Tài liệu Olympic đại số

Tài Liệu Olympic Đại Số
ThS. Nguyễn Hữu Hiệp

E-mail:
Ngày 5 tháng 12 năm 2015


Chương 1
Ma trận-Định thức-Hệ phương trình
1

Định thức

1.1

Phép thế

Định nghĩa 1.1 .
Cho Xn = {1; 2; . . . ; n}, n ≥ 1. Một sóng ánh σ : Xn → Xn gọi là một phép thế trên Xn . Nếu σ là ánh
xạ đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất.
Một phép thế thỏa σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k, ∀k = i, j(i = j) gọi là một chuyển trí, ký hiệu là:
(i, j).
Tập tất cả các phép thế của Xn ký hiệu là Sn .
1
2
3
...
n
Một phép thế có thường được ký hiệu
σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)
1 2 3 4 5

1 2 3 4 5
= (2, 4).
;
Ví dụ:
1 4 3 2 5
3 1 2 5 4

.

Định nghĩa 1.2 Cho σ là một phép thế trên Xn . Nếu tồn tại i, j : 1 ≤ i < j <≤ n và σ(i) > σ(j) thì
(σ(i), σ(j) gọi là một nghịch thế.
Ví dụ: Phép thế

1 2 3
3 1 2

. có 2 nghịch thế là (3, 1), (3, 2).

Định nghĩa 1.3 Dấu của phép thế σ(ký hiệu là sign(σ)) bằng 1 nếu số nghịch thế là chẵn (σ gọi là
phép thế chẵn) và bằng -1 nếu số nghịch thế là lẻ (σ gọi là phép thế lẻ).
Ví dụ: Phép thế

1 2 3 4
4 3 1 2

có 5 nghịch thế nên sig(σ) = −1.

Mệnh đề 1.4 Cho 2 phép thế σ, µ trên cùng tập Xn , ta có:
• Mọi chuyển trí là phép thế lẻ.
• sign(σ) =

ij
.
1i
ã sign(à) = sign()sign(à).

1


1.2

Định nghĩa định thức

Định nghĩa 1.5 Cho A = (aij ) là ma trận cấp n. Định thức ma trận A được định nghĩa là:
sign(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) . . . anσ(n) .

det(A) = |A| =

σ∈Sn

Chú ý: Việc dùng định nghĩa để tính định thức là rất phức tạp. Thơng thường tính định thức, ta
dùng phương pháp khai triển và các tính chất mà các em học trên lớp. Tuy nhiên, định nghĩa này có ý
nghĩa lớn về mặt lý thuyết. Hầu hết các tính chất về định thức được suy ra từ định nghĩa này. Ta có
thể dùng định nghĩa này để làm một số bài toán chứng minh khá thú vị.
Định nghĩa 1.6 Cho A là ma trận cấp n
1. Cho k hàng 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n và k cột 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n. Ma trận con của A
,...,jk
lấy từ k hàng và k cột trên ký hiệu là: aij11,i,j22,...,i
và định nghĩa

k
,...,jk
,...,jk
Mij11,i,j22,...,i
= det(aij11,i,j22,...,i
).
k
k
,...,jk
2. Bù đại số của ma trận aij11,i,j22,...,i
được định nghĩa là
k
,...,jk
,...,jk
Aij11,i,j22,...,i
= (−1)i1 +i2 +···+ik +j1 +j2 +···+jk det(bji11,i,j22,...,i
).
k
k
,...,jk
trong đó bij11,i,j22,...,i
là ma trận con của A bằng cách bỏ đi k hàng i1 , i2 , . . . , ik và k cột j1 , j2 , . . . , jk .
k

Mệnh đề 1.7 .
1. Khai triển Laplace theo k hàng i1 , i2 , . . . , ik
,...,jk
,...,jk
Mij11,i,j22,...,i
Aij11,i,j22,...,i

k
k

det(A) =
1≤i1
2. Khai triển Laplace theo k cột j1 , j2 , . . . , jk
,...,jk
,...,jk
Aji11,i,j22,...,i
Mij11,i,j22,...,i
k
k

det(A) =
1≤j1
1.3

Hạng ma trận.

Định nghĩa 1.8 Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các ma trận con khả nghịch của A.
Chú ý: Định nghĩa hạng ma trận ở trên đã được chứng minh tương đương với định nghĩa hạng ma
trận theo ma trận bậc thang và phép biến đổi sơ cấp.
Mệnh đề 1.9 Cho ma trận A cỡ m × n. Ta có các tính chất sau về hạng
1. r(A) = min{m; n}
2. Hạng A bằng hạng của họ véc tơ hàng và bằng hạng của họ véc tơ cột.
3. Gọi V là số chiều khơng gian nghiệm của hệ phương trình AX = 0. Ta có
dim(V ) + r(A) = n.
2

4. Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm thỏa f (x) = Ax. Khi đó
r(A) = dim(imf (f )).
Chú ý: Nếu khơng sợ nhầm lẫn, ta có thể đồng nhất ma trận A với axtt f ở trên. Khi đó
• ker(A) ≡ ker(f ), imf (A) ≡ imf (f )
• r(A) = imf (A)

5. Nếu A là ma trận vng. Khi đó, hạng A bằng n khi và chỉ khi A khả nghịch.

3


Chương 2
Trị riêng - Véc tơ riêng
1

Trị riêng ma trận - Véc tơ riêng ma trận

Định nghĩa 2.1 Cho A là ma trận vuông cấp n. λ ∈ C gọi là trị riêng (TR) của A nếu tồn tại véc tơ
x ∈ Rn khác không thỏa: Ax = λx. Khi đó: véc tơ x gọi là véc tơ riêng (VTR) của A ứng với trị riêng
λ.
Chú ý:
• Nếu x là VTR ứng với TR λ thì αx(α = 0) cũng là VTR của λ.
• Tập tất cả các VTR ứng với TR λ gọi là không gian con riêng ứng với TR λ.
• Số chiều của khơng gian con riêng gọi là bội đại số (BĐS) của λ.
• Giả sử x = 0 là VTR ứng với TR λ của ma trận A. Ta có:
Ax = λx ⇔ (A − λE)x = 0 ⇔ |A − λE| = 0.
A − λE gọi là ma trận đặc trưng của A.
• Đa thức p(λ) = |A − λE| gọi là đa thức đặc trưng của A.

• λ là TR của ma trận A nếu A − λE là ma trận suy biến.
• Bội của TR λk trong đa thức đặc trưng gọi là bội đại số (BĐS) của λk .
• Theo định lý cơ bản đại số, tổng BĐS của các TR ln bằng n.
• Theo định lý viet, tổng các TR bằng vết của A (trace(A)) và tích các TR bằng det(A).
• Giả sử λk là TR của A. Ta có VTR x = 0 tương ứng với TR của λk thỏa (A − λk E)x = 0. Từ đó,
tập các véc tơ riêng ứng với TR λk là không gian nghiệm của hệ (A − λk x) = 0 và BHH bằng số
chiều của không gian nghiệm hệ thuần nhất (A − λk x) = 0.
• Ta ln có BĐS lớn hơn hoặc bằng BHH với mọi TR của ma trận A. (Chứng minh.)

4


2

Ma trận đồng dạng và chéo hóa ma trận

Định nghĩa 2.2 Cho A, B ∈ Mn . A, B được gọi là 2 ma trận đồng dạng nếu tồn tại ma trận nghịch
đảo P thỏa:
P −1 AP = B.
Nếu A đồng dạng với ma trận chéo thì ta nói A chéo hóa được.
Giả sử A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại P ∈ Mn thỏa P −1 AP = D
Đặt

α1 0 0
 0 α2 0

P = [P1 P2 . . . Pn ],
D=
 0 0 α3


...
0 0 0
Ta có:

là ma trận chéo.
...
...
...

0
0
0

. . . αn








A[P1 P2 . . . Pn ] = [P1 P2 . . . Pn ]D
⇔ [AP1 AP2 . . . APn ] = [α1 P1 α2 P2 . . . αn Pn ]

AP1 = α1 P1



AP = α P

2
2 2
⇔

...



APn = αn Pn .

Điều này chứng tỏ αk là các TR của A và Pk là VTR tương ứng.
Mệnh đề 2.3 Cho A ∈ Mn .

• Các VTR ứng với các TR khác nhau thì ĐLTT. Chứng minh.
• A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh.
Vì tổng BĐS ln bằng n nên điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là BĐS bằng BHH.
Định lý 2.4 (Kelli-Haminton.) Cho p(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A. Khi đó p(A) = 0.

3

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

Định nghĩa 2.5 Cho A ∈ Mn (R) gọi là ma trận trực giao nếu AT = A−1 (hay A.AT = En ).
Điều kiện cần và đủ để A là ma trận trực giao là các hàng hoặc các cột của A tạo thành một cơ sở trực
chuẩn.
Định lý 2.6 Cho A là ma trận đối xứng thực. Ta có
i. Trị riêng A là những số thực.Chứng minh?
ii. A chéo hóa được.
iii. Các VTR ứng với các TR khác nhau thì vng góc với nhau.Chứng minh?
Từ định lý trên, ta suy ra, mọi ma trận đối xứng thực ln chéo hóa trực giao được. Tức là, tồn tại ma

trận trực giao P sao cho P T AP = D là ma trận chéo. (Tham khảo bài tai liệu).
5


Bài tập
Các bài tập tổng hợp đơn giản
1. Cho A là ma trận vuông. Chứng minh rằng tr(AB) = tr(BA). Từ đó suy ra khơng tồn tại ma
trận X thỏa AX − XA = En .
tr(A) là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính gọi là vết.
2. Cho 2 ma trận vuông A, B cấp n. Chứng minh rằng: Phương trình AX = B có nghiệm duy nhất
với mọi ma trận B khi và chỉ khi A không có trị riêng bằng 0.
3. Tính định thức

In =

1
1
1
...
1

x20
x21
x22
...
x2n

x0
x1
x2

...
xn

...
...
...
...
...

xn0
xn1
xn2
...
xnn

4. Cho 2 ma trận vuông cùng cấp A, B thỏa AB + A + B = 0. Chứng minh rằng: AB = BA.
5. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 có VTR là (1, 0)T .
6. Cho A ∈ Mn có tổng các hàng (hoặc cột) bằng 1. Chứng minh rằng A có trị riêng bằng 1. Điều
ngược lại đúng không?
7. Cho A ∈ Mn thỏa A2 = 2A. Chứng minh rằng A có ít nhất một trị riêng là 0 hoặc 2. Điều ngược
lại có đúng khơng?
8. Cho ma trận


1999 b 1
b 0  ; a, b ∈ R.
A= a
b
a 1


Biết rằng A có một trị riêng bằng 1. Tìm tập hợp các điểm a, b trong mặt phẳng aOb.
Có tồn tại a, b để A chỉ có duy nhất 1 TR bằng 1 (tính cả phức), vì sao?
9. Cho 2 ma trận cấp 2
A=

2 1
2 3

,

−2 1
−1 4

,

và ma trận cấp 2 X thỏa AX − mX = B. Tìm m để X có trị riêng bằng 1. Tìm các véc tơ riêng
tương ứng.
10. Chứng minh các ma trận vng sau có cùng tập các véc tơ riêng:
(a) A và A−1 .
(b) A và A − mE, ∀m ∈ R.
6


(c) A và Ak .
Tìm mối quan hệ giữa các trị riêng của các ma trận đã cho.
11. Cho ma trận vng A có tất cả các trị riêng có modul bé hơn 1. Chưng minh rằng A khả nghịch.
12. Cho Xk , k = 1, 2..n là n véc tơ riêng ĐLTT của 2 ma trận cấp n A, B. Chứng minh rằng AB = BA.
13. Cho A là ma trận cấp n. Chứng minh rằng một trong các ma trận sau khả nghịch: A, A − E, A −
2E, . . . , A − nE.

14. Cho ma trận vuông cấp n . Chứng minh rằng: A không có trị riêng khác 0(tính cả phức) khi và
chỉ khi ∃k ∈ Z + thỏa Ak = 0.
A được gọi là ma trận lũy linh và số k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 gọi là cấp của A Chứng minh rằng
cấp của ma trận lũy linh không lớn hơn n.
15. Giải các hệ phương trình sau:


x1 + x2 = 1




 x2 + x3 =

(a) . . .



xn−1 + xn = n − 1



x + x = n
n
1

4





(b) 



0 1
1 0
1 1

1
1
0
...
1 1 1


... 1 1
... 1 2 

... 1 3 


... 0 n



1
 n


(c) 
 n−1

2

2
1
n

3
2
1
...
3 4

...
n
1
... n − 1 2
... n − 2 3
...

1

Các bài tập về định thức.

Tính các định thức sau

1.

2.

3.

4.

1 2
2 2
2 2

2
2
3
...
2 2 2
a b
b a
b b

b
b
a
...
b b b

... n

0
4
4

...
0 0 0

... 4

... b
... b
... b

2 2
1 2
0 1

... 0
... 0
... 0

... 2
... 2
... 2

5.

6.

... a

1 + a1 b1
a1 b2
a1 b3

a2 b1
1 + a2 b2
a2 b3
a3 b1
a3 b2
1 + a3 b3
...
an b1
an b2
an b 3
a + b ab
0
1
a + b ab
0
1
a+b
...
0
0
0

...
...
...

...
...
...

a1 b n
a2 b n
a3 b n

7.

. . . 1 + an bn

0
0
0

8.

... a + b
7

4 4
1 4
0 1

0
2
2
...
0 0 0

... 0
... 0
... 0

... 2

1 + x1 y1 1 + x1 y2 1 + x1 y3
1 + x 2 y 1 1 + x 2 y 2 1 + x2 y 3
1 + x 3 y 1 1 + x 3 y 2 1 + x3 y 3
...
1 + xn y1 1 + xn y2 1 + xn y3

. . . 1 + x1 y n
. . . 1 + x2 y n
. . . 1 + x3 y n
. . . 1 + xn yn

sin(2α1 )
sin(α1 + α2 ) . . . sin(α1 + αn )
sin(α2 + α1 )
sin(2α2 )
. . . sin(α2 + αn )
sin(α3 + α1 ) sin(α3 + α2 ) . . . sin(α3 + αn )
...
sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) . . .
sin(2αn )

n


9.

10.

11.

1 + a1
a2
a3
a1
1 + a2
a3
a1
a2
1 + a3
...
a1
a2
a3
0 1
1 0
1 x

1
x
0
...
1 x x
a1 x x
x a2 x
x x a3
...
x x x

...
...
...

12. A ∈ M2n có đường chéo chính là a và đường
chéo phụ là b, các phần tử còn lại bằng 0.

an
an
an

. . . 1 + an

... 1
... x
... x

13.

... 0
...
...
...

x
x
x

14.

. . . an

a1 0 . . . 0 b1 0
0 a2 . . . 0 0 b2
...
...
0 0 . . . an 0 0
c1 0 . . . 0 d 1 0
0 c2 . . . 0 0 d 2
...
...
0 0 . . . cn 0 0
1 2
1 2
0 1

0
2
2
...
0 0 0

... 0
... 0
...
. . . bn
... 0
... 0
...

. . . dn

... 0
... 0
... 0
... 2

Các bài tập về hạng
1. Cho X và A là 2 ma trận nhân được với nhau, X là ma trận khả nghịch. Chứng minh rằng
r(XA) = r(AX) = r(A), ∀A. Điều ngược lại có đúng không?
2. Chứng minh rằng r(AB) ≤ r(A) và r(AB) ≤ r(B) với mọi ma trận A, B nhân được với nhau.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
3. Cho A, B là 2 ma trận cùng cỡ. Chứng minh rằng r(A + B) ≤ r(A) + r(B).
4. Cho A, B, C ∈ Mm,n . Chứng minh hai bất đẳng thức sau
(a) Bất đẳng thức Sylvester
Đẳng thức xảy ra khi nào?

r(A) + r(B) ≤ n + r(AB).

(b) Bất đẳng thức Frobenius
r(AB) + r(BC) ≤ r(ABC) + r(B).
Đẳng thức xảy ra khi nào? Nếu thay đổi thứ tự ABC thì cịn đúng nữa không?
5. Cho A ∈ Mn và PA là ma trận phụ hợp của A, chứng minh rằng
(a) APA = det(A).En
(b)


r(PA ) = n, r(A) = n,
r(PA ) = 1, r(A) = n − 1,



r(PA ) = 0, r(A) < n − 1.

6. Cho 2n số x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn và ma trận A = (aij ) cấp n thỏa aij = xi + yj . Chứng minh
rằng r(A) ≤ 2.
7. Cho A ∈ Mn [K] và r(A) = 1. Chứng minh rằng
8


(a) Tồn tại 2 véc tơ x, y ∈ Rn thỏa A = xy T .

(b) A2 = trace(A).A

(c) det(A + E) = trace(A) + 1.
Trong đó trace(A) bằng tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính và E là ma trận đơn
vị cấp n.
8. Cho các ma trận vuông A, B, C, D ∈ Mn , A khả nghịch. Xét ma trận cấp 2n M =

A B
C D

, có

hạng bằng n. Chứng minh rằng D = CA−1 B
9. Cho A, B, C ∈ Mn . Chứng minh rằng: nếu r(A) = r(BA) thì r(AC) = r(BAC).
10. Cho A, B, C ∈ M2 . Chứng minh rằng (AB − BA)2004 C = C(AB − BA)2004 .
11. Cho a1 , a2 , ..., a2n+1 là những số khác 0. Tính định thức từ đó suy ra hạng của ma trận


0

a1
0 ...
0
0
 −a1 0
a2 . . .
0
0 



 0 −a2 0 . . .
0
0

A=

 ... ... ... ... ...


 0
0
0 ...
0
a2n 
0
0
0 . . . −a2n 0
12. Cho A, B ∈ Mmn . V1 , V2 là họ véc tơ hàng của A, B và W1 , W2 là họ véc tơ cột của A. Chứng
minh các mệnh đề sau tương đương:

i r(A + B) = r(A) + r(B).
ii V1 ∩ V2 = 0.

iii W1 ∩ W2 = 0.
13. Cho A, B ∈ Mmn thỏa B T A = 0. Chứng minh rằng r(A + B) = r(A) + r(B).
14. Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp lẻ. Chứng minh rằng: nếu AB = 0 thì một trong 2 ma trận
A + AT và B + B T suy biến.
15. Cho 2 ma trận A ∈ Mmp , B ∈ Mpn . Chứng minh rằng:
r(AB) = r(B) ⇔ (ABX = 0 ⇒ BX = 0, ∀X ∈ Rn ).
16. Cho A ∈ Mn thỏa A2 = En . Chứng minh rằng r(A + En ) + r(A − En ) = n
17. Cho A là ma trận cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc 2000 và các phần tử
còn lại bằng 1. Chứng minh rằng r(A) bằng n hoặc n − 1.

Bài tập TR-VTR
1. Các ma trận đồng dạng thì cùng đa thức đặc trưng. Điều ngược lại có đúng khơng.
2. Cho A ∈ Mn có đa thức đặc trưng là p(λ) = λn + 1. Chứng minh A khả nghịch và tìm đa thức
đặc trưng của A−1 .
3. Chứng minh rằng: mọi ma trận thực có định thức âm thì có TR thực.
4. Tìm một ma trận B ∈ Mn (R) sao cho B 2 = A. Biết rằng
9





7
6 0
(a) A =  −4 −3 0 
3
4 2




0 1 0
(b) A =  0 0 1 
0 0 0

5. Cho A, B ∈ Mn (K). Chứng minh rằng
(a) A và AT có cùng tập TR nhưng VTR có thể khác nhau.
(b) x là VTR của A ứng với TR λ thì x cũng là VTR ứng của ma trận Am (m ∈ Z+ ) ứng với
TR λm . Điều này cịn đúng khơng nếu |A| = 0 và m ∈ Z.

(c) Cho f (x) là đa thức theo biến x. Chứng minh rằng: λ là TR của A thì f (λ) là TR của f (A).

(d) AB và BA có cùng tập trị riêng.
6. Tồn tại hay khơng 2 ma trận A, B ∈ Mn thỏa: AB − BA = En ?
7. Chứng minh rằng: mọi ma trận vng có các phần tử chẵn thì khơng có TR lẻ.
8. Cho B ∈ Mn có |B| = 0. Tồn tại hay không ma trận A ∈ Mn thỏa (AB)2 = (BA)2 + En .
9. Cho A, B ∈ Mn thỏa AB − BA = A. Hãy chứng minh A suy biến.
10. Cho A, B ∈ Mn thỏa r(A) = 1 và trace(AB) = 0. Hãy chứng tỏ ABA = 0.
11. Cho f (x) = x2012 + x2 − 1 và ma trận


3 1
 4 3
A=
 2 3
2 −1


0 0
0 0 

3 −1 
2 0

Tính det(f (A)).
12. Cho α, β, γ là những số thực khác 0 và a, b, c, d, p, q, là những số thực tùy ý. Chứng minh ma trận
sau có tất cả các TR là những số thực.

α 
α
a b
c
β
γ 

 β
β 

b
d
p
B=
 α

γ
 γ


γ
c
p
q
α
β
13. Cho n − 1 cặp số thực thỏa bi .ci > 0, i = 1, 2, . . . , n − 1 và n số thực ai , i = 1, 2, . . . , n tùy ý. Hãy
chứng tỏ ma trận


a1 b1 0 . . . 0
 c1 a2 b2 . . . 0 



0
c
a
.
.
.
0
A=
2
3




...

0 0 0 . . . an
có n TR thực phân biệt.

10


14. Hãy chứng tỏ ma trận sau có các TR thực đối nhau

0 1 0
 1 0 1

A=
 0 1 0

...
0 0 0
15. Tìm tất cả các

1
 2

(a) A = 
 3

n

0
 1

(b) A = 

 0

0

0
 1

 0
(c) A = 


 0
0

TR của ma trận

1 1 ... 1
2 2 ... 2 

3 3 ... 3 


...
n n ... n

0 0 ... 1
0 0 ... 0 

1 0 ... 0 



...
0 0 ... 0
1
0
1

0
1
0
...
0 0
0 0


... 0
... 0 

... 0 


... 0



0
1
−1 0
0 −1




(d) A = 


 0
0

−1
 1

 0
(e) A = 


 0
0


... 0 0
... 0 0 

... 0 0 



... 0 1 
... 1 0

0
0
1
0
1
0
0

0
1
0
...
0
0

...
...
...

0
0
0

0
0
0










... 0 1 
. . . −1 0

0 ... 0 0
1 ... 0 0 

0 ... 0 0 


...

0 ... 0 1 
0 ... 1 0

Định nghĩa 2.7 Trong không gian Rn , cho khơng gian con U . Xét ánh xạ tuyến tính f : Rn →
ℜn .f (x) = P rF (x) là hình chiếu của x xuống F . Khi đó, ma trận của f gọi là ma trận ánh xạ chiếu.
Định nghĩa 2.8 Cho A là ma trận vuông cấp n (thực hoặc phức). A được gọi là ma trận lũy linh cấp
k ∈ N ∗ nếu Ak = 0 và Ak−1 = 0.

Bài tập tổng hợp
Câu 1: Cho A ∈ Mn (R) phản đối xứng. Chứng minh rằng
(a) Nếu n lẻ thì A suy biến.
(b) Mọi TR của A ln có phần thực bằng 0.
(c) Nếu n chẵn thì |A| ≥ 0.
Câu 2: Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) thỏa aij aji ≤ 0 và An = 0. Chứng minh rằng A có ít nhất 2 trị riêng

không phải số thực.
Câu 3: Cho A, B ∈ Mn thỏa AB = BA và A có n trị riêng phân biệt. Chứng minh rằng
(a) B chéo hóa được.
(b) x là VTR của A thì x cũng là VTR của B.
(c) Tồn tại đa thức hệ số thực f bậc bé hơn n sao cho B = f (A).
11





2 −1 0
Câu 4: Cho A =  −1 2 −1  . Chứng minh rằng: mỗi ma trận B thỏa AB = BA ln có dạng
0 −1 2
B = aI + bA + cA2 ; a, b, c ∈ R.
Câu 5: Cho A ∈ Mn khả nghịch. Hãy thành lập đa thức f sao cho f (A) = A−1 .
Câu 6: Cho A ∈ Mn . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A là ánh xạ chiếu là A2 = A.
Câu 7: Cho A ∈ Mn thỏa A2 = A. Chứng minh rằng A chéo hóa được.
Câu 8: Cho A ∈ Mn thỏa A2 = I (ma trận ánh xạ đối xứng). Chứng minh rằng A chéo hóa được.
Câu 9: Cho A ∈ Mn sao cho lim An = B. Chứng minh rằng B chỉ có TR bằng 0 hoặc 1 và chéo hóa
n→∞
được.
Câu 10: Cho A ∈ M n . Chứng minh rằng r(A) ≤ r(A2 ) ≤ · · · ≤ r(Am ) ≤ . . . và dấu bằng xảy ra kể từ 1
chỉ số nào đó trở đi (chỉ số đó gọi là core nilpotent).
Câu 11: Cho A ∈ Mn . Chứng minh rằng:
(a) A là ma trận lũy linh khi và chỉ khi A chỉ có trị riêng 0.
(b) Giả sử A lũy linh cấp k. Hãy chứng tỏ k ≤ r(A) + 1. (Tổng quát hơn, core nilpotent của
một ma trận luôn bé hơn hoặc bằng BĐS(0)-BHH(0)+1 ).
(c) A lũy linh khi và chỉ khi tr(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, . . . , n.

(d) Cho đa thức f (x), A lũy linh. Chứng tỏ rằng: f (0) = 0 thì f (A) lũy linh và f (0) = 0 thì
f (A) khả nghịch.
(e) Cho A lũy linh, B = 0 và AB = BA. Chứng minh rằng r(AB) ≤ r(B) − 1.
(f) A, B ∈ Rn lũy linh và giao hốn được với nhau thì A + B cũng lũy linh.

Câu 12: Cho A là ma trận (thực hoặc phức) cấp n. Chứng minh răng det(AA + I) ∈ R.
Câu 13: Cho A, B, C là ba ma trận cấp 2 hệ số nguyên và có định thức bằng 1.
(a) Chứng minh rằng, tồn tại A, B, C thỏa A2 + B 2 = C 2 .
(b) Chứng tỏ không tồn tại A, B, C thỏa A4 + B 4 = C 4 .
Câu 14: Cho A, B ∈ Mn sao cho tồn tại α, β khác 0 thỏa AB + αA + βB = 0. Chứng minh rằng
AB = BA.

12


Câu 15: Cho A ∈ Mn có các phần tử nằm trên đường chéo bằng a và ngoài đường chéo bằng b. Tính
Am .
Câu 16: Tìm tất cả các ma trận A =

a b
c d

sao cho Am =

am bm
cm d m

,

∀m ∈ Z+ .

Câu 17: Cho ma trận


Tìm Am , m ∈ Z+ .



A=



1 1
0 1
0 0

1
1
1
...
0 0 0


... 1
... 1 

... 1 


... 1

Câu 18: Cho A, B ∈ Mn thỏa A2 = A, B 2 = B, AB = BA. Tính det(A − B).
Câu 19: Cho ma trận vuông A thỏa A2003 = 0. Hãy chứng tỏ với mọi số tự nhiên n, ta ln có:
r(A) = r(A + A2 + · · · + An )

.

Câu 20: Cho A ∈ Mn,n+1 thỏa det(AAT ) = 0. Gọi B là ma trận phụ hợp của AT A. Tìm r(B)?
Câu 21: Cho A ∈ Mn là ma trận khả nghịch có các cột là A1 , A2 , . . . , An . B là ma trận có các cột là
0, A1 , A2 , . . . , An−1 . Chứng minh A−1 B và BA−1 đồng dạng với nhau và khơng chéo hóa được.
Câu 22: Cho A ∈ Mn , x ∈ Rn và số tự nhiên k > 1 thỏa Ak x = 0, Ak−1 x = 0. Chứng minh rằng
{x; Ax; A2 x; ...; Ak−1 x} độc lập tuyến tính.
Câu 23: Cho A, B ∈ Mn . Chứng minh rằng:

ker A ≡ ker B ⇐⇒ ∃C ∈ Mn khả nghịch : A = CB

Câu 24: Cho A ∈ Mn (R)(n > 1) có n TR phân biệt. Chứng minh rằng ma trận B ∈ Mn giao hoán được
với A khi và chỉ khi tồn tại ma đa thức hệ số thực f bậc bé hơn n sao cho B = f (A).


x 1 1 1
 1 x 1 1 

Câu 25: Cho x ∈ R và Ax = 
 1 1 x 1 
1 1 1 x
(a) Tìm det(Ax )
(b) Nếu Ax khả nghịch thì A−1
x =

A−x−2
.
(x−1)(x+3)

Câu 26: Chứng minh hoặc đưa ra phản vị dụ nhận định sau: Mọi ma trận vuông A cấp 2, tồn tại ma
trận B sao cho A = B 2 .


0 0 0 1
 0 0 0 0 
n

Câu 27: Cho Ax = 
 0 0 0 0 . Tìm tất cả các số nguyên n sao cho phương trình ma trận X = A
0 0 0 0
có nghiệm.
Câu 28: Khẳng định sau đây đúng hay sai? Tồn tại A ∈ Rn (R) sao cho A2 + 2A + 5I = 0 nếu và chỉ nếu
n là số chẵn.
Câu 29: Phương trình ma trận nào sau đây có nghiệm thực (không cần chỉ ra nghiệm)?
13




0 0 0
3

(a) X = 1 0 0
2 3 0


3
5

(b) 2X + X = 5
0



(c) X 6 + 2X 4 + 10X =




5 0
1 9 
9 0

0 −1
1 0




3 4 0
(d) X 4 =  0 3 0 
0 0 −3

Câu 30: Tìm một ma trận thực A khác đơn vị thỏa A3 = E.
Câu 31: Cho A =

a b
c d

; a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng A có một véc tơ riêng (x, y)T thỏa x, y > 0.

Câu 32: Cho A là ma trận cấp 3 có det bằng 1 và tr(A) = tr(A−1 ) = 0. Chứng minh rằng A3 = I.
x2
Câu 33: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2 và α, β là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 1 + x +
+
2!
p
x
··· +
= 0. Chứng minh rằng α + β, α − β; αβ là những số vô tỉ.
p!
Câu 34: Cho A là một ma trận trực giao thực cấp n.
(a) Chứng minh rằng |tr(A)| ≤ n

(b) Tìm một ma trận trực giao thực A thỏa det(A2 − I) = 0.
Câu 35: Cho A, B ∈ Mn là 2 ma trận đối xứng thực và giao hoán được với nhau. Chứng minh rằng AB
và BA có cùng tập các véc tơ riêng. (Giả thiết đối xứng thực có thể thay thế bằng tính chéo hóa
được hoặc A có n TR phân biệt).
Câu 36: Cho A, B ∈ Mn thỏa AB = BA2 và A khơng có TR có modul bằng 1. Chứng tỏ rằng A và B
có chung 1 véc tơ riêng.
Câu 37: Xét ánh xạ f (x) = max |xi |, ∀x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn )T ∈ Rn và ma trận A ∈ Mn (R) thỏa f (Ax) =
i

f (x), ∀x ∈ Rn . Chứng minh rằng: tồn tại m ∈ Z+ : Am = E.

Câu 38: Cho p là số nguyên tố. Ta định nghĩa số nguyên dương n gọi là interesting nếu tồn tại 2 đa thức

f (x), g(x) thỏa
xn − 1 = (xp − x + 1)f (x) + p.g(x)
(a) Chứng minh rằng n = pp − 1 là số interesting.

(b) Tìm điều kiện của p để pp − 1 là số interesting bé nhất.
Câu 39: Cho m ma trận cấp n(m > 2n ) thỏa A2i = 0, ∀i = 1, 2, .., m. Chứng minh rằng
Câu 40: Cho A = (aij ) là ma trận thực cấp n thỏa

n
j=1

m

Ai = 0.
i=1

aij = a, ∀i = 1, 2, .., n. Tìm a.

Câu 41: Cho n số thực a1 , a2 , .., an và ma trận A ∈ Rn thỏa aij = ai aj . Tìm det(A + I).
Câu 42: Chứng minh rằng: tập các ma trận lũy linh cấp n không sinh ra được Mn .
Câu 43: Cho m là số thực tùy ý. Chứng minh rằng, nếu phương trình x3 − 43 x + m = 0 có 1 nghiệm
thuộc [−1, 1] thì tất cả các nghiệm thực của phương trình cũng thuộc [−1, 1].

14


Câu 44: Tìm tất cả các đa thức p(x) hệ số hữu tỉ sao cho mọi x là số vô tỉ thì p(x) là số vơ tỉ.
Câu 45: Cho A = (aij ) ∈ Mn là ma trận khác 0 thỏa aik ajk = akk aij , ∀i, j, k = 1, 2, .., n. Chứng minh
rằng:
(a) tr(A) = 0.

(b) A đối xứng.
(c) r(A) = 1
Câu 46: Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa đa thức đặc trưng của 1 trong 2 ma trận là bất khả quy. Chứng minh
rằng r(AB − BA) > 1
Câu 47: Cho A ∈ Mn sao cho mọi ma trận B có vết bằng 0 thì vết của AB bằng 0. Chứng minh rằng:
∃α : A = αI
Câu 48: Cho A ∈ M2n+1 có các các phần tử thuộc {1; −1}. Gọi ai , bj (i, j = 1, 2.., n) lần lược là tích các
phần tử của hàng i và tích các phần tử của cột j. Chứng minh rằng

n

(ai + bj ) = 0. Điều này

i,j=1

cịn đúng khơng nếu A là ma trận cấp chẵn.
Câu 49: Cho A ∈ Rn . x là VTR ứng với TR λ của ma trận An sao cho họ véc tơ {x; Ax; A2 x; . . . ; An−1 x}
độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng (An − λI)n = 0.


8 2 −2
Câu 50: Cho A ∈ M3×2 , B ∈ M2×3 thỏa AB =  2 5 4  . Tìm ma trận BA.
−2 4 5
Câu 51: Cho A, B là 2 ma trận trực giao phức. Khẳng định sau đúng hay sai?
det(A) + det(B) = 0 =⇒ det(A + B) = 0
Câu 52: Cho A là ma trận cấp n thực có các phần tử không âm và tổng các phần tử trên một hàng hoặc
một cột bất kỳ lớn hơn hoặc bằng n. Chứng minh rằng tổng các phần tử của A lớn hơn hoặc
n2
bằng
2

Câu 53: Cho A ∈ Mn (R). Chứng minh rằng


tr(A)
1
0
0
...
0
 tr(A2 )
tr(A)
2
0
...
0 


2

 tr(A3 )
1
tr(A
)
tr(A)
3
.
.
.
0
.

det(A) =
det 
 ...
...
... ...
...
... 
n!


tr(An−1 ) tr(An−2 ) . . . . . . tr(A) n − 1
tr(An ) tr(An−1 ) . . . . . . tr(A2 ) tr(A)
Câu 54: Cho A ∈ M2×n . dij là định thức của ma trận tạo bởi cột i, j và 2 hàng của A. Hãy tìm hạng
của ma trận D = (dij ).
k

Câu 55: Cho p là số nguyên tố. a =

ai p i , b =

i=0

(a) Chứng minh rằng Cab =

k
i=0

k
i=0

bi pi , (0 ≤ ai ≤ bi < p, ai , bi ∈ N ).

Cabii ( mod p).
15


(b) Chứng minh rằng: nếu α1 + α2 + · · · + αp = 2p > n thì đa thức
p

p

xαi i

F (x1 , .., xp ) =
i=1

−2

p

i=1

(xi − 1) +

i=1

xni − 1

bất khả quy trên Q.
Câu 56: Cho A ∈ Mn ma trên mỗi cột có đúng 2 phần tử khác 0. Trong đó, phần tử trên đường chéo

chính lớn 1 và phần tử khác bằng 1. Chứng minh rằng det(A) = 0.
Câu 57: Cho 4 ma trận vuông A, B, C, D cấp n thỏa: ADT − BC T = E (E là ma trận đơn vị); AB T và
CDT là ma trận đối xứng. Chứng minh rằng AT D − C T B = E.
Câu 58: Cho 2 đa thức thực f, g cùng bậc 13 và không là ước của nhau. Chứng minh rằng, ước chung
lớn nhất của chúng có bậc khơng q 6.
√
Câu 59: Cho εk , k = 1, 2, .., n là n giá trị của n 1, (n > 1). Hãy tính
(εi + εj ).
1≤i
Câu 60: Cho ma trận A cấp n và số tự nhiên p > 1 thỏa Ap+1 = A.
(a) CMR: r(A) + r(E − Ap ) = n.

(b) Nếu p là số nguyên

1
Câu 61: Tính A200 với A = −1
−1

tố lớn hơn 2 thì r(E − A) = r(E − A2 ) = · · · = r(E − Ap−1 ).

−1 1
1 0
0 1

Câu 62: Cho a, b, r1 , r2 , .., rn ∈ R, f (x) =

n
i=1

(ri − x) và ma trận


r1 a a
 b r2 a

A=
 b b r3

...
b b b
Chứng minh rằng det(A) =


a
a

a


. . . rn
...
...
...

af (b) − bf (a)
.
a−b

Câu 63: Cho X, Y, Z là 3 ma trận vuông phức thỏa r(XY − Y X + E) = 1, XZ = ZX, Y Z = ZY . Chứng

minh rằng Z = αE với α là hằng số phức nào đó.
Câu 64: Cho p(x) là đa thức hệ số thực bậc n. Chứng minh rằng phương trình p(x) = ex có khơng q
n + 1 nghiệm.
Câu 65: Cho n số thực x1 , x2 , .., xn và ma trận A = (aij ) thỏa aij = cos(xi − xj ). Tính det(A).
Câu 66: Cho A là ma trận trực giao thực. Chứng minh rằng
(a) tr(A) ≤ n.

(b) Nếu n lẻ thì det(A2 − E) = 0.
Câu 67: Cho f là đa thức bậc 3 hệ số nguyên thỏa
thức hệ số nguyên p(x) : f (x) = (q(x))3 .

3

16

f (n) ∈ Z, ∀n ∈ N . Chứng minh rằng: tồn tại đa


Câu 68: Cho p(x) là đa thức bậc n thỏa p(k) =

k
, k = 0, 1, .., n. Tính p(n + 1).
k+1

Câu 69: Cho A là ma trận đối xứng thực. Chứng minh rằng: A bán xác định dương khi và chỉ khi mọi
ma trận B đối xứng bán xác định dương ta ln có tr(AB) ≥ 0.
Câu 70: Cho A là ma trận cấp 2 khác 0. Chứng minh rằng: A là ma trận chính phương (A = B 2 ) khi
và chỉ khi A2 = 0.
ab + ac + bc
a+b+c

Câu 71: Cho a, b, c là 3 số phức có modul bằng r và a + b + c = 0. Chứng minh rằng

= r.

Câu 72: Cho 2 đa thức p(z) = (z + 1)2003 + 1 và q(z) = z 20 − 2002z 10 − 2003. Chứng minh rằng p(z), q(z)
khơng có chung nghiệm.
Câu 73: Cho p(x) là đa thức bậc n(n > 1) có n nghiệm phân biệt x1 , x2 , .., xn . Chứng minh rằng
n
1
=0
′
k=1 p (xk )
Câu 74: Cho A là ma trận cấp n khả nghịch sao cho mỗi hàng chỉ có đúng 1 phần tử khác 0 là 1 hoặc
-1. Chứng minh rằng: tồn tại số tự nhiên m sao cho Am = AT .
Câu 75: Cho A là ma trận đối xứng thực có các phần tử dương. Chứng minh rằng A có TR dương.
Câu 76: (Đề sai: f = x2 − x + 1/10)Cho f (x) là đa thức thực bậc n và q(x) = f (x) +
···+

f ′ (x) f ′′ (x)
+
+
2
22

f (n) (x)
. Chứng minh rằng: nếu f (x) chỉ có nghiệm thực thì q(x) cũng chỉ có nghiệm thực.
2n

Câu 77: Cho phương trình x5 = x + 1 có 5 nghiệm là x1 , x2 , .., x5 . Tính x61 + x62 + · · · + x65 .

3

Câu 78: Cho A, B là 2 ma trận đối xứng xác định dương cấp 3. Chứng minh rằng

aij bji > 0
i,j=1

Câu 79: Chứng minh rằng: mọi ma trận chéo cấp n(n > 1) khác 0 đều biểu diễn dưới dạng tổng 2 ma
trận có định thức bằng 1.
Câu 80: Cho A là ma trận vuông cấp 2006 có các phần tử đều bằng 1. Tính (E − A)2006 .
Câu 81: Cho đa thức pn (x) bậc n xác định bởi

1
1 + x2

(n)

=

pn (x)
. Chứng minh rằng
(1 + x2 )n+1

pn+1 (x) + 2x(n + 1)pn (x) + n(n + 1)(1 + x2 )pn−1 (x) = 0.
Câu 82: Tồn tại hay không 2 ma trận X, Y cấp 3, trực giao thỏa X 3 Y 2 X 5 Y 7 X 4 Y 5 = −E
Câu 83: Cho A, B, C là 3 ma trận thực giao hốn từng đơi 1. Chứng minh rằng: tồn tại 3 số thực
a, b, c ∈ R sao cho det(aA + bB + cC) = 0.
Câu 84: Cho A = (aij ) ∈ M2008 ,B = (bij ) ∈ M2008 với bij = 2008i−j aij . Đặt D = det(A). Hãy tính
det(B) theo D. Làm tương tự bằng cách thay 2008 bằng 2007.
Câu 85: Chứng minh đa thức f (x) = x18n (x5 + 1) + x12n+1 (x2 + 1) + x6n+2 (x2 + 1), (n ∈ N ) chia hết cho

đa thức p(x) = x5 + x4 + .. + x + 1.
Câu 86: Cho n + 1 số x1 , x2 , .., xn , k và ma trận A = (aij ) ∈ Mn thỏa aij = xi xj , ∀i = j và aii = x2i + k.
Tính det(A).
17


Câu 87: Chứng minh rằng: mọi đa thức thực đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu 2 đa thức đồng biến.
Câu 88: Cho đa thức f (x) = xn − xn−1 − xn−1 − · · · − x − 1, (n > 1). Chứng minh rằng: các nghiệm
1
1
dương của f (x) thuộc khoảng (2 − n−1 , 2 − n ).
2
2
Câu 89: Cho A là ma trận không suy biến cấp n có các phần tử dương. zn là số phần tử bằng 0 trong
ma trận A−1 . Chứng minh zn ≤ n2 − 2n.
Câu 90: Cho A là ma trận khơng suy biến cấp 2 có các trị riêng là λ1 = λ2 = λ. Chứng minh với mọi
λ δ
ε > 0 tồn tại ma trận vuôn cấp 2 S và δ ∈ [0, ε] sao cho: S −1 AS =
0 λ
Câu 91: P (x) là đa thức bậc n với hệ số thực, chỉ có nghiệm thực. Chứng minh (n − 1)(P ′ (x))2 ≥
nP (x)P ′′ (x), ∀x ∈ R.
Câu 92: Cho đa thức P (x) và 2 ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: P (A + B) = P (A) + P ′ (A)B
khi và chỉ khi AB − BA = B 2 .
Câu 93: Chứng minh rằng đa thức f (x) = a1 xk1 + a2 xk2 + · · · + a2003 xk2 003 có khơng q 2002 nghiệm
dương kể cả bội.
Câu 94: Chứng minh bất đẳng thức
1
x1
x21

1
x2
x22

xn−1
xn−1
1
2

1
x3
x23
...
xn−1
3

...
...
...

1
xn
x2n

≤

. . . xn−1
n

2

(x2 + x22 + · · · + x2n )
n−1 1

n(n−1)
4

Câu 95: Cho ma trận A cấp 10 có 92 phần tử lẻ và 8 phần tử chẵn. Chứng minh det(A) là số chẵn.
B C
.
CT D

Câu 96: Cho B, C, D là 3 ma trận thực cùng cấp, D đối xứng, B đối xứng và khả nghịch. A =
Giả sử a, b, c là TR của A, B, D − C T B −1 C. Hãy chứng minh a = b + c.

Câu 97: Cho A, B là 2 ma trận cấp 10. Biết ma trận nghịch đảo của A, A + B, A + 2B, . . . , A + 25B có
các phần tử là những số nguyên. Chứng minh rằng ma trận nghịch đảo của A + 2005B có các
phần tử nguyên.
Câu 98: Cho P (x) là đa thức bậc n lẻ. Biết rằng P (x) và P (P (x)) có đúng n nghiệm thực. Chứng minh
rằng P (P (P (x))) cũng có đúng n nghiệm thực.
Câu 99: Cho B, C là ma trận thực cấp n, A = B + iC. Hãy chứng minh

B −C
= |A|2
C B

Câu 100: Cho f (x) là đa thức bậc n, (n ≥ 2) có n nghiệm thực x1 , x2 , . . . , xn . Hãy chứng minh
0, ∀k ≤ n − 2, k ∈ N.

xki
=

′
i=1 f (xi )
n

Câu 101: Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa r(A) = r(B). Chứng minh rằng, tồn tại ma trận cấp khả nghịch C sao
cho A = BC.
Câu 102: Cho A là ma trận cấp 5 có các phần tử bằng ±1. Chứng minh rằng |A| ≤ 48.
18


Một số bài khác
Câu 1: Cho X là KGVT n chiều. V1 , V2 là 2 khơng gian con có số chiều bằng nhau. Chứng minh rằng,
tồn tại không gian con U thỏa V1 ⊕ U = V2 ⊕ U .
Câu 2: Cho A là ma trận cấp n tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại ma trận B thỏa AB là ma trận
idempotent, tức là AB = (AB)2 .
Câu 3: Cho cơ sở trực chuẩn {e1 ; e2 ; . . . ; en } trong Rn và n véc tơ đơn vị {a1 ; a2 ; . . . ; an } thỏa (e1 , a1 ) +
(e2 , a2 ) + · · · + (en , an ) > n(n − 1). Chứng minh rằng {a1 ; a2 ; . . . ; an } độc lập tuyến tính.
Câu 4: Ma trận thực A = (aij ) cấp n gọi là ma trận balanced nếu
(∀i, i′ , j, j ′ : 1 < i < i′ < n, 1 < j < j ′ < n) =⇒ (aij + ai′ j ′ ≤ aij ′ + ai′ j ).
Cho A là ma trận balanced và 1 ≤ i1 < i2 ≤ n sao cho ta đổi chỗ hàng i1 , i2 cho nhau được
ma trận mới cũng là ma trận balanced. Chứng minh rằng: ∀i′1 , i′2 : i1 < i′1 < i′2 < i2 , ta đổi chỗ
hàng i′1 , i′2 cho nhau thì ta cũng được ma trận mới là ma trận balnced.
Câu 5: Cho A ∈ Mn thỏa r(A) = r(A2 ). Chứng minh rằng
(a) C n = im(A) ⊕ ker(A).

(b) Tồn tại đa thức p(x) sao cho B = f (A) là ma trận idempotent (B 2 = B) và B(x + y) =
x, ∀x ∈ im(A), y ∈ ker(A).
Câu 6: Cho phương trình z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = 0. Chứng minh rằng: mọi nghiệm z của
phương trình ln thỏa
n

|z| ≤ max k |ak |
k=1

.

Câu 7: Cho đa thức p(z) = z 3 + az 2 + bz + c có các nghiệm nằm trên đường trịn đơn vị. Có thể kết
luận được gì về các nghiệm của đa thức q(x) = z 3 + |a|z 2 + |b|z + |c|.
Câu 8: Cho 2 phương trình hệ số phức
z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = 0
z n + a′1 z n−1 + · · · + a′n−1 z + a′n = 0

(1)
(2)

và 2 số thực dương α, β thỏa: |ck | < αk , |ck − c′k | < αk β, ∀k = 1, 2.., n.

Chứng minh rằng: mọi nghiệm z của phương trình (1), ln tồn tại z ′ là nghiệm của phương
trình (2) sao cho:
|z − z ′ | < 2α n β.

Câu 9: Cho đa giác lồi n cạch trong mặt phẳng phức có các đỉnh là c1 , c2 , .., cn và số phức z thỏa
(z − c1 )−1 (z − c2 )−1 + · · · + (z − cn )−1 = 0. Chứng minh z nằm trong đa giác đó.
Câu 10: Biết mọi nghiệm của đa thức P (z) = z n + c1 z n−1 + . . . + cn với các hệ số là thuần ảo. C/m với
2xP ′ (x)
−n ≤n
mọi x thực thỏa mãn:
P (x)
Câu 11: Cho T là ma trận kích thước m × n có r(T ) = m. b ∈ Rm và tập A = {x ∈ Rn |T x = b; xk ≥
0, k = 1, 2, .., n}. Chứng minh nếu điểm x thuộc A là đỉnh của tập A thì tồn tại 1 cách đánh số
{ik } thành phần của điểm x sao cho xik = 0 với mọi k = m + 1, .., n, còn các cột Tik ĐLTT.

19


Chương 3
Đa Thức
1

Kiến thức cơ bản về đa thức

1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 3.1

• Đa thức bậc n là biểu thức có dạng p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 = 0.

• Tập các đa thức bậc n ký hiệu là Pn [x].
• Nếu ak ∈ R, k = 1, 2, .., n thì p(x) gọi là đa thức hệ số thực.
• △f = f (x + 1) − f (x) là đa thức bậc n − 1 gọi là đa thức sai phân.
Ta có:

ak =
k chẵn

1.2

p(1) + p(−1)
,
2

ak =
k lẻ

p(1) − p(−1)
2

Phép chia - Ước chung lớn nhất - Nguyên tố cùng nhau.

i) Cho đa thức p(x) bậc n. Mọi đa thức f (x) luôn viết duy nhất dưới dạng
f (x) = p(x)q(x) + r(x), với r(x) là đa thức chuẩn tắc bậc bé hơn n.
q(x) gọi là đa thức thương và r(x) gọi là đa thức dư.
ii) Nếu r(x) = 1 thì ta nói f (x) chia hết cho p(x) hay p(x) chia hết f (x).
iii) Cho 2 đa thức f (x), g(x) cùng chia hết cho p(x) thì p(x) gọi là ước chung của f (x) và g(x).
Đa thức ước chung có bậc lớn nhất gọi là ước chung lớn nhất, ký hiệu và tính chất: (f (x), p(x)) =
(r(x), p(x).
Đa thức ước chung lớn nhất dạng chuẩn tắc là duy nhất (Có hệ số cao nhất bằng 1.)
Ước chung lớn nhất của 2 đa thức f (x), g(x) là hằng số thì thì ta nói f (x) và g(x) là ngun tố
cùng nhau. Khi đó ln tồn tại duy nhất 2 đa thức u(), v(x) thỏa f (x)u(x) + g(x)v(x) = 1. (Điều
ngược lại đúng không? )

1.3

Định lý Bezout và sơ đồ Hosner

Định lý 3.2 Đa thức p(x) có nghiệm là α khi và chỉ khi p(x) chia hết cho (x − α).
20


1.4

Nghiệm của đa thức

• Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực và có đúng n nghiệm phức.
• α là nghiệm bội k của đa thức p(x) nếu tồn tại đa thức q(x) thỏa p(x) = (x − α)k q(x).
Điều này tương đương với p(α) = p′ (α) = · · · = p(k−1) (α) = 0 và p(k) (α) = 0.
• Cho đa thức p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 . Gọi l là số lần đổi dấu của các hệ số (đi từ trái
sang phải và không tính hệ số 0 ) và d là số nghiệm dương. Khi đó d ≤ l và l − d là số chẵn.

1.5

Nội suy lagrange và nội suy Newton

Nội suy đa thức là việc tìm một đa thức P (x) thỏa mãn P (xk ) = yk , k = 1, .., n + 1 (tất nhiên các xk
khác nhau đôi một). Dễ dàng kiểm tra tồn tại duy nhất đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n khi biết n + 1
giá trị của đa thức đó. Sau đây là giới thiệu hai loại nội suy phổ biến.

Nội suy Lagrange
Cho đa thức p(x) bậc n và n + 1 số phân biệt α1 , α2 , . . . , αn+1 . Ta có cơng thức nội suy lagrange sau
n

p(x) =

n+1

yi
i=1

x − xj
xi − xj

1=j=i

Áp dụng cho sai phân ta có: p(x + 1) − p(x) = △p(x + 1) − △p(x).

Nội suy newton
Đa thức P thỏa P (xi ) = yi , i = 1, 2, .., n có dạng
P (x) = a1 + a2 (x − x1 ) + a3 (x − x1 )(x − x2 ) + ... + an+1 (x − x1 )(x − x2 )..(x − xn ).
Việc tìm các hằng số ak được xác định đơn giản bằng cách thế các giá trị xk .

2

Bài tập

Câu 1: Cho p(x) = x + x3 + x9 + x81 + x243 . Tìm phần dư của phép chia p(x) cho x − 1 và x2 − 1.
Câu 2: Xác định đa thức f (x) = x5 −3x4 +2x3 +ax2 +bx+c biết f (x) chia hết cho (x−1)(x−2)(x+1).
Câu 3: Tìm đa thức thực p(x) thỏa (x − 1)p(x − 1) = (x + 2)p(x), ∀x ∈ R.
Câu 4: Xác định đa thức p(x) thỏa p(x2 − y 2 ) = p(x + y)p(x − y).

21