Tài liệu Hàm bậc 3 và bậc 4, cách giải doc

Giải bài kỳ trớc.
Bài 1.Giải hệ phơng trình
a)

+=


=


22
5
52
2
2
xxyy
yx
x
yxy
0
0


b)


+=


=

22
22
384
576
xxyy
xxyy
Giải
a)

+=


=


22
5
52
2
2
xxyy
yx
x
yxy

Điều kiện: x 0; y 0.
Viết lại hệ đã cho dới dạng:

22

22
5
5
22
2
xxyy
xxyy

+=


+ +=



Đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai, giải theo một trong hai cách ở dạng 4.
Đáp số:
(thoả mãn điều kiện)
2
1
2
1
x
y
x
y
=

=



=



=




b)


+=


=


22
22
384
576
xxyy
xxyy
0

0
Đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai.
+) Nếu x=0 thì hệ có dạng:


2
2
40
0
60
y
y
y

=

=

=


Vậy (0,0) là một nghiệm của hệ phơng trình.
+) Nếu x 0. Đặt y=kx, thay vào hệ ta có:

22
22
2
2
(3 8 4 ) 0
(5 7 6 ) 0

38 4 0
1
2
57 6 0
xkk
xkk
kk
k
kk

+ =


=



+ =



=


=

với
1
2
k =

suy ra
1
2
y= x
, thay vào hệ ban đầu ta thấy hệ luôn đúng
Vậy nghiệm của hệ là
1
)
2
tt tR(,
Bài 2. Giải hệ phơng trình
a)

=+


=+


3
3
2
2
x
xy
y
yx

b)

=+


=+


22
22
22
22
x
yxy
y
xyx

c)

+=+




+=+


3
3
3
4
2

3
4
2
xxy
yyx


Các hệ trên là hệ đối xứng loại II.
a)


=+


=+


3
3
2(
2(
xxy
yyx
1)
2)
Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc:
x
3
-y
3

=2(x-y)+(y-x)=x-y
Ô (x-y)(x
2
+y
2
+xy-1)=0
+) x=y thay vào (1) ta có: x
3
=2x+x=3x Ô
0
3
3
x
x
x
=


=


=



+) x
2
+y
2
+xy-1=0, kết hợp với phơng trình (1)ta đợc:

22
3
3
23 2 3
3
642
3
23
3
2
10
2
2
(2).(2)1
2
3310
2
(1)0
21
1
1
xyxy
xxy
yx x
xx xxx x
yx x
xxx
yx x

x
yx x x
y
x

++=


=+



=



+ + =



=


+=



=

=



= =




=
=




0
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là :
(0,0);(1, 1);( 1,1),( 3, 3);( 3 3)
b)

=+


=+


22
22
22

22
x
yxy
y
xyx

Đáp số: (0,0); (-3,-3)
c)

+=+




+=+


3
3
3
4
2
3
4
2
xxy
yyx

áp dụng cách giải nh trên, trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc hệ phơng trình
tơng đơng

3
3
22
3
4
(1)
2
3
3
()( 5)0
2
yx
xxy
xx
xyx y xy
=


+=+



+=

+++=



Giải phơng trình (1):
Đặt x= 2t thì (1) có dạng:

+=
+=
=
3
3
3
3
3
43
4
11
43 (2
22
11
(2 )
2
2
tt
tt
t
)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:


=

=


3
3
3
3
1
2
2
1
2
2
x
y

Chú ý: Nếu phơng trình bậc ba có dạng:

33
3
11
43 (
2
xx a
a
+=
)

thì phơng trình có nghiệm duy nhất là

11
()
2
xa
a
=

Bài 3.
a) Xác định a để các phơng trình sau có nghiệm chung


+++=
++=
322
32
(2) 0
và x 4 (3 ) 2 0
xax x
xaxa
b)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
x
2
+mx+1=0 và x
2
+x+m=0

c) Chứng minh rằng nếu hai phơng trình
x
2
+ax+b=0 và x

2
+cx+d=0
có nghiệm chung thì: (b-d)
2
+(a-c)(ad-bc)=0
d)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
x(x-1)=m+1 và x
4
+(x+1)
2
=m
2

Giải
a)

+++=
++=
322
32
(2) 0(1)
và x 4 (3 ) 2 0 (2)
xax x
xaxa
Nếu a=0 thì các phơng trình 91) và (2) có nghiệm chung là x=0. Vậy a=0 là một giá
trị cần tìm.
Xét a 0. Vì x=-2 không là nghiệm của (1) và (2) nên
++
= =
++

