d a
c+d

d +a
a+b
b+c

HD:
Từ GT ta lấy Tử + Tử + Tử + Tử ta được :
a b c d a +b+c+d
= = = =
= 1 = a = b = c = d
b c d a a +b+c+d
1 1 1 1
Thay vào A ta được : A = + + + = 2
2 2 2 2
ab
bc
ca
ab2 + bc2 + ca 2
=
=
Bài 18: Cho a,b,c khác 0, thỏa mãn :
, Tính P =
a+b b+c c+a
a3 + b3 + c3
HD:
Với a, b, c khác 0 , nghịch đảo giả thiết ta được :
a+b b+c c+a 1 1 1 1 1 1
1 1 1
=
=
= + = + = + = = = = a = b = c

ab
bc
ca
a b b c c a
a b c
3
3
3
a +a +a
khi đó : P =
=1
3a3
y
x+ y x
x
Bài 19: Cho x,y,z là 3 số dương phân biết, Tìm tỉ số , biết:
=
=
x−z
z
y
y
HD:
y
x+ y x y+x+ y+x
x
Từ GT ta có :
=
= =
= 2 = = 2

x−z
z
y x−z+z+ y
y
a+b+c a+b−7 b+c+3 a+c+4
Bài 20: Cho
, Tính A = 20a + 11b + 2018c
=
=
=
2
4c
4a
4b
a 5
3a − 2b
Bài 21: Cho = , Tính giá trị của biểu thức: A =
2a − 3b
b 6
HD :
Từ GT ta có :
2 ( 3a − 2b ) 6a − 4b 5b − 4b
2
b
−1
6a = 5b = A =
=
=
=
=

3
3 ( 2a − 3b ) 6a − 9b 5b − 9b −4b 4
Bài 22: Cho a-b=13, Tính giá trị của biểu thức: B =
HD :

3a − b 3b − a
−
2a + 13 2b − 13

Từ GT ta có : a = b + 13 thay vào B ta được :
( 3b + 39 ) − b − 3b − b − 13 = 2b + 39 − 2b − 13 = 0
B=
( 2b + 26 ) + 13 2b − 13 2b + 39 2b −13

Bài 23: Cho 3 số a,b,c có tổng khác 0 và thỏa mãn:

3
2
1
=
=
,
a+b b+c c+a

a + b + 3c
( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a + b − 2c
x + 2 y − 3z
Bài 24: Cho x: y: z = 5: 4: 3, Tính P =
x − 2 y + 3z

HD :
Từ GT ta có :
x y z x + 2 y − 3 z ( x + 2 y − 3 z ) x − 2 y + 3z ( x − 2 y + 3 z )
= = =
=
=
=
5 4 3
5+8−9
4
5 −8 + 9
6
x + 2 y − 3z 4 2
Khi đó :
= = =P
x − 2 y + 3z 6 3

Tính giá trị của biểu thức: A =

13
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 25: Cho

x y y z
2x + 3 y + 4z
= & = , Tính M =
3 4 5 6
3x + 4 y + 5 z

HD :

x
y
z
=
=
(1)
15 20 24
3x 4 y 5 z 3x + 4 y + 5 z
2x 3y 4z 2x + 3y + 4z
=
=
=
=
=
=
(1)=>
Và ( 1)=>
45 80 120 45 + 80 + 120
30 60 96 30 + 60 + 96
2 x + 3 y + 4 z 3x + 4 y + 5 z 2 x 3x
2x + 3 y + 4z
245
186
:
=
: =1=>
Nên

.
= 1 = M =
30 + 60 + 96 45 + 80 + 120 30 45
186
3x + 4 y + 5 z
245
x + 2 y − 3z
Bài 26: Cho P =
, Tính P biết x,y,z tỉ lệ với 5 :4 :3
x − 2 y + 3z
HD:
4
3
x + 2. x − 3. x
x y z
4
3
5
5 =2
Từ GT : = = = y = x, z = x thay vào ta được : P =
4
3
5 4 3
5
5
x − 2. x + 3. x 3
5
5
x z a
x − 3 y + 2a

Bài 27: Cho = = Hãy tính: A =
y t b
y − 3t + 2b
HD:
x − 3z + 2a
x − 3z + 2a x z a
Từ GT ta có : GT =
= A =
= = =
y − 3t + 2b
y − 3t + 2b y t b
a b c
a − 3b + 2c
= = = 4 , Tính A =
Bài 28: Cho
a' b' c'
a '− 3b '+ 2c '
HD :
a b c
a − 3b + 2c
= = =
= 4 = A = 4
Từ GT ta có :
a ' b ' c ' a '− 3b'+ 2c'
x y y z
2x + 3 y + 4z
Bài 29: Cho = & = Tính A =
3 4 5 6
3x + 4 y + 2 z
HD :

x
y
z 2 x + 3 y + 4 z 3x + 4 y + 2 z
2 x + 3 y + 4 z 186
=
=
=
Từ GT ta có : = =
=> A =
=
15 20 24 30 + 60 + 96 45 + 80 + 48
3x + 4 y + 2 z 173
2 x + 3 y − 5z
Bài 30: Cho x:y:z=5:4:3 và 2x-3y+5z khác ) Tính giá trị A =
2 x − 3 y + 5z
HD :
x y z 2 x + 3 y − 5z 2 x − 3 y + 5z
2 x + 3 y − 5z 7
Từ GT ta có : = = =
=
= A =
=
5 4 3 10 + 12 −15 10 −12 + 15
2 x − 3 y + 5 z 13
a 3
2a − 5b 4a + b
−
Bài 31: Tính giá trị của các biểu thức sau: A =
biết: =
a − 3b 8a − 2b

b 4
HD :
2 ( 2a − 5b )
1
4a + b
−
Từ GT = 4a = 3b = A =
2
4 ( a − 3b ) 2 (8a − 2b )
1
4a − 10b 4a + b
3b − 10b 3b + b
−7b 4b 5
= A =
−
=
−
=
−
=
2
4a − 12b 16a − 4b 3b − 12b 12b − 4b −9b 8b 18
2
a 4 + 54
Bài 32: Cho 2a − b = ( a + b ) , Tính M = 4
3
b + 44
HD:
Từ GT =>

14
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


2
2
4a 5b
a 5
a 4 54
625
Từ 2a − b = a + b =
=
= = = 4 = 4 = M =
3
3
3
3
b 4
b
4
256
abc
Bài 33: Tính A =
, biết a,b, c có quan hệ: ( a + b) : (8 − c ) : ( b + c ) : (10 + c ) = 2 : 5: 3: 4
a+b+c
HD:
a + b = 2t
a = −4
8 − c = 5t
a + b 8 − c b + c 10 + c



=
=
=
= t = 
= t = 2 = b = 8
Từ GT ta có:
2
5
3
4
b + c = 3t

c = −2
10 + c = 4t
x
3x − y 3
Bài 34: Cho
= , Tính
y
x+ y 4
x+ y
x
Bài 35: Tính P =
biết: = a( x, y  0)
x− y
y
HD :
x

ay + y a + 1
Vì = a = x = ay = P =
=
y
ay − y a − 1
x + 16 y − 25 z + 9
=
=
Bài 36: Cho
và 2 x3 − 1 = 15 .Tính A= x+y+z
9
16
16
HD :
18 y − 25
= y = 57 = z = 23
Từ GT=> 2 x3 − 1 = 15 = 2 x3 = 16 = x = 2 = =
9
16
Thay vào A ta được : A = 2 + 57 + 23 = 82
b
a+b
c
Bài 37: Tính A =
biết: = 2, = 3
a
b+c
b
HD :
Từ GT => b = 2a, c = 3b Thay vào A ta được :

a + 2a 3a 3 a 3 1 3
A=
=
= . = . =
b + 3b 4b 4 b 4 2 8
1
1
1
+
+
Bài 38: Cho x = by +cz, y = ax +cz, z = ax +by và x +y +z  0. Tính giá trị : Q =
1+ a 1+ b 1+ c
HD :
Cộng theo vế của GT ta được : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) , Thay x, y , z trở lại ta có :
1
2z
=
c +1 x + y + z
1
2x
1
2y
Tương tự ta có :
, Khi đó ta có : Q = 2
=
,
=
a +1 x + y + z b +1 x + y + z
1
1

1
1
a
b
c
+
+
= , Tính Q =
+
+
Bài 39: Cho a+b+c=2015 và
a+b b+c c+a 5
b+c c+a a+b
HD :
a
  b
  c

Ta có : Q = 
+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 − 3
 b+c   c +a   a +b 
1
1 
1
 1
Q = (a + b + c) 
+
+

 − 3 = 2015. − 3
5
 b+c c+a a +b 
= x + y + z = 2 ( z + cz ) = 2 z (1 + c ) =

15
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


a
b
c
=
=
2009 2010 2011

Bài 40: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức: M = 4(a − b)(b − c) − (c − a)2
HD:
a − b = −k
a −b b−c c −a

Từ GT ta có: GT =
=
=
= k = b − c = −k =>
−1
−1
2

c − a = 2 k

= M = 4. ( −k ) . ( −k ) − ( 2k ) = 4k 2 − 4k 2 = 0
2

a
b
c
=
=
, Tính giá trị của biểu thức:
2014 2015 2016

Bài 41: Cho ba số a,b,c thỏa mãn:
M = 4 ( a − b )( b − c ) − ( c − a )

2

HD :

a − b = −k
a −b b−c c −a

Từ GT ta có: GT =
=
=
= k = b − c = −k
−1
−1
2

c − a = 2 k

= M = 4. ( −k ) . ( −k ) − ( 2k ) = 4k 2 − 4k 2 = 0
2

Bài 42: Tính giá trị của: B = ( x + y )( y + z )( z + x ) , biết: xyz = 2 & x + y + z = 0
HD :
x + y = −z

Từ GT ta có :  y + z = − x = B = − x. y.z = −2
z + x = − y


(1 + 2
Bài 43: Tính biểu thức: C =
3

3

+ 33 + ... + 103 ) . ( x 2 + y 2 )( x3 + y 3 )( x 4 + y 4 )
1 + 2 + 3 + ... + 10
2

2

2

2

Với x = −0, ( 3) ; y =

1
3

HD :

−1 3 1
,y =
= x3 + y 3 = 0 = C = 0
27
27
Bài 44: Cho a, b,c khác 0 và đôi 1 khác nhau thỏa mãn : a2 ( b + c ) = b2 ( a + c ) = 2013 ,
Từ GT ta có : x3 =

Tính A = c2 (a + b)

16
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


DẠNG 3: CHỨNG MINH RẰNG

a c
= . Chứng minh rằng:
b d
a+b c+d
a−c b−d
a −b c −d
=
=

=
a,
b,
c,
b
a
c
d
d
c
HD:
a c
a
 c 
a, = =  + a  =  + 1
b d
b
 d 
a c
a b
a −c b−d
a  b 
b, = = = =  − 1 =  − 1 =
=
b d
c d
c
d
c  d 
a c

b d
 b  d 
c, = = = = 1 −  = 1 − 
b d
a c
 a  c 
a c
Bài 2: Cho = . Chứng minh rằng:
b d
a+b c+d
a+b c+a
a a+c
=
=
a, =
b,
c, Với a2=b.c thì
a −b c −d
a −b c −a
b b+d
HD:
a c a+c
a, = =
b d b+d
a c
a b a +b a −b
a +b c +d
=
=
=

b, = = = =
b d
c d c+d c−d
a −b c −d
a c a +b a −b
a +b c+a
=
=
=
c, GT = = =
b a c+a c−a
a −b c −a
a c
Bài 3: Cho = . Chứng minh rằng:
b d
2
a 3a + 2c
7a + 3ab 7c2 + 3cd
a 2 + b2 a
2
b
=
ac
a,
b,
với
thì
c, =
=
=

2
2
2
2
2
2
b 3b + 2d
11a − 8b 11c − 8d
b +c
c
HD:
a c
a b
a 2 b2 a.b 7a 2 + 3ab 11a 2 − 8b2
a, = = = = 2 = 2 =
=
=
b d
c d
c
d
c.d 7c 2 + 3cd 11c 2 − 8d 2
a b
a 2 b2 a b a 2 + b2 a
b, = = 2 = 2 = . = 2 2 =
b c
b
c
b c b +c
c

a c 3a + 2c
a 3a + 2c
= =
c, GT = = =
b d 3b + 2d
b 3b + 2d
a c
Bài 4: Cho = , Chứng minh rằng:
b d
2018a − 2019b 2018c − 2019d
2a + 5b 2c + 5d
a
c
=
=
=
a,
b,
c,
2019c + 2020d 2019a + 2020b
3a − 4b 3c − 4d
a+b c+d
a c
a 2 + c 2 ac
Bài 5: Cho = . Chứng minh rằng: 2
=
b d
b + d 2 bd
HD:
a c

a 2 c2 a.c a 2 + c 2
Ta có: = = 2 = 2 =
=
b d
b
d
b.d b2 + d 2
a c
5a + 3b 5c + 3d
=
Bài 6: Cho = , Chứng minh rằng:
b d
5a − 3b 5c − 3d
HD:
a c
5a + 3b 5a − 3b
5a + 3b 5c + 3d
=
=
=
Ta có: = =
b d
5c + 3d 5c − 3d
5a − 3b 5c − 3d
Bài 1: Cho

17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

a c
a2 + c2 a
Bài 7: Cho = . Chứng minh rằng: 2 2 =
c b
b +c
b
HD:
a c
a2 c2 a c a2 + c2 a
Từ: = = 2 = 2 = . = 2
=
c b
c
b
c b c + b2 b
a 2 + b2 a
a b
=
Bài 8: Chứng minh rằng : nếu = Thì 2
b d
b + d2 d
HD :
a b
a 2 b2 a 2 + b2 a b a
= . =
Từ GT = = = 2 = 2 = 2
b d
b
d
b + d2 b d d

a c
xa + yb xc + yd
= , Các số x, y, z, t thỏa mãn : xa + yb  0, zc + td  0 . CMR :
=
Bài 9: Cho
b d
za + tb
zc + td
HD :
a b
ax by ax + by az tb az + tb
=
=
= = =
= ĐPCM
Từ GT = = =
c d
cx dy cx + dy cz td cz + td
2
2
a c
a.d a 2 − b2
 a+b  a +b
=
Bài 10: Cho tỉ lệ thức: = , Chứng minh rằng:
và
= 2


2

2
b d
c.d c − d 2
c+d  c +d
HD:
a c
a b
a.b a 2 b2 a 2 − b2
Từ = = = =
=
=
=
b d
c d
c.d c 2 d 2 c 2 − d 2
2
a b a +b
a 2 b2 ( a + b )
a 2 + b2
và = =
= 2 = 2 =
=
2
c d c+d
c
d
( c + d ) c2 + d 2
2

Bài 11: Cho a, b, c  R, và a, b, c  0, thỏa mãn: b2 = a.c . Chứng minh rằng:

a (a + 2012b)2
=
c (b + 2012c)2

HD:

a b a + 2012b
a b ( a + 2012b )
a
b = a.c = = =
= . =
=
2
b c b + 2012c
b c ( b + 2012c )
c
2

2

a b c
 a+b+c  a
Bài 12: Cho: = = , Chứng minh rằng: 
 =
b c d
b+c+d  d
HD:
3
a b c a +b+c  a +b+c  a b c a

=
Ta có: = = =
 = . . =
b c d b+c+d b+c+d  b c d d
3

Bài 13: Cho

a2 + ac b2 + bd
a c
=
= , CMR: 2
b d
c − ac d 2 − bd

Bài 14: Cho 4 số a1, a2 , a3 , a4 thỏa mãn: a22 = a1.a3 , a32 = a2.a4 , Chứng minh :

a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

HD:
Từ GT =>

a
a1 a2 a2 a3
a a
a3 a3 a3 a3 + a3 + a3 a a a
a
= , = = 1 = 2 = 3 = 13 = 23 = 33 = 13 23 33 = 1 . 2 . 3 = 1

a2 a3 a3 a4
a2 a3 a4
a2 a3 a4 a2 + a3 + a4 a2 a3 a4 a4

 a + a + ... + a2018 
a a
a
a
a
= 1 2
Bài 15: Cho 1 = 2 = 3 = .... = 2018 , CMR :

a2 a3 a4
a2019
a2019  a2 + a3 + ... + a2019 
HD :

2018

18
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


 a 
a a
a
Từ GT ta có : 1 . 2 ..... 2018 =  1 
a2 a3
a2019  a2018 

2018

 a + a + a + ... + a2018 
= 1 2 3

 a2 + a3 + a4 + ... + a2019 

2018

a
 a + 2014b 
Bài 16: Cho a,b,c  0, t/m b2 = a.c khi đó 
 = , Khi đó n = ?
c
 b + 2014c 
HD:
n

a b a + 2014b
a b a
=   =   =
Từ: b = ac = = =
b c b + 2014c
c
b c
n

n

2

2

a a b a
= . =   = n = 2
c b c b
a c b
a 3 + c 3 − b3 a
Bài 17: Cho = = , CMR: 3 3
=
c d d
c + b − d3 d
HD :
a c b
a 3 c 3 b3 a
Ta có : = = = 3 = 3 = 3 =
c b d
c
b
d
d
a3 c3 b3 a a3 + c3 − b3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 3 = 3 = 3 = = 3 3
c
b
d
d c + b − d3
1994
a c
a1994 + c1994 ( a + c )

Bài 18: Cho = , CMR : 1994
=
b d
b + d 1994 ( b + d )1994
Mà

HD :

a c
a1994 + c1994 ( k.b ) + ( k.d )
=
Đặt = = k = 1994
b d
b + d 1994
b1994 + d 1994
1994
1994
a + c)
kb + kd )
(
(
và
=
= k 1994
1994
1994
(b + d )
(b + d )
1994

Bài 19: Cho tỉ lệ thức:

1994

= k 1994

2a2 − 3ab + 5b2 2c2 − 3cd + 5d 2
a c
=
,Với điều kiện mẫu thức xác định
= ,CMR:
b d
2b2 + 3ab
2d 2 + 3cd

HD:
Đặt

 a = k.b
a c
, Thay vào biểu thức ta có:
= = k = 
b d
c = kd

2a2 − 3ab + 5b2 k 2 − 3k + 5
2c2 − 3cd + 5d 2 k 2 − 3k + 5
=
=
và

2 + 3k
2 + 3k
2d 2 + 3cd
2b2 + 3ab
bz − cy cx − az ay − bx
x y z
=
=
Bài 20: Cho các số a, b, c, x, y, z t/m = = , Chứng minh rằng:
a
b
c
a b c
HD:
 x = ak
x y z

Đặt: = = = k =  y = bk
a b c
 z = ck

bz − cy bck − bck
ay − bx
cx − az
=
=
= 0, và
= 0 => đpcm
= 0, và
a

a
c
b
a c
ac 2009a2 + 2010c2
Bài 21: Cho = , CMR :
=
b d
bd 2009b2 + 2010d 2
HD :
2
2
a c
a c a  c 
a.c a 2 c 2
a.c 2010c2 2009a 2
= = . =   =   =
= 2 = 2 =>
=
=
b d
b d b d 
b.d b
d
b.d 2010d 2 2009b2
19
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


4

4
a c
 a −b  a +b
=
Bài 22: CMR : nếu = thì 

4
4
b d
c−d  c +d
HD:
4

a c
a b a −b
a 4 b4  a − b  a 4 + b4
= 4 = 4 = 
Ta có: = = = =
 = 4
4
b d
c d c−d
c
d
c−d  c +d
4

a c
ab ( a + b )
Bài 23: Cho = ( b, c, d , c + d  0 ) , CMR :

=
b d
cd ( c + d )2
2

HD :

a b a+b
a b a + b a + b (a + b)
Ta có : = =
= . =
.
=
c d c+d
c d c + d c + d ( c + d )2
2

Bài 24: Cho b2 = a.c, c 2 = b.d , Chứng minh rằng:

a 3 + b3 − c 3  a + b − c 
a a 3 + 8b3 + 125c3
=
=
a, 3 3
b,


b + c − d3  b + c − d 
d b3 + 8c3 + 125d 3
HD:

a b c a+b−c
= ...
a, Từ GT ta có: = = =
b c d b+c−d
a c
Bài 25: Cho a,b,c,d là các số hữu tỉ dương và = , CMR : ( a + 2c )( b + d ) = ( a + c )(b + 2d )
b d
HD :
a c a+c
a 2c a + 2c
Từ GT = =
(2)
(1) và = =
b d b+d
b 2d b + 2d
a + c a + 2c
=
= Nhân chéo
Từ (1) và (2) =
b + d b + 2d
a c
b2 − a 2 b − a
Bài 26: Cho = , cmr: 2 2 =
c b
a +c
a
HD:
a 2 + c 2 a 2 + ab a ( a + b ) a
2
=

=
Từ gt=> c = a.b , Khi đó: 2 2 = 2
b +c
b + ab b ( a + b ) b
3

b2 + c 2 b
b2 + c 2
b
b2 + c 2 − a 2 − c 2 b − a
hay
=
=
−
1
=
−
1
=
a2 + c2 a
a2 + c2
a
a2 + c2
a
2
2
a c
a + ac b + bd
Bài 27: Cho = , CMR: 2
=

b d
c − ac d 2 − bd
HD:
a c a+c c−a
a+c a c−a c
=
=
. =
.
Từ gt=> = =
b d b+ d d −b
b + d b d −b d
a 2 + ac c2 − ac
a 2 + ac b2 + bd
=> 2
=
= 2
=
b + bd d 2 − ad
c − ac d 2 − ad
a x b y
a2 x
Bài 28: Cho = , = , CMR : 2 =
k a k b
b
y
HD :
a 2 kx x
Từ GT = a 2 = kx, b2 = ky = 2 =
=

b
ky y
=>

20
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 29: Cho

a c
= ( c  0 ) .CMR :
b d

3
3
ab
 a−b
 a +b a −b
=
=
a, 
b,



3
3
 c − d  cd
c+d  c −d

HD :
2
a c
a b a −b
ab  a − b 
=
=
a, Vì = = = =

b d
c d c−d
cd  c − d 

2

3

a b a+b
a 3 b3 a 3 − b3  a + b 
= 3 = 3 = 3
=
b, = =

c d c+d
c
d
c − d3  c + d 

3

a c
3a + 5b 3c + 5d
ab ( a − b )
=
Bài 30: Cho = , CMR :
và
=
b d
3a − 5b 3c − 5d
cd ( c − d )2
2

HD :

a c
a b 3a + 5b 3a − 5b
= = = =
=
b d
c d 3c + 5d 3c − 5d
a+b c+a
=
Bài 31: Cho
( a  b, c  a ) , Chứng minh rằng: a 2 = b.c
a −b c −a
HD:
a + b a − b 2a 2b
a b
=
=

=
= = = a 2 = bc
Ta có: GT =
c + d c − d 2c 2a
c a
a + 2009 b + 2010
a
b
=
=
Bài 32: CMR: Nếu
thì
a − 2009 b − 2010
2009 2010
HD :
a + 2009 a − 2009 2a 2.2009
a
b
a 2009
=
=
=
=
=
= =
Ta có :
b + 2010 b − 2010 2b 2.2010
2009 2010
b 2010
a+5 b+6

a 5
=
, CMR : =
Bài 33: Cho
a −5 b−6
b 6
HD :
a − 5 + 10 b − 6 + 12
10
12
=
=
=
= Nhân chéo=> ĐPCM
Từ GT =
a −5
b−6
a −5 b−6
2a + 13b 2c + 13d
a c
=
, CMR : =
Bài 34: Cho
3a − 7b
3c − 7d
b d
HD :
2a + 13b 3a − 7b 3 ( 2a + 13b ) − 2 ( 3a − 7b ) b a
a c
=

=
= = = =
GT=>
2c + 13d 3c − 7d 3 ( 2c + 13d ) − 2 ( 3c − 7d ) d c
b d
Từ GT =

a+b c+d
a c
=
, CMR : =
a−b c−d
b d
u+2 v+2
u v
=
Bài 36: CMR : Nếu
thì =
u−2 v−3
2 3
a c
bd
Bài 37: Cho a = b + c và c =
, CMR: =
b d
b−d
HD:
Bài 35: Cho

Từ GT => ( b − d ) c = b.d = bc − cd = bd = bc = bd + cd = d (b + c ) = ad =>

a c
=
b d

21
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


a c
a d
a 2 + b2 ab
Bài 38: Cho 2
= , Với a, b, c, d  0, Chứng minh rằng: = hoặc =
2
b d
b c
c +d
cd
HD:
2
2
a − b)
(
a 2 + b2 2ab ( a + b )
Ta có: 2
=
=
=
c + d 2 2cd ( c + d )2 ( c − d )2

a +b a −b
2a 2b
a b
a c
=
=
=
= = = =
c+d c−d
2c 2d
c d
b d
a + b b − a 2b 2a
a c
=
=
=
= =
TH2:
c + d c − d 2c 2d
b d
a + b a − 2b
a c
=
, b, d  0, CMR : =
Bài 39: Cho
c + d c − 2d
b d
HD:
Từ GT, Ta nhân chéo rồi rút gọn:

b a − 2b
a b
a+b
a c
c+d
= = = =
=
Hoặc : GT =
, Trừ 1 vào 2 vế ta được : =
d c − 2d
c d
a − 2b c − 2d
b d
ab
bc
a b
Bài 40: Cho c  0 và
, CMR: =
=
b c
a+b b+c
a +b+c a −b +c
=
, b  0 , Chứng minh rằng: c = 0
Bài 41: Cho tỉ lệ thức:
a +b−c a −b−c
HD:
( a + b + c ) − ( a − b + c ) = 2b = 1 = a + b + c = a + b − c = 2c = 0 = c = 0
Ta có: GT =
( a + b − c ) − ( a − b − c ) 2b

TH1:

Bài 42: Cho tỉ lệ thức :

a −b+c
a+b+c
=
( b  0 ) , CMR : a=0
−a − b + c −a + b + c

HD:

a −b+c
2a
a+b+c
a −b +c
2a
a +b+c
=
=
=
−1 =
− 1 =>
−a − b + c −a + b + c
−a − b + c −a + b + c
−a − b + c
−a + b + c
Nếu a  0 ta có −a − b + c = −a + b + c = −b = b = b = 0 vô lý=> a=0
a
b

c
d
=
=
=
Bài 43: Cho a, b, c, d t/m :
, và a+b+c+d  0, Chứng minh rằng: a= b= c= d
3b 3c 3d 3a
HD:
a
b
c
d
a +b+c+d
1
Từ GT ta có: GT =
= =
=
=
= => a = b = c = d
3b 3c 3d 3a 3 ( a + b + c + d ) 3
a
a
a
Bài 44: Cho 1 = 2 = .... = 9 , a1 + a2 + .... + a9  0, CMR : a1 = a2 = a3 = ... = a9
a2 a3
a1
HD :
Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu
a 2 + b2 a

ab b
Bài 45: Cho tỉ lệ thức:
= ( c  0 ) , CMR : 2 2 =
b +c
c
bc c
HD:
a.10 + b b 10a a
a b
a 2 b2 a.b a 2 + b2 a
GT =
= =
= = = = 2 = 2 =
=
=
b.10 + c c 10b b
b c
b
c
b.c b2 + c 2 c
a c
Bài 46: CMR: nếu a+c=2b và 2bd=c(b+d) thì = với b,d khác 0
b d
HD:
a c
Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> =
b d
Từ

22

GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức


Bài 47: Chứng minh rằng: 2 ( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) , Thì

x− y y−z
=
4
5

HD:

x+ y z+x x+ y−z−x
y + z z + x −y − z + z + x x − y
=
=
=
=
=
= y − z và
3
3
5
2
−3 + 5
3− 2
5
2 ( z + x)
z+x
y−z z+x

x− y z+ x
x− y z+x
= y − z =
=
(2)
và
=
= x − y =
=
=
(1) và
2
5
10
2
5
5
4
10
x− y y−z
=
Từ (1) và (2) ta có:
4
5
2
2
Bài 48: Cho a + d = b + c, và a + d = b2 + c2 ( b, d  0, ) CMR 4 số a, b, c, d có thể lập thành 1 tỉ lệ thức:
HD :
a c
2

2
Vì a + d = b + c = ( a + d ) = ( b + c ) = 2ad = 2bc = =
b d
a+b c+a
=
Bài 49: Cho
, Chứng minh rằng 3 số a,b,c  0, thì có thể lập thành 1 tỉ lệ thức
a−b c−a
HD :
a+b c+a
a +b a −b a b
=
=
=
= =
Vì :
a−b c−a
c+a c−a c a
Bài 50: Chứng minh rằng : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn :
ab ( ab − 2cd ) + c 2d 2  ab ( ab − 2 ) + 2 ( ab + 1) = 0 thì chúng lập thành 1 tỉ lệ thức :
Ta có:

HD :

Từ GT=> TH1: ab ( ab − 2cd ) + c2d 2 = 0 = ( ab − cd ) = 0 = ab = cd = đpcm
2

TH2 :  ab ( ab − 2 ) + 2 ( ab + 1)  = 0 = a2b 2 − 2ab + 2ab + 2 = 0 = a2b 2 = −2 ( Vô lý)
ax + by
= k ( c, d  0) , Chứng minh rằng, Giá trị của M không phụ thuộc vào x,y thì 4

Bài 51: Cho M =
cx + dy
số a,b,c,d lập thành 1 tỉ lệ thức :
HD :
ax + by
b
= k,
Đặt
Chọn x = 0, y = 1 = = k
d
cx + dy
a
a b
Chọn x = 1, y = 0 = = k = =
c
c d
a c
Bài 52: Chứng minh rằng : Nếu a + c = 2b và 2bd = c ( b + d ) thì =
b d
HD :
Từ GT = ( a + c ) d = c (b + d ) , Nhân vào=> ĐPCM
Bài 53: Cho x,y,z là các số khác 0 và x2 = yz; y2 = xz; z 2 = xy CMR : x=y=z
HD :
Từ gt=> 3 cặp phân số bằng nhau
Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g  Z , Biết rằng b,d,g>0 và a.d - b.c=2009 và c.g - d.e =2009
c a+e
a c e
a, So sánh & &
b, So sánh: &
d b+ g

b d g
HD :
a c
c e
a c e
a, Từ GT ta có : a.d  b.c =  và c.g  d .e =  =  
b d
d g
b d g
b, Từ GT ta có :
c a+e
a.d − b.c = c.g − d .e = a.d + de = cg + bc = d ( a + e ) = c (b + g ) = =
d b+ g
23
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 55: Chứng minh rằng : Nếu a 2 = bc thì

a+b c+a
=
, Đảo lại có đúng khơng ?
a−b c−a

HD :

a b a +b a −b
= =
=
c a a+c c−a

a + b a − b 2b b a
=
=
= = , vẫn đúng
Ngược lại :
c + a c − a 2a a c
x
y
z
=
=
Bài 56: Cho
,
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
a
b
c
Chứng minh rằng:
=
=
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
HD:
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
Từ GT=>
=
=
x
y
z
( a + 2b + c ) + 2 ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = a

