Tài liệu Giáo Trình Giải Tích 12 pptx

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thị (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hồnh độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007

4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1
−
.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
2x3 đi qua M
1
(5;3).
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ M(3;1).
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x2+
1x
4
−
đi qua A(0;3).
7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=
1x
1x
+
−
đi qua H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3

– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e

sinx
e) y = e
4x + 5
f) y =
1x2
2
x
a
++
(0< a ≠ 1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x +
2
x1+
) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
2
x
tg
g) y = cotg ( 5x
2

+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =



≥
<
0x neáu x
0x neáu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +
x

5
( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3
b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) e
x
ta có : y’ – y = e
x
d) Với y= e
sin x
ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0
e) Với y = ln
x1
1
+
ta có xy’ + 1 = e
y
14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:
a) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33
−
+
. Chứng minh rằng: y’' = y
b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg
2
x
= 0
c) Cho y = e
4x

+2e
x
. Chứng minh rằng : y’’’13y’12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)
4
('f3)

4
(f =
π
−
π
16) Cho f(x) =
2
2
x
e.x
−
. Chứng minh rằng :
)
2
1
(f3)
2
1
(f2
'
=
17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x3)e
x
c)

f(x) = sinx.e

x
d) f(x) =
xxcosxsin3 +−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
x
2
+ π .
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
=
4
π
. b) f(x) = x. cosx tại x
0

=
3
π
21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:
a) f(x) =
1x
2
+
b) f(x) = x.lnx. c) f(x) =
x
xsin
.
22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+
5
x
3
+
.
24) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2

x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên (π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y

2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
25) Cho hàm số y = f(x) = x
3
3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghịch biến trên khoảng (1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
26) Định m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Kq: m = 0

27) Định m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghịch biến trên nửa khoảng [1;+∞).
Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng
khoảng xác định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−
−−
=

.
c)
1x2
1x
y
+
−
=
.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
30) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
31) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−

++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Kq:
223m −≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(mx)m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1
2
x
2
, với x > 0 .
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3
. b) y = 3x +
x

3
+ 5. c) y = x.e
x
. d) y =
x
xln
.
36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin
2
x với x∈[0; π ] b) y = x
2
lnx. c) y =
x
e
x
.
37) Xác định tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
−
2005) Kết quả : m=11
38) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
3x

2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thị (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m1)x+4m+4 và m= 1
39) Định m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trị tại x = 2. Kết quả : m = 4

c.Đạt cực tiểu khi x = 1 Kết quả : m = 7
40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn có cực trị.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH
41) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
mx
2
+(m
2
m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
mx
2
+(m+2)x1. Xác định m để hàm số:

a) Có cực trị. Kết quả: m <1 V m > 2
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x
4
+2mx
2
2m+1.
Hd và kq : y’=4x(x
2
m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trị nằm
khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
45) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
6x
2
+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực

trị cùng dấu. Kết quả :
4
17
−
< m < 2
46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x
3
3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1 luôn
đạt cực trị tại hai điểm x
1
và x
2
với x
2
x
1
là một hằng số.
47) Tìm cực trị của các hàm số :
a)
x
1
xy +=
. b)
6x2
4
x
y
2

4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
48) Định m để hàm số có cực trị :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V m>1
49) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
mx
2
+(m+3)x5m+1.
Kết quả: m = 4
50) Cho hàm số : f(x)=

3
1
−
x
3
mx
2
+(m−2) x1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x
2
,
cực tiểu tại x
1
mà x
1
< 1 < x
2
< 1. Kết quả: m>−1
51) Chứng minh rằng : e
x
≥ x+1 với ∀x∈|R.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2

53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = 4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp)
mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây
ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ
nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
56) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
1xx

x
24
2
++
. Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
57) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghịch biến trên
khoảng(1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

58) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3

)
59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4 −
.
Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−
;
7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−

63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






− 1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−

64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos
1xsin22
y
+
−
=

. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;

R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

66) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2
. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin

2
α . x
2
−2sin
2
α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1.
67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :
y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số
y=g(t)=t+
2t
1
+
xác định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔
t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) = g(0) =
2

1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1
68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003
−
2004)
Kết quả:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min
π
f(x)=f(0)=f(π )=0
IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số :
a) y = f(x) = x
4
6x
2
+1 b) y = f(x) =
x
4xx
2
+−
70) Định m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
3
3(m1)x
2
+m
2
x3 nhận I(1;1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Định m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
4
6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thị (C):

1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương
trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(2;1), B(
2
1
;0), C(1;1).
→−→−
= AC
2
1
AB
⇒ A, B, C thẳng hàng.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc
3
2
xx
yy
k
AC

AC
=
−
−
=
nên có
phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
=
3
2
(x-1)+1⇔ y=
3
2
x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax

3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách
đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
3mx
2
+2m(m4)x+9m
2
m cắt trục hồnh tại 3 điểm cách
đều nhau (có hồnh độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
a) Cho y = 0⇔ ax
3
+bx
2
+cx+d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, lập thành cấp số cộng ⇒
2x
2
= x

1
+x
3
⇒ 3x
2
= x
1
+x
2
+x
3
=
a
b
−
⇒ x
2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.
b) Tìm I(m;m
2
m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.

Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx
y
2
+
+−
=
.
76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm
uốn:
a)
2x
1x
y
−
+
=
. b) y = x +
x
1
.
77) Tìm tham số để:
a) (C

m
) : y=x
3
−3x
2
+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (C
a,b
) : y=ax
3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
3
3x
2
9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hồnh độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) :
y=x

3
3x
2
9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hồnh độ giao điểm :
ax+b = x
3
3x
2
9x+1⇔ f(x) = x
3
3x
2
(a+9)x+1b = 0.(1)
• Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là
I(1;ab10)∈Ox ⇒ ab10 = 0 ⇒ a+b = 10.
• Điều kiện đủ : a+b = 10 ⇒ f(x) = (x1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
2x+b1. YCBT ⇔



≠−=
>−=∆
02b)1(g
0b2
g
⇔ b<2

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết luận :



<
−=+
2b
10ba
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=
1x
1x
2
+
+
.
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
81) Tìm m để (C
m
):y = x
3
3mx

2
+2m(m4)x+9m
2
m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .
c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết quả : x = 2 và y = x
83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :
a) y = 1+
x
2
e

−
. Kết quả: y = 1
b) y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
1x
2
+
.Kết quả : y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y =
3
32
xx3 −
. Kết quả : y = x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (C
m
) đi qua I(1;2).
87)Tìm trên đồ thị (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
=
2
9
.
VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ
89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = x
3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x−4 d) y = (1-x)
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
e) y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
−x

4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−
+
j) y =
2x
x2
+
k) y =
1x
x
2
−
l) y =
2x
4
1x
+
−−

m) y =
x1
)2x(
2
−

−
n) y =
2x
1
2x
+
+−−
VII.CÁC BÀI TỐN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hồnh độ

giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp
xúc với đồ thị (C) hàm số y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc
toạ độ O.
94) Dùng đồ thị (C): y = x
3
−3x
2

+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
−3x
2
− 9x+1−m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn
AB.
96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x

4
−4x
3
−2x
2
+12x−1.
a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
a)Dự đốn trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được
nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của
(C).
b) Cho Y= 0, tìm được X=
104
±±
⇒ y=0 và x =1
104
±±
.
99) Chứng minh rằng (C): y =
1x
3x
+

−
có hai trục đối xứng.
Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác
y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng
minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C).
100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy
ra đồ thị của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−

c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f

6
(x) =
2x
2x
+
−
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2
+2.
b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo
m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:

1. Dự đốn đường thẳng cố định:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này có
∆= (x)
2
−1.(x
2
+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố định.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=−x
2
−x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường
thẳng cố định.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C
m
) và d:y=x−1 là:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1=x−1 ⇔ x
2

