Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện kỹ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP "


A - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong đề thi Đại học các khối A, A1, B và D những năm gần đây, câu 5 trong đề
thi là câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học
ở các trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn
cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học
tốt các nội dung trong câu 5. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Với mong muốn các học sinh
của mình sẽ làm tốt câu 5 trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh
nghiệm:“KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP
KHỐI CHĨP”. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết
vấn đề.
Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tơi có thể
có những phần chưa hồn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp q báu của q thầy cơ.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1/ Một học sinh không thể học hình học khơng gian tốt nếu các kiến thức về hình học
phẳng khơng tốt.
2/ Một học sinh khơng thể học hình học khơng gian tốt nếu khơng có kỹ năng phân tích
đề, khơng có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình, nhất là
“hình học khơng gian”
2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại khơng
muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này.
3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp phần kiến
thức này và ln có cảm giác “sợ học hình khơng gian”. Vì vậy hầu hết các em đều học
chưa tốt phần kiến thức này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học
phẳng nhằm học tốt nội dung này.
Ví dụ như:
• Các cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác.
• Định lí sin, định lí cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác,
…
• Các tính chất trong tam giác vng, trong tam giác đều, trong hình vng, trong
hình thoi, …
2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất là các
khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó.
Ví dụ:
Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính
chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?


Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất
gì? Cách vẽ hình như thế nào?
3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? u cầu bài tốn là gì?
H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?

H? Giả thiết bài tốn cho gì?
H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài tốn này và ta sẽ làm bài này theo cách
nào?
Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu?
H? Có phần giả thiết nào chưa xử dụng không?
4/ Trang bị cho học sinh cách đọc đề bài, phân tích đề bài tốt.
Ví dụ:
 Trong mặt phẳng, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu mút của đoạn thẳng
AB

thì ta phải thấy điểm đó nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

AB .

Cịn trong khơng gian, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu mút của đoạn
thẳng

AB

thì ta phải thấy điểm đó nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB .

 Trong không gian, khi thấy một điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác
thấy điểm đó nằm trên trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác

ABC

thì ta phải

ABC .

 Nhắc đến tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, ta thấy ngay điểm đó cách đều
tất cả các đỉnh của khối đa diện. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là


điểm đồng quy của: Các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện; Đó
cũng là điểm đồng quy của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.
5/ Các hướng suy nghĩ nên có khi gặp bài tốn xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp:
5.1/ Hướng 1: Có thể chỉ ra một điểm và chứng minh điểm đó các đều tất cả các
đỉnh của khối chóp được khơng?
*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:
A - Phải đọc hình vẽ tốt:
 Nhìn thấy tam giác vng, ta phải thấy được trung điểm của cạnh huyền các đều 3
đỉnh của tam giác.
 ...
B - Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1

Cho hình chóp

S . ABC ,

biết

SA ⊥ ( ABC )

và tam giác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
và

S . ABC

ABC

SA = a 3

b/

SA = a 3 ,

góc giữa

c/

SA = a 3 ,

góc giữa ( SBC ) với mặt đáy bằng 600

SC

với mặt đáy bằng 600

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện.
+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

B.

Xác

trong các trường hợp sau:

AB = a

a/

vuông cân tai


2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh

S

3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)
Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.

I

A

C

B

 u cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt về các mặt của hình chóp.

Câu trả lời mong muốn: Các tam giác

SAC , SBC , ABC

là các tam giác vuông

 Yêu cầu học sinh chỉ ra một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.
Câu trả lời mong muốn: Điểm

I

là trung điểm của

SC

 Yêu cầu học sinh chỉ ra bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Câu trả lời mong muốn:

R = IS = IC =

1
SC
2

 Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải quyết các câu a,
b, c
 Các học sinh trao đổi, tranh luận.
 Giáo viên làm trọng tài đưa ra kết luận và yêu cầu 3 học sinh lên bảng thực hiện 3
câu a, b, c.

Ví dụ 2

Cho hình chóp

thắng

mặt đáy bằng

SB và

S . ABCD ,

450 .

biết

SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a, BC = 2a ,

góc giữa đường

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

S . ABCD .

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện.
+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

S

2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh
3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)
Vẽ các cạnh bên, hồn thiện hình.

I
A

D

B

C

 u cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt về các mặt của hình chóp.
Câu trả lời mong muốn: Các tam giác
cạnh huyền là

SAC , SBC , SDC

là các tam giác vuông có chung

SC .

 Yêu cầu học sinh chỉ ra một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.
Câu trả lời mong muốn: Điểm

I

là trung điểm của

SC

 Yêu cầu học sinh chỉ ra bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Câu trả lời mong muốn:

R = IS = IC =

1
SC
2


 Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải quyết bài toán.
 Các học sinh trao đổi, tranh luận.
Giáo viên làm trọng tài đưa ra kết luận và yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện.
C - Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp

S . ABC ,

biết

SA ⊥ ( ABC )

, tam giác

ABC

a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b/ Cho

AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a .

Bài 2: Cho hình chóp
và mặt đáy bằng

450 .

S . ABCD ,

vng tại

B.

S . ABC .

Tính bán kính mặt cầu nói trên.
biết

SA ⊥ ( ABCD ) , AB = a, BC = 2a ,

góc giữa đường thắng

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

SB

S . ABCD .

5.2/ Hướng 2: Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và một mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên.
A/ Mở đầu:

Hầu hết các khối đa diện, việc chỉ ra một điểm nằm trên một cạnh nào

đó và chứng minh điểm đó cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp thì sẽ gặp nhiều khó
khăn. Khi gặp bài tốn này, ta ghi nhớ kết quả: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là
điểm đồng quy của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của hình chóp, nó cũng là
điểm đồng quy của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của hình chóp. Từ đó ta có
hướng suy nghĩ: "Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung
trực của một cạnh bên nào đó". Và ln nhớ rằng, nếu có một cạnh bên đồng phẳng với
trục của đường trịn ngoại tiếp hình chóp thì thay bằng việc dựng mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên thì ta sẽ dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên đó(khi ta ghép vào
trong một mặt phẳng nào đó).
B/ Các ví dụ:


Ví dụ 1 Cho hình chóp tam giác đều
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC

cạnh

AB = a, SA = 2a .

Xác định tâm và bán

S . ABC .

 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận

S

xét, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng.
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn
ngoại tiếp tam giác

M
I

ABC
A

 Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng
với

G

là trọng tâm tam giác

ABC ( G

C

SG ,

G

cũng

B

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác

ABC )

 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta
sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
hay dựng đường thẳng trung trực của một
cạnh bên nào đó
 Câu trả lời mong muốn: Do

SG

cắt các cạnh bên của hình chóp, nên trong mặt

phẳng ( SAG ) , dựng đường trung trực của đoạn
cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính là
Ví dụ 2 Cho hình chóp
có cạnh

AB = a .

S . ABC ,

biết

SA

cắt

SG

tại I . Khi đó

I

là tâm mặt

R = IA .
SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a ,

tam giác

ABC

là tam giác đều

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC .

 u cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa ra kết luận
cuối cùng.

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
 Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng
với

G

là trọng tâm tam giác

ABC ( G

∆

qua

ABC

và vuông góc với ,

G

cũng chính là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

ABC )

 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta

S

sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
hay dựng đường thẳng trung trực của một

M

cạnh bên nào đó

I

A

C
G
B

 Câu trả lời mong muốn: Do

∆

song song với cạnh bên

mặt phẳng ( SAG ) , dựng đường trung trực của đoạn
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính là

SA

của hình chóp, nên trong

SA

cắt

∆

tại

I

. Khi đó

I

là tâm

R = IA .

C/ Bài tập:
Bài 1:

Cho hình chóp

S . ABCD

AB = AD = a, CD = 2a, SD = a, SD ⊥ ( ABCD )
BC .

a/ Tính độ dài đoạn

DI .

có đáy là hình thang vng tại
.Gọi

E

là trung điểm

CD

và

I

A

và

D,

là trung điểm của


b/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ( S ) ngoại tiếp hình chóp
Bài 2:

Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy là hình thang vng tại

AB = 2a, AD = CD = a, SA = a 3, SA ⊥ ( ABCD ) .

tiếp hình chóp

S . ABC .

Tính theo

a

S .BCE .

A

và

D,

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ( S ) ngoại

diện tích của mặt cầu ( S ) .

5.3/ Hướng 3: Dựng hai trục của hai đường trịn ngoại tiếp hai mặt nào đó của hình
chóp.
A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:
 Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình
chóp. Do đó, điểm đó là điểm đồng qui của các trục đường tròn ngoại tiếp các tam
giác mặt bên và trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 Nếu trong bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,
mà hình chóp đấy có hai mặt là hai đa giác đặc biệt(là tam giác đều, là tam giác
vuông, là hình vng, ...)
B/ Các ví dụ:

1/ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có các tam giác
a,

góc giữa đường thẳng

AD

và

mp ( ABC )

bằng

ABC
450 .

và

BCD

là các tam giác đều cạnh

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD .

D

Giáo viên yêu cầu học sinh:
*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình

I

*/ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt

G'

cầu ngoại tiếp tứ diện theo hướng 1và

A
G

M
B

C


hướng 2(học sinh gặp khó khăn)
*/ Hãy nhận xét xem các mặt của tứ diện
này có gì đặc biệt?
(kết quả mong muốn: tam giác

ABC

và

BCD

là các

và

mp ( ABC )

tam giác đều)
*/ Chỉ ra góc giữa đường thẳng

AD

*/ Yêu cầu học sinh chứng minh:

(kết quả mong muốn: góc DAG )

DM ⊥ ( ABC ) , AM ⊥ ( DBC )

*/ Yêu cầu học sinh dựng hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác
Kết quả mong muốn: Là các đường thẳng
qua

G',

song song với

∆1 , ∆ 2

lần lượt qua

G,

ABC

và

song song với

BCD

DM

và

AM

*/ Yêu cầu học sinh chỉ ra tâm

I

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và bán kính của mặt

cầu đó?
Kết quả mong muốn:

I = ∆1 ∩ ∆ 2 ,

*/ Yêu cầu học sinh tính
Kết quả mong muốn:

bán kính

R = IA .

R

R = IA = IG 2 + AG 2 =

15a
6

*/ Yêu cầu học sinh tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện
Kết quả mong muốn:

V=

5 15π 3
a (đvtt)
54

2/ Ví dụ 2: Cho hình chóp
SA = SB = a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) .

S . ABCD có

đáy

ABCD

là hình vng cạnh

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABCD .

a.


S

Giáo viên yêu cầu học sinh:

∆1

*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình

G

*/ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt

I

D

A

cầu ngoại tiếp chóp hình theo hướng 1 và
hướng 2(học sinh gặp khó khăn)

B

O

M

C

*/ Hãy nhận xét xem các mặt của hình chóp
này có gì đặc biệt?
(kết quả mong muốn: tứ giác

ABCD

là hình vng và tam giác

SAB

là

tam giác đều)
*/ Yêu cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp hình vng
∆1

qua

là trung điểm của

AB )

Kết quả mong muốn: Là đường thẳng
hình vng ABCD và

M

O,

song song với

SM

*/ u cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Kết quả mong muốn: Là đường thẳng
tâm của tam giác

∆2

qua

G,

song song với

ABCD

(với

O

là tâm của

SAB

OM

(với

G

là trọng

SAB )

*/ Yêu cầu học sinh chỉ ra tâm

I

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

kính của mặt cầu đó?
Kết quả mong muốn:

I = ∆1 ∩ ∆ 2 ,

bán kính

R = IA = IB = IC = ID = IS .

S . ABCD

và bán


*/ Yêu cầu học sinh tính

Kết quả mong muốn:

R
a 21
6

R = IB = BO 2 + MG 2 =

6/ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp

AB = a, AD = 2a; SA ⊥ ( ABCD ) , SA = b .

hình chóp
ĐS: Tâm

có đáy

S . ABCD

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp

O

là trung điểm của

SC ,

S . ABC

bán kính

có đáy

trịn ngoại tiếp tam giác

R=

SBC .

1
SC = 5a 2 + b 2
2

là một tam giác cân tại

Chứng tỏ rằng

BC

A

và có

là đường kính của đường

Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp

S . ABC .
a2

3a 2 − x 2

Bài 3: Cho tứ diện

OABC

OA = OB = a, ∠OCB = α .

Tính thể tích tứ diện

cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC .

ĐS: V =

R=

ABC

AB = AC = a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) , SA = SB = a, SC = x .

ĐS:

là hình chữ nhật với

S . ABCD .

Bài 2: Cho hình chóp

hình chóp

ABCD

có các cạnh

OA, OB, OC
OABC .

đơi một vng góc với nhau và

Xác định tâm và bán kính của mặt

a 3 sin 2α
a 2
( dvtt ) ; R =
12
2

Bài 4: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a , SAB

là tam giác

đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABCD .


ĐS:

R=

a 21
6

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều

S . ABCD

có đáy bằng

bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
ĐS:

và

∠ASB = α

. Xác định tâm và

S . ABCD .

a

R=
4sin

α
. cosα
2

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều
một góc

a

600 .

S . ABCD

có đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABCD .

Tính

diện tích mặt cầu. Tính thể tích khối cầu tương ứng.

ĐS:

a 6
8π a 2
8π 6 3
R=
;S =
a ( dvtt )
( dvdt ) ;V =
3
3
27

Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA3, cịn tại hai lớp 12A2 và
12CB8 tơi dạy theo cách cũ. Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách
tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài tốn nói
chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác khơng sợ khi gặp bài
tốn hình học tổng hợp. Với cách làm đó Tơi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn
nhiều so với những lớp vẫn dạy theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi
quen. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:

Lớp
12A1

Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2

Sĩ số

Giỏi

Khá

50

6

16

11

25

Trung

Yếu

Kém

24

4

0

13

1

0

bình


12CA3 Lần kiểm tra 1

50

Lần kiểm tra 2
12A2

Lần kiểm tra 1

50

Lần kiểm tra 2
12CB8 Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2

50

2

12

26

10

0

8

20

18

4

0

5

14

23

8

0

7

16

22

5

0

2

13

25

10

0

3

16

26

5

0

C. KẾT LUẬN
Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho học sinh
cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên chỉ làm cố vấn
trong quá trình học sinh thực hiện. Khi làm tốt được điều này, Tôi thấy học sinh có
tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là trong tư duy hình học.
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà trường giao
cho giảng dạy 4 lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 và 12CB8. Tôi đã áp dụng tổ chức cho
học sinh trong hai lớp 12A1 và 12CA3 học tập theo cách trên. Sau quá trình giảng

dạy trong năm học 2012 – 2013, tôi thấy khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của
học sinh ở hai lớp 12A1 và 12CA3 được phát triển lên một bước. Cụ thể, sau hai
bài kiểm tra cho 4 lớp với chất lượng đề như nhau tơi thấy hai lớp 12A1 và 12CA3
có kết quả cao hơn hẳn so với hai lớp 12A2 và 12CB8, đặc biệt là khả năng giải
quyết những vấn đề khó trong hình học.
Trong chun đề này, khơng thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn chế. Rất
mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và
các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.


Tơi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 12 nâng cao
2. Bài tập hình học 12 nâng cao
3. SGV Hình học 12 nâng cao
4. Hình học 12
5. Bài tập hình học 12
6. SGV Hình học 12
7. Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ
8. Báo Toán học tuổi trẻ.
…