bất đẳng thức cô si

QUÝ VỊ ĐẠI BIỂU, QUÝ THẦY
CÔ,CÁC EM HỌC SINH
VỀ DỰ HỘI THẢO MÔN TOÁN THPT
TỔ TỐN TIN TRƯỜNG THPT LÂM HÀ

Ch ng IVươ : B T Đ NG TH C Ấ Ẳ Ứ
B T PH NG TRÌNHẤ ƯƠ
Tiết 29 –Đại số 10
Chương trình cơ bản
Giáo viên th c hi n : Nguy n Th Kim Chiự ệ ễ ị

Nhà toán học thiên tài
người PHÁP
Augustin
Louis
Cauchy
(1789 -1857)

BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC
I. ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
II. BẤT ĐẲNG THỨC CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
* Ví d m uụ ở đầ :
1. Bất Đẳng Thức Côsi:
2. Các Hệ Quả:
3. Ví Dụ :

Ví d :ụ
Cho . Ch ng minh r ng :ứ ằ
ng th c xay ra khi nào ?́Đẳ ư ̉

.
ab
ba
−
+
2
=
( )
baba
+−
2
2
1
.
=
( )
2
2
1
ba
−
Đẳng thức xảy ra ⇔
0=− ba
a b
⇔ =
0
≥
2 2
1

( ) 2 . ( )
2
a a b b
 
− +
 
=
2
( ) 0a b
− =
⇔
, 0a b
≥
ab
2
ba
≥
+
Gi iả :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1. Bất đẳng thức CÔSI:
Đònh lý:
Trung bình cộng của hai số không âm lớn
hơn hoăïc bằng trung bình nhân của nó
, ;
∀ ≥
a b 0
Đẳng thức xảy ra:

+
=
a b
ab
2
a b
⇔ =
ab
2
ba
≥
+
Hay:
2a b ab+ ≥
, ;
∀ ≥
a b 0
Ví dụ:
Vd 1: Cho hai số a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Giải :
* Áp dụng Côsi cho 2 số dương a,b:
1 2 (2)ab ab
+ ≥
( )
( ) 2 1a b ab+ ≥
Áp dụng Côsi cho 2 số dương 1, ab:
Nhân vế theo vế của (1) và(2) ta có:
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
( )(1 ) 4a b ab ab
+ + ≥

* Đẳng thức xảy ra khi:
1
a b
ab
=


=

2
1
a b
b
=

⇔

=

1
1
a
b
=

⇒

=

( Do a >0, b >0 )

( )(1 ) 4a b ab ab
+ + ≥
Ví du:ï
Vd 2: Cho số dương a. Chứng minh rằng :
Giải:
Áp dụng Côsi cho 2 số dương :
1
2a
a
+ ≥
1 1
2 .a a
a a
+ ≥
1
,a
a
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1
2a
a
⇔ + ≥
Đẳng thức xảy ra khi:
1
a
a
=

1a
⇔ = ±
a=1 (do a>0)
⇒