Tài liệu Bất đẳng thức Schur và phương pháp biến đổi PQR pdf

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi
biến p,q,r
Võ Thành Văn
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế
Νη χϒχ β⁄ν ′ βι÷τ, β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ λ€ µτ β♣τ ↓νγ τηχ µ⁄νη ϖ€ χ νηι•υ νγ δνγ, τυψ νηι∂ν ν ϖ♦ν
χ〈ν κηϒ ξα λ⁄ ϖι νηι•υ β⁄ν η∑χ σινη ΤΗΧΣ χνγ νη ΤΗΠΤ. Θυα β€ι ϖι÷τ ν€ψ, τι µυν χνγ χ♣π τη∂µ χηο
χϒχ β⁄ν µτ κ τηυ♠τ ≡ σ δνγ ττ Β∆Τ Σχηυρ,  λ€ κ÷τ η〉π ϖι πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ.
Τρχ η÷τ, τι ξιν νη↑χ λ⁄ι ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ.
1 Bất đẳng thức Schur
◊νη λ 1 (Β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ)
ςι µ∑ι σ τηχ κηνγ ∞µ α; β; χ; κ; τα λυν χ
α
κ
(α β)(α  χ) + β
κ
(β χ)(β  α) + χ
κ
(χ α)(χ  β)  0:
Ηαι τρνγ η〉π θυεν τηυχ 〉χ σ δνγ νηι•υ λ€ κ = 1 ϖ€ κ = 2
α(α β)(α  χ) + β(β χ)(β  α) + χ(χ α)(χ β)  0 (i)
α
2
(α β)(α  χ) + β
2
(β χ)(β  α) + χ
2
(χ α)(χ  β)  0 (ii)
2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ
ι ϖι µτ σ β€ι β♣τ ↓νγ τηχ τηυƒν νη♣τ ι ξνγ χ χϒχ βι÷ν κηνγ ∞µ τη… τα χ τη≡ ι βι÷ν λ⁄ι νη σαυ
°τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ: ς€ τα τηυ 〉χ µτ σ ↓νγ τηχ σαυ
αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α) = πθ  3ρ

(α + β)(β + χ)(χ + α) = πθ  ρ
αβ(α
2
+ β
2
) + βχ
(
β
2
+ χ
2
) + χα(χ
2
+ α
2
) = π
2
θ  2θ
2
 πρ
(α + β)(α + χ) + (β + χ)(β + α) + (χ + α)(χ + β) = π
2
+ θ
α
2
+ β
2
+ χ
2
= π

2
 2θ
α
3
+ β
3
+ χ
3
= π
3
 3πθ + 3ρ
α
4
+ β
4
+ χ
4
= π
4
 4π
2
θ + 2θ
2
+ 4πρ
α
2
β
2
+ β
2

χ
2
+ χ
2
α
2
= θ
2
 2πρ
α
3
β
3
+ β
3
χ
3
+ χ
3
α
3
= θ
3
 3πθρ + 3ρ
2
α
4
β
4
+ β

4
χ
4
+ χ
4
α
4
= θ
4
 4πθ
2
ρ + 2π
2
ρ
2
+ 4θρ
2
°τ Λ = π
2
θ
2
+ 18πθρ  27ρ
2
 4θ
3
 4π
3
ρ; κηι 
α
2

β + β
2
χ + χ
2
α =
πθ  3ρ 
π
Λ
2
(α β)(β  χ)(χ  α) = 
π
Λ
1
3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Χ τη≡ τη♣ψ νγαψ λ〉ι χη χ⌡α πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ µι ρ€νγ βυχ για χϒχ βι÷ν π; θ; ρ µ€ χϒχ βι÷ν α; β; χ βαν
ƒυ κηνγ χ νη
π
2
 3θ
π
3
 27ρ
θ
2
 3πρ
πθ  9ρ
2π
3
+ 9ρ  7πθ
π

2
θ + 3πρ  4θ
2
π
4
+ 4θ
2
+ 6πρ  5π
2
θ
Νηνγ κ÷τ θυ≤ τρ∂ν ∞ψ χη↑χ χη↑ν λ€ χηα ⌡, χϒχ β⁄ν χ τη≡ πηϒτ τρι≡ν τη∂µ νηι•υ ↓νγ τηχ, β♣τ ↓νγ τηχ
λι∂ν η≈ για 3 βι÷ν π; θ; ρ. ς€ ι•υ θυαν τρ∑νγ µ€ τι µυν νι ÷ν λ€ τ β♣τ ↓νγ τηχ (ι) ϖ€ (ιι), τα χ
ρ 
π(4θ  π
2
)
9
(τ (ι))
ρ 
(4θ  π
2
)(π
2
 θ)
6π
(τ (ιι))
Τυψ νηι∂ν τρονγ µτ σ τρνγ η〉π τη… χ τη≡ χϒχ ⁄ι λ〉νγ 4θ  π
2
χ τη≡ νη♠ν γιϒ τρ◊ ∞µ λ♦ν γιϒ τρ◊ δνγ
ν∂ν τα τηνγ σ δνγ

ρ  µαξ

0;
π(4θ  π
2
)
4

ρ  µαξ

0;
(4θ  π
2
)(π
2
 θ)
6π

Χ λ≥ ÷ν ∞ψ χϒχ β⁄ν ′ ηι≡υ 〉χ πηƒν ν€ο ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ. Σαυ ∞ψ
λ€ µτ σ ϖ δ µινη η∑α, νηνγ τρχ η÷τ, χϒχ β⁄ν η′ψ τ♠π λ€µ τη ρι ξεµ ϒπ ϒν σαυ
3 Các ví dụ minh họa
3.1 Bất đẳng thức Schur
ς δ 1
Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
σ
(α + β)
3
8αβ(4α + 4β + χ)
+
σ

(β + χ)
3
8βχ(4β + 4χ + α)
+
σ
(χ + α)
3
8χα(4χ + 4α + β)
 1:
(ς Τη€νη ς↔ν)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. °τ
Π =
σ
(α + β)
3
8αβ(4α + 4β + χ)
+
σ
(β + χ)
3
8βχ(4β + 4χ + α)
+
σ
(χ + α)
3
8χα(4χ + 4α + β)
Θ = 8αβ(4α + 4β + χ) + 8βχ(4β + 4χ + α) + 8χα(4χ + 4α + β)
= 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Ηολδερ, τα χ
Π

2
 Θ  8(α + β + χ)
3
c
Võ Thành Văn
2
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Τα χƒν χηνγ µινη
8(α + β + χ)
3
 Θ
, 8(α + β + χ)
3
 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ
, (α + β + χ)
3
 4(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 9αβχ (⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ).
ς♠ψ τα χ πχµ. 
ς δ 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
(α
2
+ 2)(β
2
+ 2)(χ
2
+ 2)  9(αβ + βχ + χα):
(ΑΠΜΟ 2004)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Κηαι τρι≡ν β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χƒν χηνγ µινη
α
2

β
2
χ
2
+ 2(α
2
β
2
+ β
2
χ
2
+ χ
2
α
2
) + 4(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 8  9(αβ + βχ + χα)
Τα χ
α
2
+ β
2
+ χ
2

 αβ + βχ + χα
(α
2
β
2
+ 1) + (β
2
χ
2
+ 1) + (χ
2
α
2
+ 1)  2(αβ + βχ + χα)
α
2
β
2
χ
2
+ 1 + 1  3
3
π
α
2
β
2
χ
2


9αβχ
α + β + χ
 4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ)
2
(τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ)
π δνγ χϒχ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χ
(α
2
β
2
χ
2
+ 2) + 2(α
2
β
2
+ β
2
χ
2
+ χ
2
α
2
+ 3) + 4(α
2
+ β
2
+ χ
2

)
 2(αβ + βχ + χα) + 4(αβ + βχ + χα) + 3(α
2
+ β
2
+ χ
2
)
 9(αβ + βχ + χα):
Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 
ς δ 3 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
2(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + αβχ + 8  5(α + β + χ):
(Τρƒν Ναµ ∆νγ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ
6ς Τ = 12(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 3(2αβχ + 1) + 45  5  2 3(α + β + χ)
 12(α
2
+ β

2
+ χ
2
) + 9
3
π
α
2
β
2
χ
2
+ 45  5

(α + β + χ)
2
+ 9

= 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) +
9αβχ
3
π
αβχ
 10(αβ + βχ + χα)

 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) +
27αβχ
α + β + χ
 10(αβ + βχ + χα)
Μ°τ κηϒχ, σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,
9
α + β + χ
 4(αβ + βχ + χα)  (α + β + χ)
2
= 2(αβ + βχ + χα)  (α
2
+ β
2
+ χ
2
)
c
Võ Thành Văn
3
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
∆ο 
7(α
2
+ β

2
+ χ
2
) +
27
α + β + χ
 10(αβ + βχ + χα)
 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 6(αβ + βχ + χα) 3(α
2
+ β
2
+ χ
2
) 10(αβ + βχ + χα)
= 4(α
2
+ β
2
+ χ
2
 αβ βχ  χα)  0:
Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 
ς δ 4 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ
α

β
3
+ χ
3
+
β
α
3
+ χ
3
+
χ
α
3
+ β
3

18
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
) αβ  βχ  χα
:
(Μιχηαελ Ροζενβεργ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι
Ξ
χψχ