+2mx+m
2
=0
⇔ (x+m)
2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau
⇔
phương trình hồnh độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)
2
+4b+4=0 với ∀ m
⇔



=++
=−
044b1)-(a
01a
2
⇔



−=
=
1b
1a
.
Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố định mà (C
m
) luôn tiếp xúc.
103) Chứng tỏ rằng (C

m
): y=
mx
mmx)1m3(
2
+
+−+
(1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đốn các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố định tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C

m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
• d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:







=
+
+=
+
+−+
9
)mx(
m4
1x9
mx
mmx)1m3(
2

2
2
⇔ (3x+m)
2
=0 ⇔ x= −
3
m
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hồnh độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hồnh độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố
định tại một điểm cố định.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m

) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
−m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đốn (P):y=
4
1
x
2
3
x
4
1
2
−+−
là parabol cố
định và chứng tỏ (d
m
) tiếp xúc (P) tại x=1−2m.
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx

−
−+
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx

3
3
∫
−
−+
108) Tính
∫
+−
−
2x3x
dx)3x2(
2


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
109) Tính
∫
−1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C
Kq: A=
5
1
−
; B=
5
3

−
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x +
b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2 +
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin
1
22
d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
−x
2
+2x−1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =
3
x
4
x
34
−
+x
2
−x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx.
Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có:
1x
B
2x
A
2x3x
1x
2
−
+
−
=

+−
+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
+−
+
=
Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫

xdxcos.xsin
2
l nsinx+C
−cotgx−x+C
3
1
sin
3
x+C
d)
∫
dx
xln.x
1
e)
∫
+3xcos2
e
.sinxdx
f)
∫
xsin
dx
l n l n x+C
3xcos2
e
2
1
+
−

+C
l n
2
x
tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
∫
+
3
1
2
dx
x
x4x
1
12
4

e)
∫
π
π
−
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
3
15311 −
2
223 −+

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
c)
∫
−
−
2
2
2
dx|1x|
d)
∫
π

4
0
2
xdxtg
4
4 π−
f)
∫
π
π
−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0
2
xdxcosxsin
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)

∫
+
1
0
1x
dx
b)
∫
−
2
1
2
)1x2(
dx
c)
dx
1xx
2x4
1
0
2
∫
++
+
d)
∫
π
4
0
tgxdx

e)
∫
+
2ln
0
x
x
3e
dxe
f)
∫
π
2
0
3
dx.xcos
ln2
3
1
2ln3
ln
2
ln
4
5
3
2
g)
dx

xcos31
xsin
2
0
∫
π
+
h)
∫
π
π
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
i)
∫
π
π
−
+
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)

∫
+−−
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
∫
e
1
2
dx
x
xln
3
2
ln2
2
1
ln(
3
+1)
0
3
1


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH

118) Chứng minh rằng:
a)
2xsin23
dx
4
4
3
4
2
π
≤
−
≤
π
∫
π
π
b)
108dx)x117x(254
11
7
≤−++≤
∫
−
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
a)
∫
π
4

0
dx.x2sin
b)
dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
c)
33
2
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
d)
∫
π
4
0
4
xdxtg
e)
2

4
4
sin
dx
x
π
π
∫
f)
1
3
0
1 xdx
−
∫
g)
dx1xx
1
0
2
∫
+
h)
∫
++
1
0
2
1xx
dx

k)
1
0
1
x
x
e dx
e
+
∫
l)
∫
π
2
0
3
dxxcos xsin
2
1
)122(
3
2
−
2
1
12
83 −π
3
4
4

3
)122(
3
1
−
33
π
)21e(2 −+
4
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
120) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
m)
∫
−
2
2
2
1xx
dx
n)
3
2
3
9 x dx
−
−