++
=+
++
32
22
32
(3 4)
(1)
(2) (2)
43
(2) ( 2)
22
xx xx
aa
xx
x
x
xx x
axx
x
x

Đặt =
+
2
x
y
x
(3)
khi đó (2) có dạng x(x+2)=y+a

(1) có dạng y(y+2)=x+a
Vậy điều kiện để các phơng trình có nghiệm chung là hệ:


+=+


+=+

(2)
(4)
(2)
xx y a
yy x a
phải có nghiệm

(4

+=+



+=+


2
2
2
)
2

x
xya
y
yxa

đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai
Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc hệ tơng đơng:



=


+=

+=+





+++=
=





++=

2
2
2
0
2
()( 3)0
3
33
yx
xxa
xya
xyxy
yx
xx a
0
Kết hợp với (3) ta đợc các phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung khi và chỉ khi
một trong hai hệ sau phải có nghiệm:



=

==



+=

=

+





=



=


++=



=





=

+




2
1,2
2
0; 0 loại
0
x=-1;a=0 loại
2
3
33
33 0
633
2
yx
xa
xxa
x
y
x
yx
x
xx a
a
x
y

x

kết luận: với
==0; 6 3 3aa thì các phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung.
b)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
x
2
+mx+1=0 và x
2
+x+m=0
Xem cách giải ở ví dụ 1, dạng 1. Đáp số: m=-2.
c) Chứng minh rằng nếu hai phơng trình
x
2
+ax+b=0 và x
2
+cx+d=0
có nghiệm chung thì: (b-d)
2
+(a-c)(ad-bc)=0
đặt x
2
=y, y 0, khi đó ta cần hệ sau có nghiệm ( với y 0)


++=


++=

0
0
yaxb
ycxd
=
=
=
y
x
D
ca
D
ad bc
D
bd

+)Nếu D=0 Ô a=c, khi đó hệ muốn có nghiệm thì b=d,do đó đẳng thức cần chứng
minh là hiển nhiên.
+)Nếu D 0, ta có


=






=

ad bc
y
ca
bd
x
ca

Từ điều kiện y=x
2
ta có:

=+

22
()()()( )
ad bc b d
b d a c ad bc
ca ca
=
0
2
1
2

d)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
x(x-1)=m+1 (1)và x
4
+(x+1)

2
=m
2
(2)
Đặt x
2
=u, x+1=v u=(v-1)
2
(3)
Khi đó
Từ (1) và (2) có: u-v=m; u
2
+v
2
=m
2

Xét hệ đối xứng loại 1


= =



+= + + =

=

=

+=
++ =


22 2 2 2
222
()()2
()2
uv m uv m
uv m uv uv m
uv m
uv m
uv m
muv m
1)

+= =



= =

0
uvm um
uv m v
Thế vào (3) ta đợc m=(0-1)
2
=1

Với m=1 thì hai phơng trình có nghiệm chung là x=-1.
2)
tơng tự ta đợc m=-1
+=


=

uv m
uv m
Với m=-1 ta đợc x=0 là nghiệm chung của (1) và (2).
Kết luận: Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi m=1
Bài 4. Giải các hệ phơng trình
a)

2
1
222
xyz
xyxyz
++=


+ +=

b)


++ = +

+=


2
44 4
2
(với a 0)
2
xyxya a
xy a
c)
++=


++=


++=

222
333 3
xyza
x
yza
x
yza

a)

2
1
222
xyz
xyxyz
++=


+ +=

1
Coi z nh tham số, ta đợc hệ đối xứng loại I đối với x và y
+= +=





+ = = =


22
11
111
1
22
xy z xy z
zz
x y xy xy z

+
2
2
2
zz


Điều kiện để có nghiệm x,y là

+

=
2
2
2
12
(1 ) 4 0
2
(1 ) 0 1
zz
z
zz

Vậy nếu z 1 thì hệ vô nghiệm
Với z=1 thay vào hệ ta có x=y=0
Vậy hệ chỉ có nghiệm x=0, y=0,z=1.
b)

++ = +



+=


2
44 4
2
(với a 0)
2
xyxya a
xy a
Nhận xét : Nếu x, y là nghiệm của hệ thì
x
4
+y
4
2x
2
y
2

hay 2a
4
2x
2
y
2

xy Ê a
2

Do (x+y)
2
Ê 2(x
2
+y
2
) nên (x+y)
4
Ê [2(x
2
+y
2
)]
2
Ê 4.2(x
4
+y
4
)=16a
4

Khi đó ta có:
+

2
2
x
ya
xy a

Vậy khi a 0 thì x+y+xy Ê a
2
+2a, kết hợp với phơng trình đầu tiên của hệ ta đợc hệ
có nghiệm duy nhất x=y=a
c)
++=


++=


++=

222
333 3
xyza
2
x
yza
x
yza

Đặt xy+yz+zx=b
xyz=c

Ta có đẳng thức

++= =
++= +=
222 2
333 2
20
(3)3
xyza bb
xyzaa b cc
0
Do đó

++=


++=


=

(1) 0
0
x
yza
xy yz zx
xyz

từ đó hệ có các nghiệm là (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
Bài 6

Phơng trình bậc ba và
Phơng trình bậc bốn
I. Phơng trình bậc ba
Trong phần này sẽ nêu phơng pháp giải phơng trình bậc ba tổng quát.
ax
3
+bx
2
+cx+d=0 (1)
Dạng1. Giải phơng trình khi biết một nghiệm x=x
0
.
Theo giả thiết x=x
0
là một nghiệm nên ax
0
3
+bx
0
2
+cx
0
+d=0
(1) Ô ax
3
+bx
2
+cx+d= ax
0
3

+bx
0
2
+cx
0
+d
Ô a(x
3
-x
0
3
)+b(x
2
-x
0
2
)+c(x-x
0
)=0
Ô (x-x
0
)[ax
2
+(ax
0
+b)x+ax
0
2
+bx
0

+c]=0
1)Nếu D =(ax
0
+b)
2
-4a(ax
0
2
+bx
0
+c)<0 thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x=x
0
.
2) Nếu D 0 thì phơng trình có các nghiệm:

0
0
()
2
xx
ax b
x
a
=


+

=

0
0

*Nhận xét:
1)Nếu biết trớc x
0
là một nghiệm của phơng trình (1) thì điều kiện cần và đủ để
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:


22
00000
2
2
000
()
()4( )
ax ax b x ax bx c
ax b a ax bx c

+++++


= + + + >


2) Nếu x
0

là một nghiệm của phơng trình (1) thì có thể phân tích
ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-x
0
).f(x) (2)
Trong đó f(x) là một tam thức bậc hai
3) Nếu x
1
;x
2
;x
3
là các nghiệm của phơng trình (1) thì ta có phân tích
ax
3
+bx
2
+cx+d=a(x-x
1
)(x-x
2
)(x-x
3
), từ đó ta có công thức Viet cho phơng
trình bậc ba:

123

12 23 31
123
b
xxx
a
c
xx xx xx
a
d
xxx
a

++=



++=



=



Dạng 2.Phơng trình hồi quy bậc ba
Đó là phơng trình ax
3
+bx
2
+cx+d (3)

với ac
3
=bd
3
(a ,d

0) (4)
Từ (4) suy ra
1) Nếu c=0 b=0 , khi đó phơng trình (3) trở thành ax
3
+d=0Ô
3
d
x
a
=

2) Nếu c 0 b 0 và
3
()
dc
ab
=
Đặt
0
c
x
b
= thì c=-bx
0

, d=-ax
0
3

Thay vào phơng trình (3) ta đợc
ax
3
+bx
2
-bx
0
x-ax
0
3
=0
Ô a(x
3
-x
0
3
)+bx(x-x
0
)=0
Ô (x-x
0
)[ax
2
+(ax
0
+b)x+ax

0
2
]=0
Vậy
0
c
xx
b
== là một nghiệm
Nếu D =(ax
0
+b)
2
-4a
2
x
0
2
0 thì phơng trình còn có nghiệm

0
()
2
ax b
x
a
+
=

Nhận xét:Nếu phơng trình bậc ba là hồi quy thì nó luôn có một nghiệm là

0
c
x
b
=

Dạng 3.
Phơng trình có dạng
=
3
43 với xxm m1
Đặt m= cosa =cos(a 2p )
Khi đó



==
3
cos cos(3 ) 4cos 3cos
333

Do đó phơng trình có ba nghiệm là




==
12,3

2
cos ; cos
33
xx

Dạng 4.
Phơng trình dạng
= >
3
43 với xxm m1
Trớc hết dễ thấy rằng phơng trình

= +
33
3
11
43 ( )(*)(0
2
xx a a
a
)

luôn có nghiệm là
=+
11
()
2
xa
a

Mặt khác phơng trình
= >
3
với xxm m43 chỉ có một nghiệm duy nhất 1
Thậ vậy, phơng trình không có nghiệm trong [-1,1] vì nếu trái lại x=x
0
[-1,1] là
nghiệm thì đặt x= cos a . Khi đó