α(α + β + χ)
β
3
+ χ
3

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
) αβ  βχ  χα
,
Ξ
χψχ
α
2
β
3
+ χ
3
+
Ξ
χψχ
α
β
2
+ χ

2
 βχ

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
) αβ  βχ  χα
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ
Ξ
χψχ
α
2
β
3
+ χ
3

(α
2
+ β
2
+ χ
2
)
2
Π

χψχ
α
2
(β
3
+ χ
3
)
Ξ
χψχ
α
β
2
+ χ
2
 βχ

(α + β + χ)
2
Π
χψχ
α(β
2
+ χ
2
 βχ)
Τα χƒν χηνγ µινη
(α
2
+ β

2
+ χ
2
)
2
Π
χψχ
α
2
(β
3
+ χ
3
)
+
(α + β + χ)
2
Π
χψχ
α(β
2
+ χ
2
 βχ)

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2

+ χ
2
) αβ  βχ  χα
Γι≤ σ α + β + χ = 1 ϖ€ °τ αβ + βχ + χα = θ; αβχ = ρ ) ρ  µαξ
ν
0;
(4θ1)(1θ)
6
ο
. Τα χƒν χηνγ µινη
(1 2θ)
2
θ
2
 (θ + 2)ρ
+
1
θ  6ρ

18
5 11θ
Β♣τ ↓νγ τηχ χυι δ≠ δ€νγ χηνγ µινη β←νγ χϒχη ξ″τ 2 τρνγ η〉π 1  4θ ϖ€ 4θ  1.
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
ς δ 5 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α
4
+ β
4
+ χ
4
= 3. Χηνγ µινη ρ←νγ

1
4 αβ
+
1
4 βχ
+
1
4 χα
 1:
(Μολδοϖα ΤΣΤ 2005)
c
Võ Thành Văn
4
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη
49 8(αβ + βχ + χα) + (α + β + χ)αβχ  64 16(αβ + βχ + χα) + 4(α + β + χ)αβχ  α
2
β
2
χ
2
, 16 + 3(α + β + χ)αβχ  α
2
β
2
χ
2
+ 8(αβ + βχ + χα)
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ γι≤ τηι÷τ α
4

+ β
4
+ χ
4
= 3, τα χ
(α
3
+ β
3
+ χ
3
+ 3αβχ)(α + β + χ)  [αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α)] (α + β + χ)
, 3 + 3αβχ(α + β + χ)  (αβ + βχ)
2
+ (βχ + χα)
2
+ (χα + αβ)
2
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ
(αβ + βχ)
2
+ (βχ + χα)
2
+ (χα + αβ)
2
+ 12  8(αβ + βχ + χα)
) 15 + 3αβχ(α + β + χ)  8(αβ + βχ + χα)
Μ°τ κηϒχ τα λ⁄ι χ
1  α
2

β
2
χ
2
:
ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 
ς δ 6 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
3
+ β
3
+ χ
3
+ 7αβχ  10:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
ρ  µαξ

0;
π(4θ  π
2
)
9

= µαξ

0;
π(12 π
2
)

9

Τα χƒν χηνγ µινη
π
3
 9π + 10ρ  10
Ν÷υ π  2
π
3 τη… τα χ
π
3
 9π + 10ρ  10  π
3
 9π 10  12π  9π  10 = 3π 10 > 0
Ν÷υ π  2
π
3 < 4 τη…
π
3
 9π + 10ρ  10  π
3
 9π +
10
9
π(12 π
2
) 10 =
1
9
(π 3)[(16  π

2
) + 3(4  π) + 2]  0:
ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1.
ς δ 7 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ
3 +
12
αβχ
 5

1
α
+
1
β
+
1
χ

:
(ς Τη€νη ς↔ν)
c
Võ Thành Văn
5
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β∞τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη 〉χ ϖι÷τ λ⁄ι νη σαυ
3ρ + 12  5θ
Μ°τ κηϒχ,τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
3ρ 
3π(4θ  π
2

)
9
= 4θ  9
Τα χƒν χηνγ µινη
4θ  9 + 12  5θ
, θ  3 (⌠νγ).
ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 
ς δ 8 Χηο α; β; χ λ€ χϒχ σ τηχ δνγ τηα µ′ν α
2
+ β
2
+ χ
2
= 3. Χηνγ µινη ρ←νγ
1
2 α
+
1
2 β
+
1
2 χ
 3:
(Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ)
Θυψ νγ, ρ⌠τ γ∑ν ϖ€ ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι
8π + 3ρ  12 + 5θ
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
3ρ 
π(4θ  π
2

)
3
=
π(2θ  3)
3
Τ γι≤ τηι÷τ
π
2
 2θ = 3
) θ =
π
2
 3
2
Τηαψ 2 ι•υ τρ∂ν ϖ€ο β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη, τα χ
8π +
π(π
2
 6)
3
 12 +
5(π
2
 3)
2
, (2π 3)(π  3)
2
 0
Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:
ς δ 9 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ

1
9 αβ
+
1
9 βχ
+
1
9 χα

3
8
:
(Χρυξ µατηεµατιχορυµ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Β€ι ν€ψ ′ 〉χ ανη Η∫νγ σ δνγ χηο πηƒν β♣τ ↓νγ τηχ Χηεβψσηεϖ τρονγ χυν ∀Σϒνγ τ⁄ο β♣τ
↓νγ τηχ∀. Β∞ψ γι χϒχ β⁄ν σ≥ 〉χ τη♣ψ µτ λι γι≤ι κηϒχ ϖι β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν
π; θ; ρ ρ♣τ τ νηι∂ν.
Βι÷ν ι β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη ϖ€ χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χ
8(243 18π + 3ρ)  3(729  81θ + 27ρ  ρ
2
)
c
Võ Thành Văn
6
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
, 243  99θ + 57ρ  3ρ
2
 0
Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ τη…
3 = 3


α + β + χ
3

6
 3(αβχ)
2
= ρ
2
Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
ρ 
π(4θ  π
2
)
3
=
4θ  9
3
) 57ρ  19(4θ 9)
Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη
72 23θ  3ρ
2
 0
, 3(1 ρ
2
) + 23(3  θ)  0 (⌠νγ).
ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χηι κηι α = β = χ = 1: 
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ
ς δ 10
Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ
α

2
β
4 βχ
+
β
2
χ
4 χα
+
χ
2
α
4 αβ
 1:
(Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη
4 
Ξ
χψχ
α
2
β 
Ξ
χψχ
α
2
β
2
χ
4 βχ

Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ 4 
Π
χψχ
α
2
β  αβχ, τα χƒν χηνγ µινη
αβχ 
Ξ
χψχ
α
2
β
2
χ
4 βχ
, 1 
Ξ
χψχ
αβ
4 βχ
, 64  32
Ξ
χψχ
αβ + 8
Ξ
χψχ
α
2
βχ + 4
Ξ

χψχ
α
2
β
2
 αβχ

Ξ
χψχ
α
2
β + αβχ
!
Τι÷π τχ σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν,τα χƒν χηνγ µινη
64 32
Ξ
χψχ
αβ + 8
Ξ
χψχ
α
2
βχ + 4
Ξ
χψχ
α
2
β
2
 4αβχ

, 16  8θ + θ
2
 ρ  0
ϖι θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ.
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ θ
2
 9ρ ν∂ν χƒν χηνγ µινη
16 8θ + θ
2

θ
2
9
 0
, (θ  3)(θ  6)  0:
Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ.
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1 ηο°χ α = 2; β = 1; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
c
Võ Thành Văn
7
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
ς δ 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
1
α
+
1
β
+
1
χ


3α
α
2
+ 2βχ
+
3β
β
2
+ 2χα
+
3χ
χ
2
+ 2αβ
:
(∆νγ χ Λ∞µ)
°τ α :=
1
α
; β :=
1
β
; χ :=
1
χ
; β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι
Ξ
χψχ
α  3αβχ

Ξ
χψχ
1
2α
2
+ βχ
,
Ξ
χψχ
α(α
2
 βχ)
2α
2
+ βχ
 0
, 3
Ξ
χψχ
α
3
2α
2
+ βχ

Ξ
χψχ
α
π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ
Ξ

χψχ
α
3
2α
2
+ βχ


Π
χψχ
α
2
!
2
2
Π
χψχ
α
3
+ 3αβχ
÷ν ∞ψ, τα χƒν χηνγ µινη
3

Ξ
χψχ
α
2
!
2


Ξ
χψχ
α
!
2
Ξ
χψχ
α
3
+ 3αβχ
!
Γι≤ σ α + β + χ = 1; χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη
3(1 2θ)
2
 2  6θ + 9ρ
Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θ
2
 3ρ; τα χƒν χηνγ µινη
3(1 2θ)
2
 2  6θ + 3θ
2
, 3  12θ + 12θ
2
 2  6θ + 3θ
2
, (1 3θ)
2
 0 (⌠νγ):

ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ:
ς δ 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
4
(β + χ) + β
4
(χ + α) + χ
4
(α + β) 
1
12
(α + β + χ)
5
:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Χηυ♥ν ηα χηο π = 1, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη
(1 3θ)θ + (5θ  1)ρ 
1
12
÷ν ∞ψ τα σ δνγ µτ τη⌡ τηυ♠τ κηι δ∫νγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,  λ€ χηια τρνγ η〉π ≡ γι≤ι θυψ÷τ
c
Võ Thành Văn
8
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ν÷υ θ 
1
5
τη… τα χ
(1 3θ)θ + (5θ  1)ρ  (1 3θ)θ =
1

3
(1 3θ)  3θ 
1
3

1 3θ + 3θ
2

2
=
1
12
Ν÷υ θ >
1
5
; τα χ
(1 3θ)θ + (5θ  1)ρ  (1 3θ)θ + (5θ  1) 
θ
9
=
1
36
(88θ
2
+ 32θ  3) +
1
12
<
1
12

:
ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη.
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = 0; β =
3+
π
3
6
; χ =
3
π
3
6
ϖ€ χϒχ ηοϒν ϖ◊ 
ςι κ τηυ♠τ ξ″τ τρνγ η〉π ≡ γι≤ι, χη⌠νγ τα χ τη≡ δ≠ δ€νγ γι≤ι θυψ÷τ χϒχ β€ι τοϒν σαυ
Β€ι τοϒν 1 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
(α
2
+ β
2
)(β
2
+ χ
2
)(χ
2
+ α
2
) 
1
32

:
Η⋅∈ΝΓ ∆Ν. Νη∞ν ϖ€ο ρι ρ⌠τ γ∑ν, χηυψ≡ν β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χƒν χηνγ µινη
θ
2
 2θ
3
 ρ(2 + ρ  4θ) 
1
32
÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα ξ″τ 2 τρνγ η〉π θ 
1
4
ϖ€ θ >
1
4
: 
Β€ι τοϒν 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
α
2
+ 3
+
β
β
2
+ 3
+
χ
χ
2

+ 3

3
4
:
(∆νγ χ Λ∞µ)
Η⋅∈ΝΓ ∆Ν. α β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• µτ η€µ τηεο π
φ(π) = 27π
2
 (54 + 12θ)π + 9θ
2
 58θ + 120  0
÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα χηια τη€νη 2 τρνγ η〉π 18θ  58 + 12π ϖ€ 18θ  58 + 12π 
ς δ 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α
2
+ β
2
+ χ
2
= 8. Χηνγ µινη ρ←νγ
4(α + β + χ  4)  αβχ:
(Νγυψ≠ν Πηι Η∫νγ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Τηεο γι≤ τηι÷τ, τα χ π
2
 2θ = 8: Μ°τ κηϒχ, τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ β♠χ 4, τα χ
ρ 
(4θ  π
2
)(π
2

 θ)
6π
=
(π
2
 16)(π
2
+ 8)
12π
ς… ϖ♠ψ, τα χƒν χηνγ µινη
(π
2
 16)(π
2
+ 8)
12π
 4(π 4)
,
(π 4)
2
(π
2
+ π  8)
12π
 0 (⌠νγ):
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 2; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
c
Võ Thành Văn
9
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

ς δ 14 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
π
α
2
+ αβχ
β + χα
+
π
β
2
+ αβχ
χ + αβ
+
π
χ
2
+ αβχ
α + βχ

1
2
π
αβχ
:
Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β •
ρ 
θ
2
(1 θ)
2(2 3θ)

π δνγ Β∆Τ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ
∀
Ξ
χψχ
π
α
2
+ αβχ
(β + χ)(β + α)
#
2

∀
Ξ
χψχ
α
(α + β)(β + χ)
#
Ξ
χψχ
α + χ
β + χ
!
=
Π
χψχ
α
2
+
Π

χψχ
αβ
(α + β)(β + χ)(χ + α)

Ξ
χψχ
α + χ
β + χ
!
Τα χ
Ξ
χψχ
α + χ
β + χ
=
Ξ
χψχ
1
β + χ

Ξ
χψχ
β
β + χ

Ξ
χψχ
1
β + χ


(α + β + χ)
2
Π
χψχ
α
2
+
Π
χψχ
αβ
Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη
Π
χψχ
α
2
+
Π
χψχ
αβ
(α + β)(β + χ)(χ + α)
2
6
4
Ξ
χψχ
1
β + χ

1
Π

χψχ
α
2
+
Π
χψχ
αβ
3
7
5

1
4αβχ
,
1 θ
θ  ρ

1 + θ
θ  ρ

1
1 θ


1
4ρ
,
4(1 θ
2
)

θ  ρ
 4 
θ  ρ
ρ
,
4(1 θ
2
)
θ  ρ

θ
ρ
 3
Σ δνγ β •, τα χ
ς Τ 
4(1 θ
2
)
θ 
θ
2
(1θ)
2(23θ)

