Bài 3 chương II hình học 10

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

LỚP

10
HÌNH HỌC 10
Chương 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1

2

3

4

ĐỊNH LÍ CƠSIN

ĐỊNH LÍ SIN

CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐO ĐẠC


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. vng
NhắcHĐ11111111111111111111111111
lại hệ thức lượng trong tam giác
 Cho tam giác

vng tại có đường cao và ,

Gọi ,

Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây đề đươc
các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

A
 

+

 

 c

 

b

c
h
 

 

 

c

 

c 

b'

c’
 
 

=

B

H

a

C

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

 
 

 

A

 

b

c
 

h

 

B
 

b'

c’

 

H

a

C


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin

a) Bài tốn
 Trong tam giác cho biết hai cạnh và góc , hãy tính cạnh (hình 2.12)

 Giải

Ta có: =.
 .

 Vậy ta có: = +

 nên: =


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin

b) Định lí cơsin
 Trong tam giác bất kì với

 

=
=
=

HĐ2: Hãy phát biểu định lí cơsin bằng lời.


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin

 Cho tam giác bất kì mà biết được độ dài ba cạnh thì ta có thể tính được ba góc của nó khơng?

 Lời giải: Theo định lí cosin ta có:
 

 


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin
Hệ quả
 

 
;

 

.

;

Ví dụ 1
 Cho tam giác có cạnh , và góc . Tính cạnh và các góc của tam giác đó.

 Giải: Đặt
 Theo định lí cơsin ta có:

 
 Vậy

110°


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin
Hệ quả
 

 

 
;

;
.

Ví dụ 1
 Cho tam giác có cạnh , và góc . Tính cạnh và các góc của tam giác đó.

 Giải: Đặt

Theo hệ quả định lí cơsin ta có:
 

Suy ra

 ;

 

110°


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin
cc) Áp dụng. Tính độ dài trung tuyến của tam giác)

 
.

 

 

ma


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin
cc) Áp dụng. Tính độ dài trung tuyến của tam giác)
cChứng minh)
 

.

ma


TỐN

1.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí cơsin
cc) Áp dụng. Tính độ dài trung tuyến của tam giác)
HĐ4

 

 Cho tam giác có , bvà . Hãy tính độ dài đường trung tuyến của

tam giác

ma

 

Lời giải
 

Áp dụng cơng thức tính độ dài trung tuyến ta có:
 

 

 

Vậy

 


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

 Ví dụ 2: Hai lực và cho trước cùng tác dụng lên 1 vât và tao thành góc nhọn . Hãy lập cơng thức tính cường độ

của hợp lực

Giải :

 
Đặt = , = và vẽ hình bình hành ABCD

Khi đó + = + = ; Vậy =
Theo định lí Cosin đối với tam giác AC ta có :

B

C

 

 

Hay +
Do đó

 

A

 

D


TỐN

2.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí sin

 Cho tam giác vng ở nội tiếp đường trịn bán kính có . Chứng

minh hệ thức:

Chứng minh
 
 Vì tam giác vng tạinên ta có:
 Vì tam giác vng tại ta có:


TỐN

2.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí sin

 Cho tam giác nội tiếp đường trịn bán kính có . Ta có hệ thức:

A

O

B

R
C

TỐN

2.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí sin

Định lí sin:
 

:  bán kính đường trịn ngoại tiếp

Chứng minh
 Vẽ đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác .
 Nếu góc nhọn, ta có vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung suy ra .

Nếu góc tù, ta có tứ giác nội tiếp đường trịn tâm nên , suy ra .

 
 Ta có tam giác vng tại nên hay

Các đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.


TỐN

2.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí sin
 

Định lí sin:

 : bán kính đường tròn ngoại tiếp

Nhận xét:

a

 

 

 

b

 

c

 

TỐN

2.

THPT

HÌNH HỌC 10

Định lí sin

Ví dụ 1
 Cho tam giác , có , và cạnh . Tính các cạnh cịn lại và bán kính của đường trịn ngoại tiếp

tam giác đó.

Lời giải
 Ta có .
 Áp dụng định lí sin ta có:

 

 


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

 Kí hiệu là các đường cao của tam giác lần lượt vẽ từ đỉnh và là diện tích tam

giác đó. Hãy viết cơng thức tính diện tích tam giác ABC theo một cạnh và
đường cao tương ứng.

 Ta có

 Hãy tính theo góc và cạnh của tam giác . Từ đó suy ra cách tính diện tích của một tam giác dựa vào hai cạnh và góc

xen giữa hai cạnh đó.
 Ta có

= 

 
hay


TỐN

3.

THPT

HÌNH HỌC 10

Cơng thức tính diện tích tam giác

 Cho tam giác có các cạnh . Gọi lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác và là nửa chu vi của tam

giác.
Diện tích của tam giác được tính theo cơng thức.

 

 

 
 

(Cơng thức Hê-rơng


TỐN

3.

THPT

HÌNH HỌC 10

Cơng thức tính diện tích tam giác

Ví dụ 2
 Cho tam giác , có các cạnh .

a) Tính diện tích tam giác
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác
Lời giải

 

a) Ta có

Theo cơng thức Hê-rơng ta có:

 
 

 b) Áp dụng cơng thức
 


TỐN

3.

THPT

HÌNH HỌC 10

Cơng thức tính diện tích tam giác

Ví dụ 3
 Cho tam giác , có các cạnh .

Tính cạnh góc và diện tích của tam giác đó.

Lời giải
 

Theo định lí cơsin ta có

 Vậy và tam giác có . Ta suy ra .
 Do đó
Áp dụng cơng thức

 


TỐN

4.

THPT

HÌNH HỌC 10

Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

a) Giải tam giác
 Ví dụ 1: Cho tam giác biết cạnh và . Tính góc và các cạnh

 Giải

Có:

 Theo định lí sin ta có:

 Do đó: ,9 (m),

 ,5 (m),


TỐN

4.

THPT

HÌNH HỌC 10

Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

a) Giải tam giác
 Ví dụ 2: Cho tam giác biết cạnh và . Tính cạnh , góc và

 Giải

Theo định lí cơsin ta có: =
Hay: =
 Vậy : (cm).
 Ta có: .191.

 Như vậy là góc tù và ta có .
 Do đó: .


TỐN

4.

THPT

HÌNH HỌC 10

Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

a) Giải tam giác
 Ví dụ 3: Cho tam giác biết cạnh và . Tính diện tích của tam giác và bán kính của đường trịn nội tiếp.

 Giải

Ta có:

 Áp dụng định lí Hê-rơng, ta có:

 Hay: ,.

 Ta có: ra: ).


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

b) Ứng dụng vào việc đo đạc
 Bài tốn 1: Đo chiều cao của một cái tháp mà không đến được chân tháp. Giả sử là chiều cao của tháp trong đó là chân tháp. Chọn

hai điểm trên mặt đất sao cho ba điểm và thẳng hàng. Chẳng hạn , .

Giải
 Trong tam giác có: nên = =
 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có:=

 Hay:

 Trong tam giác vng có: