Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

s

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên   sáng   kiến:  Rèn   luyện   kĩ   năng   tính   tích   phân   hàm   ẩn   bằng  
phương pháp đổi biến số
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng
* Mã sáng kiến: 0552


BÁO CÁO KẾT QUẢ 


NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu 
Chúng ta đang sống trong thế  kỉ  21, thế  kỉ  của khoa học, cơng nghệ  và hội  
nhập. tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố  vơ cùng quan trọng trong sự phát  
triển xã hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con  
người.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở  trường trung học phổ 
thơng, việc rèn luyện kỹ  năng giải tốn cho học học sinh có vai trị quan trọng vì: 
Đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thơng. Việc giải tốn là hình thức chủ 
yếu của hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư  duy, tính sáng tạo. Hoạt 
động giải tốn là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học tốn ở  trường phổ 
thơng. Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động  
sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, u cầu học sinh có 

kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả  năng phát hiện và  
giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư  duy và biết lựa  
chọn phương pháp tự học tối ưu.
Trong Chương trình phổ  thơng, phép tính tích phân chiếm một vị  trí hết sức 
quan trọng trong Tốn học, tích phân được  ứng dụng rộng rãi trong thực tế  như  là 
tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, nó là một trong những cơ  sở để 
nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngồi ra phép tính tích phân cịn được ứng dụng rộng  
rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó 
có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT­ QG, thi học sinh giỏi các cấp. Hiện 
nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn được u cầu rộng hơn và  
địi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được  
đưa vào để u cầu học sinh phải tư duy cao hơn, bản chất hơn. Mặc dù đã được  
học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước u cầu về tính tích phân  
của hàm ẩn đa số các em cịn nhiều lúng túng và thậm chí là khơng định hình được 
lời giải các bài tốn dạng này. Đặc biệt khi sử  dụng phương pháp đổi biến số  để 
tính tích phân, nhiều em đã nắm rất chắc phương pháp này nhưng vẫn khơng sử 
dụng được trong bài tính tích phân hàm ẩn.
Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên khơng phải chỉ 
truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các 
sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách giập khn, máy móc, làm cho học  
sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học  
sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ khơng cao. Nó là một  
trong những ngun nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người 
năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.

1


u cầu của giáo dục hiện nay địi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học  

mơn tốn  theo hướng phát huy tính tích cực, chủ  động sáng tạo của học sinh. Vì 
vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách  thiết  
kế  bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với  ứng dụng, liên hệ  thực tế  và  
biết kết hợp các phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp. 
        Vì những lí do đó, tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:
“Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số”
2. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi  
biến số”.
3. Tác giả sáng kiến:
­ Họ và tên: Nguyễn Thị Hằng
­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Số nhà 38B  ngõ 4 Chùa hà, Vĩnh n, Vĩnh phúc
­ Số điện thoại:.0963325970 E_mail: 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Cơng tác giảng dạy mơn Tốn trong trường THPT 
đặc biệt ơn thi THPT quốc gia.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 01/12/2018
7. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến: 
7.1.1. Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ  bản sử  dụng trong đề  tài bao gồm các định nghĩa và tính  
chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học
a. Định nghĩa 
Cho hàm số   f liên tục trên  K  và  a, b là hai số bất kỳ thuộc  K . Nếu  F là một  
nguyên hàm của  f trên  K  thì hiệu số   F (b) − F (a )  được gọi là tích phân của  f từ 
b

b

a   đến   b và kí hiệu là   f ( x)dx . Trong trường hợp   a < b , ta gọi   f ( x)dx   là tích  
a

a

phân của  f trên đoạn  [ a; b ] .

2


b

Người ta dùng kí hiệu  F ( x) a  để chỉ hiệu số   F (b) − F (a ) . Như vậy Nếu  F là 
b

b

một nguyên hàm của  f trên  K  thì  f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) .
a

b. Tính chất
 Giả sử  f , g liên tục trên  K  và  a, b, c  là ba số bất kì thuộc  K . Khi đó ta có
a

b

a

b

c

c

a

a

b

a

b

a

f ( x)dx = − �
f ( x)dx  ;  3)  �
f ( x)dx + �
f ( x)dx = �
f ( x)dx
 1)  f ( x)dx = 0 ;   2)  �
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

f ( x)dx + �
g ( x)dx  ;  5)  �
kf ( x)dx =k �
f ( x)dx  với  k
[ f ( x) + g ( x)] dx = �
  4)  �
 Chú ý là nếu  F ( x) = f ( x)  với mọi  x

K  thì  F ( x) =

R.

f ( x)dx

c. Phương pháp đổi biến số 
b

  Tính tích phân  I = g ( x)dx .Giả sử   g ( x)  được viết dưới dạng  f [ u ( x)] .u ( x)
a

,trong đó hàm số   u ( x) có đạo hàm trên K , hàm số  y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp 
f [ u ( x)]   xác   định   trên   K   và   a, b   là   hai   số   thuộc   K .  Khi   đó 
b

u (b )

a

u ( a)

f [ u ( x)] .u ( x)dx = �f (u )du
�
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay 
cho  x .Như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là 
b

b

b

a

a

a

f ( x)dx = �
f (u )du = �
f (t )dt = ...
�

7.1.2. Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn  
thường gặp
DANG 1: ĐƠI BIÊN LOAI 1
̣
̉
́
̣
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức 
* Nếu  F ( x) = f ( x)  với mọi  x
b

b

b

a

a

a

K  thì  F ( x) =

f ( x)dx , 

f ( x)dx = �
f (u )du = �
f (t )dt = ...
�
* Các công thức về đạo hàm

* Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng

3


b

b

b

b

a

a

a

a

* Cho  f ( x)dx = M  tính  f (u )dx  hoặc  cho  f (u )dx = M  tính  f ( x)dx  khi 
b

b

b

a

a

a

f ( x)dx = �
f (u )du = �
f (t )dt = ...
đó ta đặt  t = u ( x )  rồi áp dụng  �
Tóm lại:  Đối với dạng này khi tác giả cho hàm  f ( u ) dx  thì đặt  t = u ( x )
Các ví dụ minh họa
2

4

( )

VD1: Cho  f ( x ) dx = 16 . Tính  f 2 x dx  
0
0
A. 16 .
B.  4 .
C.  32 .

D.  8 .

Hướng dẫn giải
Chọn D 
2
Xét tích phân  f ( 2 x ) dx  ta có 
0

1
Đặt  2x = t � dx = dt . Khi  x = 0  thì  t = 0 ; khi  x = 2  thì  t = 4 .
2
2

4

4

1
1
1
f ( 2 x ) dx = �
f ( t ) dt =
f ( x ) dx   = .16 = 8 .
Do đó  �
20
20
2
0
VD2: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  và thỏa mãn 

1

f ( x ) dx = 9 . 

−5
2

dx .

Tính tích phân  �
�f ( 1 − 3 x ) + 9 �
�
0

A.  27 .

B.  21 .

C. 15 .

D.  75 .

Hướng dẫn giải
Chọn B 
Đặt  t = 1 − 3x � dt = −3dx .
Với  x = 0 t = 1  và  x = 2
2

t = −5 .
2

2

−5

dt
2
dx = �
f ( 1 − 3 x ) dx + �

9dx   = ��
f
t
Ta có  �
(
)
�f ( 1 − 3 x ) + 9 �
�
� �−3 + 9 x 0  
0
0
0
1
1

1
=
��
f ( x) �
dx + 18
3 −5 �
1
= .9 + 18 = 21 .
3
1

VD3: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên R, thỏa mãn  f ( x ) dx = 1 . 
0

4

Tính  I =

π
4
0

( tan

2

+ 1) . f ( tan x ) dx .

A.  I = 1 .

C.  I =

B.  I = −1 .

π
.
4

D.  I = −

π
.
4

Hướng dẫn giải:
Chọn A

2
Đặt  t = tan x � dt = ( 1 + tan x ) dx . Đổi cận:
1

1

0

0

�I =�
f ( t ) dt = �
f ( x ) dx  (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số 
tích phân) = 1
VD4: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  thỏa mãn  f ( 2 x ) = 3 f ( x ) ,  ∀x ﾡ . 
1

2

0

1

Biết rằng  f ( x ) dx = 1 . Giá trị của tích phân  I = f ( x ) dx  bằng bao nhiêu?
A.  I = 5 .

B.  I = 3 .

C.  I = 8 .

D.  I = 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
2

Xét tích phân  J = f ( x ) dx , đặt  x = 2t � dx = 2dt .
0

Với  x = 2 � t = 1 ,  x = 0 � t = 0 .
1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

f ( 2t ) 2dt = 2 �
f ( 2t ) dt = 2 �
3 f ( t ) dt = 6 �
f ( t ) dt = 6 f ( x ) dx = 6 .
Ta có  J = �
2

1

2

0

0

1

f ( x ) dx = �
f ( x ) dx + �
f ( x ) dx
Mặt khác, ta có  J = �
2

2

1

1

1

0

0

0

�I =�
f ( x ) dx = �
f ( x ) dx − �
f ( x ) dx = J − �
f ( x ) dx = 5 .
2

5

VD5: Cho  f ( x + 1) xdx = 2 . Khi đó  I = f ( x ) dx  bằng:
2

1

2

A.  2 .

C.  −1 .

B. 1.

D.  4 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt  t = x 2 + 1 � dt = 2 xdx .
Đổi cận:  x = 1 � t = 2 ,  x = 2 � t = 5 .
2

5

5

2

1
f ( x + 1) xdx = �
f ( t ) dt   � �
f ( t ) dt = 2�
f ( x 2 + 1) xdx = 4 .
Khi đó:  �
22
1
2
1
2

5

5

5

2

2

f ( x ) dx = �
f ( t ) dt = 4 .
Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên:  I = �
2

5

1

2

VD6: Cho  f ( x 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó  I = f ( x ) dx  bằng
A.  2 .

C.  −1 .

B. 1.

D.  4 .

Hướng dẫn giải

Chọn D 
Đặt  t = x 2 + 1 � dt = 2 xdx
Đổi cận:  x = 1 � t = 2 ;  x = 2 � t = 5 .
5

5

5

1
1
f ( t ) dt = �
f ( x ) dx � I = �
f ( x ) dx = 4. .
Khi đó:  2 = �
22
22
2
1

VD7: Cho ham sô 
̀
́ y = f ( x )  liên tuc trên 
̣
́ I=
ﾡ  va ̀ f ( 2 x ) dx = 8 . Tinh 
0

A.  4 .

B. 16 .

2

0

C. 8 .

xf ( x 2 ) dx
D. 32 .

Hướng dẫn giải
Chọn C 
Đăt 
̣ x 2 = 2t � 2 xdx = 2dt � xdx = dt . Đôi cân: 
̉ ̣ x = 0 � t = 0 ,  x = 2 � t = 1 .
1

Ta co: 
́ I = f ( 2t ) dt = 8 .
0
1

2

0

0

VD8: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  thỏa  f ( 2 x ) dx = 2  và  f ( 6 x ) dx = 14

.
2

 Tính 
−2

f ( 5 x + 2 ) dx .

A. 30 .

B. 32 .

C.  34 .

D. 36 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
1

+ Xét  f ( 2 x ) dx = 2 .
0

Đặt  u = 2 x � du = 2dx ;  x = 0 � u = 0 ;  x = 1 � u = 2 .
1

Nên  2 = f ( 2 x ) dx =
0

2

2

1
f ( u ) du � f ( u ) du = 4 .
20
0

2

+ Xét  f ( 6 x ) dx = 14 .
0

Đặt  v = 6 x � dv = 6dx ;  x = 0 � v = 0 ;  x = 2 � v = 12 .

6


2

1
Nên 14 = f ( 6 x ) dx =
6
0
2

+ Xét 
−2

f ( 5 x + 2 ) dx =

0

* Tính  I1 =

−2

12

f ( v ) dv �

0

12

f ( v ) dv = 84 .

0

0

2

−2

0

f ( 5 x + 2 ) dx .
�f ( 5 x + 2 ) dx + �

f ( 5 x + 2 ) dx .

Đặt  t = 5 x + 2 .
Khi  −2 < x < 0 ,  t = −5 x + 2 � dt = −5dx ;  x = −2 � t = 12 ;  x = 0 � t = 2 .
12
2
2
� 1
1�
−1
f
t
d
t
−
f
t
d
t
I1 =
f ( t ) dt = �
(
)
(
)
�= ( 84 − 4 ) = 16 .
�
�
5�
5 12
0

0
� 5
2

* Tính  I1 = f ( 5 x + 2 ) dx .
0

Đặt  t = 5 x + 2 .
Khi  0 < x < 2 ,  t = 5 x + 2 � dt = 5dx ;  x = 2 � t = 12 ;  x = 0 � t = 2 .
12
2
12
� 1
1�
1
f ( t ) dt − �
f ( t ) dt �= ( 84 − 4 ) = 16 .
I2 =
f ( t ) dt = �
�
5 �0
52
0
� 5
2

Vậy 
−2

f ( 5 x + 2 ) dx = 32 .

VD9: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  thỏa 

2018

f ( x ) dx = 2 .

0
e2018 −1

Khi đó tích phân 
0

A.  4 .

(

)

x
f ln ( x 2 + 1) dx  bằng
x +1
2

B. 1.

C.  2 .

D.  3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét  I =

e 2018 −1

0

(

)

x
f ln ( x 2 + 1) dx .
x +1
2

2
Đặt  t = ln ( x + 1) � dt =

2x
dx  Đổi cận:  x = 0 � t = 0 ;  x = e 2018 − 1
x +1
2

� t = 2018 .
Suy ra  I =

1
2

2018

�f ( t ) dt =
0

1
2

2018

1
f
x
d
x
=
.2 = 1 .
(
)
�
2
0

7


3

10 �

m
�
VD10:  Tìm tất cả các giá trị dương của  m  để  x ( 3 − x ) dx = − f � �, với 
�9 �
0
f ( x ) = ln x15 .
A.  m = 20 .

B.  m = 4 .

C.  m = 5 .

D.  m = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D 
15 x14 15
+ Từ  f ( x ) = ln x   � f ( x ) = 15 =   � f
x
x
15

( x) =

−15
 do đó 
x2

10 � −243
�

f � �=
.
�9 � 20
3

+ Tính tích phân  I = x ( 3 − x ) dx :
m

0

 Đặt  t = 3 − x   � x = 3 − t ,  dx = −dt , 
 Do đó  I =

0

( 3 − t ) t m ( −dt )   =

3

x 0
t 3

3
0

3

3

m +1

m+ 2
( 3t m − t m+1 ) dt   = 3t − t  
m +1 m + 2 0
0

3
3m+ 2
3m+ 2
243
10 �
m
�
=
=
.   Ta có  x ( 3 − x ) dx = − f � �  �
 
m
+
1
m
+
2
20
9
�
�
( m + 1) ( m + 2 )
(
)
(

)
0

�

3m+ 2
35
=
( m + 1) ( m + 2 ) 4.5

Thay lần lượt các giá trị  m  ở 4 đáp án, nhận giá trị  m = 3 .
Chú ý: 
3m
33
=
­ Việc giải phương trình 
 khơng cần thiết nên chọn 
( m + 1) ( m + 2 ) 4.5
phương pháp thế đáp để làm trắc nghiệm trong bài này.                                                
3m
33
=
­ Để giải phương trình 
 ta xét hàm trên 
( m + 1) ( m + 2 ) 4.5
f ( m) =

3m
33
−

 với  m > 0  thì chứng minh được phương trình có 
( m + 1) ( m + 2 ) 4.5

nghiệm duy nhất  m = 3 .
DẠNG 2 : ĐÔI BIÊN LOAI 2
̉
́
̣
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức  
Cho hàm số  f ( x )  thỏa mãn :  A. f ( x ) + B. u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) = g ( x )

8


u ( a) = a

b

b

u ( a) =b

b

b

1
f ( x ) dx =
g ( x ) dx .
+) Với 

 thì  �
�
A
+
B
+
C
u ( b) = b
a
a
1
f ( x ) dx =
g ( x ) dx .
+) Với 
 thì  �
�
A
−
B
+
C
u ( b) = a
a
a
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số  A, B, C .
b

f ( a + b − x ) dx =
*Nếu  f ( x )  liên tục trên  [ a; b ]  thì  �
a

b

f ( x ) dx .
�
a

*Thực chất việc chỉ  ra các kết quả  trên rất đơn giản ta áp dụng tính chất 
b

b

b

a

a

a

f ( x)dx = �
f (u )du = �
f (t )dt = ... cụ thể:
�
b

b

a

a

�
A. f ( x ) + B.u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) �
dx = �
g ( x ) dx ( ∗)
�
�
�
Ta có : 
b

f ( a + b − x ) dx =
+  �
a

b

f (u )u dx =
+�
a

b

f ( x ) dx   (do ta đặt  t = a + b − x )
�
a

b

f ( x ) dx Thay vào (*) Ta được 
�
a

b

b

�
A. f ( x ) + B.u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) �
dx = �
g ( x ) dx ( ∗)
�
�
�
a

a

b

b

� ( A+ B + C) �
f ( x ) dx = �
g ( x ) dx
a

b

��
f ( x ) dx =
a

a

b

1
g ( x ) dx
A+ B +C �
a

Các ví dụ minh họa
VD1: TH 
 

u ( a) = a
u ( b) = b

Xét hàm số  f ( x )  liên tục trên [ −1;2]  và thỏa mãn 
f ( x ) + 2 xf ( x 2 − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x 3 . Tính giá trị của tích phân 
I=

2

f ( x ) dx .

−1

A.  I = 5 .

B.  I =

5
.
2

C.  I = 3 .

D.  I = 15 .

9


Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

2
3
Với:  f ( x ) + ( 2 x ) f ( x − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x . Ta có:

A = 1; B = 1; C = 3  và  u = x 2 − 2  thỏa mãn 

u ( −1) = −1
u ( 2) = 2

.

Khi đó áp dụng cơng thức có:
2

2

2

1
x4
3
I=�
f ( x) =
4
x
dx
=
1 + 1 + 3 −�
5
−1
1

= 3.
−1

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2
3
Từ  f ( x ) + 2 xf ( x − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x .
2

2

2

2

−1

−1

−1

��
f ( x ) dx + �
2 x. f ( x 2 − 2 ) dx + 3 �
f ( 1 − x ) dx = �
4 x 3dx   ( *)
−1

+) Đặt  u = x − 2 � du = 2 xdx ; với  x = −1 � u = −1  và  x = 2 � u = 2 .
2

2

2 x. f ( x 2 − 2 ) dx =
Khi đó  �
−1

2

�f ( u ) du =

−1

2

�f ( x ) dx     ( 1)

−1

+) Đặt  t = 1 − x � dt = −dx ; Với  x = −1 � t = 2  và  x = 2 � t = −1 .
2

f ( 1 − x ) dx =
Khi đó  �
−1

2

2

−1

−1

�f ( t ) dt = �f ( x ) dx    ( 2 )
2

2

−1

−1

f ( x ) dx = 15 � �
f ( x ) dx = 3 .
Thay  ( 1) , ( 2 )  vào  ( *)  ta được:  5 �
VD2: TH 

u ( a) = b
u ( b) = a

Xét hàm số  f ( x )  liên tục trên  [ 0;1]  và thỏa mãn 
1

1
f ( x ) + xf ( 1 − x ) + 3 f ( 1 − x ) =
. Tính giá trị của tích phân  I = f ( x ) dx .
x +1
0
2

9
A.  I = ln 2 .
2

2
B.  I = ln 2 .
9

C.  I =

4
.
3

D.  I =

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B 
Cách 1: (Dùng công thức)
1
Với:  f ( x ) − . ( −2 x ) f ( 1 − x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 2 x . Ta có:
2
A = 1 ;  B =

u ( 0) = 1
−1
;  C = 1 và  u = x 2 − 2  thỏa mãn 
.
u ( 1) = 0
2

10

Khi đó áp dụng cơng thức ta có:
1

1
dx
1 2
2
=
I = f ( x ) dx
� 1 � 0 x + 1 = ln x + 1 = ln 2 .
1− �
− �+ 3
0 9
9
0
� 2�
1

Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức)
Từ  f ( x ) + xf ( 1 − x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) =
1

1

1
x +1

1

1

0

0

��
f ( x ) dx + �
xf ( 1 − x ) dx + 3�
f ( 1 − x ) dx =
2

0

0

1
dx = ln x + 1 10 = ln 2 . (*)
x +1

+) Đặt  u = 1 − x � du = −2 xdx ; Với  x = 0 � u = 1  và  x = 1 � u = 0 .
2

1

xf ( 1 − x 2 ) dx =
Khi đó  �
0

1

1

1
1
f ( u ) du = �
f ( x ) dx  (1).
�
20
20

+) Đặt  u = 1 − x � du = − xdx ; Với  x = 0 � t = 1  và  x = 1 � t = 0 .
1

1

1

0

0

0

xf ( 1 − x ) dx = �
f ( t ) dt = �
f ( t ) dt  (2).
Khi đó  �
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
1

1

1

1

1
9
f ( x ) dx + �
f ( x ) dx + 3�
f ( x ) dx = ln 2 �
f ( x ) dx = ln 2 �
�
2
2
0
0
0
0

1

0

2
f ( x ) dx = ln 2 .
9

VD3(Khuyết A): Xét hàm số  f ( x )  liên tục trên  [ 0;1]  và thỏa mãn điều kiện 
1

4 xf ( x ) + 3 f ( x − 1) = 1 − x . Tích phân  I = f ( x ) dx  bằng
2

2

0

A.  I =

π
.
4

B.  I =

π
π
.
C.  I =
.
6
20
Hướng dẫn giải

D.  I =

π
16

Chọn C
Từ:
1

1

1

0

0

4 x. f ( x ) + 3 f ( x − 1) = 1 − x � 2 �
2 xf ( x ) dx + 3�
f ( 1 − x ) dx = �1 − x 2 dx   ( ∗)  
2

2

2

0

+) Đặt  u = x 2 � du = 2 xdx ; Với  x = 0 � u = 0  và  x = 1 � u = 1 .
1

1

1

0

0

2 xf ( x ) dx = �
f ( u ) du = �
f ( x ) dx
Khi đó  �
2

0

( 1)

+) Đặt  t = 1 − x � dt = −dx ; Với  x = 0 � t = 1  và  x = 1 � t = 0 .
1

1

1

0

0

0

f ( 1 − x ) dx = �
f ( t ) dt = �
f ( x ) dx

Khi đó  �

( 2)  

Thay  ( 1) , ( 2 )  vào  ( ∗)  ta được:

11


1

1

1

1

1

1
π
.
2�
f ( x ) dx + 3�
f ( x ) dx = �1 − x dx � �
f ( x ) dx = �1 − x 2 dx =
5
20
0
0

0
0
0
2

VD4(Khuyết B): Xét hàm số  f ( x )  liên tục trên đoạn  [ 0;1]  và thỏa mãn 
1

2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x . Tích phân  f ( x ) dx  bằng
0

2
A.  .
3

1
B.  .
6

C. 

2
.
15

3
D.  .
5

Hướng dẫn giải

Chọn C 
Đặt  t = 1 − x � dx = −dt .
1

0

1

1

0

1

0

0

f ( 1 − x ) dx = − �
f ( t ) dt = �
f ( t ) dt = �
f ( x ) dx
Suy ra  �
1

1

f ( x ) dx = �1 − xdx = −
2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x � 5�
0

1

Suy ra  f ( x ) dx =
0

0

2
3

( 1− x)

3

1

=
0

2.
3

2
.
15
ax2 +b

x2

f ( ax + b ) dx = � f ( x ) dx . Khi đó:
Chú ý: Ta có thể dùng cơng thức  �
x
ax + b
1

1

1

1

1

0

0

0

f ( x ) dx + 3�
f ( 1 − x ) dx = �1 − xdx
Từ  2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x  suy ra:  2 �
1

0

1

1

0

0

� 2�
f ( x ) dx − 3�f ( 1 − x ) dx = �1 − xdx � 5�
f ( x ) dx =
0

1

1
2
2
��
f ( x ) dx = .
0
3
15

3
4
VD5(Khuyết C): Cho hàm số  y = f ( x )  và thỏa mãn  f ( x ) − 8 x f ( x ) +

1

. Tích phân  I = f ( x ) dx =
0

A.  6 .

x3
x2 + 1

=0

a −b 2
a b
 với  a, b, c ﾡ  và  ;  tối giản. Tính  a + b + c
c
c c

B.  −4 .

C.  4 .

D.  −10 .

Hướng dẫn giải
Chọn A 
Cách 1: (Dùng công thức).
3
4
Biến đổi  f ( x ) − 8 x f ( x ) +

x3
x2 + 1

= 0 � f ( x ) − 2. ( 4 x3 ) f ( x 4 ) = −

x3
x2 + 1

 với 

A = 1; B = −2
1

1
1
� x3 �
1
x 3dx
f ( x ) dx =
−
dx
=
Áp dụng cơng thức ta có:  �
.
� 2
� �2
�
1
+
−
2
(
)
x

+
1
x
+
1
�
0
0�
0

12


Đặt  t = x 2 + 1 � t 2 = x 2 + 1 � tdt = xdx ; Với  x = 0 � t = 1  và  x = 1 � t = 2 .
1

1

x2

2

f ( x ) dx = �
.xdx =
Khi đó:  �
x2 + 1
0
0

1

t 2 −1
.tdt   =
t

2

1

2

t3 �
( t 2 − 1) dt   = �
� −t�  
�3 �
1

2− 2
a −b 2
 =
 
3
c
Suy ra  a = 2; b = 1; c = 3 � a + b + c = 6 .
=

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
x3

Từ  f ( x ) − 8 x f ( x ) +

3

1

4

x2 + 1

= 0 

1

1

x3
��
f ( x ) dx − 2�
4 x f ( x ) dx + �
dx = 0 (*)  
2
x
+
1
0
0
0
3

4

Đặt  u = x 4 � du = 4 x 3dx ; Với  x = 0 � u = 0  và  x = 1 � u = 1 .
1

1

1

0

0

0

4x 3 f ( x 4 ) dx = �
f ( u ) du = �
f ( x ) dx  thay vào (*), ta được:
Khi đó  �
1

1

1

1

1

x3
x3
f

x
dx
−
2
f
x
dx
+
dx
=
0
�
f
x
dx
=
dx  
( )
( )
  �( )
�
�
�
�
2
2
x
+
1
x

+
1
0
0
0
0
0
Đặt  t = x 2 + 1 � t 2 = x 2 + 1 � tdt = xdx ; Với  x = 0 � t = 1  và  x = 1 � t = 2 .
1

1

x2

f ( x ) dx = �
.xdx   =
Khi đó:  �
2
x
+
1
0
0

2

1

t 2 −1
.tdt   =

t

2

2

�t 3 �
( t − 1) dt   = �3 − t �  
�
�
1
2

1

2− 2
a −b 2
 =
 
3
c
Suy ra  a = 2; b = 1; c = 3 � a + b + c = 6 .
=

DẠNG 3 : ĐÔI BIÊN LOAI 3
̉
́
̣
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức  
Cách giải: Lần lượt đặt  t = u ( x )  và  t = v ( x )  để giải hệ phương trình hai ẩn 

(trong đó có ẩn  f ( x ) ) để suy ra hàm số  f ( x )  (nếu  u ( x ) = x  thì chỉ cần đặt một 
lần  t = v ( x ) ).
Các kết quả đặc biệt:
Cho  A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) = g ( x )  với  A2

B 2 ) khi đó: 

�x − b �
�x − c �
A.g �
�− B.g �
�
�a �
�−a � (*)
f ( x) =
A2 − B 2

13


+) Hệ quả 1 của (*):  A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) =

A.g ( x ) − B.g ( − x )
A2 − B 2

+) Hệ quả 2 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) =

g ( x)
 
A+ B

với  g ( x )  là hàm số chẵn.
Các ví dụ minh họa

�1 �
VD1: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên  ﾡ  và  f ( x ) + 2 f � �= 3x . 
�x �
2

Tính  I =
A.  I =

1
2

f ( x)
dx .
x

3
.
2

C.  I =

B.  I = 1 .

1
.
2

D.  I = −1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A 
 t =

Đặt,

1
1
�x=  
x
t

khi

 

đó

 

điều

 

kiện

 

trở

 

thành 

1
3
��
�1 � 3
f ��+ 2 f ( t ) = � 2 f ( x ) + f � �= .
t
t
��
�x � x
�1 � 6
Hay  4 f ( x ) + 2 f � �= , kết hợp với điều kiện  f ( x ) + 2 f
�x � x

�1 �
� �= 3x . Suy ra :
�x �

2
2
2
f ( x)
�2
� �−2

� 3
f ( x)
6
2
dx = � − x �1 =
3 f ( x ) = − 3x �
= 2 − 1 �   I = � dx = �
� 2 − 1�
x
x
� �x
� 2
x
x
x
1
1�
2
2
2
.
Chọn B
VD2: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên  ﾡ \ { 0}  và thỏa mãn 
3
2

9

�2 � 15 x
�1 �

2 f ( 3 x ) + 3 f � �= −
dx  theo  k .
,  f ( x ) dx = k . Tính  I = f � �
2 3
x
�x �
�
�
1
2

A.  I = −

45 + k
. 
9

B.  I =

45 − k
. 
9

C.  I =

45 + k
. 
9

D.  I =

45 − 2k
.
9

Hướng dẫn giải
Chọn A

14


1
�t =1
1
2
  dx = dt . Đổi cận 
.
3
2
x = �t =3
2
x=

Đặt  t = 2 x  
3

1
Khi đó  I =
21

�2 �
f��
dx .
�t �

�2 � 15 x
Mà  2 f ( 3 x ) + 3 f � �= −
 
2
�x �

�2 � 5 x 2
  f � �= − − f ( 3x )
�x � 2 3

3

3

3

3

1 � 5x 2
5
1
1
�
− − f ( 3x ) �
dx = − �

x dx − �
f ( 3x ) dx = −5 − �
f ( 3x ) dx  (*)
Nên  I = �
�
21� 2 3
41
31
31
�
Đặt  u = 3x  

x =1 �u = 3
1
  dx = dx . Đổi cận 
.
x = 3� t = 9
3
9

1
k
45 + k
f ( t ) dt = −5 − = −
Khi đó  I = −5 −
.
93
9
9
VD3: Xét hàm số  f ( x )  liên tục trên  [ 0;1]  và thỏa mãn điều kiện 

1

2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x . Tính tích phân  I = f ( x ) dx .
0

A.  I = −

4
.
15

B.  I =

1
.
15

C.  I =

4
.
75

D.  I =

1
.
25

Hướng dẫn giải

Chọn C 
Cách 1: (Dùng công thức)
Với  2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x  ta có  A = 2; B = 3 .
1

1

Casio
1
4
f ( x ) dx =
x
1
−
xdx
= 0,05 ( 3) =
Suy ra:  �
 
.
�
2 + 30
75
0

Áp dụng kết quả 
“Cho  A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) = g ( x )  (Với  A2

B 2 ) khi đó

�x − b �

�x − c �
A.g �
�− B.g �
�
a �
−a �”.
�
�
f ( x) =
A2 − B 2
Ta có:  2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x = g ( x ) � f ( x ) =
=

2 g ( x ) − 3g ( 1 − x )
22 − 32

2x 1 − x − 3( 1 − x ) x
. 
−5

15


Casio
2x 1 − x − 3( 1 − x ) x
4
f ( x ) dx = �
dx = 0,05 ( 3) =
Suy ra:  I = �
.

−5
75
0
0
1

1

Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)  
1

1

1

0

0

0

f ( x ) dx + 3�
f ( 1 − x ) dx = �
x 1 − xdx
 Từ   2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x       � 2 �
Casio

= 0, 2 ( 6 ) =

4

( ∗)  Đặt  u = 1 − x � du = −dx ; Với  x = 0 � u = 1 và  x = 1 � u = 0 .
15

1

1

1

0

0

0

f ( 1 − x ) dx = �
f ( u ) du = �
f ( x ) dx  thay vào  ( ∗) , ta được:
Suy ra  �
2

2

4
4
5�
f ( x ) dx = � �
f ( x ) dx = . 
15
75

0
0
VD4: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên  ﾡ  và thỏa mãn  f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x . 
Tính giá trị của  I =

1

f ( x ) dx

−1

e −1
A.  I =
.
2019e

e2 − 1
B.  I =
.
2018e

2

e2 − 1
D.  I =
. 
e

C.  I = 0 .

Hướng dẫn giải
Chon A
̣
Cách 1: (Dùng công thức).
Với  f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x  ta có  A = 1; B = 2018 .
1

1

1

1
1 x
e2 − 1
e x dx =
e
Suy ra  I = f ( x ) dx =
. 
=
1
+
2018
2019
2019e
−
1
−1
−1
Cách 2: (Dùng công thức)
Áp dụng Hệ quả 1:  A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) =

A.g ( x ) − B.g ( − x )
.
A2 − B 2

Ta có:
2018e x − e − x
f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e � f ( x ) =
20182 − 1
x

1

1

1
��
f ( x ) dx =
2018e x − e − x ) dx
(
�
2019.2017 −1
−1
1,164.10

−3

e2 − 1
 (Casio).
2019e

16


VD5: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên  ﾡ  và thỏa mãn 
f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x . Tính giá trị của  I =
A.  I =

2
.
2019

B.  I =

2
.
1009

C.  I =

π
2
π
−
2

f ( x ) dx . 

4
.

2019

D.  I =

1
. 
1009

Hướng dẫn giải
Chọn C 
Cách 1: (Dùng công thức)
Với  f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x  ta có  A = 1; B = 2018
Suy ra  I =

π
2
π
−
2

f ( x ) dx =

1
1 + 2018

π
2

Casio

2 x sin xdx =

π
−
2

4
2019

 Đáp án C

Cách 2: 
Áp dụng Hệ quả 2:  A. f ( x ) + Bf ( − x ) = g ( x )   � f ( x ) =
 với  g ( x )  là hàm số chẵn.
Ta có  f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x � f ( x ) =
I=

π
2
π
−
2

f ( x ) dx =

2
2019

π
2

x sin xdx

g ( x)
A+ B

2 x sin x
2019

 Đáp án C

π
−
2

DẠNG 4 : ĐÔI BIÊN LOAI 4
̉
́
̣
Khi trong gia thiêt bai toan co 
̉
́ ̀ ́ ́
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức 
* TINH CHÂT HAM CHĂN
̀
̃
a

a

−a

0

f ( x ) dx
1. Nếu hàm  f ( x )  chăn thì 
̃
�f ( x ) dx = 2�
f ( −x) = f ( x)
2. Nếu hàm  f ( x )  chăn thì  
̃
*TÍNH CHẤT HÀM LẺ
1. Nếu hàm  f ( x )  le thì 
̉

a

f ( x ) dx = 0

−a

f ( −x) = − f ( x)
2. Nếu hàm  f ( x )  chăn thì  
̃

17


Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số  y = f ( x )  là hàm lẻ và liên tục trên  [ −4;4]  biết 

0

f ( − x ) dx = 2  

−2
2

4

1

0

và  f ( −2 x ) dx = 4 . Tính  I = f ( x ) dx .
A.  I = −10 .

B.  I = −6 .

C.  I = 6 .

D.  I = 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn B 
x2

x

1 2

f ( ax + b ) dx = �
f ( ax ) dx  và tính chất 
Cách 1: Sử dụng cơng thức:  �
a x1
x1
a

−a

f ( x ) dx = 0  với  f ( x )  là hàm số lẻ trên đoạn  [ − a; a ] .

Áp dụng, ta có:
2

4=�
f ( −2 x ) dx = −
1

2=

0

1 −4
1 −2
f ( x ) dx = �f ( x ) dx �
�
2 −2
2 −4
0

2

2

2

0

0

�f ( − x ) dx = − �f ( x ) = �f ( x ) �

−2

−2
−4

f ( x ) dx = 8 .

f ( x) = 2

4

−2

0

4

−4

−4

−2

0

2

2

−2

0

Suy ra:  0 = �f ( x ) dx = �f ( x ) dx + �f ( x ) dx + �f ( x ) dx
� 0 =8+

( �f ( x ) dx − �f ( x ) dx ) + I � 0 = 8 + ( 0 − 2) + I � I = −6 .
0

Cách 2: Xét tích phân 

f ( − x ) dx = 2 .

−2

Đặt  − x = t � dx = −dt .
Đổi cận: khi  x = −2  thì  t = 2 ; khi  x = 0  thì  t = 0  do đó 
0

0

2

2

0

f ( t ) dt =
�f ( − x ) dx = − �

−2

2

2

0

0

f ( t ) dt � f ( t ) dt = 2 � f ( x ) dx = 2 .

Do hàm số  y = f ( x )  là hàm số lẻ nên  f ( −2 x ) = − f ( 2 x ) .
2

2

2

1

1

1

f ( −2 x ) dx = − �
f ( 2 x ) dx � f ( 2 x ) dx = −4 .
Do đó  �
2

Xét  f ( 2 x ) dx .
1

1
Đặt  2x = t � dx = dt .
2

18


2

4

1
f ( 2 x ) dx = �
f ( t ) dt = −4
Đổi cận: khi  x = 1  thì  t = 2 ; khi  x = 2  thì  t = 4  do đó  �

22
1
4

4

� f ( t ) dt = −8 � f ( x ) dx = −8 .
2

2
4

2

4

0

0

2

f ( x ) dx + �
f ( x ) dx = 2 − 8 = −6 .
Do  I = f ( x ) dx = �
2
f ( 2x)
dx = 8 . Tính  f ( x ) dx .
VD2: Cho hàm số chẵn  y = f ( x ) liên tục trên  ﾡ  và 
x

1
+
2
0
−1
1

A.  2 .

B.  4 .

C. 8 .

D. 16 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
2
f ( 2x)
f ( x)
dx = 16 .
Ta có  � x dx = 8 � �
x
1+ 2
2
−1
−2 1 +
1

Đặt  t = − x � dt = −dx , khi đó 

16 = I =

f ( x)

2

�
1+

f ( −t )

−2

t

2 f ( t)

dx = − �
dt = �
dt .
−t
t
2
2
2
2 1+
2 1+
x

−2

Suy ra  2 I =

−2

f ( x)

2

�
1+

−2

−2

x

2 f ( x)

2

2

dx + �
dx = �
f ( x ) dx = 2 �
f ( x ) dx .
x
2

2
2 1+
−2
0
x

2

Vậy  f ( x ) dx = 16 .
0

VD3: Cho  f ( x )  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  [ −1;  1]  và 

1

f ( x ) dx = 2 . 

−1

Kết quả  I =

f ( x)
dx  bằng
x
1
+
e
−1
1

B.  I = 3 .

A.  I = 1 .

C.  I = 2 .

D.  I = 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn A 
0
1
f ( x)
f ( x)
f ( x)
I = � x dx = � x dx + � x dx = I1 + I 2
1+ e
1+ e
1+ e
−1
−1
0
1

Xét  I1 =

f ( x)
dx
1 + ex
−1

0

Đặt  x = −t � dx = −dt , đổi cận:  x = 0 � t = 0 ,  x = −1 � t = 1
1 t
f ( x)
e . f ( x)
I1 = � − t ( −dt ) = � t dt . 
1+ e
1+ e
1
0
0

19


1 x
et . f ( t )
e . f ( x)
Lại có  � t dt = � x dx . 
1+ e
1+ e
0
0
1

Suy ra: 
1 t
1
1

1
1
1 + et ) . f ( t )
f ( x)
e .f ( t)
f ( t)
(
1
I = � x dx = � t dt + � t dx = �
dt = �
f ( t ) dt = �
f ( t ) dt = 1 .
t
1
+
e
1
+
e
1
+
e
1
+
e
2
−1
0
0
0

0
−1
1

VD4: Cho  y = f ( x )  là hàm số chẵn và liên tục trên  ﾡ .  Biết 
1

f ( x ) dx =
�
0

2
2
f ( x)
1
f
x
d
x
=
1
dx  bằng
(
)
. Giá tr
ị
 c
ủ
a 
2�

3x + 1
1
−2

A. 1.

B.  6 .

C.  4 .

D.  3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D 
Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn
a
f ( x)
dx = �
f ( x ) dx , với  f ( x )  là hàm số chẵn và liên tục trên  [ − a; a ] .
Ta có:  �x
b
+
1
−a
0
a

Áp dụng ta có:
2
1

2
f ( x)
dx = �
f ( x ) dx = �
f ( x ) dx + �
f ( x ) dx = 1 + 2 = 3
x
�
3
+
1
−2
0
0
1
2

1

Cách 2: Do  f ( x ) dx =
0

1

2

2

1
f ( x ) dx = 1 � f ( x ) dx =1  và f ( x ) dx = 2

21
0
 1

1

2

2

0

1

0

��
f ( x ) dx + �
f ( x ) dx = f ( x ) dx = 3 .
0
2
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dx + �x
dx  và  y = f ( x )  là hàm số chẵn, liên 
dx =   �x
Mặt khác x
3
+

1
3
+
1
3
+
1
−
2
0
−2
2

tục trên  ﾡ
� f ( − x ) = f ( x )  ∀x �ﾡ .
Xét  I =

f ( x)
dx . Đặt t = − x � dx = −dt
3x + 1
−2
0

0
f ( x)
f ( −t )
dx = − −t
dt  =
Suy ra  I =
x

3
+
1
3
+
1
−2
2
0

2

0

f ( −t )
2 t
2 x
dt  = 3 f ( t ) dt  = 3 f ( x ) dx
1
3t + 1
3x + 1
+1
0
0
t
3

20

0
2
2 x
2
f ( x)
f ( x)
3 f ( x)
f ( x)
f ( x)
d
x
+
d
x
=
d
x
+
dx =
�
d
x
=
�
�
�
�
3x + 1
3x + 1
3x + 1

3x + 1
3x + 1
−2
0
0
0
−2
2

2

0

(3

x

+ 1) f ( x )
3x + 1

2

dx =
0

f ( x ) dx = 3 .

DẠNG 5 : ĐƠI BIÊN LOAI 5
̉
́

̣
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức 
Bài tốn: Cho hàm số  y = f ( x )  thỏa mãn  g �
�f ( x ) �
�= x  và  g ( t )  là hàm đơn điệu
 (ln đồng biến hoặc nghịch biến) trên  R.Hãy tính tích phân  I =

b
a

f ( x ) dx  .

Cách giải: Đặt  y = f ( x ) � x = g ( y ) � dx = g ( y ) dy  
Đổi cận 

x = a � g ( y) = a � y = α
x = b � g ( y) = b � y = β
b

β

a

α

 

Suy ra  I = �f ( x ) dx = �yg ( y ) dy
Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  R thỏa mãn  f 3 ( x ) + f ( x ) = x, ∀x R . 

Tính  I =

2
0

f ( x ) dx  
B.  I =

A.  I = 2 .

3
.
2

C.  I =

1
.
2

D.  I =

5
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn D 

3

2
Đặt  y = f ( x ) � x = y + y � dx = ( 3 y + 1) dy  

Đổi cận 

x = 0 � y3 + y = 0 � y = 0
x = 2 � y3 + y = 2 � y = 1

 

y ( 3 y 2 + 1) dy = �
Khi đó  I = �f ( x ) dx = �
( 3 y 3 + y ) dy =
2

1

1

0

0

0

5
4

 đáp án D

VD2: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  thỏa mãn  2 f 3 ( x ) − 3 f 2 ( x ) + 6 f ( x ) = x , 
5

∀x ﾡ . Tính tích phân  I = f ( x ) dx .
0

A.  I =

5
.
4

B.  I =

5
.
2

C.  I =

5
.
12

5
D.  I = .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B

21


2
Đặt  y = f ( x ) � x = 2 y 3 − 3 y 2 + 6 y � dx = 6 ( y − y + 1) dy .

Đổi cận: với  x = 0 � 2 y 3 − 3 y 2 + 6 y = 0 � y = 0  và 
x = 5 � 2 y3 − 3 y 2 + 6 y = 5 � y = 1.
1

1

f ( x ) dx = �
y.6 ( y 2 − y + 1) dy = 6
Khi đó  I = �
0

0

1

0

(y

3

− y 2 + y ) dy =

5
. 
2

VD3: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ  thỏa mãn  x + f 3 ( x ) + 2 f ( x ) = 1 ,  ∀x ﾡ . 
Tính  I =

1

f ( x ) dx .

−2

A.  I =

7
.
4

B.  I =

7
.
2

C.  I =

7
.
3

D.  I =

5
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn A

3
2
Đặt  y = f ( x ) � x = − y − 2 y + 1 � dx = ( −3 y − 2 ) dy .

Đổi cận: Với  x = −2 � − y 3 − 2 y + 1 = −2 � y = 1 ; 
x = 1 � − y3 − 2 y + 1 = 1 � y = 0 .
0

Khi đó:  I = y ( −3 y 2 − 2 ) dy =
1

7
.
4

DẠNG 6 :  ĐƠI BIÊN LOAI 6
̉
́
̣
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức 

Bài tốn: 
Cho  f ( x ) . f ( a + b − x ) = k , khi đó  I =
2

b

dx
b−a
=
k + f ( x)
2k
a

Cách giải:
dt = − dx
Đặt  t = a + b − x

f ( x) =

k 2  và  x = a � t − b ;  x = b � t = a .
f ( t)

b
b
b
dx
dx
1 f ( x ) dx
I =�
=�

=
k2
k + f ( x) a
k�
k + f ( x) .
Khi đó 
a
a
k+
f ( t)
b
b
dx
1 f ( x ) dx
1
1
b−a
2I = �
+ �
=
dx = ( b − a ) � I =
.
k + f ( x) k a k + f ( x) k a
k
2k
a
b

Các ví dụ minh họa

22


VD1: Cho hàm số  f ( x )  liên tục và nhận giá trị dương trên  [ 0;1] . Biết 

[ 0;1] . Tính giá trí  I =

f ( x ) . f ( 1 − x ) = 1  với  ∀x
3
A.  .
2

1
B.  .
2

1

dx
1+ f ( x)
0

C. 1.

D.  2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: 1 + f ( x ) = f ( x ) f ( 1 − x ) + f ( x )
Xét  I =

f ( x)
1
=
1+ f ( x) f ( 1− x) +1

1

dx
.
1+ f ( x)
0

Đặt  t = 1 − x � x = 1 − t   � dx = −dt . Đổi cận:  x = 0 � t = 1 ;  x = 1 � t = 0 .
0
1
1
1
f ( x ) dx
dt
dt
dx
I
=
−
=
=
=
Khi đó 
�

1+ f (1− t) �
1+ f (1− t ) �
1+ f ( 1− x) �
1+ f ( x)
1
0
0
0
1
1
f ( x ) dx 1 1 + f ( x )
dx
1
+
=
d
x
=
dx = 1  hay  2 I = 1 . Vậy  I = .
Mặt khác  �
�
�
�
1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) 0 1 + f (t )
2
0
0
1

VD2: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  ﾡ , ta có  f ( x ) > 0  và  f ( 0 ) . f ( 2018 − x ) = 1 . 

Giá trị của tích phân  I =

2018

0

A.  I = 2018 .

dx
1+ f ( x)

B.  I = 0

C.  I = 1009

D.  4016

Hướng dẫn giải
Chọn C 
2018

ta có  I =
0

1
2018 − 0
dx =
= 1009 .
1+ f ( x)
2.1

VD3: Cho hàm số  y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên  ﾡ  và  f ( x ) > 0 khi x
Biết  f ( x ) . f ( 5 − x ) = 1  tính tích phân  I =
,
A.  I =

5
.
4

5
B.  I = .
3

5
0

[ 0;5] . 

dx
.
1+ f ( x)
C.  I =

5
.
2

D.  I = 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn C 
Đặt  x = 5 − t � dx = −dt
x = 0 � t = 5 ;  x = 5 � t = 0

23