θ
θ
2
(1θ)
2(23θ)
= 3 

θ(1 3θ)(5  7θ)
(1 θ)(4  7θ + θ
2
)
 3:
ς♠ψ τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ =
1
3
:
Νη♠ν ξ″τ 1 ςι β€ι τοϒν ν€ψ, χη⌠νγ τι χ 2 χ∞υ ηι τη⌠ ϖ◊ ξιν δ€νη χηο χϒχ β⁄ν
1. Χηνγ µινη β • µ€ χη⌠νγ τι ′ ν∂υ ð τρ∂ν.
2. Η′ψ χη↵ ρα χον νγ ≡ τ…µ β • ν€ψ.

c
Võ Thành Văn
10
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
ς δ 15 Χηο χϒχ σ τηχ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1. Χηνγ µινη ρ←νγ
4
81(αβ + βχ + χα)
+ αβχ 
5
27
:
(ς Τη€νη ς↔ν)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
ρ 
π(4θ  π
2
)

9
=
4θ  1
9
Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι
4
81θ
+ ρ 
5
27
Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χƒν χηνγ µινη
4
81θ
+
4θ  1
9

5
27
,
4
81θ
+
4θ
9

8
27
Β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵
κηι α = β = χ =

1
3
: 
ς δ 16 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
αβ + 1
α + β
+
βχ + 1
β + χ
+
χα + 1
χ + α
 3:
(Νγυψ≠ν Μ⁄νη ∆νγ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Τα χ
αβ + 1
α + β
+
βχ + 1
β + χ
+
χα + 1
χ + α
 3
,
Ξ
χψχ
(αβ + 1)(χ + α)(χ + β)  3(α + β)(β + χ)(χ + α)
,
Ξ

χψχ
(αβ + 1)(χ
2
+ 1)  3[(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) αβχ]
, (α
2
+ β
2
+ χ
2
) + αβ + βχ + χα + αβχ(α + β + χ) + 3 + 3αβχ  3(α + β + χ)
, (α + β + χ)
2
+ αβχ(α + β + χ + 3) + 2  3(α + β + χ)
°τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα = 1; ρ = αβχ: Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τρð τη€νη
π
2
+ ρ(π + 3)  3π + 2  0
, (π 1)(π  2) + ρ(π + 3)  0
Ν÷υ π  2 τη… β♣τ ↓νγ τηχ ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ.
Ν÷υ 2  π 
π
3; ϒπ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
π
3
+ 9ρ  4πθ
c
Võ Thành Văn
11
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

, ρ 
4π π
3
9
Τα χƒν χηνγ µινη
π
2
 3π + 2 + (π + 3) 
4π π
3
9
 0
, π
4
+ 3π
3
 13π
2
+ 15π 18  0
, (π 2)(π
3
+ 5π
2
 3π + 9)  0
Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ϖ… π  2 ϖ€
π
3
+ 5π
2
 3π + 9 = π

3
+ 4π
2
+

π 
3
2

2
+
27
4
> 0
Τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 1; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ 
ς δ 17 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
1
α
2
+
1
β
2
+
1
χ
2
+ 3  2(α + β + χ):
(ςιετναµ ΜΟ 2006, Β)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. °τ ξ =

1
α
; ψ =
1
β
; ζ =
1
χ
, τα χ ξψζ = 1, νγ τηι ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β♣τ ↓νγ τηχ τρð
τη€νη 
π
2
 2θ + 3  2θ
, 4θ  π
2
 3
Μ€ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι
α = β = χ = 1:
ς δ 18 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ ϖι µ∑ι κ  1;
τα λυν χ
α
β + χ
+
β
χ + α
+
χ
α + β
+ κ
(α + β + χ)(αβ + βχ + χα)

α
3
+ β
3
+ χ
3
 2
π
κ + 1:
(Πη⁄µ Σινη Τ∞ν)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν β♣τ ↓νγ τηχ τηεο π; θ; ρ ϖ€ χηυ♥ν ηα χηο π = 1. Τα χƒν χηνγ µινη β♣τ ↓νγ τηχ
1 2θ + 3ρ
θ  ρ
+ κ
θ
1 3θ + 3ρ
 2
π
κ + 1
Τα χ
1 2θ + 3ρ
θ  ρ
+ κ
θ
1 3θ + 3ρ
=
1 3θ + 3ρ
θ  ρ
+ κ
θ

1 3θ + 3ρ
+ 1

1 3θ + 3ρ
θ
+ κ
θ
1 3θ + 3ρ
+ 1  2
π
κ + 1:
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι (α; β; χ) =

π
κ+2
π
κ3+
π
κ+1
2
ξ; ξ; 0

ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
Μτ σ β€ι τ♠π τνγ τ
c
Võ Thành Văn
12
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Β€ι τοϒν 3 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ ϖι µ∑ι κ  1; τα λυν χ
α

β + χ
+
β
χ + α
+
χ
α + β
+ κ
(α + β)(β + χ)(χ + α)
α
3
+ β
3
+ χ
3
 2
π
κ + 1:
(Πη⁄µ Σινη Τ∞ν)
Β€ι τοϒν 4 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
β + χ
+
β
χ + α
+
χ
α + β
+
9(αβ + βχ + χα)

α
2
+ β
2
+ χ
2
 6:
(Πη⁄µ Σινη Τ∞ν)
ς δ 19 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ

α
β + χ

2
+

β
χ + α

2
+

χ
α + β

2
+
10αβχ
(α + β)(β + χ)(χ + α)
 2:

(∆νγ χ Λ∞µ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. °τ ξ =
2α
β+χ
; ψ =
2β
χ+α
; ζ =
2χ
α+β
, τα χ
ξψ + ψζ + ζξ + ξψζ = 4
Β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη
ξ
2
+ ψ
2
+ ζ
2
+ 5ξψζ  8
α β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τ γι≤ τηι÷τ, τα χ θ + ρ = 4 ϖ€ β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη
π
2
 2θ + 5ρ  8
, π
2
 7θ + 12  0
Ν÷υ 4  π, σ δνγβ♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ
ρ 
π(4θ  π

2
)
9
) 4  θ +
π(4θ  π
2
)
9
, θ 
π
3
+ 36
4π + 9
) π
2
 7θ + 12  π
2

7(π
3
+ 36)
4π + 9
+ 12
Ν∂ν τα χη↵ χƒν χηνγ µινη 〉χ
π
2

7(π
3
+ 36)

4π + 9
+ 12  0
, (π 3)(π
2
 16)  0
ι•υ ν€ψ ⌠νγ ϖ… 4  π 
π
3θ  3:
Ν÷υ π  4, τα χ π
2
 16  4θ ν∂ν
π
2
 2θ + 5ρ  π
2
 2θ 
π
2
2
 8
ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ξ = ψ = ζ = 1 ηο°χ ξ = ψ = 2; ζ = 0 ηο°χ χϒχ
ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
c
Võ Thành Văn
13
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
ς δ 20 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ
1
6 αβ
+

1
6 βχ
+
1
6 χα

3
5
:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Χηυψ≡ν ι β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• νη σαυ
108 48θ + 13πρ  3ρ
2
 0
, 4(9 4θ + 3ρ) + ρ(1 ρ)  0
Τα τη♣ψ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ δο
ρ = αβχ 

α + β + χ
3

3
= 1
ϖ€ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ τη…
3ρ 
3π(4θ  π
2
)
9
= 4θ  9

) 3ρ + 9  4θ  0:
ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη.
↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1 ηο°χ α = 0; β = χ =
3
2
ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
ς δ 21 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
2
(β + χ)
β
2
+ χ
2
+
β
2
(χ + α)
χ
2
+ α
2
+
χ
2
(α + β)
α
2
+ β
2

 α + β + χ:
(∆αριϕ Γρινβεργ)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χƒν χηνγ µινη
∀
Ξ
χψχ
α
2
(β + χ)
2
#
2


Ξ
χψχ
α
!∀
Ξ
χψχ
α
2
(β + χ)(β
2
+ χ
2
)
#
ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, κηι  β♣τ ↓νγ τηχ ϖι÷τ τη€νη
ρ(2π

3
+ 9ρ  7πθ)  0
π δνγ Β∆Τ Σχηυρ, τα χ π
3
+ 9ρ  4πθ ϖ€ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ π
2
 3θ  0, τα χ πχµ. ↓νγ τηχ
ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = 0: 
ς δ 22 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
)  6(α
3
+ β
3
+ χ
3
) + 1:
Λ⊆Ι ΓΙΙ. ι βι÷ν ϖ• π; θ; ρ; τα χƒν χηνγ µινη
5 10θ  6(1 3θ + 3ρ) + 1
, 18ρ  8θ + 2  0
Μ↔χ κηϒχ, β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχµ. 
ς€ µτ ϖ δ ι≡ν η…νη χηο πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ β♣τ ↓νγ τηχ Ιραν 1996
c
Võ Thành Văn
14

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
ς δ 23 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ ξ; ψ; ζ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0. Χηνγ µινη ρ←νγ
(ξψ + ψζ + ζξ)

1
(ξ + ψ)
2
+
1
(ψ + ζ)
2
+
1
(ζ + ξ)
2


9
4
:
(Ιραν ΜΟ 1996, ϑι Χηεν)
Λ⊆Ι ΓΙΙ. Σ δνγ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ, τα χηυψ≡ν β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• δ⁄νγ νη σαυ
θ

(π
2
+ θ)
2
 4π(πθ  ρ)
(πθ  ρ)

2


9
4
Βι÷ν ι τνγ νγ, ρ⌠τ γ∑ν, τα χƒν χηνγ µινη
4π
4
θ  17π
2
θ
2
+ 4θ
3
+ 34πθρ  9ρ
2
 0
, πθ(π
3
 4πθρ + 9ρ) + θ(π
4
 5π
2
θ + 4θ
2
+ 6πρ) + ρ(πθ  9ρ)  0
Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ. ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι ξ = ψ = ζ ηο°χ ξ = ψ; ζ = 0 ηο°χ
χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ. 
Θυα χϒχ ϖ δ τρ∂ν, χ λ≥ χϒχ β⁄ν χνγ ′ 〉χ η…νη δυνγ τ νηι•υ ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ νηνγ νγ δνγ
χ⌡α ν τρονγ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ: ≡ κ÷τ τη⌠χ β€ι ϖι÷τ ν€ψ, µι χϒχ β⁄ν χ∫νγ γι≤ι µτ σ β€ι τ♠π σαυ

Β€ι τοϒν 5 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α
3
+ β
3
+ χ
3
= 3. Χηνγ µινη ρ←νγ
α
4
β
4
+ β
4
χ
4
+ χ
4
α
4
 3:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
Β€ι τοϒν 6 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
2
+ β
2
+ χ
2
+ 2αβχ + 1  2(αβ + βχ + χα):
(∆αριϕ Γρινβεργ)

Β€ι τοϒν 7 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α
2
+ β
2
+ χ
2
= 3. Χηνγ µινη ρ←νγ
12 + 9αβχ  7(αβ + βχ + χα):
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
Β€ι τοϒν 8 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
1
α
2
 α + 1
+
1
β
2
 β + 1
+
1
χ
2
 χ + 1
 3:
(ς …νη Θυ)
Β€ι τοϒν 9 Χηο χϒχ σ τηχ α; β; χ τηα µ′ν α
2
+ β
2

+ χ
2
= 9. Χηνγ µινη ρ←νγ
2(α + β + χ)  αβχ  10:
(ςιετναµ ΜΟ 2002, Τρƒν Ναµ ∆νγ)
Β€ι τοϒν 10 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
1 +
3
α + β + χ

6
αβ + βχ + χα
:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
c
Võ Thành Văn
15
3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Β€ι τοϒν 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
2(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 12  3(α + β + χ) + 3(αβ + βχ + χα)
(Βαλκαν ΜΟ)
Β€ι τοϒν 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ ϖι µ∑ι
κ  3; τα
1

α + β
+
1
β + χ
+
1
χ + α
+
κ
α + β + χ

2
π
κ + 1
π
αβ + βχ + χα
:
(Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ)
Β€ι τοϒν 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα + 6αβχ = 9. Χηνγ µινη ρ←νγ
α + β + χ + 3αβχ  6:
(Λ∂ Τρυνγ Κι∂ν, ς Θυχ Βϒ Χ♥ν)
Β€ι τοϒν 14 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ ξ; ψ; ζ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Τ…µ η←νγ σ α νη νη♣τ ≡
β♣τ ↓νγ τηχ σαυ ⌠νγ

ξ + ψ + ζ
3

α

ξψ + ψζ + ζξ

3

3α
2

(ξ + ψ)(ψ + ζ)(ζ + ξ)
8
:
(Ιϖαν Βορσενχο, Ιρυριε Βορειχο)
Β€ι τοϒν 15 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
α + β + χ
3

10
ρ
α
3
+ β
3
+ χ
3
3
:
Β€ι τοϒν 16 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ
1
α + β
+
1
β + χ
+

1
χ + α
+ 2αβχ 
247
54
:
Β€ι τοϒν 17 Χηο α; β; χ 2 [1; 2]: Χηνγ µινη ρ←νγ
α
2
(β + χ) + β
2
(χ + α) + χ
2
(α + β)  7αβχ:
Β€ι τοϒν 18 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ
5 αβ
1 + χ
+
5 βχ
1 + α
+
5 χα
1 + β
 αβ + βχ + χα:
(ςασιλε Χιρτοαϕε)
ΧΗΧ ΧΧ ΒΝ ΤΗΝΗ Χ∅ΝΓ!!!
c
Võ Thành Văn
16

Author: Võ Thành Vn
Edited and corrected by Võ Quc Bá Cn