Tài liệu Bất đẳng thức LTĐH (full)

?

I. Phơng pháp biến đổi tơng đơng:
1. Chứng minh rằng:
, , , , ,a b c d e R
ta có:
a)
2 2 2 2 2
( )a b c d e a b c d e+ + + + + + +
.
b)
+ +

+
ữ

3
3 3
( 0).
2 2
a b a b
a b
2. Chứng minh rằng:
a)
+ + + + >
5 5 4 4 2 2
( )( ) ( )( ), , : 0.a b a b a b a b a b ab
b)
2 2
1 1 2
, , 1.

1 1 1
a b
a b ab
+
+ + +
3. Cho

ABC. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b a b c + + < + +
.
b)
+ + < + +
2 2 2
2( ).a b c ab bc ca
iI. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô si:
4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + +
.
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
= +
2
1
2A a
a
với a > 0.

= +
3
2
3
B x
x
với x > 0.
6. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
= + +
3 3 3
T a b c
7. Cho x, y, z > 0: x + y + z = 1. Tìm Min:
4 4 4
R x y z= + +
.
8. Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
(3 2 ); (0 3 / 2).M x x x= < <
(1 )(2 )(4 ); (0 x 1, 0 2).N x y x y y= +
3
(1 ) ; 0 1.P x x x=
9. Chứng minh rằng,

a, b, c > 0 ta có:
a)
6
a b b c c a
c a b
+ + +
+ +
.

b)
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
.
10. Cho

ABC. CMR:
3
a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + +
.
11. Cho
, 1a b
. Chứng minh rằng:
1 1a b b a ab +
.
12. Cho

ABC. Chứng minh rằng:
a)
1
( )( )( )
8
p a p b p c abc

.
b)
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +

.
iiI. Phơng pháp sử dụng bđt bunhiacopxki:
13. Cho 2x + 3y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
A x y= +
;
2 2
2 3 ;B x y= +
2 2
3 5C x y= +
.
14. Cho xy + yz + zx = 4. Tìm min
= + +
4 4 4
M x y z
.
15. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + + +

. b)
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
.
ôT Đ 12U
16. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
; , , 0.
a b c a b c
a b c
b c a b c a
+ + + + >
(Thử giải bài toán trong trờng hợp a, b, c khác 0).
iV. phơng pháp đạo hàm:
17. Chứng minh rằng:
a)
, 0x sinx x> >
b)
2
1 , 0
2
x
x
e x x> + + >

c)
tan 2 , 0;
2
sinx x x x


+ >
ữ

18. Chứng minh rằng:
3
3
10
3
a b c abc
a b c
abc
+ +
+
+ +
(a, b, c > 0).
19. Tìm m để:
2 4 2
2 0 m x x m x +
.
V. đề thi tuyển sinh:
20. Cho x, y > 0:
3 1x y+
. Tỡm min
1 1

A
x
xy
= +
. (CD_10)
21. Tìm min của:
2 2
4 21 3 10y x x x x= + + + +
. (D_10)
22. Cho a, b, c
0
: a + b + c = 1. Tỡm min (B_10)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 3( ) 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + +
23. Cho 0 < a < b < 1. CMR:
2 2
ln ln ln lna b b a a b >
. (CD_09)
24. Cho x, y
0
: x + y = 1.Tỡm max, min: (D_09)
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy= + + +
25. Cho
3
( ) 4 2.x y xy+ +
Tỡm min:
= + + + +
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1A x y x y x y

(B_09)
26. Cho x, y, z > 0: x(x + y + z) = 3yz. Chng minh rng
( )
3
3 3
( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y y z z x y z+ + + + + + + +
. (A_09)
27. Cho a, b, c: a + b + c = 0. CMR: 8
a
+ 8
b
+ 8
c


2
a
+ 2
b
+ 2
c
.
28. Cho x, y, z > 0: xyz = 1.
Tìm Min
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y
Q
y y z z z z x x x x y y

+ + +
= + +
+ + +
. (A_07)
29. Cho x, y, z > 0.
Tìm Min
1 1 1
2 2 2
x y z
B x y z
yz zx xy


= + + + + +
ữ
ữ ữ


. (B_07)
30. Cho
0.a b >
CMR:
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b

+ +

ữ ữ

. (D_07)
31. Cho khai triển
( )
0 1
1 2 ...
n
n
n
x a a x a x+ = + + +
và
1
0
... 4096
2 2
n
n
a a
a + + + =
. Tìm Max của
0 1
, ,...,
n
a a a
. (A_08)
32. x, y, z thay đổi và thoả mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
. (B_08)
33. Cho
, 0x y
. Tìm Max, Min của:
2 2
( )(1 )
(1 ) (1 )
x y xy
Q
x y

=

. (D_08)
34. Cho
2 2
2x y
+ =
. Tìm Max, Min:

3 3
2( ) 3T x y xy= +
. (CĐ_08).
Bình phơng thì chọn
Bunhi
Nếu mà dơng hết, Côsi
cho lành