Bài tập lớn Đánh giá trong giáo dục Toán Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN

-------Sinh viên thực hiện: Trần Mỹ Kỳ Duyên

MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ
TRONG GIÁO DỤC TỐN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Lớp:

Tốn 4T

Huế, tháng 04 năm 2017

1


§2. CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
KHÁCH QUAN
ĐỀ TÀI. BÀI TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC MẶT TRỊN XOAY

Câu 1. Một lọ nước hoa thương hiệu Chloé được thiết kế như sau: vỏ là dạng hình nón
có đỉnh 𝑆 và đáy là hình trịn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ; phần

chứa dung dịch nước hoa lại là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi các nhà thiết kế
nên thiết kế như thế nào để vỏ nước hoa vẫn là hình nón như trên mà lọ nước hoa có
thể chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất?
Giải.

Giả sử ta có hình trụ nội tiếp hình nón như hình vẽ.

Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 là chiều cao của hình trụ (0 < 𝑥 < ℎ)

Gọi 𝑟 là bán kính đường trịn đáy của hình trụ, 𝑉 là thể tích khối trụ.
2


Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng tại 𝑂, ta có:
𝑟

𝑅

=

𝑆𝐻
𝑆𝑂

=

𝑆𝑂−𝑂𝐻

Suy ra: 𝑟 =

𝑆𝑂

=

ℎ −𝑥
ℎ

𝑅(ℎ−𝑥)

ℎ

Thể tích của khối trụ được tính bởi công thức
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ′ = 𝜋 (

𝑅(ℎ−𝑥) 2
𝜋𝑅 2
)
.
𝑥 = 2 (ℎ − 𝑥)2 . 𝑥
ℎ
ℎ

Đưa bài toán đã cho trở thành bài tốn: Tìm mối liên hệ giữa ℎ và 𝑥 để thể tích khối
trụ là lớn nhất?
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có:
ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥
≥
3

Suy ra: (ℎ − 𝑥) . 2𝑥 ≤
2

Do đó, ta có: 𝑉 ≤

(2ℎ )3
27

𝜋𝑅 2 4ℎ 3
ℎ2

.

27

3

⟹ (ℎ − 𝑥) . 𝑥 ≤
2

=

ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 . 2𝑥
4ℎ 3
27

4𝜋𝑅 2 ℎ

Vậy 𝑉 đạt giá trị lớn nhất là bằng

27

4𝜋 𝑅 2 ℎ
27

khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 =

ℎ

3

.

Vậy các nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ nội tiếp hình nón đã cho với tỉ lệ chiều cao
1
hình trụ và chiều cao hình nón là bằng .
3

 Phân tích
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thơng tin mà bài tốn cho để
thành lập một mơ hình tốn. Bước này liên quan đến khả năng tưởng tượng của các
em học sinh, liên quan đến kiến thức cũng như hiểu biết của các em về hình dạng của
hình nón, hình trụ cũng như hình trụ nội tiếp hình nón. Ở bước này tối thiểu các em
phải tưởng tượng được hình dạng mơ hình tốn mà bài tốn đặt ra. Giả sử rằng học
sinh có đủ kiến thức và khả năng này thì em đó sẽ vẽ một mơ hình như sau.

3


Sau đó, học sinh phải nhận ra rằng em phải đưa bài toán đã cho về bài toán liên
quan đến các mặt tròn xoay, cụ thể ở đây là chỉ ra được hình trụ nội tiếp hình nón có
đỉnh 𝑆 và đáy là hình trịn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ sao cho khối
trụ có thể tích lớn nhất.

Học sinh phải nhận ra rằng em phải có những thơng tin nào để tính thể tích của
khối trụ và so sánh xem đề bài đã cho những gì. Nếu đề bài khơng cho thì chúng ta
phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã cho. Rồi học
sinh phải gọi ra được cơng thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ với ℎ là chiều cao
của hình trụ, 𝑟 là bán kính đường trịn đáy của hình trụ.
Học sinh biến đổi cơng thức này về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả

đều được biểu diễn theo các thông tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài
tốn bất đẳng thức: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉. Ở đó khả năng giải các bài
tốn liên quan đến bất đẳng thức của học sinh sẽ được bộc lộ, mà cụ thể là kĩ thuật
biến đổi tương đương, kĩ thuật phân tích hằng đẳng thức, kĩ thuật thêm bớt hằng số,…

 Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương
Giả sử những bước cơ bản đầu tiên học sinh đều đã thực hiện được, những bước
đầu tiên chỉ kiểm tra được khả năng tương tượng cũng như đọc hiểu đề của học sinh.
Đồng thời cũng kiểm tra khả năng thể hiện câu hỏi bằng lời thành hình vẽ.
Tiếp theo, bài tốn kiểm tra khả năng nhớ của học sinh về cơng thức tính thể tích
của các mặt trịn xoay, cụ thể là thể tích của khối trụ. Ta có thể xây dựng một câu hỏi
trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó như sau:

4


Ví dụ 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường trịn (𝑂, 𝑅) và (𝑂′ , 𝑅), hình trụ có chiều
cao là ℎ. Gọi 𝑉 là thể tích của khối trụ đã cho. Hãy viết cơng thức tính 𝑉?

A. 𝑉 = 2𝜋𝑅ℎ

B. 𝑉 = 𝜋𝑅ℎ

C. 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ

D. 𝑉 =

1
3

𝜋𝑅 2 ℎ

Câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận biết, với câu hỏi này học sinh chỉ cần nhớ kiến
thức liên quan đến thể tích của khối trụ thì có thể dễ dàng chọn được đáp án
chính xác là đáp án C. Tuy nhiên vẫn sẽ có học sinh chọn các phương án nhiễu,
đặc biệt là phương án D, vì khi nhắc đến thể tích các em thường hay làm là

𝑉=

1
3

𝑆đá𝑦 . ℎ.

Bước tiếp theo của bài toán là khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến
hình học phẳng, cụ thể là giải bài tốn trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂. Tương tự, ở
đây ta cũng có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến khía cạnh
này để kiểm tra khả năng đó của học sinh.
Ví dụ 2. Cho các tam giác I, II, III, IV sau đây:

(I)

(III)

(II)

(IV)
5

Cho mệnh đề sau: Trong các tam giác I, II, III, IV thì tam giác có đủ thơng tin để tính
độ dài đoạn 𝐻𝐵 là:

(1) Chỉ có hai tam giác I, II.

(2) Chỉ có ba tam giác I, II, III.
(3) Chỉ có hai tam giác III, IV.
(4) Cả bốn tam giác I, II, III, IV.
Số mệnh đề đúng là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu trả lời là cả bốn tam giác I, II, II, IV đều có đủ thơng tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵.
Vậy phương án trả lời chính xác là phương án A: chỉ có mệnh đề (4) là mệnh đề đúng.
Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần chú ý trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 có 𝐻𝐵//𝑂𝐴 thì
có thể trả lời được câu hỏi này.

Tuy nhiên phương án nhiễu ở câu hỏi này sẽ làm cho học sinh dễ nhầm lẫn, đặc biệt là
khi chỉ đọc qua loa câu hỏi, học sinh sẽ chọn sai phương án trả lời.

Bước tiếp theo là khả năng biểu diễn các thơng tin đề cho về dạng kí hiệu và tìm
ra mối liên hệ giữa các thơng tin đề đã cho và những thơng tin bài tốn hỏi. Ta có thể
xây dưng câu hỏi trắc nhiệm khách quan như sau:
Ví dụ 3. Cho tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng tại 𝑂 có 𝑆𝑂 = ℎ, 𝑂𝐴 = 𝑅 (𝑅 > 0, ℎ > 0). Gọi điểm
𝐻, 𝐵 lần lượt thuộc cạnh 𝑆𝑂, 𝑆𝐴 sao cho 𝐻𝐵//𝑂𝐴. Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 (0 < 𝑥 < ℎ). Độ dài

của đoạn 𝐻𝐵 được biểu diễn bởi biểu thức là:
A. 𝑟 =

C. 𝑟 =

𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ

𝑥

𝑅(ℎ−𝑥)

B. 𝑟 =

D. 𝑟 =

𝑅ℎ

ℎ −𝑥
𝑅𝑥
ℎ

Phương án trả lời là phương án A. Ở câu hỏi này, học sinh cần áp dụng định lí Thales
trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 thì học sinh sẽ chỉ ra được biểu thức biểu diễn độ dài của đoạn
𝐻𝐵.

Trong các phương án nhiễu của câu hỏi này thì phương án D học sinh sẽ dễ nhầm lẫn
nhất, vì nếu học sinh không để ý 𝑆𝐻 = 𝑆𝑂 − 𝑂𝐻 thì sẽ chọn đáp án D là câu trả lời.
Tuy nhiên, các phương án nhiễu còn lại là phương án B và C cũng sẽ làm cho học sinh
nhầm lẫn, vì sẽ có học sinh biến đổi nhầm hoặc áp dụng định lý Thales trong tam giác

sai dẫn đến chọn phương án sai.
6


Phương án đúng là phương án A. 𝑟 =

𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ

Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng tại 𝑂, ta có:
𝐻𝐵//𝑂𝐴.
Suy ra:
𝑟

𝑅

=

𝑆𝐻
𝑆𝑂

=

𝑆𝑂−𝑂𝐻

Suy ra: 𝑟 =

𝑆𝑂

=

𝑅(ℎ−𝑥)
ℎ

ℎ −𝑥
ℎ

Tiếp đến là khả năng về giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học
sinh. Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức thường sẽ gây ra rất nhiều khó khăn
cho học sinh trong việc đi tìm cách giải quyết bài tốn. Ta sẽ kiểm tra các kiến thức
của học sinh về bất đẳng thức thơng qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau:
Ví dụ 3. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Bất đẳng thức sai là:

A.

C.

𝑎 3 +𝑏 3 +𝑐 3
3

(𝑎+𝑏+𝑐)3
27

3

≥ 𝑎𝑏𝑐

B. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3 𝑎𝑏𝑐

≥ 𝑎𝑏𝑐

D.

𝑎 3 +𝑏 3 +𝑐 3
27

≥ 𝑎𝑏𝑐

Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm rõ bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực
dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Phương án trả lời của câu hỏi này là phương án D.

Trong các phương án nhiễu thì phương án A sẽ được rất nhiều học sinh lựa chọn vì
học sinh thường nhầm lẫn hoặc khơng chắc chắn phương án A có đúng hay không?
Đa số học sinh sẽ nghĩ mẫu của phân số phải là 27 mới đúng nên học sinh thường
chọn bất đẳng thức sai là phương án A, còn phương án D là bất đẳng thức đúng.

Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài tốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng việc áp dụng các bất đẳng thức đã học, phổ biến nhất là bất đẳng thức Cauchy
hoặc bất đẳng thức Bunyakovsky. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra
khả năng đó:

7


Ví dụ 4. Cho các số thực dương ℎ, 𝑥 với 0 < 𝑥 < ℎ. Với giá trị nào của 𝑥 thì biểu thức
𝑃 = (ℎ − 𝑥)2 . 𝑥 đạt giá trị lớn nhất?
A. 𝑥 =
C. 𝑥 =

2ℎ

B. 𝑥 =

3
ℎ

D. 𝑥 =

2

ℎ

3
3ℎ
2

Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng giải các bài tốn liên quan đến bất đẳng
thức, cụ thể ở đây là dùng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương ℎ − 𝑥, ℎ −
𝑥, 2𝑥. Ta sẽ có được phương án trả lời chính xác là phương án B.

Phương án nhiễu: ở câu hỏi này, phương án mà học sinh lựa chọn nhiều nhất thường
sẽ là phương án C. Rất nhiều học sinh khi gặp bài toán này thường chỉ nghĩ tới áp
dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ℎ − 𝑥, 𝑥. Vì vậy, dấu " = " xảy ra
ℎ
khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = .
2
Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có:
ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥
≥
3

Suy ra: (ℎ − 𝑥) . 2𝑥 ≤
2

Do đó, ta có: 𝑃 ≤

4ℎ 3

(2ℎ )3
27

3

⟹ (ℎ − 𝑥) . 𝑥 ≤
2

ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 . 2𝑥
4ℎ 3
27

27

Vậy 𝑃 đạt giá trị lớn nhất là bằng

4ℎ 3
27

khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 =

ℎ

3

.

Câu 2. Một người có một dải ruy băng dài 130 𝑐𝑚, người đó cần bọc dải ruy băng đó
quanh một hộp q hình trụ. Khi bọc q, người này dùng 10 𝑐𝑚 của dải ruy băng để
thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi dải dây ruy băng có thể bọc được
hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

8


Giải.
Gọi 𝑥 𝑐𝑚 , 𝑦 𝑐𝑚 lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (𝑥, 𝑦 > 0; 𝑥 <
30).
Theo đề ra, ta có: độ dài dải ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là 120 𝑐𝑚.
Ta có: 2𝑥 + 𝑦 . 4 = 120 ⇔ 𝑦 = 30 − 2𝑥.

Thể tích khổi của hộp quà là: 𝑉 = 𝜋. 𝑥 2 . 𝑦 = 𝜋. 𝑥 2 . (30 − 2𝑥)
Yêu cầu bài toán là: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉?

Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) với 0 < 𝑥 < 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số?

Ta có: 𝑦 ′ = −6𝑥 2 + 60𝑥

𝑦 ′ = 0 ⟺ −6𝑥 2 + 60𝑥 = 0 ⟺

Ta có bảng biến thiên sau:

𝑥 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑥 = 10

Hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại 𝑥 = 10 hay
max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000

(0;30)

Vậy dải dây ruy băng có thể bọc được hộp q có thể tích lớn nhất là:
𝑉 = 1000𝜋 𝑐𝑚3 .
 Phân tích

Ở bài toán thứ hai này, chúng ta cũng sẽ đi phân tích như ở bài tốn thứ nhất. Giả sử
học sinh đã có đủ khả năng để vẽ mơ hình tốn minh hoạ. Từ các thông tin đề cho, giả
sử học sinh có thể diễn đạt bài tốn bằng lời thành các biểu thức tốn học cụ thể, có
thể tìm ra các mối liên hệ giữa các thông tin đề cho và đề hỏi. Nếu đề bài khơng cho
thì chúng ta phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã
cho. Rồi học sinh phải gọi ra được cơng thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ với ℎ
là chiều cao của hình trụ, 𝑟 là bán kính đường trịn đáy của hình trụ. Cơng việc hồn
tồn tương tự bài tốn thứ nhất đã được phân tích ở trên khá rõ ràng.
9


Tuy nhiên, ở bước cuối cùng trong bài toán thứ nhất, học sinh biến đổi cơng thức thể
tích về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả đều được biểu diễn theo các thông
tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức 𝑉 thì ở bài tốn này, chúng ta sẽ sử dụng một cơng cụ mạnh hơn rất
nhiều, đó chính là khảo sát hàm số để tính giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉.

 Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương

Ở bài toán này, ta sẽ làm một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước
cuối cùng để giải quyết bài toán này. Bước cuối cùng là khả năng tính giá trị lớn nhất
của một biểu thức bằng cơng cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng những câu hỏi
trắc nghiệm khách quan như sau:
Ví dụ 1. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) liên tục trên (0;30). Bảng biến thiên của hàm
số là bảng nào trong các bảng biến thiên dưới đây?
A.

B.

C.

D.

Câu hỏi này chỉ kiểm tra khả năng vẽ bảng biến thiên của hàm số đã cho, ở đây chỉ
kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng thấp của học sinh. Nếu học sinh bình thường vẫn
có thể trả lời đúng câu hỏi này, phương án đúng là phương án D.
Tuy nhiên với phương án nhiễu là phương án A, vẫn sẽ có học sinh chọn phương án A
vì khi xét dấu của đạo hàm 𝑦′, học sinh đó quên để ý đến dấu của hệ số 𝑎 = −2 < 0.

10


Ví dụ 2. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục trên (0;30) và có bảng biến thiên như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
−1; 1 .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

15; 27 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
(0;10).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
(10;30).

Phương án trả lời là phương án A. Học sinh chỉ cần dựa vào bảng biến thiên ở hình vẽ
bên là có thể chọn được phương án trả lời đúng. Loại câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận
biết, do đó phương án nhiễu ở câu hỏi này không phát huy nhiều, câu hỏi này cũng sẽ
không phân loại học sinh được. Tuy nhiên, câu hỏi này vẫn sẽ kiểm tra được khả năng
hiểu và vẽ được bảng biến thiên của học sinh, hoặc từ bảng biến thiên suy ngược ra
các thông tin.
Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài tốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng việc áp dụng công cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm
để kiểm tra khả năng đó:
Ví dụ 3. Tính giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) trên (0;30)?

A.
max 𝑦 = 0

C.
max 𝑦 = 1000

(0;30)

(0;30)

(0;30)

(0;30)

B.
max 𝑦 = 648

D.
max 𝑦 = 76

Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng
cách khảo sát hàm số đã được học ở đầu chương trình lớp 12 phần Đại số và Giải tích.
Loại câu hỏi này ở mức độ đánh giá được khả năng vận dụng của các em học sinh vào
việc giải quyết vấn đề.
Phương án trả lời là phương án C.
Ta có: 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥), 𝑥 ∈ (0;30)

𝑦 ′ = −6𝑥 2 + 60𝑥

𝑦 ′ = 0 ⟺ −6𝑥 2 + 60𝑥 = 0 ⟺

𝑥 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑥 = 10
11


Ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại 𝑥 = 10 hay
max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000

(0;30)

12