∫
o)
∫
−
1
0
2
x4
dx
p)
∫
−
1
0
22
dxx1x
q)
∫
+
3
0
2
1x
dx
r)
1
2
2
1
2

1 x
dx
x
−
∫
s)
∫
+
1
0
x
e1
dx
t)
∫
π
+
2
0
xcos1
dx
u)
∫
π
3
0
2
xcos
xdxsin
v)

∫
π
+
2
0
2
dx
xcos1
xsin
w)
∫
e
1
4
dx
x
xln
Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq:
12
π
2
9π
6
π
x=sint. Kq:
16
π
)32ln(
2
1

3 ++
3
33 π−
TS+e
x
−e
x
.Kq:l n
1e
e2
+
1
1
4
π
5
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
1
0
2
dxxe
x
b)
2
0
( 1)cosx xdx

π
−
∫
4
1e
2
+
2
2
−
π
c)
∫
e
1
xdxln
d)
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
1
2ln
4
−
π

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
e)
2
0
sin .cosx x xdx
π
∫
f)
∫
e
1
2
dx)x(ln
g)
∫
+
1
0
2
dx)x1ln(
8
π
e−2
ln2−2+
2
π
h)

1
2
0
ln(1 )x x dx+
∫
i)
cos
0
( )sin
x
e x xdx
π
+
∫
j)
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
ln2−
2
1
π+
−
e
1e
2

2
1e
2
+
π
122) Chứng minh rằng:
a)
∫∫
ππ
=
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf
Hd: x=
2
π
−t
b)
∫∫
−=
b
0
b
0
dx)xb(fdx)x(f
Hd: x=b−t
c)
∫∫

=
2
a
0
a
0
23
dx)x(xf
2
1
dx)x(fx
(a>0) Hd: t=x
2
d)
∫∫
ππ
=
2
0
2
0
dx)gx(cotfdx)tgx(f
Hd: x=
2
π
−t
e)
∫∫
π
π

π=
2
00
dx)x(sinfdx)x(sinxf
. Áp dụng, tính:
∫
π
+
0
2
dx
xcos1
xsin.x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính
∫
π
π
2
dx)x(sinf
ta đặt x=
2
π
+s và kết
quả bài 118a). Tính
∫
π
+
0
2
dx

xcos1
xsin.x
= π
∫
π
+
0
2
dx
xcos1
xsin
, đặt t=cosx, kq:
4
2
π
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0)
thì:
∫∫
−
=
a
0
a
a
dx)x(f2dx)x(f
. Hd: t=−x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) thì:
0dx)x(f
a
a

∫
−
=
. Hd: t=−x
125) Chứng minh rằng:
0xdxsinx
8
8
76
∫
π
π
−
=
. Áp dụng bài 124).

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH
126) Chứng minh rằng:
∫∫
−
=
1
0
xcos
1
1
xcos
dxe2dxe
. Áp dụng bài 123).

127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:
∫∫
−
−
=
x
a
x
a
dt)t(fdt)t(f
. Hd: t=−x
128) Chứng minh rằng
0dx)x(cosf.xsin
a
a
∫
−
=
. Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng
∫∫
−
=
a
0
2
a
a
2
dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos

. Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng
∫∫
−=−
1
0
mn
1
0
nm
dx)x1(xdx)x1(x
. Hd:x=1−t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
∫
−
++
2
2
2
dx)1xxln(
b)
∫
π
π
+
+
2
6

dx
xcos1
xsinx
c)
∫
2
1
5
dx
x
xln
d)
∫
−
2ln
0
x
dxe.x
e)
∫
e
e
1
dx|xln|
f)
∫
+
1
0
2

3
dx
1x
x
g)
∫
π
2
0
6
dx .sinxcosx-1
Hs lẻ: 0
)31(
6
+
π
64
2ln
256
15
−
2
e
ln
e
)1e(2 −
2
e
ln
7

6

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả
h)
∫
+
3ln
0
3x
x
)1e(
dxe
k)
∫
−
++
0
1
3
x2
dx)1xe(x
l)
∫
π
+
4
0
dx

x2cos1
x
m)
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
n)
∫
+
32
5
2

4xx
dx
o)
∫
1
0
23
dx x-1x
p)
∫

−
5ln
2ln
x
x2
dx
1e
e
q)
∫
2
0
2
dx |x-x|

r)
∫
1
0
2
x3
dx ex
s)
∫
+
e
l
2
dx .lnx
x

1x
12 −
7
4
e4
3
2
−
)2ln
2
(
4
1
−
π
2ln
3
5
ln
4
1
15
2
3
20
1
u=x
2
, dv=?.
2

1
)3e(
4
1
2
+
132) Cho I
n
=
∫
1
0
xn
dx.ex
(n∈ N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n
−
1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
=
∫
1
0
x3
dx.ex

. Kết quả: 6−2e
133) Cho I
n
=
∫
π
4
0
n
dx.xtg
(n∈ N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,∀x∈(0;
4
π
)
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n+2
và I
n
.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH
Hướng dẫn: I
n+2
=

∫
π
−
4
0
2
n
dx).1
xcos
1
(xtg

⇒

I
n +
I
n+2
=
1n
1
+
.
134) Tính I
n
=
∫
π
0
n

dx.nxcos.xcos
(nỴ N )
Hướng dẫn: đặt



=
=
dx.nxcosdv
xcosu
n
, tìm được I
n
=
2
1
I
n
−
1
=…=
1n
2
1
−
I
1
=
n
2

π
.
135) Tính I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xcos
(nỴ N )
Hướng dẫn: đặt



=
=
−
dx.xcosdv
xcosu
1n
, tìm được I
n
=
n
1n −
I
n
−

2
.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
• n=2k ( n chẵn): I
n
=
2
.
n 4.2
)1n (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
n
=
n 5.3
)1n (4.2 −
136) Cho I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xsin
(nỴ N )
a) Chứng minh rằng I
n+2
=
2n
1n

+
+
I
n
.
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).I
n
.I
n+1
là hàm hằng.
c) Tính I
n
.
Hướng dẫn:
a) Đặt



=
=
+
dx.xsindv
xsinu
1n
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)⇒ f(n)=…=f(0)=
2
π
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
• n=2k ( n chẵn): I
2k

=
2
.
k2 4.2
)1k2 (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
)1k2 (5.3
k2 4.2
+
137)a) Tính I
0
=
∫
−
−
1
0
2xx
dx.e).1x2(
, Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng I
n
=
∫
−+
−
1
0

2
xx1n2
dx.e.)1x2(
=0 Hd: b) Truy hồi.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 21 - Soạn cho lớp LTĐH
138) Tìm liên hệ giữa I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xcos.x
và J
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xsin.x
và tính I
3
.
Kết quả:
63)

2
(
3
+π−
π
139) Giải phương trình:
∫
x
0
t
dt.e
= 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= −x
2
+3x−2, d
1
:y = x−1 và
d
2
:y=−x+2 Kq :
12
1
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x
3
−3x và đường thẳng y=2.
Kq :
4
27
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1x

2
5
xy:)P(
2
1
+−=

1x
2
3
-xy:)P( vaø
2
2
++=
Kq :
3
8
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3−x)
2
, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong :
2
:)2:)(
2
1
x
yxyP ==
2
(Pvaø
.

a) (P
1
) và (P
2
) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
) và (P
2
). Kq :
3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và
(d) là nghiệm phương trình y
2
-3y = 0 ⇔ y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần
tìm là:
2
9
dy)y3y(dy)xx(S
3
0
2
3
0

dP
==+−=−=
∫∫
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ;
π=
π
= x;
2
x
. Kq : 1
b) (C): y = x
2
– 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq :
2
9
c) (C): y = 2x
3
– x
2
– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq :
96
2401
d) (P): y =  x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. Kq : 9

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 22 - Soạn cho lớp LTĐH
e) (C): y = x

3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x =
2
1
−

Kq :
64
27
f) (C): y=
2
1
x
2
2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ






−1;
2
5
M
. Kq :
8
9
g)
1x;

x
ey;
2x
e
1
y =
−
=
−
=
. Kq:
2
3
e
1
e
2
1
2
−+
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y
2
= 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
16
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln21
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay
quanh trục Ox:

2
2
x
2
1
2
2
2
2
3
e :Kq 0y,2x,1x,.exyf)
61 :Kq 1
4
y
9
x
:(E)e)
3
32
: Kq xy,4xyd)
6
625
:Kq 0y,x5xyc)
14
23
:Kq 1x,0x,0y,1xyb)
12 :Kq 4x,1x,0y,
x
4
ya)

π====
π=+
π
==
π
=−=
π
===+=
π====

π=== :Kq 0y,1x,x.eyg)
x
148) Cho (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 ;(d):y =
2
3
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d)
và phần trên d của (E). Kq: 5π
4
315
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2−x
2
, (C): y=
2
x1−
và Ox.
Kq:

23
28 π
−
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y
2
= x
3
(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
4
π
b) Quay quanh trục Oy. Kq:
7
4π

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1x
1x
−
+
., tiệm cận ngang của (C) và
các đường thẳng x = –1; x = 0. Kq: 2ln2
IX.ĐẠI SỐ TỔ HỢP

152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau? Kết quả:
5

7
A 2520=

b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7?
Kết quả: 5.
1800A
4
6
=
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả:
720A
5
6
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?Kết quả:
3603.A
4
5
=
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Kết quả:
96A.4
3
4

=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:
421.A.31.A
2
3
3
4
=+
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là
A={0,3,6,9} Vậy có 3
18!3.3A.
3
3
==
số chia hết cho 3.
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả: 5.
600A
4
5
=
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600
−
4.
3.A
3
4
(lẻ)=312c)

Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hốn vị các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số
không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600
−
120=480 số có mặt chữ số 0.
156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4,
Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P
4
−
1.P
3
=18.
157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9.
Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5!
−
1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3, 4,
5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X
1
={1;2;6} ,

X
2
={1;3;5} và X
3
={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp
chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1
vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có
67201.A
5
8
=
số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có
840A.1
4
7
=
số).
Có 6720
−
840=5880 số.
161) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Hướng dẫn và kết quả: Có

360
!2
!6
=
số.
Hoặc: 1 5 1 2 4 3
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông,
sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có
3601.A
4
6
=
số
162) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số
này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3
phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
163) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2.
3
Ï5
A
=120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x=
abcd
: d=8 có 4.4.3.1= 48
số ; d
≠
8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số

164) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Kết quả: x=
abcd
: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. Vậy có
360+1200=1560 số Hoặc: 6.
4
5
4
6
A.5A −
(không có chữ số 5)=1560
165) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác
nhau? Kết quả:
3024A
4
9
=


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH
166) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau
và không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số.
167) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9.
Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888
M
9
168) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6

và 8. Kết quả:
64AAAA
4
4
3
4
2
4
1
4
=+++
số
169) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ
số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra
7
8
C 8=
tập con có 7 phần tử
không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử
trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 8.8!=322560. Vậy có
8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất
hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có
7
8
A 40320=
cách. Vậy có: 8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong

8
9
9.A 3265920=
số tạo được có 9 chữ số khác nhau:
Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện
cả 0 và 1. Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!−8!=322560 số
chỉ xuất hiện 0 (không có 1). Vậy có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có
cả 0 và 1.
170) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau, trong đó:
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn
lại: Có 4!=24 cách xếp.
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số.
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho
trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy
có 120−48=72 số trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
171) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó
chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần.
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có
3 2
7 6
A .1 A 180− =
số. Ta có thể giải bằng
cách khác: Với 7 ô :       
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên).
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách.

Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách.
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều