Bài tập lớn Chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
----------

HỒ THỊ ĐỨC THẢO

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

CHỦ ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN

Huế, tháng 4 năm 2017


Hồ Thị Đức Thảo

Tốn 4T

Bài tốn 1:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4; 2;4) và
 x  3  2t

đường thẳng d :  y  1  t (t  ) .
 z  1  4t


Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , cắt và vng góc với đường thẳng d .
Bài giải:
Cách 1: Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và (Q) ,
trong đó ( P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d , (Q) là mặt phẳng đi qua A và

vng góc với d .
Đường thẳng d đi qua B(3 ; 1 ;  1) và có vectơ chỉ phương u  (2 ;  1 ; 4) .
Ta có: AB  (1 ; 3 ;  5)
Mặt phẳng ( P) nhận u và AB làm vectơ chỉ phương, suy ra ( P) có một vectơ
1
pháp tuyến là: n   u, AB   (1 ;  2 ;  1)
7

Mặt phẳng ( P) đi qua A(4 ;  2 ; 4) và nhận n  (1 ;  2 ;  1) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
1( x  4)  2( y  2)  1( z  4)  0 hay x  2 y  z  4  0

Vì (Q)  d nên (Q) nhận u  (2 ;  1 ; 4) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
2( x  4)  1( y  2)  4( z  4)  0 hay 2 x  y  4 z  10  0
  ( P)  (Q)
 x  1  3t
x  2 y  z  4  0

Vậy phương trình của  là: 
hay  y  2t
2 x  y  4 z  10  0
z  3  t


Cách 2: Vì  đi qua A và vng góc với d nên  phải nằm trong mặt phẳng
( P) đi qua A và vng góc với d .

Mặt phẳng ( P) nhận vecto chỉ phương u  (2 ;  1 ; 4) của d làm vectơ pháp
tuyến.

Phương trình của mặt phẳng ( P) là: 2 x  y  4 z  10  0
2016 – 2017

2


Hồ Thị Đức Thảo

Toán 4T

Gọi M  d  ( P) thì M (3  2t;1  t; 1  4t )  d và M 
M  ( P)  2(3  2t )  (1  t )  4(1  4t )  10  0  t  1

Vậy M (1;0;3)
Khi đó: AM  (3;2; 1)
Đường thẳng  qua A và M có phương trình:

x4 y2 z4


3
2
1

Cách 3: Gọi M là hình chiếu vng góc của A trên d thì M  d .
Suy ra: M (3  2t;1  t; 1  4t )
Khi đó: AM  (1  2t;3  t; 5  4t )
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (2 ;  1 ; 4)
Ta có: AM  d  AM .u  0  2(1  2t )  1(3  t )  4(5  4t )  0  t  1
Suy ra: AM  (3;2; 1)

Đường thẳng  đi qua A và M nên có phương trình là

x4 y2 z4


3
2
1

Phân tích: Bài tốn này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình
đường thẳng  là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ) và (Q ) , trong đó mp ( P ) chứa

A và d , mp (Q ) chứa A và vng góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm
M của  và d rồi lập phương trình  đi qua A và M (cách 2 và 3). Nếu học
sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d dựa
trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ khơng thể cho ta biết điều
gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi.
Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như
cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số,
viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến
hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của
phương trình đường thẳng.
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng:

2016 – 2017

3


Hồ Thị Đức Thảo

Toán 4T

 x  1  2t

1

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y  2  t
3

 z  5
Vectơ nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng  ?
A. a  (1 ;  2 ;5)

1 

B. a  1;  ;5 
3 


C. a   6; 1;0 

1 

D. a   2;  ;5 
3 


Đáp án: C
Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm

vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ
phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh
có thể khơng chú ý.
Khi nhìn vào phương trình đường thẳng  , học sinh sẽ dễ dàng tìm được ngay
một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u   2;  ;0  .Tuy nhiên kết quả
3
1





này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh
phải suy nghĩ đến các vectơ chỉ phương khác cùng phương với u , cụ thể ở đây là
a   6; 1;0  (phương án C ) . Các phương án A, B, D gây nhiễu còn lại được đưa

ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua
(tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương
ứng với hệ số của tham số t)
Câu 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua
điểm M (4 ; 3 ; 1) và có vectơ pháp tuyến n  (2 ; 3 ;  4) là phương trình nào
trong các phương trình sau đây?
A. 2 x  3 y  4 z  13  0

B. 4 x  3 y  z  13  0

C. 2 x  3 y  4 z  13  0

D. 2 x  3 y  4 z  9  0

Đáp án: A

2016 – 2017

4


Hồ Thị Đức Thảo

Tốn 4T

Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình
mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n  (a; b; c) là:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 .

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ
điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong
q trình tính tốn (phương án C và D).
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )

A. x  y  2 z  1  0

x 1 y z 1


.
1
1
2
B. x  y  2 z  1  0

C. x  y  2 z  1  0

D. x  y  2 z  3  0

đi qua A(0 ; 1 ; 1) và vuông góc với đường thẳng d :

Đáp án: A
Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng
( ) vng góc với đường thẳng d thì vecto chỉ phương của đường thẳng d sẽ là

vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong q
trình tính tốn.
 x  1  3t

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2t .
z  3  t


Phương trình nào sau đây khơng là phương trình của đường thẳng d ?
x  2 y  z  4  0
A. 
2 x  y  4 z  10  0

B.

 x  1  6t

C.  y  4t

 z  3  2t


 x  2  3t

D.  y  1  2t
 z  4  1t


x4 y2 z4


3
2
1

Đáp án: D
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh
hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng.
Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường
thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng
2016 – 2017

5


Hồ Thị Đức Thảo

Tốn 4T

chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương
trình tham số khi chọn điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng khác
với phương trình đề cho (phương án C)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4 ; -3 ; 2) và đường
x2 y2 z
. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M của A trên


1
3
2
đường thẳng d ?

thẳng d :

A. M ( 1 ; 0 ; 1)

B. M (1 ; 0 ;  1)

C. M ( 1 ; 0 ;  1)

D. M ( 1 ; 0 ; 2)

Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm
giao điểm M của mặt phẳng đi qua A vng góc với đường thẳng d và đường
thẳng d hoặc tìm giao điểm M của đường thẳng AM và đường thẳng d dựa trên
điều kiện AM  d .
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong q
trình tính tốn.

x  1 t

Câu 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y   t và
 z  1  2t


mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  2  0 . Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì?
A. M (3 ; 1 ;  5)

B. M (2 ; 1;  7)

C. M (4 ; 3 ; 5)

D. M (1 ; 0 ; 0)

Đáp án: A
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm
M  d thì M (1  t ;  t ; 1  2t ) sau đó thế tọa độ điểm M vào phương trình mặt

phẳng (P) để tìm giá trị t.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong
q trình tính tốn.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng song song với hai
đường thẳng
2016 – 2017

6


Hồ Thị Đức Thảo

Toán 4T

x  2  t
x  2 y 1 z

d1 :

 và d 2 :  y  3  2t có vectơ pháp tuyến là gì?
3
2
4
z  1  t


A. n  ( 5;6; 7)

B. n  (5; 6;7)

C. n  ( 5; 6;7)

D. n  ( 5;6;7)

Đáp án:D
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ
phương của đường thẳng d1 và d 2 được cho dưới dạng phương trình tham số
hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm
được vectơ pháp tuyến.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu
trong quá trình tính tốn.

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
( P) đi qua A(3;0;0), C (0;0;1) và tạo với mp (Oxy) một góc 60 .

Bài giải: Mặt phẳng ( P) đi qua A, C và tạo với mp (Oxy) một góc 60 nên ( P) cắt
Oy tại điểm B(0; b;0) khác gốc O  b  0

Phương trình của mp(P) là:

x y z
   1 hay bx  3 y  3bz  3b  0
3 b 1

Suy ra: nP  (b;3;3b)
Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến là k  (0;0;1) .
Theo giả thiết, ta có:
cos(n p , k )  cos600 

3b
b 2  9  9b 2



1
2

 6b  10b 2  9  b 2 

9
3
b

26
26

Vậy có hai mặt phẳng ( P) thỏa mãn yêu cầu của đề bài:
x  26 y  3z  3  0
x  26 y  3z  3  0

Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A  Ox và tạo với mp
(Oxy) một góc 60 học sinh khơng suy ra được (P) sẽ cắt trục Oy tại một điểm
2016 – 2017

7


Hồ Thị Đức Thảo

Tốn 4T

khác với gốc tọa độ thì câu hỏi tự luận sẽ không cho ta biết được khả năng của
học sinh về các khía cạnh khác của bài tốn như viết phương trình mặt phẳng
theo đoạn chắn, tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên góc giữa hai vectơ pháp
tuyến.
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng cắt ba trục
tọa độ tại ba điểm A(0 ; 0 ; 3), B (0 ; -1 ; 0), C(4 ; 0 ; 0) .Phương trình của ( ) là
gì?
x y z
x y z
  0
B. ( ) :    1

3 1 4
4 1 3
x y z
x y z
C. ( ) :    0
D. ( ) :    1
4 1 3
3 1 4
Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được phương trình

A. ( ) :

mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua các điểm A(a ; 0 ; 0) , B(b;0;0) , C (0;0; c) là
x y z
  1
a b c
.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh nhớ sai vế phải
của phương trình mặt phẳng theo đoan chắn bằng 0 (phương án A,C) hoặc là viết
phương trình theo thứ tự các điểm đề cho (phương án A,D)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

( P) : 2 x  y  3z  1  0 và (Q) : x  y  z  5  0 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
( P ) và (Q ) . Tính cos  .
A. cos  

3
14

B. cos   

2 3
14

C. cos  

2 3
14

D. cos   

3
14

Đáp án: C
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nắm được công thức

cos  

nP .nQ
n p . nQ

2016 – 2017

.

8

Hồ Thị Đức Thảo

Toán 4T

Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể làm thiếu dấu
giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức trên, dẫn đến cos nhận giá trị âm
(phương án B và D) hay sai sót trong q trình tính tốn (phương án A và D).
Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A (2 ; 1 ; 2), B (0 ; 4 ; 1), C(5 ; 1 ;

5)
 , D ( 2 ; 8 ; 5)

a. Chứng minh: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Bài giải:
a. Ta có: AB  (2 ; 3 ; 1) , AC  (7 ; 0 ;  7)
 3 1 1 2 2 3 
;
;
Suy ra:  AB, AC   
  ( 21 ; 7 ;  21)
0
7
7
7
7
0






AD  (0;7; 7) nên  AB, AC  . AD  49  147  0

A, B, C, D không đồng phẳng nên là các đỉnh của một tứ diện.
1
196 98
 AB, AC  . AD 


6
6
3
Phân tích: Bài tốn này u cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính
đồng phẳng của các điểm trong khơng gian và tính thể tích tứ diện. Tuy nhiên nếu
học sinh không biết điều kiện để các điểm khơng đồng phẳng là gì thì bài tốn sẽ
không thể cho ta biết những phần nào của câu hỏi học sinh có thể trả lời được.

b. VABCD 

Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng:
Câu
1:
Trong không gian với
hệ tọa

độ

Oxyz ,

cho

A (0 ; 2 ;  2), B ( 3 ; 1 ; 1), C (4 ; 3 ; 0) và D (1 ; 2 ; m) . Tìm m để bốn
điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: AB  (3 ;  1 ; 1) ; AC  (4 ; 1 ; 2) ; AD  (1 ; 0 ; m  2)
 1 1 1 3 3 1 
;
;
Bước 2:  AB, AC   
  ( 3 ; 10 ; 1)
1
2
2
4
4
1



Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  . AD  0  m  5  0
Đáp số: m  5
2016 – 2017

9


Hồ Thị Đức Thảo

Toán 4T

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Đúng
B. Sai ở bước 1
C. Sai ở bước 2
D. Sai ở bước 3
Đáp án: C
Phân tích: Câu hỏi này kiểm tra kiến thức tổng hợp về tích vơ hướng và điều kiện
để các điểm trong khơng gian đồng phẳng, khả năng phân tích, theo dõi các bước
giải để tìm ra lỗi sai.
Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M (2 ; 1 ;  1), N (3 ; 0 ; 1),

P(2 ;  1 ; 3) , điểm Q nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện MNPQ bằng 5.
Tìm tọa độ của điểm Q .
A. Q(0 ;  7 ; 0)

B. Q(0 ;  7 ; 0) hoặc Q(0 ; 8 ; 0)

C. Q(0 ; 8 ; 0)

D. Q(0 ; 7 ; 0) hoặc Q(0 ;  8 ; 0)

Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được công thức tính
1
 MN , MP  .MQ

6

Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể xét thiếu trường
hợp khi phá dấu giá trị tuyệt đối trong cơng thức tính thể tích (phương án A và
C) hay tính sai dấu (phương án D).

thể tích tứ diện MNPQ là VMNPQ 

KẾT LUẬN
Việc chuyển bài toán tự luận thành các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
kiểm tra các khía cạnh khác nhau của bài tốn giúp chúng ta có thể đánh giá học
sinh một cách chính xác hơn, Tuy nhiên, trắc nghiệm khách quan thường chỉ phù
hợp với những bài tốn ở mức độ nhận biết và thơng hiểu, ở mức độ vận dụng
cao thì loại hình câu hỏi này không thể hiện được các bước suy luận của học sinh
để giải quyết bài toán.

2016 – 2017

10