Ly thuyet va bai tap chuong II hinh học

Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Chương II. . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0
O
ĐẾN 180
O
1. Đònh nghóa
Với mỗi góc
α
(0
o
≤
α
≤
180
o
), ta xác đònh điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vò sao cho
·
MOx = α


cos x sin y
y x
tan cot
x y
• α = • α =
• α = • α =


Nhận xét : tan
α

xác đònh khi
α ≠
90
o
. cot
α
xác đònh khi
α ≠
0
o
,
α ≠
180
o
Lưu ý sin(180
o
–
α
) = sin
α
cos(180
o
–
α
) = – cos
α
tan(180
o
–
α

) = – tan
α
(
α ≠
90
o
) cot(180
o
–
α
) = – cot
α
(0
o
<
α
< 180
o
)
sin
α
> 0 với 0
o
<
α
< 180
o
Nếu góc
α
nhọn thì cos

α
, tan
α
, cot
α
dương.Nếu góc
α
tù thì cos
α
, tan
α
, cot
α

âm
Từ đònh nghóa ta có các công thức sau :

2 2
2 2
2 2
cos sin 1 tan .cot 1
sin cos
tan cot
cos sin
1 1
1 tan 1 cot
cos sin
• α + α = • α α =
α α
• α = • α =

α α
• + α = • + α =
α α
2. Giá trò lượng giác của một số góc đặc biệt
Góc 0
o
30
o
45
o
60
o
90
o
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
Cos 1
3
2
2
2
1
2
0

Tan 0
3
3
1 3 kxđ
Cot kxđ 3 1
3
3
0
Bài tập
Bài 1. Tính giá trò các biểu thức:
( )
2 2 0
1
A sin cos2 tan 15 2cos6
2
= α + α + α + + α
với
0
30α =
.
0 2 0 0
B 3 sin120 cos 150 cot135 .= − +
2 0 2 0 2 0 2 0
C cos 1 cos 12 cos 78 cos 89 .= + + +
2 0 2 0 2 0 2 0
D sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 .= + + +
0 0 0 0 0
E cos20 cos 40 cos60 ..... cos160 cos180= + + + + +
( ) ( )
( )

2 2
0 0
2
2 0 0 0
a sin90 bcos 45
F
2a cos60 2abcos180 b 2 cos 45
−
=
+ +

G = (2cos
2
30
o
+ sin135
o
– 3tan120
o
)(cos180
o
–cot45
o
)
H = 3sin
2
45
o
–2cos
2

135
o
– 4sin
2
50
o
–4cos
2
50
o
+5tan55
o
cot55
o
Bài Tính giá trò còn lại của góc
α
biết:
1
O
x
y
y
1
x
M
α
Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
sin
α
=

1
3
với 0
0
<
α
< 90
0
cos
α
=
8
17
cot
α
= 2 2 sin 15
0
=
6 2
4
−
cos
α
=
1
3
tan
α
= –
1

2
sin
α
=
5
13
cot
α
=
3 2−
Bài 3. Tính giá trò các biểu thức.
A =
3cos 4sin
cos sin
α + α
α + α
, biết tan
α
= 2 B =
2 2
2 2
3sin 4sin cos cos
2sin 3cos
α − α α + α
α − α
, biết cot
α
= 4
C =
3cot 4tan

cot ta n
α − α
α + α
, biết sin
α
=
2
3
. D= sin
4
α
+ cos
4
α
,biết cot
α
= m,
E = sin
α
.cos
α α
F = sin
4
α
+ cos
4
α
, biết sin
α
+ cos

α
= a
G = tan
2
α
+ cot
2
α
H = tan
3
α
+ cot
3
α
, biết tan
α
+ cot
α
= a
K =
( )
2 2
3 3
sina 2cos a sin a
sin a cos a
−
+
, biết tana = 4 L =
3 3
3sin 2cos

5sin 4cos
α − α
α + α
, biết
tan α
= 3
Bài 4 Rút gọn biểu thức.
A = cosx + sinx.tanx. B =
1 cos x. 1 cos x.+ −
C = sina.
2
1 tan a+
D = cos
2
a + cos
2
a.tan
2
a K =
( ) ( )
2 2
sin a 1 cot a cos a 1 tan a+ + +
E =
2
2cos a 1
sin a cosa
−
+
G =
( )

2 2 2
1 sin a cot a 1 cot a− + −
H =
2 2 2 4
cos a sin a.cos a sin a+ +
F =
2 2
2 2
cos a cot a
sin a tan a
−
−
Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x.
A =
4 2 2 2
cos a sin a.cos a sin a+ +
B =
( )
2
2
2 2 2
1 tan x
1
4tan x 4sin x.cos x
−
−
C =
( )
2
2

2 2
1 cos x
1
tan x.cot x
1 si n x cos x
−
+ −
−
Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau :
1)
( )
2
sin x cos x 1 2sin x.cos x+ = +
2)
( )
2
sin x cosx 1 2sin x.cos x− = −
3) sin
4
α
– cos
4
α
= 2sin
2
α
– 1 4) sin
4
α
+ cos

4
α
= 1 – 2sin
2
α
.cos
2
α
5) sin
6
α
+ cos
6
α
= 1 – 3sin
2
α
.cos
2
α
6) 1 – cot
4
α
=
2 4
2 1
sin sin
−
α α
7)

2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
+ α
= + α
− α
8)
2 2
6
2 2
tan sin
tan
cot cos
α − α
= α
α − α
9)
3
sin cos
cos
α + α
α
= 1 + tan
α
+ tan
2
α

+ tan
3
α
10) sin
2
α
.tan
2
α
+ 4sin
2
α
– tan
2
α
+ 3cot
2
α
= 3
11)
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cos
α + α + α + α = α + α
12)
2cos 1 cos sin
1 sin cos 1 cos
α + α + α
=
− α + α + α
Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

2
Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
I. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
. Từ một điểm O nào đó, vẽ
OA a , OB b= =
uuur r uuur r
. Khi đó : Số đo của góc
·
AOB

gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
. Ký hiệu :
(

a
r
,
b
r
)

A

Chú ý

·
0 0
180o AOB≤ ≤
hay
·
0 AOB
π
≤ ≤
.

0 ,a b
α
= ⇔
r r
cùng hướng,
0
180 ,a b
α
= ⇔

r r
ngược hướng B
 Nếu một trong hai vectơ là vectơ
0
r
thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý từ 0
o
đến 180
o
.
 Nếu (
a
r
,
b
r
) = 90
o
, ta nói hai vectơ vuông góc. Ký hiệu : (
a
r
⊥
b
r
)

II.Tích vô hướng của hai vectơ
1. Đònh nghóa
Tích vô hướng của hai vectơ
a

r
và
b
r
là một số, ký hiệu :
a
r
.
b
r
, được đònh nghóa bởi :

,a.b = a . b .cos(a b)
r r r r r r
Như vậy: 
·
uuur uuur
OA.OB = OA.OB.cosAOB

2
2
.a a a a= =
r r r r
hay
2
2
. .AB AB AB AB= =
uuur uuur uuur
( công thức bình phương vô hướng)


0. .0 0a a= =
r r r r
với mọi vectơ
a
r
.
2. Kết quả

( )
, 0 ,a b a b= ⇔
r r r r
cùng hướng và
. . .a b a b=
r r r r

( )
0
, 180 ,a b a b= ⇔
r r r r
ngược hướng và
. . .a b a b= −
r r r r

( )
0
, 90 . 0a b a b< ⇔ >
r r r r
và
( )
0

, 90 . 0a b a b> ⇔ <
r r r r

( )
0
, 90 . 0a b a b a b= ⇔ ⊥ ⇔ =
r r r r r r
(đây là điều kiện để hai vec tơ vuông góc với nhau)
3. Tính chất của tích vô hướng
 Với ba vectơ
a
r
,
b
r
,
c
r
, tùy ý và với mọi số thực k

⇔ ⊥
1) a.b = b.a
2) a.b = 0 a b
3) (k a).b = a.(kb) = k(a.b)
4) a.(b ± c) = a.b ± a.c
r r r r
r r r r
r r r r r r
r r r r r r r
 Các hằng đẳng thức

2 2
2
2 2
2 2
(a ± b) = a ± 2a.b + b
a - b = (a + b).(a - b) = a - b
r r r r r r
r r r r r r r r
4. Ứng dụng của tích vô hướng
a) Công thức chiếu
Cho hai vectơ
OA
uuur
,
OB
uuur
. Gọi B
/
là hình chiếu của B lên đường thẳng OA . Ta có :
3
a
r
b
r
b
r
a
r
O

Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

.
=
/
OA OB OAOB
uuuur
uuur uuur uuur

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Đònh nghóa
Cho đường tròn (O, R) và một điểm M cố đònh. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua M cắt
đường tròn tại hai điểm A, B. Khi đó ta có tích vô hướng
MA.MB
uuuur uuur
là một hằng số và bằng
MO
2
– R
2
. Hằng số này gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R). Ký hiệu :
P
M/(O)
Nếu MT là tiếp tuyến với đường tròn tại T thì ta cũng có MT
2
= MO
2
– R
2

Vậy: P
M/(O)
=
MA.MB
uuuur uuur
= MO
2
– R
2
= MT
2
6. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai véc tơ
a
r
= (x, y) và
b
r
= (x
/
, y
/
). Ta có :

' '
1) 2) x.x y.y 3)
4) , 5)
) )
⊥ ⇔ + =
/ / 2 2

/ /
2 2
B A B A
2 2 / 2 / 2
a.b = x.x + y.y a b 0 a = x + y
x.x + y.y
cos(a b) = AB = (x - x ) + (y - y )
x + y (x + (y
r r r r r
r r
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính : a)
uuur uuur uuur uuur
AB.AC ; AB.BC
b)
−
uuur uuur uuur
AB(2AB 3AC)
ĐS : a)
2
a
2
; –
2
a
2
; b)
2
a
2

Bài 2 a) Cho các véc tơ đơn vò
r r
a ; b
với
− =
r r
2a b 3
. Tính
r r
a.b
ĐS : ½
b) Cho
= = − = +
r r r r r r
a 2 ; b 3 ; a b 1 . Tính a b
ĐS :5
c) Cho
⊥ = =
r r r r
a b ; a 1 ; b 2
CMR :
− ⊥ +
r r r r
(2a b) (a b)
Bài 3. Cho các véc tơ
r r
a ; b
a)
= = = − +
r r r r r r r r

o
a 3; b 2;(a,b) 120 .Tính a b ; 2a 3b
b)
+ = − = + ⊥ +
r r r r r r r r r r
a b 2; a b 4;(2a b) (a 3b).Tính a ; b
c)
− ⊥ + + ⊥ −
r r r r r r r r r r
(3a 5b) (2a b);(a 4b) (a b);Tính cos(a,b)
ĐS : a)
19
, 6 ; b) 3 , 1 ; c)
19
5 43
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính :
a)
uuur uuur uuur uuur
AB.AC ; AB.BD
b)
+ +
uuur uuur uuur uuur
(AB AD)(BD BC)
c)
− −
uuur uuur uuur uuur
(AC AB)(2AD AB)
.
ĐS : a) a
2

; – a
2
; b) a
2
; c) 2a
2

Bài 5. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và AB = 2 ; BC = 4 ; CA = 3. Tính :
a)
uuur uuur
AB.AC . Suy ra giá trò của cosA
b)
uuur uuur
AG.BC và + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GA.GB GB.GC GC.GA
c) Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A.Tính
uuur uuur uuur
AD theo AB và AC
.Tính độ dài đoạn
AD. ĐS : a) – 9/2 ; – ¼ ; b) 5/3 ; – 29/6 ; c)
= + =
uuur uuur uuur
3 2 3 6
AD AB AC ; AD
5 5 5
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120
o

a) Tính độ dài đoạn BC và trung tuyến AM.

4
M
T
O
A
B
O
A
B
B
/
Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
b) Gọi I, J đònh bởi
+ = − =
uur uur r uur uur r
2IA IB 0 ; JB 2JC 0
. Tính độ dài đoạn IJ.ĐS : a)
7 2 133
19 ; ; b)
2 3
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =
a 3
. Gọi AM là trung tuyến và
=
uuuur uuur
2
a
AM.BC
2
. Tính độ

dài các đoạn AB và AC. ĐS :
a 2 ; a
CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC .
Bài 8. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABO,
CDO. I và J là trung điểm AD, BC. CMR : HK
⊥
IJ.
Bài 9. Cho tam giác ABC. CMR : Điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với
nhau là AC
2
+ AB
2
= 5BC
2
.
Bài 10. Cho tứ giác ABCD
a) CMR : AB
2
– BC
2
+ CD
2
– DA
2
=
uuur uuur
2AC.DB
b) Suy ra : Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau là : AB
2

+ CD
2
= BC
2
+ AD
2
.
Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M tùy ý. CMR :
a) =
uuuur uuuur uuur uuuur
MA.MC MB.MD b) MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2
c)
+ =
uuur uuuur uuuur uuuur
2
MA MB.MD 2MA.MO
Bài 12. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AC, M là
trung điểm HD. CMR : AM
⊥
BD.
TÌM QUỶ TÍCH
Bài 13. Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý
a) CMR : Véc tơ = + −

ur uuuur uuur uuuur
V 2MA MB 3MC không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : 2MA
2
+ MB
2
– 3MC
2
=
uuuur ur
2MO.V
c) Tìm tập hợp những điểm M thỏa : 2MA
2
+ MB
2
= 3MC
2
Bài 14. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong các trường hợp sau :
a) =
uuuur uuur uuuur uuuur
MA.MB MA.MC b) MA
2

+ + =
uuuur uuur uuuur uuuur
MA.MB MA.MC 0 c) MA
2
=
uuur uuuur
MB.MC

Bài 15. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau :
a)
− − =
uuuur uuur uuur uuuur
(MA MB)(2MB MC) 0
b)
+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
(MA MB)(MB MC) 0
c)
+ =
uuuur uuur uuuur uuuur
2
2MA MA.MB MA.MC
Bài 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau :
a)
+ =
uuuur uuuur uuur uuuur
2
MA.MC MB.MD a
b)
+ =
uuuur uuur uuuur uuuur
2
MA.MB MC.MD 5a
c) MA
2
+ MB
2
+ MC

2
= 3MD
2

d)
+ + − =
uuuur uuur uuuur uuuur uuur
2
(MA MB MC)(MC MB) 3a
e) 2MA
2
+ MB
2
= MC
2
+ MD
2

CÁC BÀI TOÁN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ
Bài 17. Cho
r
a
= (5,3) ;
r
b
= (2,0) ;
r
c
= (4,2)
a) Tìm véc tơ

r
x
thỏa
r
x
=
20
và
r
x
⊥
r
c . b) Tìm 2 số m và n sao cho m
r
a +
r
b
+n
r
c =
r
0 .
c) Biểu diễn véc tơ
r
a theo 2 véc tơ
r
b
và
r
c .

ĐS : a)
r
x
= (2 ,– 4) hay
r
x
= (–2,4); b) m = 2 ; n = –3 ; c)
r
a
= –
1
2
r
b
+
3
2
r
c
.
Bài 18. Cho
r
a
= (3,2) ;
r
b
= (–1,5) ;
r
c
= (–2, –5)

a) Tìm tọa độ các véc tơ sau :
r
u
= 2
r
a +
r
b
– 4
r
c
r
v = –
r
a + 2
r
b
+ 5
r
c
b) Tìm 2 số p, q sao cho :
r
c = p
r
a + q
r
b
c) Tính :
r
a .

r
b
;
r
b
.
r
c ;
r
a (
r
b
+
r
c ) ;
r
b
(
r
a –
r
c )
ĐS : a)
r
u
= (13,29);
r
v = (–15,– 17); b)
= − = −
15 11

p , q
17 17
; c) 7; -22; -9; 30
Bài 19. Cho
r
a
= (3,7) ;
r
b
= (–3,–1)
a) Tính góc giữa các cặp véc tơ :
r
a và
r
b
;
r
a +
r
b
và
r
a -
r
b
;
r
a và
r
a +

r
b
b) Tìm điều kiện của m, n sao cho m
r
a + n
r
b
vuông góc với
r
a .
c) Tìm véc tơ biết
r
a
.
r
c
= 17 và
r
b
.
r
c
= – 5. ĐS : b) 29m – 8n = 0 ; c)
r
c
= (1,2)
5