ĐỀ CƯƠNG Hàm Biến Phức

Một số định nghĩa cơ bản:
Định nghĩa đạo hàm (vi phân):
Cho hàm w = f(z) xác định trong một miền chứa điểm z = x + jy. Cho z một số gia . Gọi là số gia tương
ứng của hàm:
Nếu khi tỉ số dần tới một giới hạn xác định thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm w tại z và kí
hiệu là f’(z) hay w’(z) hay . Ta có:

f có đạo hàm tại z thì vi phân tại z. f có đạo hàm gọi là hàm sơ khả vi.
Định nghĩa hàm chỉnh hình:
Hàm f xác định trên , hàm f gọi là chỉnh hình tại nếu , f khả vi , f gọi là chỉnh hình trên nếu chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc .
Ánh xạ bảo giác:
Ánh xạ f xác định trên miền ⊂ C gọi là bảo giác tại nếu tại điểm đó ánh xạ f bảo giác và có hệ số co
giãn đều. Ánh xạ f được gọi là bảo giác trên miền ⊂ C nếu nó bảo giác tại mọi điểm thuộc D.
Ánh xạ phân tuyến tính và các tính chất:
TC1: Bằng cách đặt và , hàm phân tuyến tính (1) là song ánh giữa và .
TC2: Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong (tính bảo giác tại điểm được hiểu là sự bảo tồn góc)
TC3: Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
TC4: Hợp thành của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
TC5: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn đường trịn.
TC6: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn hình trịn.
TC7: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn.
TC8: Ánh xạ phân tuyến tính khơng phải là ánh xạ đồng nhất có nhiều nhất là hai điểm bất động.
TC9: Cho 2 bộ ba điểm phân biệt và . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ phân tuyến tính biến thành .
TC10: Hàm phân tuyến tính bảo tồn tỉ số kép: Cho 4 điểm phân biệt và
Định nghĩa thặng dư:
Giả sử f(z) chỉnh hình trên vành khăn . Xét tích phân:
Theo định lí Cauchy cho miền đa liên ta có:
Vì vậy:
Vì tích phân (1) chỉ phụ thuộc vào hàm f và điểm nên ta kí hiệu là và gọi là thặng dư của tại :
Nếu f(z) chỉnh hình trên vành khăn thì thặng dư của f tại là:

Định lí Cauchy suy ra nếu và f chỉnh hình tại . Theo định lí Laurent ta có:

Định lí Cauchy - Riemann:
Để hàm f C - khả vi tại z = x + iy điều kiện cần và đủ là hàm f R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy Riemann sau được thỏa mãn tại z:
Công thức tích phân Cauchy:
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D và . Khi đó với mọi chu tuyến sao cho ta có cơng thức tích
phân Cauchy:
Nếu viết thêm f liên tục trên và là một chu tuyến thì ta có
Định lí tích phân loại Cauchy:
Giả sử là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn từng khúc . Khi đó tích phân trên là một hàm chỉnh
hình trên C\. Trên C\ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, ta có cơng thức:

Cơng thức tiêu chuẩn Cauchy trong hệ tọa độ cực:

Giả sử tồn tại các hàm trong lân cận D.
Các hàm này thỏa mãn tại

Khi đó f’(z) tồn tại các đạo hàm tại