Bất đẳng thức cô si

Ngời thực hiện:

Lê Xuân Thắng
A- Đặt vấn đề:

Bất đẳng thức côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất
trong chơng trình THPT bởi vì:
Các ứng dụng của bất đẳng thức côsi rất phong phú. Trong
lợng giác hình học, trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất, nhận dạng tam giác, giải phơng trình, bất phơng trình,
hệ phơng trình
Việc sử dụng bất đẳng thức côsi là rộng rÃi trong các đề
thi đại học, cao đẳng hàng năm, đề thi học sinh giỏi.
Tuy nhiên tôi nhận thấy:
- Khi áp dụng bất đẳng thức côsi vào chứng minh giải toán
các em thờng:
+ Lúng túng thụ động, không biết bắt đầu làm từ đâu,
phân tích nh thế nào?
+ Cha nắm chắc bản chất bất ĐT côsi và các hệ quả thờng gặp của nó.
+ Sử dụng bất đẳng thức côsi 1 cách máy móc, không linh
hoạt hiệu quả.
- Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng song
trong phân phối chơng trình chỉ có 1 tiết, số lợng bài tập
trong SGK còn ít.
- Các tài liệu viết về bất đẳng thức côsi rất nhiều tuy
nhiên hiếm có tài liệu hớng dẫn giải thích rõ tại sao làm nh vậy.
Không chỉ rõ cách t duy, phân tích.
Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, tôi
mạnh dạn cải tiến nội dung, đa ra vài kinh nghiệm nh trong bài
viết này. hy vọng các em học tập hiệu quả hơn.
B- giải quyết vấn đề:

I. Các giải pháp thực hiện:
1. Yêu cầu học sinh nắm thật vững lý thuyết về định lí
côsi, các hệ quả thờng gặp. Đặc biệt là 1 số bất đẳng thức
1


Ngời thực hiện:

Lê Xuân Thắng

quan thuộc thờng gặp yêu cầu học sinh nhớ cách chứng minh
cũng nh kết quả.
2. Khi cho các em làm bài tập tôi. Đặc biệt định hớng cho
các em phân tích bài toán.
- Vai trò các số hạng nhân tứ có bình đẳng.
- Bất đẳng thức có dấu bằng không? Nếu xảy ra dấu bằng
thì các số hạng, nhân tử phải thoả mÃn điều kiện nào?
- Có thể biến đổi một nhân tử, số hạng đại diện đợc hay
không?
- Có thể làm trội (nhân, chia, thêm bớt) đa về dạng mong
muốn, loại các bất đẳng thức, bài toán quen thuộc.
Từ phân tích trên cho phép định hớng áp dụng bất đăngt
thức côsi cho số hạng nào, nhân tử nào mới hợp lí, phù hợp với
thuyết của bài toán, làm đợc nh vậy bài toàn coi nh giải đợc 5
phần.
3) Sau khi giải bài toán, khuyến khích các em tìm tòi cách
giải khác, phơng pháp khác Có thể là phơng pháp tam thức
bậc 2, bất đẳng thứ bunhiacopski. Công việc này cũng rất có lợi
cho t duy cũng nh khả năng tổng hợp của các em.
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện:

Để thực hiện đợc các giải pháp trên tôi đa ra các biện pháp
sau:
- Hệ thống các bài tập đa ra minh hoạ cho phơng pháp từ
dễ đến khó. Các bài toán có liên quan, nối tiếp nhau, mở rộng
dẫn theo.
- Mỗi bài tập cho các em t duy, trả lời các câu hỏi theo sờn
đà cho ở trên.
- Cho các em t duy độc lập, mỗi em nêu cách, hớng giải của
mình. Cho các em so sánh và rút ra kết luận chung.
2


Ngời thực hiện:

Lê Xuân Thắng

- Hệ thống bài tập vừa với tầm t duy, cập nhật, đợc su tầm
từ các đề thi tuyển sinh đại học hàng năm (1998 - 2005).
III. Nội dung thực hiện:
1) Định lí côsi cho u số a1, a2,,an không âm. Ta có:

a1 a2 ... an n n a1a2x...xan
HƯ qu¶:
1. NÕu a1 + a2 +…+ an = cosnt th× a1a2 x … x an max  a1
= a2 =…an
2. NÕu a1a2 x…x an = cosnt th× a1 + a2 +…+ an min  a1
= a2 =an
2)

* ứng dụng bất đẳng thức côsi chứng minh bất đẳng

thức.
* ứng dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất.
* ứng dụng bất đẳng thức côsi giải phơng trình, hệ phơng trình.
3) Nội dung cụ thể:
* ứng dụng bất đăngt thứ côsi chứng minh bất đẳng thức
đại số:
Trớc hết là các bất đẳng thức áp dụng trùc tiÕp:
Bµi 1: Cho a, b, c > 0 chøng minh r»ng:

1 1 1
9
  
(1)
a b c a b c

Giải:
1 1 1
Bất đẳng thức (1) (a  b  c)    9
a b

c

¸p dơng bất đẳng thức côsi cho 3 số a, b, c vµ
3

1 1 1
, ,
a b c

Ngời thực hiện:

Lê Xuân Thắng
1 1 1
a b c

Ta có: a b  c 33 abc;   33

1
 1 1 1
 (a b  c)    9
abc
 a b c

 a b c
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi:  1  1  1  a b c
 a b c

Chó ý: Ta cã thĨ phát biểu bài toán trên dớc dạng:
Chứng minh rằng a,b,c 0 thi`:

1 1 1
9
 2 2 2 2 2
2
a b c a b c

Bµi 2: Cho 3 sè x, y, z không âm.

Chứng minh rằng:

xy 3 yz 5 zx 3x 2y 4z

Giải:
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
xy 

x y
3(y z)
5(z x)
; 3 yz 
; 5 zx 
2
2
2

 xy  3 yz  5 zx 

x  y 3(y  z) 5(z  x)


3x 2y 4z
2
2
2

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi: x = y = z
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c ta đều có
bất đẳng thức:

3

(a 1)(b 1)(c 1) 1 3 abc (1)

Gi¶i:

4