Toán rời rạc_Bài tập: Khái niệm cây và ứng dụng

Bài 9. Khái niệm cây và ứng dụng
Bài 1. Các đồ thị sau có là cây hay khơng?

Bài giải:
- Đồ thị G1 là cây, do thỏa mãn là một đồ thị vơ hướng liên thơng
-

khơng có chu trình.
Đồ thị G2 khơng là cây do A,D,C,B đã tạo một chu trình
Đồ thị G3 khơng là cây do nó khơng liên thơng
Đồ thị G4 khơng là cây do nó là đồ thị có hướng
Đồ thị G5 khơng là cây do E,B,A,D,E là một chu trình đơn

Bài 2. Cho cây T với gốc a. Tìm cha của c, con của g, anh em của h,
tất cả tổ tiên của e, tất cả con cháu của b, tất cả đỉnh trong và tất cả lá.
Tìm cây con có gốc tại g?
Bài giải:
-

Cha của c là b

-

Con của g là h, i, j

-

Anh em của h là i, j

- Tất cả tổ tiên của e là c, b,
a

- Tất cả con cháu của b là
c,d, e


- Tất cả đỉnh trong là b, c, g, h, j
- Tất cả lá là d, e, f, k, i, j, m
- Cây con có gốc tại g là

Bài 3. Các cây có gốc sau có là cây chia m đầy đủ không ? Với m là
số nguyên tố nào đó.
Bài giải:
T1 là cây nhị phân đầy đủ bởi mỗi
đỉnh trong của nó có 2 con
T2 là cây chia 3 đầy đủ bởi mỗi
đỉnh trong của nó có 3 con
T3 là cây chia 5 đầy đủ bởi mỗi
đỉnh trong của nó có 5 con
T4 khơng là cây chia m với bất kỳ giá trị m nào, bởi vì trong số các
đỉnh trong của nó, có đỉnh có 2 con, có đỉnh có 3 con.
Bài 4. Cho cây nhị phân T. Tìm con trái và phải của d. Tìm cây con
trái và phải của c?
Bài giải:
Con trái của d là f; con phải
của d là g
Cây con trái của c là H1
Cây con phải của c là H2

Bài 5. Tìm bậc của mỗi đỉnh trong các cây sau? Tìm độ cao của cây?

Bài giải:
Cây T1:

Cây T2:

Gốc a có bậc 0

Gốc a có bậc 0

Các đỉnh b, j, k có bậc 1

Các đỉnh b, c có bậc 1

Các đỉnh c, e, f, l có bậc 2

Các đỉnh d, e, f, g, h có bậc 2

Các đỉnh d, g, i, m, n có bậc 3

Các đỉnh I, k có bậc 3

Đỉnh h có bậc 4

Độ cao của cây là 3,

Độ cao của cây là 4,
đỉnh là 3

bởi bậc lớn nhất trong các

bởi bậc lớn nhất trong các đỉnh là 4
Bài 6.Cây nào dưới đây là cân bằng?

Bài giải:
T1 là cân bằng bởi mọi lá của nó có bậc 3 hoặc 4
T2 khơng cân bằng bởi các lá của nó có bậc 2, 3 hoặc 4
T3 là cân bằng bởi mọi lá của nó có bậc 3
Bài 7. Trò chơi gửi thư dây chuyền. Gỉa sử một người viết thư cho 4
người. Mỗi người nhận thư đều lặp lại tương tự. Hỏi có bao nhiêu
người nhận được thư ( giả sử mỗi người chỉ nhận được một bức thư


duy nhất) nếu trị chơi chấm dứt khi có đung 100 người nhận thư mà
chưa gửi cho ai?
Bài giải:
Dễ thấy có thể biểu diễn được trị chơi trên thành cây tứ phân đầy đủ
với 100 lá.
Cây m phân đầy đủ (m=4) ; Số đỉnh là n; Số đỉnh trong I; Số lá
L=100
Số đỉnh của cây là : n = (m.L -1) / (m-1) = (4.100 -1) / (4 -1) = 133
Số đỉnh trong của cây : I = n – L = 133 – 100 =33
Vậy số người nhận được thư là tất cả các đỉnh trong của cây (trừ gốc):
I – 1= 33-1 = 32 ( người )
Bài 8. Xây dựng cây tìm kiếm nhị phân cho các dẫy số sau:
a, Dãy số 1 đã sắp xếp: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14
b, Dãy số 2 : 32, 45, 20, 16, 11, 38, 18, 40, 52, 26
Bài giải:

Bài 9. Giả sử có 7 đồng xu, tất cả có trọng lượng như nhau, và một
đồng giả có trong lượng nhẹ hơn các đồng khác. Nếu dung 1 đĩa cân

có hai đĩa cân thì phải cân bao nhiêu lần cân để xác định đồng xu nào
trong số 8 đồng xu này là giả. Hãy đề xuất một thuật tốn tìm đồng xu
giả.


Bài giải:
- Gọi các đồng xu được đánh số từ 1 ->8
- Cho các đồng xu 1,2,3 và 4,5,6 lên hai bên đĩa cân của cân

Có 3 khả năng:
1. Cân bằng : đồng xu giả là 7 hoặc 8
2. Nhóm{1,2,3} nhẹ hơn nhóm{4,5,6}-> Đồng xu giả trong

nhóm{1,2,3}
3. Nhóm{1,2,3} nặng hơn nhóm{4,5,6}-> Đồng xu giả trong
nhóm{4,5,6}

Bài 10. Xác định xem cáí cho dưới đây là mã tiền tố, hãy vẽ cây nhị
phân ứng với mã tiền tố đó
a. a : 11, e : 00, t :10, s :01
b. a :0, e :1, t :01, s :001
c. a : 101, e :11, t :001, s : 011, n : 010
d. a : 010, e :11, t : 011, s : 1011, n : 1001, i : 10101
Bài giải:
a, a : 11, e : 00, t :10, s :01 Là mã tiền tố :
b, Không là mã tiền tố, do xâu nhị phân ứng với
một chữ xuất hiện như là một phần tử đầu của xâu
ứng với chữ khác
c, a : 101, e :11, t :001, s : 011, n : 010 Là mã
tiền tố

d, a : 010, e :11, t : 011, s : 1011, n : 1001, i : 10101 Là mã tiền tố

Bài 11. Dựng cây nhị phân với mã tiền tố biểu diễn lược đồ mã hóa
như sau :
a. a :1, e :01, t :001, s : 0001, n :00001
b. a : 1010, e :0, t :11, s : 1011, n : 1001, i : 100001
Bài giải:
a, a :1, e :01, t :001,
s : 0001, n :00001

b. a : 1010, e :0, t :11, s : 1011,
, n : 1001, i : 100001


Bài 12. Cho cây có gốc A được mơ tả như hình vẽ H1
a. Liệt kê các đỉnh con của
đỉnh có cha là C
b. Liệt kê các con của đỉnh E
c. Liệt kê 5 đỉnh trong của
H1
d. Liệt kê 2 đường đi có độ dài 3 từ gốc đến lá
e. Liệt kế tất cả các đỉnh lá của cây
f. Liệt kê các đỉnh anh em của đỉnh F
g. Cây H1 là cây nhị phân hay cây tam phân ? Tại sao ?
h. Liệt kế các đỉnh ở mức 2 của cây ?
i. Cây H1 có độ cao bao nhiêu ?
Bài giải:
Liệt kê các đỉnh con của đỉnh có cha là C : F, X, G

Liệt kê các con của đỉnh E : Y, I
Liệt kê 5 đỉnh trong của H1 : B, C, X, K, E
Liệt kê 2 đường đi có độ dài 3 từ gốc đến lá : A B D H và A C G
L
e. Liệt kế tất cả các đỉnh lá của cây : H, M, N, O, P, Q, I, J, F, L
a.
b.
c.
d.


f.
g.
h.
i.

Liệt kê các đỉnh anh em của đỉnh F : X, G
Cây H1 là cây tam phân. Vì mỗi đỉnh khơng có q 3 con
Liệt kế các đỉnh ở mức 2 của cây : D, E, F, X, G
Cây H1 có độ cao là : 4

Bài 13. Hãy xác định mã của các ký tự a, e, i, k, o, p nếu sơ đồ mã hóa
được biều diễn như sau :
Xâu chữ cái ‘ kapi’ được mã hóa thành xâu nhị phân như thế nào ?
Mã của các kí tự:
a: 000

i: 01

e: 001

o: 1101

k: 1100

p: 11110

kapi : 1100 000 11110 01
Bài 14. Hãy xây dựng cây
tìm kiếm nhị phân cho các
từ sau banana, peach, apple,
pear, coconut, mango, papaya theo thứ tự từ điển
Bài giải:

Bài 15. Xây dựng cây nhị phân để mã hóa 26 ký tự chữ cái Latin, từ
đó viết sơ đồ mã hóa. Áp dụng mã hóa một xâu ký tự bất kỳ
Bài giải:


a: 00000

n: 01101

b: 00001

o: 01110

c: 00010

p: 01111

d: 00011

q: 11111

e: 00100

r: 11110

f: 00101

s: 11101

g: 00110

t: 11100

h: 00111

x: 11011

i: 01000

y: 11010

j: 01001

z: 11001

k: 01010

w: 11000

l: 01011

v: 101

m: 01100

u: 100