TIET 10 NGUYEN VAN PHUC

GIÁO
DỤC

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

LỚP

12

GIẢI TÍCH
Chương 3: TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Tiết 10:

TÍCH
PHÂN
BÀI TẬP TÍCH

PHÂN

I

Tích phân từng phần hàm xác định, không tham số mức 2,3,4.

II

Từng phần kết hợp đổi biến mức độ 2,3,4.

III

Tích phân từng phần chứa tham số mức độ 2,3,4.

IV

Tích phân hàm ẩn, dựa vào đồ thị mức độ 2,3.


GIÁO
DỤC

I

TỐN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Tích phân từng phần hàm xác định, không tham số mức 2,3,4.
1. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lý: Nếu hai hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì
b
b
b

u
(

x
).
v
(
x
)

u
'(
x
).
v
(
x
)
dx
u
(
x
).
v
'(
x
)
dx

�
a �

* Phương

pháp

a

a

f
(
x
)
u  .........
�

f '( x)dx
� du  ..............

�
�
g
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

G

(
x
)
dv

........
�
v

......................
�
�
b

b

b

uv
udv

�
a
a

vdu
�
a

- Trên lấy đạo hàm, dưới

lấy nguyên hàm


GIÁO
DỤC

2.

TOÁN

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

THPT

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:


2

Tính tích phânI : �
( x  1) cos xdx
0

Bài giải
Đặt:

x


1
u

.........
�

dx
� du  ..............

�
�
sin x
xdx � v  ................
dv  cos
........
�

2
0


2

� I  ( x  1).s inx  �
sin xdx
0


�
�

 �  1�
0 
�2
�

�
�
�


2
0

cos x |


�
 �  1�
0�
cos  cos 0 �
�2
�
� 2
�


 2
2

GIÁO
DỤC

2.

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 2:

Cho trong đó a, b là các số nguyên dương. Tìm mệnh đề đúng?

Bài giải

Đặt: .

Suy ra , .


GIÁO
DỤC

2.

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 3:

Cho

Tìm a?

2

Bài giải

Đặt:

Theo giả thuyết ta có:

a

a

a

� ln x�
d
x
ln

a
1
ln
a
1
�
�
� I =�
+
=
=
+
1.
�
2
�
�
�
� x �
a
x
a
a
x
1
1
1


GIÁO

DỤC

II

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

Từng phần kết hợp đổi biến mức độ 2,3,4.
Ví dụ 1:

Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn:
Tính giá trị biểu thức:

Bài giải
Đặt
Đặt

2
t

2

Đổi cận:

� I = 2�
te dt
t

1

2

- 2�
e dt = 2te
t

� I = 2te

1

1

�
a
=
10
�
�
�
��
b = 0 ��
�T = 10
�
�
�
c= 0
�

2

t

2
t

2

- 2e
1

= 2e .
1


GIÁO
DỤC

II

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

Từng phần kết hợp đổi biến mức độ 2,3,4.
Ví dụ 2:

Tính tích phân :
Bài giải
Đặt
Và sau khi đổi cận ta được tích phân:

Đặt:


GIÁO
DỤC

II

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

Từng phần kết hợp đổi biến mức độ 2,3,4.
Ví dụ 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn:
Tính tích phân:

Bài giải

Tính

Đặt

Đặt

1
Khi đó: I = xf ( 2x)
2

1

1
- �f ( 2x) dx
20
0

1

1

Suy ra
1

1
1
1
= ff( 2) - � ( 2x) dx = 8- �f ( 2x) dx. Vậy
2
20
20

Đổi cận


GIÁO
DỤC

III

TỐN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Tích phân từng phần chứa tham số mức độ 2,3,4.
Ví dụ 1:

Cho , trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T=a+b+c là

Bài giải
Đặt
Suy ra

�
a
=
25
�
�
�

��
b = - 9 ��
�T = 8
�
�
�
c
=
8
�


GIÁO
DỤC

III

TỐN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Tích phân từng phần chứa tham số mức độ 2,3,4.
Ví dụ 2:

Bài giải
Đặt

Cho Tính tích phân

GIÁO
DỤC

III

TỐN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Tích phân từng phần chứa tham số mức độ 2,3,4.
Ví dụ 3:

Cho

, trong đó a, b, c, d là

các số nguyên dương và các phân số tối giản. Tính T=bc-ad.

Bài giải
12

�
e

Ta có

1
12

Tính

1
x
x

Đặt

12

1
x
x

� 1�
.dx  �
e
�x  �
x�
1 �

.dx

12

Từ giả thuyết suy ra:
,,,.

Vậy .


GIÁO
DỤC

IV

TỐN

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

THPT

Tích phân hàm ẩn, dựa vào đồ thị mức độ 2,3
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa

Bài giải
Đặt

3p
2

Đổi cận
=

�2 cost dt
-

Suy ra

3p
2

2I =

�
�
f
t
+
f
t
dt =
(
)
(
)
��
�
-

3p
2

3p
2

� 2+ 2cos2tdt.
-

3p
2

3p
2

CASIO

= 12 ��
�I = 6


GIÁO
DỤC

IV

TỐN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Tích phân hàm ẩn, dựa vào đồ thị mức độ 2,3
Ví dụ 2:

Bài giải

Lấy nguyên hàm hai vế

2
�
- x + 2x = ln m
2x- x2
�
f ( x) = m � e
= m� �
�
m> 0
�
2
�
- x + 2x - ln m= 0
�
��
.
�
m> 0
�

Suy ra

(do f ( x) > 0, " x ��) Phương trình

Theo giả thuyết :
2x- x2

� f ( x) = e

.

có hai nghiệm phân biệt:


GIÁO
DỤC

TOÁN

THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

DẶN DỊ
Nắm được các phương pháp tích phân
từng phần và đổi biến các dạng bài tập
trên
2 Hiểu và vận dụng giải được các bài toán ở
từng mức độ.

1