=
x + 2y + z
x + 2y + z
2 ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c )
b
=
=
2x + y − z
2x + y − z
4 ( a + 2b + c ) − 4 ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c )
c
=
=
4x − 4 y + z
4x − 4 y + z
a
b
c
=>
(đpcm)
=
=
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
x
y
z
a
b
c
=

=
Bài 57: Cho
, Chứng minh :
=
=
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
HD:
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
Từ GT=>
=
=
x
y
z
( a + 2b + c ) + 2 ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = 9a
=
x + 2y + z
x + 2y + z
2 ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c )
9b
=
=
2x + y − z
2a + y − z
4 ( a + 2b + c ) − 4 ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c )
9c
=
=
4x − 4 y + z

4x − 4 y + z
2 y + 2z − x 2z + 2 x − y 2 x + 2 y − z
x
y
z
Bài 58: Cho
, CMR:
=
=
=
=
2b + 2c − a 2c + 2 a − b 2 a + 2b − c
a
b
c
x
y
z
a
b
c
=
=
Bài 59: Cho
, CMR:
=
=
a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c
x + 2 y + z z − y − 2x 4x − 4 y + z
HD:

a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c
Nghịch đảo GT ta được:
=
=
x
y
z
( a − 2b + c ) + 2 ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c ) = 9a
=
x + 2y + z
x + 2y + z
( 4a + 4b + c ) − ( 2a − b − c ) − 2 ( a − 2b + c ) = 9b
=
z − y − 2x
z − y − 2x
4 ( a − 2b + c ) − 4 ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c )
9c
=
=
4x − 4 y + z
4x − 4 y + z
Từ GT =

24
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức


Bài 60: Cho dãy tỉ số:

bz − cy cx − az ay − bx

x y z
=
=
, Chứng minh rằng: = =
a b c
a
b
c

HD:

bxz − cxy cxy − ayz ayz − bxz ( bxz − cxy ) + ( cxy − ayz ) + ( ayz − bxz )
=
=
=
=0
ax
by
cz
ax + by + cz
y z
bz = cy
 b = c
x y z

= = =
=> cx = az = 
a b c
ay = bx
x = z


 a c
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
x y z
=
=
Bài 61: Cho
, CMR: = =
4
3
2
2 3 4
HD:
3x − 2 y = 0
4 ( 3x − 2 y ) + 3 ( 2 z − 4 x ) + 2 ( 4 y − 3z )
x y z

GT =
= 0 = 2 z − 4 x = 0 => = =
2 3 4
16 + 9 + 4
4 y − 3z = 0

2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx
x y
z
Bài 62: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
, Chứng minh rằng: = =
=
=

a b 3c
a
2b
3c
HD :
Từ GT ta có :
2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx 2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx
=
=
=
=0
a2
4b2
9c 2
a 2 + 4b2 + 9c 2
x
z
x
z
y
y
z
=> 2bz − 3cy = 0 =
và 3cx − az = 0 = =
= =
=
=
a 3c
3c 2b
a 2b 3c

2
a
b
c
( a − c)
=
=
Bài 63: Cho dãy
, Chứng minh rằng:
= (a − b)(b − c)
2009 2011 2013
4
HD:
a
b
c
a −c a −b b −c
=
=
=
=
=
=k
Ta có:
2009 2011 2013
−4
−2
−2
Từ GT =>

a − c = −4k
2
2
a − c)
−4k )
(
(

= a − b = −2k =
=
= 4k 2 và ( a − b )( b − c ) = 4k 2 => VT= VP
4
4
b − c = −2k

Bài 64: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn:

x
y
z
3
2
=
=
, CMR : ( x − z ) = 8 ( x − y ) ( y − z )
1998 1999 2000

HD:

( x − z) = x − y 2 y − z

x−z x− y y−z
 x−z  x− y  y−z
=
=
= 
Từ gt=>
(
)(
)
 =
 .
 =>
−2
−1
−1
8
 −2   −1   −1 
Bài 65: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c là các số dương cho trước thì
1
1
1
khơng phụ thuộc vào a,b,c
+
+
x +1 y +1 z +1
HD:
Cộng theo vế các GT ta được: a + b + c = 2 ( ax + by + cz ) = 2 ( ax + a ) = 2a ( x + 1)
3

=

2

3

1
2a
=
x +1 a + b + c

Chứng minh tương tự ta có:

1
2b
1
2c
=
,
=
y +1 a + b + c z +1 a + b + c
25

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức