Bài tập hình học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian doc

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 3













ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 26




1. Đònh nghóa và các phép toán
· Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
· Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
ABBCAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
ABADAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có:
ABADAAAC
''
++=

uuuruuuruuuruuuur

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=
uuuruuuruur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
Ta có: 03
GAGBGCOAOBOCOG
;++=++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
Ta có: 04
GAGBGCGDOAOBOCODOG
;+++=+++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0

avàbcùngphươngakRbka
()!:
¹Û$Ỵ=
r
rr
rrr

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý.
Ta có:
1
OAkOB
MAkMBOM
k
;
-
==
-
uuuruuur
uuuruuuruuur

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
, trong đó
avàb

r
r
không cùng
phương. Khi đó:
abc
,,
r
rr
đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R:
cmanb
=+
r
rr

· Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
không đồng phẳng,
x
r
tuỳ ý.
Khi đó: $! m, n, p Ỵ R:
xmanbpc
=++
r
rrr

3. Tích vô hướng của hai vectơ

· Góc giữa hai vectơ trong không gian:

·
·
00
0180
ABuACvuvBACBAC
,(,)()
==Þ=££
uuuruuur
rrrr

· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
0
uv,
¹
r
rr
. Khi đó:
uvuvuv
cos(,)
=
rrrrrr

+ Với
00
uhoặcv
==
rr

rr
. Qui ước:
0
uv
.
=
rr

+
0
uvuv
.
^Û=
rrrr

+
2
uu
=
rr





C
HƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 27



1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
ijk
,,
rrr
là các vectơ đơn vò, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
222
1
ijk
===
rrr
và
0
ijikkj

===
rrrrrr
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Đònh nghóa:
(
)

uxyzuxiyjzk
;;=Û=++
rrrrr

b) Tính chất: Cho
123123
aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Ỵ
rr

·
112233
abababab
(;;)
±=±±±
r
r

·
123
kakakaka
(;;)
=
r

·
11
22
33

ab
abab
ab
ì
=
ï
=Û=
í
ï
=
ỵ
rr

·
0000100010001
ijk
(;;),(;;),(;;),(;;)
====
r
r
rr

·
a
r
cùng phương
0
bb
()
¹

r
r
r
Û
akbkR
()
=Ỵ
rr


11
312
22123
123
33
0
akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
ỵ

·
112233
abababab

=++
r
r
·
112233
0
abababab
^Û++=
rr

·
2222
123
aaaa
=++
r
·
222
122
aaaa
=++
r

·
112233

222222
123123
ababab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos(,)
.
.
++
==
++++
r
r
r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Đònh nghóa:

MxyzOMxyz
(;;)(;;)
Û=
uuur
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
·
M
Ỵ
(Oxy)
Û
z = 0; M
Ỵ
(Oyz)
Û
x = 0; M
Ỵ
(Oxz)
Û
y = 0

·
M
Ỵ
Ox
Û
y = z = 0; M
Ỵ
Oy
Û

x = z = 0; M
Ỵ
Oz
Û
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
AAABBB
AxyzBxyz
(;;),(;;)

·
BABABA
ABxxyyzz
(;;)
=
uuur
·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
ỉư

ç÷

èø

· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
xxyyzz
M ;;
ỉư
+++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

333
ABCABCABC
xxxyyyzzz
G ;;
ỉư
++++++
ç÷
èø

II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 28
· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

444
ABCDABCDABCC
xxxxyyyyzzzz
G ;;
ỉư
+++++++++
ç÷
èø

4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Đònh nghóa: Cho
123
aaaa
(,,)
=
r
,
123
bbbb
(,,)
=
r
.
[ ]
( )
233112
233231131221
233112
aaaaaa

abababababababab
bbbbbb
,;;;;
ỉư
=Ù=ç÷=
ç÷
èø
rr
rr

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
·
[
]
ijkjkikij
,;,;,
éù
éù
===
ëûëû
rrr
rrrrrr
·
abaabb
[,];[,]
^^
rrrrrr

·

(
)
ababab
[,] sin,
=
rr
rr
rr
·
ab
,
rr
cùng phương
0
ab[,]
Û=
rrr

c) Ứng dụng của tích có hướng:
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
ab
,
rr
và
c
r
đồng phẳng Û
0
abc[,].
=

rrr

· Diện tích hình bình hành ABCD:
ABCD
SABAD
,
éù
=
ëû
Y
uuuruuur


·
Diện tích tam giác ABC:
1
2
ABC
SABAC
,
D
éù
=
ëû
uuuruuur


·
Thể tích khối hộp ABCD.A
¢

B
¢
C
¢
D
¢
:
ABCDABCD
VABADAA
.''''
[,].'
=
uuuruuuruuur


·
Thể tích tứ diện ABCD:
1
6
ABCD
VABACAD
[,].=
uuuruuuruuur



Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng
minh các vectơ cùng phương.


[]
[]
0
0
0
abab
avàbcùngphươngab
abcđồngphẳngabc
.
,
,,,.
^Û=
Û=
Û=
rr
rr
r
rr
rr
rr
rrrr

5. Phương trình mặt cầu:
· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
· Phương trình
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->
là phương trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd
++-
.

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 29
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.


Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
2
aij

=-+
rr
r
;
78
bik
=-
rr
r
;
9
ck
=-
r
r
;
345
dijk
=-+
rr
rr

Bài 2. Viết dưới dạng
xiyjzk
++
r
rr
mỗi vectơ sau đây:

1

02
2
a
;;
ỉư
=
ç÷
èø
r
;
450
b
(;;)
=-
r
;
41
0
3
3
c ;;
ỉư
=
ç÷
èø
r
;
11
3
5

d ;;
p
ỉư
=
ç÷
èø
r

Bài 3. Cho:
(
)
(
)
(
)
253021172
abc
;;;;;;
,,
===
r
rr
. Tìm toạ độ của các vectơ
u
r
với:
a)
1
43
2

uabc
=-+
r
rrr
b)
42
uabc
=
r
rrr
c)
2
4
3
ubc
=-+
r
rr

d)
35
uabc
=-+
r
rrr
e)
14
2
23
uabc

=
r
rrr
f)
32
43
uabc
=
r
rrr

Bài 4. Tìm tọa độ của vectơ
x
r
, biết rằng:
a)
0
ax
+=
r
rr
với
(
)
121
a
;;
=-
r
b)

4
axa
+=
rrr
với
(
)
021
a
;;
=-
r

c)
2
axb
+=
r
rr
với
(
)
541
a
;;
=-
r
,
(
)

253
b
;;
=-
r

Bài 5. Cho
134
a
(;;)
=-
r
.
a) Tìm y và z để 2
byz
(;;)
=
r
cùng phương với
a
r
.
b) Tìm toạ độ của vectơ
c
r
, biết rằng
avàc
rr
ngược hướng và
2

ca
=
rr
.
Bài 6. Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
111401321
abc
;;,;;,;;
=-=-=-
r
rr
. Tìm:
a)
(
)
abc
.
r
rr
b)
(
)
2
abc

.
r
rr
c)
222
abbcca
++
rr
rrrr

d)
(
)
2
32
aabbcb
+
rrr
rrr
e)
22
45
acbc
. +-
r
rrr

Bài 7. Tính góc giữa hai vectơ
a
r

và
b
r
:
a)
(
)
(
)
431123
ab
;;,;;
==-
r
r
b)
(
)
(
)
254603
ab
;;,;;
==-
r
r

c)
212022
ab

(;;),(;;)
=-=-
r
r
d)
32233231
ab
(;;),(;;)
==-
r
r

e)
42422220
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r
f)
321211
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r

Bài 8. Tìm vectơ
u
r

, biết rằng:
a)
213132324
51120
abc
auubuc
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ì
=-=-=-
í
=-=-=
ỵ
r
rr
r
rrrrr
b)
231123211
6
abc
uaubuc
(;;),(;;),(;;)
,,.
ì
=-=-=-
í
^^=-
ỵ
r

rr
r
rrrrr

c)
231121243
342
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ì
== =-
í
===
ỵ
r
rr
r
rrrrr
d)
532143324
1694
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ì
=-=-=-
í

===-
ỵ
r
rr
r
rrrrr

e)
723435111
57
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,
ì
==-=-
í
=-=-^
ỵ
r
rr
r
rrrrr

Bài 9. Cho hai vectơ
ab
,
r
r
. Tìm m để:

a)
212022
23
ab
uambvàvmabvuônggóc
(;;),(;;)
ì
=-=-
í
=+=-
ỵ
r
r
rr
rrrr
b)
321211
332
ab
umabvàvambvuônggóc
(;;),(;;)
ì
=-=-
í
=-=+
ỵ
r
r
rr
rrrr

c)
321211
332
ab
umabvàvambcùngphương
(;;),(;;)
ì
=-=-
í
=-=+
ỵ
r
r
rr
rrrr

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 30
Bài 10. Cho hai vectơ
ab
,
r
r
. Tính X, Y khi biết:
a)
46
ab
Xab
,

ì
==
í
=-
ỵ
r
r
r
r
b)
21264
abab
Yab
(;;),,
ì
= =-=
í
=+
ỵ
rr
rr
r
r

c)
(
)
0
46120
abab

XabYab
,,,
,
ì
===
í
=-=+
ỵ
rr
rr
rr
rr
d)
(
)
0
212660
abab
XabYab
(;;),,,
,
ì
= ==
í
=-=+
ỵ
rr
rr
rr
rr

Bài 11. Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
. Tìm m, n để
[
]
cab
,
=
r
rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
31212517
abmc
;;,;;,;;
= ==
r
rr

b)

(
)
(
)
(
)
625363310
ambnc
;;,;;,;;
=-=-=
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
2315641
abcmn
;;,;;,;;
===
r
rr

Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
abc
,,

r
rr
trong mỗi trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
(
)
111012423
abc
;;,;;,;;
=-==
r
rr
b)
(
)
(
)
(
)
434212121
abc
;;,;;,;;
==-=
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
312111221
abc
;;,;;,;;
= ==-
r
rr
d)
(
)
(
)
(
)
425313201
abc
;;,;;,;;
===
r
rr

e)
231120324
abc

(;;),(;;),(;;)
==-=-
r
rr
f)
548230177
abc
(;;),(;;),(;;)
=-=-=-
r
rr

g)
243122321
abc
(;;),(;;),(;;)
=-=-=-
r
rr
h)
243132321
abc
(;;),(;;),(;;)
=-= =-
r
rr

Bài 13. Tìm m để 3 vectơ
abc
,,

r
rr
đồng phẳng:
a)
(
)
(
)
(
)
12121022
ambmcm
;;,;;,;;
==+=-
r
rr

b)
21121122212
ammbmmcmm
(;;);(;;),(;;)
=+-=++=+
r
rr

c)
(
)
(
)

(
)
1212122
ammmbmmmc
;;,;;,;;
=+-=-+=
r
rr

d)
(
)
(
)
(
)
132121022
abmmmcm
;;,;;,;;
=-=+ =-
r
rr

Bài 14. Cho các vectơ
abcu
,,,
r
rrr
. Chứng minh ba vectơ
abc

,,
r
rr
không đồng phẳng. Biểu diễn
vectơ
u
r
theo các vectơ
abc
,,
r
rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
210112221
377
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=-

ỵ
r
rr
r
b)
(
)
(
)
(
)
17936117
4136
abc2
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=-
í
=
ỵ
r
rr
r

c)
(
)
(

)
(
)
101011110
891
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=
í
=-
ỵ
r
rr
r
d)
(
)
(
)
(
)
102230034
1622
abc
u
;;,;;,;;
(;;)

ì
==-=-
í
=
ỵ
r
rr
r

e)
(
)
(
)
(
)
231125226
312
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=-
í
=
ỵ
r
rr
r

f)
(
)
(
)
(
)
211132322
435
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=
í
=-
ỵ
r
rr
r

Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ
abcd
,,,
rr
rr
đồng phẳng:
a)
(

)
(
)
(
)
2614324222111
abcd
;;,;;,;;,(;;)
= = = =
rr
rr

b)
(
)
(
)
(
)
2612114322111
abcd
;;,;;,;;,(;;)
=-=-=-=-
rr
rr

Bài 16. Cho ba vectơ
abc
,,
r

rr
không đồng phẳng và vectơ
d
r
. Chứng minh bộ ba vectơ sau không
đồng phẳng:
a)
bcdmanb
,,
=+
rrr
rr
(với m, n ≠ 0) b)
acdmanb
,, =+
rr
rrr
(với m, n ≠ 0)
c)
abdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0) d)
bcdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0)
e)

acdmanbpc
,, =++
rr
rrrr
, (với m, n, p ≠ 0)





Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 31
VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

·
A, B, C thẳng hàng
Û

ABAC
,
uuuruuur
cùng phương
Û

ABkAC

=
uuuruuur

Û

0
ABAC,
éù
=
ëû
uuuruuur
r


·
ABCD là hình bình hành
Û

ABDC
=
uuuruuur


·
Cho
D
ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
D
ABC
trên BC. Ta có:

AB
EBEC
AC
.
=-
uuuruuur
,
AB
FBFC
AC
.
=
uuuruuur


·
A, B, C, D không đồng phẳng
Û

ABACAD
,,
uuuruuuruuur
không đồng phẳng
Û

0
ABACAD,.
éù
¹
ëû

uuuruuuruuur



Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
· Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a)
123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M
(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)

-
f)
22157
M
(;;)
-
g)
11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M:
· Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy
a)
123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M

(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)
11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a)

131012001
ABC
(;;),(;;),(;;)
b)
111431951
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)
1091220345034
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
1510578227
ABC
(;;),(;;),(;;)


Bài 4. Cho ba điểm A, B, C.
· Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
· Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC.
· Xác đònh điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
· Xác đònh toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
DABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.
· Tính số đo các góc trong DABC.
· Tính diện tích DABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của DABC.
a)
1230371250

ABC
(;;),(;;),(;;)
-
b)
013211123171019
ABC
(;;),(;;),(;;)
-

c)
347532123
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
423211387
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
414074312
ABC
(;;),(;;),(;;)

g)
(
)
(
)
(
)
100001211
A B C
;;,;;,;;
h)
126251184
ABC
(;;),(;;),(;;)


Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
a)
310
A
(;;)
,
241
B
(;;)
-
b)
1211107
AB

(;;),(;;)
-
c)
414074
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)


Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a)
111110311
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
324007533
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)
312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
013211123171019
ABC
(;;),(;;),(;;)
-

e)
102211132
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
126251184
ABC
(;;),(;;),(;;)


PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 32

Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
· Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? · Tìm tọa độ điểm M.
a)
(
)
(
)
217452
A B;;,;;

b)
432211
AB
(;;),(;;)

c)
109122034
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)


Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D.
· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
· Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
· Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a)
253100302312
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

b)
(
)
(
)
(
)
(
)
100010001211
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;

e)
231412637548
ABCD

(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


g)
241101142121
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

h)
324252122423
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


i)
348121526743
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

k)
326244991001
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
101212111455
ABDC
;;,;;,;;,';;

b)
253100302312
ABCA
(;;),(;;),(;;),'(;;)


c)
021111000110
ABDA
(;;),(;;),(;;;),'(;;)

d)
022012111121
ABCC

(;;),(;;),(;;),'(;;)


Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều.
Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích các vectơ
OIAG
,
uuruuur
theo các vectơ
OAOCOD
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
BI
uur
theo các vectơ
FEFGFI
,,
uuuruuuruur
.
Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.

a) Phân tích vectơ
AE
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
AG
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP).





Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 33
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
III
xxyyzz
xyz;;
+++
===.
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
(*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
Þ

Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R
¢
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd
++-
.


Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a)
222
8210
xyzxy
++-++=
b)
222
48240
xyzxyz
++++ =

c)
222
2440
xyzxyz
++ +=
d)
222
642860
xyzxyz
++-+ =

e)
222
1246240
xyzxyz
++-+-+=
f)
222
61212720

xyzxyz
++ ++=

g)
222
84240
xyzxyz
++-++-=
h)
222
340
xyzxy
++-+=

i)
222
333631520
xyzxyz
+++-+-=
k)
222
622100
xyzxyz
++-+-+=

Bài 2. Xác đònh m, t,
a
, … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a)

2222
2242590
xyzmxmymzm()
++-++-++=

b)
2222
23212270
xyzmxmymzm()()
++ +-++=

c)
222
2142270
xyzxyz(cos)cos.cos
aaa
++++ ++=

d)
22222
232412480
xyzxyz(cos)(sin)cos
aaa
+++-+-+++=

e)
222
226380
xyztxyztln.ln
++-+-++=

f)
2222
22421580
xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln
+++-+++++=

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 34
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1353
IR(;;),-= b)
5372
IR
(;;),
-=
c)
1325
IR
(;;),
-=
d)
2433
IR
(;;),
-=

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)

241523
IA
(;;),(;;)
-
b)
032000
IA
(;;),(;;)
-
c)
321213
IA
(;;),(;;)


d)
442000
IA
(;;),(;;)

e)
412124
IA
(;;),(;;)


Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
241523
AB

(;;),(;;)
-
b)
032241
AB
(;;),(;;)

c)
321213
AB
(;;),(;;)


d)
433215
AB
(;;),(;;)

e)
235413
AB
(;;),(;;)

f)
625407
AB
(;;),(;;)


Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:

a)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
231412637548
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

d)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


e)
623016201410
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
010231222112
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


Bài 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)
cho trước, với:
a)
120113201
ABC
POxz
(;;),(;;),(;;)
()()
ì

í
º
ỵ

b)
201132320
ABC
POxy
(;;),(;;),(;;)
()()
ì
í
º
ỵ

Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
a)
222
511
24650
I
Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í
++-+-+=
ỵ
b)
222
322
24850
I

Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í
++-+-+=
ỵ



VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R
2
).

·

1212
IIRR

<-
Û
(S
1
), (S
2
) trong nhau
·

1212
IIRR
>+

Û
(S
1
), (S
2
) ngoài nhau

·

1212
IIRR
=-
Û
(S
1
), (S
2

) tiếp xúc trong
·

1212
IIRR
=+
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngoài

·

121212
RRIIRR
-<<+

Û
(S
1
), (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn.

Bài 1. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
222

84240
42450
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=
ï
ỵ
b)
222
222
1239
6106210
xyz
xyzxyz
()()()
ì
ï
++-+-=
í
++ =
ï
ỵ

c)
222
222

241050
46220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+-+=
í
++ +-=
ï
ỵ
d)
222
222
842150
4122250
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=
ï
ỵ

e)
222
222
26450

62420
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++ ++=
í
++-+ =
ï
ỵ
f)
222
222
42230
64220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
+++-+-=
í
++-+ =
ï
ỵ

Bài 2. Biện luận theo m vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
2222
21364

4232
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-+-++=
í
-+++-=+
ï
ỵ
b)
222
2222
32181
1233
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-++++=
í
-+-+-=-
ï
ỵ

c)

222
2222
22125
1231
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
++-+-=
í
+++++=-
ï
ỵ
d)
222
2222
32116
1233
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
+++++=
í
-+-+-=+
ï

ỵ



Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 35
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
hoặc:
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=

– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn:
xft
ygt
zht
()
()
()
ì

=
ï
=
í
ï
=
ỵ
(*)
– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).

Bài 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
30
MAMB
+=
b)
2
MA
MB
=
c)
222
0
MAMBkk
()
+=>

Bài 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:

a)
22
124
MAMB
+=
b)
3
2
MA
MB
= c)
·
0
90
AMB =

d) MA = MB e)
222
210
MAMBkk
()()
+=+>

Bài 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
a)
222
46231920
xyzxymzm()
++ +-+-=

b)
222
2242240
xyzmxyzm()
+++-+-++=

c)
2222
2421260
xyzxymzm()
+++-++++=

d)
222
422526210
xyzmxmyzm(cos)(sin)cos
++-+-+-++=

e)
2222
2342414520
xyzmxmyzm(cos)(sin)sin
+++ + =




PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 36

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
· Vectơ
0
n
¹
r
r
là VTPT của (a) nếu giá của
n
r
vuông góc với (a).
· Hai vectơ
ab
,
r
r
không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a).
Chú ý:
·
Nếu
n
r
là một VTPT của (
a
) thì
kn
r

(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
a
).

·
Nếu
ab
,
r
r
là một cặp VTCP của (
a
) thì
[
]
nab
,
=
r
rr
là một VTPT của (
a
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

222
00
AxByCzDvớiABC
+++=++>

· Nếu (a) có phương trình
0
AxByCzD
+++=
thì
nABC
(;;)
=
r
là một VTPT của (a).
· Phương trình mặt phẳng đi qua
0000
Mxyz
(;;)
và có một VTPT
nABC
(;;)
=
r
là:

000
0
AxxByyCzz
()()()
-+-+-=

3. Các trường hợp riêng

Chú ý:

·
Nếu trong phương trình của (
a
) không chứa ẩn nào thì (
a
) song song hoặc chứa
trục tương ứng.

·
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
xyz
abc
++=

(
a
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a):
1111
0
AxByCzD
+++=

(b):
2222
0
AxByCzD

+++=


·
(
a
), (
b
) cắt nhau
Û

111222
ABCABC
::::
¹

·
(
a
) // (
b
)
Û

1111
2222
ABCD
ABCD
==¹

·
(
a
)
º
(
b
)
Û

1111
2222
ABCD
ABCD
===


·
(
a
)
^
(
b
)
Û

121212
0
AABBCC

++=

5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0
222
AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++


III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a)

D = 0
0
AxByCz
++=

(a) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
0
ByCzD
++=

(a) // Ox hoặc (a) É Ox
B = 0
0
AxCzD
++=

(a) // Oy hoặc (a) É Oy
C = 0
0
AxByD
++=

(a) // Oz hoặc (a) É Oz
A = B = 0
0
CzD
+=

(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)

A = C = 0
0
ByD
+=

(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
0
AxD
+=

(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 37
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
a
) ta cần xác đònh một điểm thuộc (
a
) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có VTPT
(

)
nA;B;C
=
r
:
(
a
):
(
)
(
)
(
)
000
0
AxxByyCzz
-+-+-=

Dạng 2: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có cặp VTCP
ab
,
r

r
:
Khi đó một VTPT của (
a
) là
[
]
nab
,
=
r
rr
.
Dạng 3: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
và song song với mặt phẳng (
b
): Ax + By + Cz + D = 0:
(
a
):
(
)
(
)

(
)
000
0
AxxByyCzz
-+-+-=

Dạng 4: (
a
) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của (
a
) là:
nABAC
,
éù
=
ëû
uuuruuur
r

Dạng 5: (
a
) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
r
.
– Một VTPT của (
a

) là:
nAMu
,
éù
=
ëû
uuur
rr

Dạng 6: (
a
) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP
u
r
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
a
).
Dạng 7: (
a
) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Xác đònh các VTCP
ab
,
r
r

của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2

Þ
M
Ỵ
(
a
).
Dạng 8: (
a
) chứa đường thẳng d

1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác đònh các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d

1

Þ
M
Ỵ
(
a
).
Dạng 9: (
a
) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
– Xác đònh các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]

nab
,
=
r
rr
.
Dạng 10: (
a
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
– Xác đònh VTCP
u
r
của (d) và VTPT
n
b
r
của (
b
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
b
éù
=
ëû
rrr
.

– Lấy một điểm M thuộc d
Þ
M
Ỵ
(
a
).
Dạng 11: (
a
) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
– Xác đònh các VTPT
nn
,
bg
rr
của (
b
) và (
g
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
bg
éù
=
ëû
rrr

.
Dạng 12: (
a
) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho
trước:
– Giả sử (
a
) có phương trình:
0
AxByCz+D
++=
(
)
222
0
ABC
++¹
.
– Lấy 2 điểm A, B
Ỵ
(d)
Þ
A, B
Ỵ
(
a
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
dMk
(,())

a
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (
a
) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 38
– Một VTPT của (
a
) là:
nIH
=
uur
r

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh mặt phẳng đã học ở
lớp 11.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
r
cho trước:
a)
(
)
(
)

=-
M3;1;1,n1;1;2
r
b)
(
)
(
)
-=
M2;7;0,n3;0;1
r
c)
(
)
(
)
=
M4;1;2,n0;1;3
r

d)
(
)
(
)
-=
M2;1;2,n1;0;0
r
e)
(

)
(
)
=
M3;4;5,n1;3;7
r
f)
(
)
(
)
=-
M10;1;9,n7;10;1
r

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
a)
211211
AB
(;;),(;;)

b)
114205
AB
(;;),(;;)

c)
234410
AB
(;;),(;;)

d)
11
A;1;0,B1;;5
22
ỉưỉư

ç÷ç÷
èøèø
e)
211
A1;;,B3;;1
323
ỉưỉư
-
ç÷ç÷
èøèø
f)
256132
AB
(;;),(;;)


Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
ab
,
r
r
cho trước, với:

a)
123212321
Ma b
(;;),(;;),(;;)
-==-
r
r
b)
123312034
Mab
(;;),;;),(;;)
-= =
r
r

c)
134272324
Mab
(;;),(;;),(;;)
-==
r
r
d)
405613321
Ma b
(;;),(;;);(;;)
-=-=
r
r

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
(
)
b
cho
trước, với:
a)
(
)
(
)
(
)
215
MOxy
;;,
b
= b)
(
)
(
)
121230
Mxy;;,:
b
+=

c)
(
)

(
)
1102100
Mxyz;;,:
b
+-=
d)
(
)
(
)
36510
Mxz;;,:
b
+-=

e)
235250
Mxyz
(;;),():
b
-+-+=
f)
111101020400
Mxyz
(;;),():
b
-+-=

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng

toạ độ, với:
a)
(
)
215
M
;;
b)
(
)
121
M
;;
- c)
(
)
110
M
;;
- d)
(
)
365
M ;;
-

e)
235
M
(;;)

-
f)
111
M
(;;)
g)
110
M
(;;)
-
h)
365
M
(;;)
-

Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước,
với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)

123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)


Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421

ABC
(;;),(;;),(;;)


c)
123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)


Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
a)
( )

311214
2310
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
-+-=
ỵ
b)
( )
213421
23250
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+-+=
ỵ
c)
()
213479
34850

AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+ =
ỵ

d)
( )
312312
22250
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+=
ỵ

Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a)
(

)
(
)
12523102310
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
+-+=-++=

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 39
b)
(
)
(
)
10222030
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-+ = =

c)
(
)
(
)
2402325034850
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-+-+=+ =

d)
(
)
(
)
5173436032530
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-++=-+-=

Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P),
(Q) cho trước, với:
a)
(
)
(
)
(
)
123235032510
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

b)
(
)
(
)
(
)

21140310
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

c)
(
)
(
)
(
)
34119642704283110
MPxyzQ:xyz;;,:,
+=-++=

d)
(
)
(
)
(
)
00153250210
MPxyzQxyz;;,:,:
-+-= =

Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2403020

PyzQxyzRxyz
():,():,():
+-=+ =++-=

b)
42504502190
PxyzQyzRxy
():,():,():
-+-=+-=-+=

c)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():
-+-=+-=-+=

Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
234023502320
PxyQyzRxyz
():,():,():
+-= =+ =

b)
2403020
PyzQxyzRxyz
():,():,():
+-=+-+=++-=

c)
2402502360
PxyzQxyzRxyz
():,():,():
+ =+++= +=

d)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():
-+-=+-=-+=

Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:
a)
20513201232
PxyQxyzMk
():,():,(;;),
=-+==



VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1. Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
23250
34850
xyz
xyz

ì
+-+=
í
+ =
ỵ
b)
34360
32530
xyz
xyz
ì
-++=
í
-+-=
ỵ
c)
55510
33370
xyz
xyz
ì
+ =
í
+-+=
ỵ

d)
64650
1281250
xyz

xyz
ì
+=
í
=
ỵ
e)
22450
25
55100
2
xyz
xyz
ì
+=
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
326230
326330
xyz
xyz
ì
=
í
+=
ỵ

Bài 2. Xác đònh m, n để các cặp mặt phẳng sau: · song song · cắt nhau · trùng nhau
a)
3270
7640
xmyz
nxyz
ì
+ =
í
+-+=
ỵ
b)
52110
350
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
ỵ
c)
2350
6620
xmyz
nxyz
ì
++-=
í

+=
ỵ

d)
390
2230
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
ỵ
e)
2350
6620
xyz
mxyz
ì
++-=
í
=
ỵ
f)
3530
2310
xymz
xyz
ì
-+-=

í
+-+=
ỵ

g)
20
2430
xmyz
xynz
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
h)
2210
320
xnyz
xymz
ì
-+-=
í
-+-=
ỵ
i)
33250
22100
xmyz
mxymz
()

()
ì
+-=
í
+-+-=
ỵ

Bài 3. Xác đònh m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
a)
2720
32150
xymz
xyz
ì
-++=
í
+-+=
ỵ
b)
213230
1450
mxmyz
mxmyz
()
()
ì
++=
í
+-+-=
ỵ

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 40
c)
2120
70
mxymz
xmyz
ì
++-=
í
+++=
ỵ
d)
33250
22100
xmyz
mxymz
()
()
ì
+-=
í
+-+-=
ỵ

e)
4330
2710
xyz

mxyz
ì
=
í
+ =
ỵ
f)
3530
3250
xymz
xyz
ì
-+-=
í
+++=
ỵ



VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

·
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0

; z
0
) đến mặt phẳng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0
222
AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++


·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

·
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P)
Û

MHncùngphương

HP
,
()
ì
í
Ỵ
ỵ
uuuur
r


·
Điểm M
¢
đối xứng với điểm M qua (P)
Û

2
MMMH
¢
=
uuuuuruuuur


Bài 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
· Tính khoảng cách từ M đến (P). · Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
· Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P).
a)
2260235
PxyzM

():,(;;)
-+-=-
b)
5140142
PxyzM
():,(;;)
++-=

c)
623120312
PxyzM
():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzM
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzM
():,(;;)
-+-=

Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
a)
2310
2350
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
b)
6210
6230
xyz
xyz
ì
-++=
í
-+-=
ỵ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =

ỵ

d)
4810
4850
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=
í

+-+=
ỵ

Bài 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
a)
632703
xyzk
,
-+-==
b)
326504
xyzk
,
+==

c)
6231202
xyzk
,
-++==
d)
2441403
xyzk
,
-+-==

Bài 4. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a)
2310
2350

xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
b)
6210
6230
xyz
xyz
ì
-++=
í
-+-=
ỵ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ

d)
4810

4850
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=
í
+-+=
ỵ

Bài 5. Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:

a)
22100
24430
2
3
xyz
xyz
k
ì
+ =
ï
ï
+-+=
í
ï
=
ï
ỵ
b)
6210
6230
1
2
xyz
xyz
k
ì
-++=
ï
ï

-+-=
í
ï
=
ï
ỵ
c)
63210
2260
4
7
xyz
xyz
k
ì
+ =
ï
ï
+-+=
í
ï
=
ï
ỵ

Bài 6. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P):
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 41
a)
2250122

PxyzN
():,(;;)
++-=-
b)
5140142
PxyzN
():,(;;)
++-=

c)
623120312
PxyzN
():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzN
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzN
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzN
():,(;;)
-+-=

Bài 7. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
ì
+-+=
í
-+-=
ỵ
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
c)
2450
4210
xyz
xyz
ì
-++=
í

+ =
ỵ

d)
4810
4850
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=

í
+-+=
ỵ

Bài 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
(
)
1232440
AQxyz;;–,():
+=
. b)
(
)
312623120
A Qxyz;;–,():
-++=
.
Bài 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm
A một khoảng k cho trước:
a)
22502144
QxyzAk
():,(;;),
+-+=-=
b)
244302343
QxyzAk
():,(;;),

-++=-=

Bài 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a)
323014
Qxyzk():,-+-== b)
4325029
Qxyzk():,+-+==


VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
a
), (
b
) có phương trình: (
a
):
1111
0
AxByCzD
+++=

(
b
):
2222
0
AxByCzD
+++=

Góc giữa (
a
), (
b
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
12
nn
,
rr
.

( )
12121212
222222
12
111222
nnAABBCC
nn
ABCABC
.
cos(),()
.
.
ab
++
==
++++
rr
rr

Chú ý:
·

·
(
)
00
090
(),()
ab
££.
·

121212
0
AABBCC()()
ab
^Û++=


Bài 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
ì
+-+=
í

-+-=
ỵ
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
c)
2450
4210
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ

d)
44270
2450
xyz
xz
ì
+-+=

í
+-=
ỵ
e)
2230
22120
xyz
yz
ì
+=
í
++=
ỵ
f)
33320
42490
xyz
xyz
ì
-++=
í
++-=
ỵ

Bài 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng a cho trước:
a)
0
213230
1450
90

mxmyz
mxmyz
()
()
a
ì
++=
ï
+-+-=
í
ï
=
ỵ
b)
0
2120
70
45
mxymz
xmyz
a
ì
++-=
ï
+++=
í
ï
=
ỵ
c)

0
2250
3230
90
mxmymz
mxmyz
()
()
a
ì
++-+=
ï
+-+-=
í
ï
=
ỵ

d)
0
30
211160
30
mxymz
mxmymz()()()
a
ì
-++=
ï
++-+ =

í
ï
=
ỵ

Bài 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
g
b
a
,, lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng
(ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos
222
=++
gba

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 42
VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (
a
):
0
AxByCzD
+++=
và mặt cầu (S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-=

·
(
a
) và (S) không có điểm chung
Û

dIR
(,())
a
>


·
(
a
) tiếp xúc với (S)
Û

dIR
(,())
a
=
(
a
) là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
a
).

– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
a
).
H là tiếp điểm của (S) với (
a
).

·
(
a
) cắt (S) theo một đường tròn
Û

dIR
(,())
a
<

Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
a
).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
a
).
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (
a
).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến:
22

rRIH
=-


Bài 1. Xét vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
222
2210
62450
Pxyz
Sxyzxyz
():
():
ì
++-=
í
++ ++=
ỵ
b)
222
23690
13216
Pxyz
Sxyz
():
():()()()
ì
-+-=
í
-+-++=

ỵ

c)
222
2110
24220
Pxyz
Sxyzxyz
():
():
ì
+ =
í
+++ +=
ỵ
d)
222
2250
648130
Pxyz
Sxyzxyz
():
():
ì
-++=
í
++ +=
ỵ

e)

Pxyz
Sxyzxyz
222
():220
():622100
ì
++=
í
++-+-+=
ỵ
f)
Pz
Sxyzxyz
222
():30
():6216220
ì
-=
í
++-+-+=
ỵ

Bài 2. Biện luận theo m, vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
222
2240214480
PxyzSxyzmxmyzm():;():()
=++ +++=

b)

2222
424501231
PxyzSxyzm
():;():()()()()
-+-=-+++-=-

c)
2222
326702112
PxyzSxyzm
():;():()()()()
+-+=-+-++=+
d)
2222
23610042123540
PxyzSxyzmxmyzmm():;():()
-+-=+++-+-+++-=

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
3522310
IPxyz
(;;),():
+=
b)
147667420
IPxyz
(;;),():
+-+=

c)
1122230
IPxyz
(;;),():
+++=
d)
2112250
IPxyz
(;;),():
-+-+=

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
a) Sxyz
222
():(3)(1)(2)24
-+-++=
tại
130
M
(;;)
-

b) Sxyzxyz
222
():62450
++ ++=
tại
430
M
(;;)

c)
222
13249
Sxyz():()()()
-+++-=
tại
715
M
(;;)
-

d)
222
222220
Sxyzxyz():
++ =
và song song với mặt phẳng
326140
xyz
-++=
.
e)
222
642110
Sxyzxyz():
++-++-=
và song song với mặt phẳng
43170
xz

+-=
.
f)
222
2440
Sxyzxyz():
++ +=
và song song với mặt phẳng
2250
xyz
+++=
.
g)
222
26280
Sxyzxyz():
++-+++=
và chứa đường thẳng
44311
dxt yt zt
:,,
=+=+=+

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 43
h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –
1), D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210
222
=-++-++ zyxzyx và song song với 2 đường

thẳng:
1
5113
232
xyz
d:
+-+
==
-
,
1
718
320
xyz
d :
++-
==
-
.

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Cho tứ diện ABCD.
· Viết phương trình các mặt của tứ diện.
· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C,
D qua các mặt đối diện.
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác đònh tâm I và bán kính R
của (S).
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
513162504406
A B C D
;;,;;,;;,;;
b)
(
)

(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
231412637548
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


e)
572311944150

ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
010231222112
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


Bài 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).


PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 44



1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
0000
Mxyz

(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
:

1
2
3
o
o
o
xxat
dyyattR
zzat
():()
ì
=+
ï
=+Ỵ
í
ï
=+
ỵ

· Nếu
123

0
aaa
¹
thì
000
123
xxyyzz
d
aaa
():

==
đgl phương trình chính tắc của d.
2. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d
¢
có phương trình tham số lần lượt là:

01
02
03
xxta
dyyta
zzta
:
ì
=+
ï
=+
í

ï
=+
ỵ
và
01
02
03
xxta
dyyta
zzta
:
¢¢¢
ì
=+
ï
¢¢¢¢
=+
í
ï
¢¢¢
=+
ỵ


·
d // d
¢

Û

0101
0202
0303
aacùngphương
xtaxta
hệytaytaẩnttvônghiệm
ztazta
,
(,)
¢
ì
ï
¢¢¢
ì
+=+
ï
ï
í
¢¢¢¢
+=+
í
ï
ï
¢¢¢
+=+
ï
ỵ
ỵ
rr

Û

0000
aacùngphương
Mxyzd
,
(;;)
¢
ì
í
¢
Ï
ỵ
rr

Û

00
aacùngphương
aMMkhôngcùngphương
,
,
¢
ì
í
¢
ỵ
rr
uuuuuur

r

Û

[
]
00
0
0
aa
aMM
,
,
ì
¢
=
ï
í
éù
¢
¹
ï
ëû
ỵ
r
rr
uuuuuur
r
r

·
d
º
d
¢

Û

0101
0202
0303
xtaxta
hệytaytaẩnttcóvôsốnghiệm
ztazta
(,)
¢¢¢
ì
+=+
ï
¢¢¢¢
+=+
í
ï
¢¢¢
+=+
ỵ


Û

0000
aacùngphương
Mxyzd
,
(;;)
¢
ì
í
¢
Ỵ
ỵ
rr

Û

00
aaMMđôimộtcùngphương
,,
¢¢
uuuuuur
rr


Û

[
]
00
0

aaaMM,,
éù
¢¢
==
ëû
uuuuuur
r
rrr


·
d, d
¢
cắt nhau
Û
hệ
0101
0202
0303
xtaxta
ytayta
ztazta
¢¢¢
ì
+=+
ï
¢¢¢
+=+
í
ï

¢¢¢
+=+
ỵ
(ẩn t, t
¢
) có đúng một nghiệm

Û

00
aakhôngcùngphương
aaMMđồngphẳng
,
,,
¢
ì
í
¢¢
ỵ
rr
uuuuuur
rr

Û

[
]
[ ]
00
0

0
aa
aaMM
,
,.
ì
¢
¹
ï
í
¢¢
=
ï
ỵ
r
rr
uuuuuur
rr


·
d, d
¢
chéo nhau
Û

0101
0202
0303
aakhôngcùngphương

xtaxta
hệytaytaẩnttvônghiệm
ztazta
,
(,)
¢
ì
ï
¢¢¢
ì
+=+
ï
ï
í
¢¢¢¢
+=+
í
ï
ï
¢¢¢
+=+
ï
ỵ
ỵ
rr


Û

00

aaMMkhôngđồngphẳng
,,
¢¢
uuuuuur
rr

Û

[
]
00
0
aaMM,.
¢¢
¹
uuuuuur
rr


·
d
^
d
¢

Û

aa
¢
^

rr

Û

0
aa
.
¢
=
rr

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 45
3. Vò trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (a):
0
AxByCzD
+++=
và đường thẳng d:
01
02
03
xxta
yyta
zzta
ì
=+
ï
=+

í
ï
=+
ỵ

Xét phương trình:
010203
0
AxtaBytaCztaD()()()
++++++=
(ẩn t) (*)

·
d // (
a
)
Û
(*) vô nghiệm

·
d cắt (
a
)
Û
(*) có đúng một nghiệm

·
d
Ì
(

a
)
Û
(*) có vô số nghiệm
4. Vò trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng d:
01
02
03
xxta
yyta
zzta
ì
=+
ï
=+
í
ï
=+
ỵ
(1) và mặt cầu (S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-= (2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

·
d và (S) không có điểm chung
Û
(*) vô nghiệm

Û
d(I, d) > R

·
d tiếp xúc với (S)
Û
(*) có đúng một nghiệm
Û
d(I, d) = R

·
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Û
(*) có hai nghiệm phân biệt
Û
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
r
và điểm M.

0
MMa
dMd
a
,
(,)

éù
ëû
=
uuuuur
r
r

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
r
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
r

1212
12
12
aaMM
ddd
aa
,.
(,)
,
éù
ëû
=
éù
ëû
uuuuuur
rr
rr

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với
mặt phẳng (
a
) chứa d
2

và song song với d
1
.
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
a
) song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (
a
).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
12
aa
,
rr
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
12
aa
,
rr

.

( )
12
12
12
aa
aa
aa
.
cos,
.
=
rr
rr
rr

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
và mặt phẳng (
a
) có VTPT
nABC
(;;)
=

r
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
a
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
¢
của
nó trên (
a
).

·
( )
123
222222
123
AaBaCa
d
ABCaaa
sin,()
.
a
++
=
++++

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 46
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác đònh một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
:

1
2
3
o
o
o
xxat
dyyattR
zzat
():()
ì
=+
ï
=+Ỵ
í
ï
=+
ỵ

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là
AB
uuur
.
Dạng 3: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d //
D
nên VTCP của
D
cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d
^
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

·
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
Ỵ

d: bằng cách giải hệ phương trình
P
Q
()
()
ì
í
ỵ
(với việc chọn giá trò
cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
PQ
ann
,
éù
=
ëû
rrr


·
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2

:
Vì d
^
d
1
, d
^
d
2
nên một VTCP của d là:
12
dd
aaa
,
éù
=
ëû
rrr

Dạng 7: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
, vuông góc và cắt đường thẳng
D
.

·
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0

trên đường thẳng
D
.

0
H
MHu
ì
ỴD
í
^
ỵ
V
uuuuur
r

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.

·
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P)
Ç
(Q)
Dạng 8: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và cắt hai đường thẳng d

1
, d
2
:

·
Cách 1: Gọi M
1

Ỵ
d
1
, M
2

Ỵ
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ
đó suy ra phương trình đường thẳng d.

·

Cách 2: Gọi (P) =
01
Md
(,)
, (Q) =
02
Md
(,)
. Khi đó d = (P)
Ç
(Q). Do đó, một VTCP của d
có thể chọn là
PQ
ann
,
éù
=
ëû
rrr
.
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Tìm các giao điểm A = d
1

Ç
(P), B = d

2

Ç
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
D
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
D
và d
2
.
Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau:

·
Cách 1: Gọi M
Ỵ

d
1
, N
Ỵ
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MNd
MNd
ì
^
í
^
ỵ
, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 47

·
Cách 2:
– Vì d
^
d
1
và d
^
d

2
nên một VTCP của d có thể là:
12
dd
aaa
,
éù
=
ëû
rrr
.
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d
1
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
Pd
naa
,
éù
=
ëû
rrr
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.

Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):

·
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
D
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
Ỵ

D
.
– Vì (Q) chứa
D
và vuông góc với (P) nên
QP
nan
,
D
éù
=
ëû
rrr
.
Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d

1
và cắt d
2
:

·
Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN
^
d
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.

·
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
Ç
(Q).


Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
a

r
cho trước:
a)
Ma
(1;2;3),(1;3;5)
-=-
r
b)
Ma
(0;2;5),(0;1;4)
-=
r
c)
Ma
(1;3;1),(1;2;1)
-=-
r

d)
Ma
(3;1;3),(1;2;0)
=-
r
e)
Ma
(3;2;5),(2;0;4)
-=-
r
f)
Ma

(4;3;2),(3;0;0)
-=-
r

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a)
(
)
(
)
231124
A, B
;;;;
- b)
(
)
(
)
110012
A, B
;;;;
- c)
(
)
(
)
315211
A, B
;;;;

d)
(
)
(
)
210012
A, B
;;;;
e)
(
)
(
)
127124
A, B
;;;;
- f)
(
)
(
)
213422
A, B
;;;;


Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng
D cho trước:
a)

(
)
324
A, Ox
;;
D
-º b)
(
)
253532212
iquaMN
;;,(;;),(;;)
D


c)
23
25334
52
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=-
ï
-=+
í
ï

=-
ỵ
d)
252
422
423
xyz
A(;;),:
D
+
-==
e)
34
13222
31
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=+
ï
-=-
í
ï
=-
ỵ
f)
312

523
234
xyz
A(;;),:
D
+-+
-==
Bài 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
(P) cho trước:
a)
(
)
243236190
A, (P)xyz;;:
++=
b)
(
)
110
A, Pcácmptoạđộ
;;():-
c)
(
)
3212540
APxy;;,():
-+=
d)
236236190
APxyz

(;;),():
++=

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
cho trước:
a)
62230
35210
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
+++=
í
=
ỵ
b)
23340
230
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
-+-=
í
+-+=
ỵ
c)

33470
6260
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
+-+=
í
++-=
ỵ

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 48
d)
230
10
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
e)
10
20
Pxz

Qy
():
():
ì
+-=
í
-=
ỵ
f)
210
10
Pxyz
Qxz
():
():
ì
++-=
í
+-=
ỵ

Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
121

105322
113
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-
ïï
=-=+
íí
ïï
=+=-
ỵỵ
b)
12
113
21122
33
xtxt
Adytdyt
zzt
(;;),:,:
ìì
=+=+
ïï
-=-+=-+
íí
ïï
==+

ỵỵ

c)
12
11
123222
333
xtx
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-=
ïï
-= =-+
íí
ïï
=-=+
ỵỵ
d)
12
731
4144292
4312
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-+=+

ïï
=-=-+
íí
ïï
=+=
ỵỵ

e)
12
132
213134
222
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=
ïï
=+=-+
íí
ïï
=-+=-
ỵỵ
f)
12
314112
20
xtxt
Adytdyt

ztz
(;;),:,:
ìì
==
ïï
-=-=-
íí
ïï
=-=
ỵỵ

Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng D cho trước:
a)
1221
2
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=
ï
-=-
í
ï
=
ỵ
b)

32
4241
14
xt
Adyt
zt
(;;),:
ì
=-+
ï
=-
í
ï
=-+
ỵ

c)
13
2131
22
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=+
ï
=+
í

ï
=-+
ỵ
d)
3141
2
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=
ï
-=-
í
ï
=-
ỵ

e)
1
12322
33
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì

=-
ï
-=
í
ï
=-
ỵ
f)
1
2112
3
xt
Ayt
z
(;;),:
D
ì
=+
ï
-=-+
í
ï
=
ỵ

Bài 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1
,
d
2

cho trước:
a)
12
121
105322
113
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-
ïï
=-=+
íí
ïï
=+=-
ỵỵ
b)
12
113
21122
33
xtxt
Adytdyt
zzt
(;;),:,:
ìì
=+=+
ïï

-=-+=-+
íí
ïï
==+
ỵỵ

c)
12
1322
4533213
215
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-+=+
ïï
= =-+
íí
ïï
=-=-
ỵỵ
d)
12
13
21124
352
xtxt
Adytdyt

ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-
ïï
-=-+=
íí
ïï
=-+=
ỵỵ

e)
12
243
231121
1323
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-+
ïï
-=-=+
íí
ïï
=+=-+
ỵỵ
f)
12

3332
325141
2223
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-+=+
ïï
-=+=-
íí
ïï
=+=-
ỵỵ

Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai
đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
20
2
1
42
114
1

Pyz
xt
xyz
ddyt
z
():
:,:
ì
+=
ï
ï
ì
=-
ï
-
í
===+
í
ï
-
ï
=
ï
ỵ
ỵ
b)
12
62230
121
322

113
Pxyz
xtxt
dytdyt
ztzt
():
:,:
ì
+++=
ï
ï
ìì
=+=-
ïï
í
=-=+
íí
ï
ïï
=+=-
ï
ỵỵ
ỵ

c)
12
23340
731
4292
4312

Pxyz
xtxt
dytdyt
ztzt
():
:,:
ì
-+-=
ï
ï
ìì
=-+=+
ïï
í
=-=-+
íí
ï
ïï
=+=
ï
ỵỵ
ỵ
d)
12
33470
11
222
333
Pxyz
xtx

dytdyt
ztzt
():
:,:
ì
+-+=
ï
ï
ìì
=-=
ïï
í
= =-+
íí
ï
ïï
=-=+
ï
ỵỵ
ỵ


Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 49
Bài 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai
đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:

a)
1
2
11
212
11
121
213
321
xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
D
ì

==
ï
-
ï
ï
+-
==
í
-
ï

-++
ï
==
ï
ỵ
b)
1
2
15
311
122
143
47
591
xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
D
ì

==
ï
-
ï
ï

-+-
==
í
ï
++
ï
==
ï
ỵ

c)
1
2
122
:
143
122
:
143
47
:
591
-+-
ì
D==
ï
ï
-+-
ï
==

í
ï
++
ï
==
ï
ỵ
xyz
xyz
d
xyz
d
d)
1
2
132
321
221
341
739
121
xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
D

ì
++-
==
ï

ï
ï
-+-
==
í
ï

ï
==
ï
ỵ-

Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
3223
144
2412
xtxt
dytdyt

ztzt
:,:
ìì
=-=+
ïï
=+=-
íí
ïï
=-+=-
ỵỵ
b)
12
1223
312
2344
xtxt
dytdyt
ztzt
:,:
ìì
=+=-+
ïï
=-+=+
íí
ïï
=+=-+
ỵỵ

c)
12

221
13
312
xtxt
dytdyt
ztzt
:,:
ìì
=+=+
ïï
=+=+
íí
ïï
=-=+
ỵỵ
d)
12
2312
312
122
xtxt
dytdyt
ztzt
:,:
ìì
=+=-+
ïï
= =-
íí
ïï

=+=+
ỵỵ

Bài 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng D trên mặt
phẳng (P) cho trước:
a)
231
213
2230
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
-++=
ỵ
b)
322
123
34230
xyz
Pxyz
:

():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
+-+=
ỵ

c)
113
122
2230
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
-+-=
ỵ

d)
1
211
10
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
-
ï
==
í
-
ï
+-+=
ỵ

e)
221
341
2340
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
-+-

ï
==
í
ï
+++=
ỵ
f)
12
121
2350
xyz
Pxyz
:
():
D
ì

ï
==
í

ï
+=
ỵ

g)
54250
220
210
xyz

xz
Pxyz
:
():
D
ì
ì
=
ï
í
+-=
í
ỵ
ï
-+-=
ỵ
h)
10
220
210
xyz
xz
Pxyz
:
():
D
ì
ì
=
ï

í
+-=
í
ỵ
ï
+ =
ỵ

Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng
d
1
và cắt đường thẳng d
2
cho trước:
a)
12
1
12
011
311
1
x
xyz
Addyt
zt
(;;),:,:
ì
=-
ï

===
í
ï
=+
ỵ

b)
12
2
11
11112
211
1
x
xyz
Addyt
zt
(;;),:,:
ì
=
ï
-+
===+
í
-
ï
=
ỵ

c)

12
14113
123
623325
xyzxyz
Add(;;),:,:
+ +-
====