= >
3
43cos31 (vì mxx m 1)
Giả sử phơng trình có nghiệm x=x
1
với
1
1x >
Khi đó 4x
1
3
-3x
1
=m. Vậy ta có phơng trình:
4x
3
-3x=4x
1
3
-3x

1

Ô 4(x
3
-x
1
3
)-3(x-x
1
)=0
Ô (x-x
1
)[4x
2
+4x
1
x+4x
1
2
-3]=0
Có D' =4x
1
2
-4(4x
1
2
-3)=12-12x
1
2
< 0 do

1
1x >
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=x
1
( chú ý rằng một phơng trình bậc ba luôn
có ít nhất một nghiệm.
Đặt
=+ =
33
3
11
() với
2
ma amm
a
2
1

Khi đó theo (*) nghiệm duy nhất x
1
của phơng trình là:


=+= + +
33
22
111
()( 1
22
xa mm mm

a
1)

Dạng 5:
Phơng trình dạng: 4x
3
+3x=m
Nhận xét rằng nếu x=x
0
là nghiệm của phơng trình thì nghiệm đó là duy nhất.
Thậy vậy, xét x>x
0
, khi đó
4x
3
+3x>4x
0
3
+3x
0
=m nên x không là nghiệm
Tơng tự với x<x
0
cũng không là nghiệm
Đặt
=
11
(
2
xa

a
) , khi đó dễ dạng kiểm tra rằng: +=
33
3
11
4 3 ( ) (**)
2
xx a
a

Từ đó suy ra cách giải nh sau:
Đặt
= =+
33
3
11
() với a
2
ma mm
a
2
1

Khi đó theo (**) nghiệm duy nhất của phơng trình đó là:

== + +++
33
22
111
()( 1

22
xa mm mm
a
1)
Dạng 6: Dạng tổng quát
at
3
+bt
2
+ct+d=0
Bằng cách chia cả hai vế cho a, ta có thể coi a=1. Viết lại phơng trình dới dạng
t
3
+at
2
+bt+c=0
1) Đặt
=
3
a
ty
, khi đó có thể viết phơng trình dới dạng:

+++=
=
=+
32
3
23
()()()

333
a2
trong đó p= ;
3273
aaa
yaybyc
ypyq
aab
bq c
0

Nếu p=0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất:
=
3
x
q
Nếu p>0.Đặt = 2.
3
p
yx
Khi đó phơng trình sẽ có dạng :4x
3
-3x=m với
33
2
q
m
p
p
=

đó là phơng trình dạng 4.
Nếu p<0, đặt
2
3
p
yx

= , khi đó phơng trình sẽ có dạng: 4x
3
+3x=m đó là phơng
trình dạng 5.
II. Phơng trình bậc bốn.
Trong phần này sẽ đa ra phơng pháp giải phơng trình bậc bốn với hệ số tuỳ
ý. Các dạng phơng trình đặc biệt đã đợc đề cập ở bài trớc. ở đây đa ra cách giải
những phơng trình tổng quát hơn.
1.Phơng trình x
4
=ax
2
+bx+c (1)
Viết lại phơng trình đã cho dới dạng:
(x
2
+ a )
2
=(a+2a)x
2
+bx+c+a
2
(2)

Chọn a để vế phải có D =0 tức là b
2
-4(a+2a)(c+a
2
)=0. Luôn có số a nh vậy vì đó là
một phơng trình bậc ba đối với ẩn a. Khi đó vế phải là bình phơng của một nhị
thức và ta có thể đa phơng trình (2) về tích của hai phơng trình bậc hai.
2. Phơng trình tổng quát :t
4
+at
3
+bt
2
+ct+d=0
Đặt
4
a
tx
= , thay vào phơng trình, sau khi biến đổi ta sẽ đợc phơng trình dạng
x
4
=Ax
2
+Bx+C. áp dụng cách giải ở trên ta tìm đợc nghiệm của phơng trình đã
cho.
III. Bài tập tự giải
Bài 1. a) Giải phơng trình x
4
=3x
2

+10x+4
b) x
3
=6x
2
+1
Bài 2. Giải phơng trình a(ax
2
+bx+c)
2
+b(ax
2
+bx+c)+c=x
Bài 3. (ĐH Ngoại thơng-2000).Giải phơng trình (x
2
+3x-4)
2
+3(x
2
+3x-4)=x+4
Bài 4.Giải hệ phơng trình
a)
3
3
22
22
xy
yx

=−



=−


b)
3
3
33
33
x
y
yx

=−


=−



c)
0
3
4
1
8
xyz
xy yz zx
xyz



++=


++=−



=



Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
a)
3
1
4x -3x=
2

b)
3
1
43
4
xx
+=
c)x
4
=4x+1