Luận án Tiến sĩ Toán học Một số bài toán Cauchy chứa kì dị trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHẠM VĂN HIÊN

MỘT SỐ BÀI TỐN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 62 46 01 02

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Bích Huy

ành phố Hồ Chí Minh - 2021

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình khoa học của tôi dưới sự hưởng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích
Huy. Các kết quả mới viết trong luận án là hồn tồn trung thực và chưa được cơng bố bởi bất cứ tác
giả nào khác.
Nghiên cứu sinh
Phạm Văn Hiển

1


Mục lục
LỜI CAM ĐOAN

1

MỞ DẦU
4
0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán..................................................... 8
0.2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài tốn................................................ 10
0.3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán.......................................... 11
Chương 1 KIẾN THỨC cơ SỞ
14
1.1 Các định lý điểm bất động.......................................................................... 14
1.2 Không gian với thứ tự sinh bởi nón........................................................ 15
1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn...................................................................... 17
1.4 Dộ đo phi compact và ánh xạ cô đặc .......................................................... 18
1.5 Một số kiến thức khác................................................................................. 20
Chương 2 SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN cứu BÀI
TỐN
22
2.1 Bài tốn với kì dị yếu.................................................................................. 22
2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu..................................................... 28
2.2.1
Các khái niệm ................................................................................. 28
2.2.2
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm ................................................. 29
2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu.................................................................................. 32
2.4 Bài tốn có chậm......................................................................................... 38
Chương 3 SỬ DỤNG ÁNH XẠ co TRONG NGHIÊN cứu
BÀI TỐN
42
3.1 Bài tốn với điều kiện Lipschitz địa phương........................................... 42

3.2 Bài tốn có chậm......................................................................................... 46
3.2.1
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát.......................46
3.2.2
Bài toán áp dụng.............................................................................. 49
3.3 Bài tốn trên miền vơ hạn ...................................................................... 54
Chương 4 SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN cứu BÀI TỐN56


4.1
4.2
4.3
4.4

Xây dựng không gian Frechetvà độ đo phi compact cho bài tốn . 57
Bài tốn Cauchy khơng cóchậm..............................................................
Giải bài tốn có chậm.................................................................................
Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bài tốn Cauchy trên thang
khơng gian Banach......................................................................................
4.4.1
Bài tốn và khơng gian nghiệm.......................................................
4.4.2
Một số bổ đề cần thiết.....................................................................
4.4.3
Cấu trúc tập nghiệm.........................................................................

60
65
70
70

73
77

KẾT LUẬN

82

Danh mục cơng trình của tác giả

84

Tài liệu tham khảo

84


MỞ ĐẦU
Các quá trình trong Tự nhiên và Xã hội đều phụ thuộc vào thời gian t và thường được mơ tả bởi phương trình vi
phân với điều kiện đầu (hay bài tốn Cauchy) như sau:
u'ơ) = /(*,“(í)), t € [0, T), u(0) = UQ,

(1)

trong đó u : [0, T] -> X là ẩn hàm, f : [0, T] X X —> X là hàm đã biết, thỏa mãn một số điều kiện và X là một
không gian vectơ tôpô. Nghiệm của bài toán theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) là hàm u e C([0,T],X)
nC1((0,T),X) thỏa mãn (1).
Ban đầu, bài toán (1) được nghiên cứu với X là một khơng gian hữu hạn chiều. Khi đó (1) là phương trình vi phân
thường và Peano đã chứng minh sự tồn tại nghiệm khi Ị là hàm liên tục; Picard khẳng định sự tồn tại và duy nhất
nghiệm khi f liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là
||/(t,u) - /(i,v)||x < C||u-v||x.

(2)

Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hoặc hyperbolic được đưa về bài tốn (1) với X là một khơng
gian Banach hoặc khơng gian Frechct (khi cần xét sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian vơ hạn). Khi đó định lý
Picard vẫn đúng; định lý Peano điíng khi f hên tục và thỏa mãn thêm diều kiện có liên quan tới tính compact, ví
dụ điều kiện "cơ đặc" đối với độ đo phi compact a trong không gian X. dạng
aự(t, B)) < Co(B). B c X là tập bị chặn.

(3)

Nếu vế phải của (1) là hàm liên tục thì bài tốn tương đương với bài tốn tìm hàm u c C([o, T],X) thỏa mãn
iz(í) = n0 + [ f(r, u(rỴ)dr := Fu(tỴ

(4)

Phương trình (4) xác định ánh xạ F : C([o, T],X) —> C([o, T],X) và điểm bất động của F chính là nghiệm của bài
tốn (1) ban đầu. Có hai phương pháp cơ


bản đê tìm điếm bất động của ánh xạ F. 0 phương pháp thứ nhất, điêm bất động được tìm như là giới hạn của dãy lặp sau:

«o(í) = «0, «n+i(t) = F«n(t), Ví e [0,T].
Phương pháp thứ hai là sử dụng các định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach khi f thỏa mãn điều kiện
Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng của nó là Định lý Darbo-Sadovskii khi f thỏa mãn một diều kiện về tính
compact. Trong luận án này chúng tơi sẽ xét một lớp bài tốn Cauchy chứa kì dị. Đó là bài toán Cauchy (1) trên
một họ (cũng gọi là một thang) các không gian Banach (Xs, ||.||Ạ s e [a, 6] thỏa mãn ll^lls < lulls', Va; € xs',s < s'.
Q
Tính kì dị thê hiện ở chõ ánh xạ f khơng tác động từ một khơng gian vào chính nó mà vào các không gian rộng
hơn và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ở dạng

Xs' c xs,

||/(t,«)-/(t,v)||s < —||u- v||y, u,v G xs', s < s'
s—s

(5)

hoặc điều kiện cô đặc dạng
B)) < ,

ss

a.s'(fì), B c X8> bị chặn, .$ < s',
(6)

trong đó a.s là. độ đo phi compact Kuratowski trên Xg.
Các nhà toán học L.Ovcyannikov và T.Yamanaka là những người dầu tiên sử dụng thang không gian Banach khi
nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy- Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55]. Trong
[44, 45] tác giả xét bài tốn
ớu V—' du
__.
.
X/.
“V = 7
+ «0« = Lu(t,x), az(O, a;) = u^x).
ơt
ƠXi
i=i

(7)

Họ đã xây dựng thang không gian Banach như sau. Với số dương s. đặt xs là không gian các hàm giải tích trên
quả cầu mở Bg — {x e R" : ||a?|| < .s} và liên tục trên Bs với chuẩn:
IIMIs =
|a|=fc

52 bl

SU

P


6

trong đó a — (oi, ...,ữn) € N"' là bộ đa chỉ sô và |ữ| = O] + ... + an. Ta có thê chứng minh được

IKdls < -Ị-— Hulls', vo < s < s’, i = ỉ,...,n.

Và do đó
Sử dụng đánh giá trên và giả thiết 1Í0
€ Xf), tác
^-^l|u|b',
0 s s'. minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (7) thỏa mãn
(8)
II

Ms

(9)

u(t) e xs với t e

0
trong dó u(t) = u(t,.) và X là một hằng số dương.
Một cách tự nhiên, chúng ta hy vọng rằng khi ánh xạ f thỏa mãn điều kiện (5), các kết quả về bài tốn tuyến tính
cụ thể (7) cũng sẽ đúng cho bài toán Cauchy phi tuyến (1) trên thang không gian Banach trim tượng. Tuy nhiên
điều này chỉ đạt được sau một thời gian khá dài. Năm 1970, Treves (xem [51]) xét bài tốn Cauchy trên thang
khơng gian Banach trừu tượng xs với
+00 +oc

/(í, u) = 5252
p=0 ợ=0

~Uồ' •••’u ~ u^tq>

trong fPtg là một dạng' p-tuyến tính thỏa mãn điều kiện
||/p,ợ(ui,U2,...,Up)||s < -7-— ||ui||s'--||up||y, 0 < s < s',
ss
Tiếp theo, vào năm 1972, L. Nirenberg xét bài toán (1) trên thang không gian trừu tượng với các giả thiết phức
tạp: Với mỗi u e XS',t e [0, T] và s < s' thì tồn tại tốn tử tuyến tính Au(t) : XS' -ì Xg sao cho:
Chỉ đến năm 1977 thì T.Nishida [42] và M.S. Baouendi [7] mới chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiêm
địa phương của bài tốn Cauchy trên thang các khơng gian Banach tổng quát với điều kiện (5). Tiếp theo bài toán
+<5
||v - u||ị'
,bởi

u,vnhiều
6 XS', tác
ỗ >giả
0. như K. Asano
- f(t, ù)
Au(t)(v-'U)||
Í) <
Cauchy||/(t,v)
trên thang
các- không
gian Banach
được
nghiên
cứu
s' - s
[3], R.E. Caflish [15], M.v. Safonov [48], ... với các giảm nhẹ của điều kiện (5), ví dụ điều kiện:
\\Fu(t) - Fv(t)\\s < / ------------ ---------------dr,
./() s
trong đó s < s(r) Các kết quả trên đều có một đặc điểm chung, đó là nếu điều kiện đầu lío thuộc khơng gian Xị) của thang thì
nghiệm có tính chất (9). Như vậy để nghiệm tốt (thuộc không gian xs với s gần 6) thì khoảng tồn tại nghiệm là.
nhỏ.
Bước tiếp theo trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không gian Banach là thay điều kiện Lipschitz (5)
bởi các điều kiện có liên quan tới tính compact. Các tác giả w. Tutschke [52], H. Begehr [12], V.I. Nazarov [40],
M. Reissig [47], E.A. Barkova-P.P. Zabreiko [8, 9], o. Zubelevich [58, 59] sử dụng giả thiết về tính compact của
phép nhúng xs' <-> xs,s < s', kết hợp với diều kiện về độ tăng dạng


7

ll/(L«)||s < ỹ^(hlls' + K), t G [0,T],u e xs',s < s'.

(10)


0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán
Trong một thời gian dài (đến 1995) nghiên cứu bài toán Cauchy trong thang không gian Banach, các nhà nghiên cứu chủ
yếu sử dụng phương pháp xây dựng dây lặp với các giả thiết phức tạp. L. Nirenberg xây dựng dãy lặp Newton hội tụ
nhanh để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương vói điều kiện Lipschitz (5), T. Nishida, M.v. Safonov, K.
Assano sử dụng dãy lặp Picard. Ưu điểm của phương pháp xây dựng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ánh
xạ F (được định nghĩa trong (4)) là ta chỉ cần "tính chất co" của F trong dãy lặp này.
Trong luận án, chúng tôi xây dựng dãy lặp để nghiên cứu 4 lớp bài tốn Cauchy trên thang các khơng gian Banach:
• Bài tốn với kì dị yếu.
• Bài tốn bậc khơng ngun với kì dị yếu.
• Bài tốn trên thang các khơng gian có thứ tự.
• Bài tốn có chậm.
Chúng tơi gọi bài tốn Cauchy (1) trong thang các khơng gian Banach có kì dị
yếu nếu điều kiện Lipschitz (5) được thay bởi
với p e (0,1). Trong trường hợp này chúng tôi chứng minh
u,v edược
XS', ssự
< tồn
s', tại, duy nhất
(11)nghiệm toàn cục u e c([o, T], Ạ,) với
mọi s < b và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện đầu. Cần chú ý rằng với kì dị dạng (5), (6) thì khoảng tồn tại
nghiệm phụ thuộc tham số s và cho bởi (9).
Bài toán Cauchy với bậc khơng ngun có dạng
c

D“u(t) = f(t,u(tỴ), t€(0,T),

«Ư)(0) = £k, Vk = 0,... ,m - 1,

(12)

trong đó m — 1’a) và với u e cm ([0, T), x) thì đạo hàm Caputo bậc Q của u được định nghĩa bởi
a

m a

D u(t) - J ~

(ỉmu
dtm’


/?>0

’
[v(t)
/3 = 0.
Bài tốn (12) xét trên thang khơng gian Banach (Eg) được E.A. Barkova và p.p. Zabreiko nghiên cứu trong [8] khi phép
nhúng Eg' ES,S < s' là compact và trong [9] khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (11) với p — a. Khi bài tốn có tính kì dị
yếu, tức là p < a chúng tơi cũng chứng minh đrtợc sự tồn tại và duy nhất của nghiệm toàn cục.
Xây dựng dãy lặp đơn diệu đã được sử dụng nhiều trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên một không gian riêng lẻ (xem
[28] và các tài liệu tham khảo ở đó). Chúng tơi sử dụng kỹ thuật này để nghiên cứu bài tốn Cauchy trên thang khơng
gian Banach có thứ tự. Sử dụng giả thiết về sự tồn tại cặp nghiệm trên, nghiệm dưới kết hợp các tính chất đặc biệt của thứ
tự và giả thiết về tính đơn điệu dạng
c
f(t,u)-f(t,v) > —(u-v), u,v e Xg’,s < s',

ss
chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm. Theo hiểu biết của chúng tơi thì đây là kết quả đầu tiên về bài tốn Cauchy
trong thang các khơng gian Banach có thứ tự.
Một số phương trình đạo hàm riêng dạng cụ thể có chậm trong thang khơng gian (tuy chưa làm nổi bật tính kì dị của bài
tốn ) đã được xét trong [4, 36, 37, 56]. Theo hiểu biết của chúng tơi, bài tốn có chậm trong thang không gian Banach
trừu tượng chưa được nghiên cứu. Trong chương này của luận án, chúng tơi xét bài tốn có chậm sau:
ZT = /ơ, u(í), u(h(t))), t G (0,1), «(0) = u0
VVV

(13)

trong đó yếu tố chậm h : [0.1) -> [0,1) là. hàm liên tục và thỏa mãn h(t) < tl/p, t 6 (0,1) và p e (0,1). Chúng tôi phát hiện ra
rằng, sự xuất hiện của yếu tố chậm theo thời gian cho phép chúng tơi xét các "kì dị mạnh". Cụ thể, vế phải của bài tốn
(13) có thể thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai và điều kiện Holder theo biến thứ ba:
||/(t,ííi,vi)-/(í,íi2,^2)||s < -77—

+

Ui,U2,vi,V2 € XS',s < s'.

Hơn nữa, trong trường hợp vế phải không phụ thuộc biến thứ hai và thỏa mãn điều kiện
||/(Í,V1) -/(t,v2)||s <

(Zry H”1 ■ wl1’’

t’l,U2 G Xs',S

< s',

với 7 > 0 tùy ý, chúng tôi vẫn chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục. Kết quả về bài tốn chậm (13) được chúng
tơi cơng bố trên tạp chí Fixed Point Theory (xem danh mục cơng trình tác giả).

0.2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài toán
Dể xét sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ F (được định nghĩa ở (4)) ta cần xây dựng một khơng gian, trong đó F tác
động. Đó thường là không gian các hàm u liên tục từ [0, c(b — s)) vào xs với mỗi s e [a, b) với chuẩn

hoặc

hll = sup ||u(t)||s s€[a,ỏ) 0c(b —
s')

được Nishida sử dụng trong [42]

||w|| = sup ||«(í)l|s í(c(fr - s) - 07] được Safonov sử dụng trong [48]. s€[a,6) 0Các tác giả nêu trên chứng minh được sự hội tụ của dãy lặp theo các chuẩn này nhưng không chỉ ra được tập dóng D sao
cho F(D) c D nên không áp dụng được Định lý ánh xạ co. Các tác giả M.S. Baouendi, c. Goulaouic [7] và R.F. Barostichi,
A.A. Himonas, G. Petronilho [10] sử dụng chuẩn
M = sụp ự(ft-s)[c(ft-s) -í]||u(t)||s se[a,6) 0
(14)

và áp dụng định lý ánh xạ co. Theo chúng tơi, điểm mới của chuẩn (14) chính là thừa số (ị — s). Dựa theo (14), chúng
tơi sử dụng chuẩn
||u|| = sụp (ố-s)1 £[c(&-s) - t]^||u(t)||s, ộ € (0,1) s€[a,ỏ)
0và cũng áp dụng được Định lý ánh xạ co để nhận được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn (1). Hơn nữa, chúng tơi
thu được đánh giá khoảng tồn tại nghiệm theo tham số /3.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng DỊnh lý ánh xạ co để nghiên cứu bài tốn Cauchy có chậm trên thang khơng gian Banach có

dạng sau
? = f(t, A(t, u(í)),B(u(/i(í)))), u(0) = UQ. (15)

(.ÍC
Dây là dạng trừu tượng của lớp phương trình đạo hàm riêng có chậm theo biến khơng gian và thời gian sau
dtu(t,x) = g[t,x,d2^u(t,a(t)x),d2^u(h(t),x)].

(16)

Bài toán trên được khảo sát trong loạt cơng trình của M. Kawagishi-T. Ya- manaka [36, 37, 56] với các giả thiết ngặt về
các độ chậm như sau
0 < c(t) < m, 0 < /ỉ(t) < mt, với m e (0,1).

(17)


Trong bài tốn (15), các kì dị đặc trưng cho bài tốn Cauchy trong thang khơng gian khơng có trong ánh xạ f mà có trong
các ánh xạ tuyến tính A, B:
mơ,

< ữơ), ữ' € /ƠƠXToXs < s',

milz(xs,,xs) < s < s'•

ơ8)

Chúng ta lại thấy sự xuất hiện của yếu tố chậm theo thời gian cho phép tăng tính kì dị của bài toán (tham số q trong điều
kiện (18) có thể lớn hơn 1). Tổng quát hóa một chuẩn được M. Kawagishi-T. Yamanaka sử dụng cho bài toán (16), chúng
tôi xây dựng chuẩn
IM = SỊip lhơ)lls(t,T), te[0,T]

với hàm s : A = {Ơ,T) : 0 < t < T < TQ} —> [a, ỉ>] thỏa mãn một số điều kiện. Kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài tốn tổng qt (15) được chúng tơi áp dụng cho bài toán (16). Việc xét bài toán tổng' quát một mặt cho phép bỏ
qua những kỹ thuật không cần thiết khi xét cụ thể, mặt khác cho phép chúng tôi mở rộng đáng kể điều kiện (17). Kết quả
về bài toán (15) và mở rộng của (16) được chúng tơi cơng bố trên tạp chí Fixed Point Theory.
Trong phần cuối của chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng t G [0, oo) nhờ xây
dựng một khơng gian Frcchct thích hợp.

0.3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài tốn
Sau khi có được diều kiện (5) có tính khn mẫu cho bài tốn Cauchy trên thang các khơng gian Banach thì các nhà toán
học bắt đầu xét bài toán với các điều kiện có liên quan đến tính compact. Các tác giả w. Tutschke [52], H. Begehr [12],
V.I. Nazarov [40], M. Reissig [47], E.A. Barkova - p.p. Zabreiko [8, 9] đặt điều kiện phép nhúng ES' c—> Es, s < s' là
compact. Việc sử dụng tính cơ đặc của ánh xạ theo độ đo phi compact trong nghiên cứu bài toán Cauchy trên thang không
gian Banach được thực hiện bởi K. Deimling [18], N.B.Huy [34] và M. Ghisi [25]. K. Dcimling xét vế phải f(t, 'lí) =
A(tỴu + g(t, ti) với
i) A(t) : xs' -4- xs là ánh xạ tuyến tính liên tục và ||>1(Ì)||L(XS/)X3) < A/(s' - s)-1, s < s' < b.
ii) g : [0, T] X ổs(tio,r) —> X/, là liên tục đều, bị chặn và với mọi s < b thì oiJ.ợ(L B)] < as(B), \/B c BS(UQ, TỴ trong đó
cts là. độ đo phi compact Kura- towski trên xs.
Tác giả N.B. Huy đã đi đến điều kiện (6) nhưng phải sử dụng giả thiết f liên tục từ [0, T] X xs vào xs. Chúng ta thấy điều
kiện này và. điều kiện ii) của Deimling là khơng dặc trưng cho bài tốn Cauchy trên thang khơng gian Banach. Tác giả
M. Glìisi đã thu được kết quả hồn chỉnh về bài tốn (1) với điều kiện (6), (10) nhưng không áp dụng được Định lý điểm
bất động Darbo-Sadovskii mà dùng dãy lặp Tonelli
r* /
T
,
T\\
u„(í) = tio; Ví < 0, un(t) = u0 + / f (T - --,un\T - 3-) }d,T, Ví > 0, n G N. Jo V

n

v

n'J


Trong luận án, chúng tơi xét ba lớp bài tốn sau đây với các giả thiết có liên quan tới tính compact:
• Bài tốn (1) với các điều kiện (6), (10).
• Bài tốn (13) với điều kiện dạng
as(i\tAỉỵẠỈ2)) < L Ộ^Qi) +

,V(t,i/,r) e [0, T] X xs X s < s',

trong dó 7=1 nếu f xác định địa phương và 7 > 0 tùy ý nếu f xác định toàn cc.
ã Bi toỏn
= M w(ớ)) + (L ô(*))> t (0, T), u(0) = «0,

(19)

với f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (5) và g là ánh xạ compact
Chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm cho bài toán thứ nhất và thứ hai và chứng minh tính chất ẩêơ của tập nghiệm cho bài toán
thứ ba. Đặc biệt, để nghiên cứu hai bài tốn đầu, chúng tơi đã sử dụng hai kỹ thuật mới. Đó là
1) Xét ánh xạ F (được định nghĩa bởi (4)) trên một không gian Frechet thay cho không gian Banach như các chương
trước.
2) Xây dựng một độ đo phi compact nhận giá trị trong một không gian Banach có thứ tự sao cho F là ánh xạ cơ đặc đối
với độ đo này.
Chúng ta có thể thấy điểm mạnh của việc sử dụng độ do phi compact với giá trị vector so với độ đo phi compact vói giá
trị số từ nhận xét sau. Điều kiện để ánh xạ F là cô đặc đối với độ đo $ là
$(B) < Í(F(B)) => B compact tương đối.
Nếu độ đo <I> nhận giá trị vector thì trong bất đẳng thức trên ta có mối hên hệ giữa hai phần tử của một khơng gian
vector và do đó cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin hơn so với khi trong bất đẳng thức là hai số thực.
Nghiên cứu của chúng tơi về bài tốn (13) với điều kiện về tính compact đã được chúng tơi cơng bố trong Journal of

Fixed Point Theory and Applications 22, 36 (2020).
Ngoài các cơng trình của tác giả được liệt kê ở danh mục cơng trình của tác giả, các kết quả chính của luận án cũng đã
được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9 (Nha Trang, 2018) và các Hội nghị Khoa học cho Nghiên cứu sinh
trường Đại học Sư phạm TP.HCM.


Chương 1

KIẾN THỨC Cơ SỞ
1.1 Các định lý điêm bât động
Định lý 1.1.1 (Định lý ánh xạ co). Cho không gian metric đủ (X,d) và M G X đóng, khác rỗng. Ánh xạ F : M
—> Aí là ánh xạ co, tức là tồn tại k € [0,1) sao cho
d(F(x),F(ỉ/)) < k.d(x,y), Vx,y 6 M.
Khi đó F có duy nhất điểm, bất động X* G M và
n—>oo

X* = lim Fn(x), \/x e M.

Định lý 1.1.2 (Định lý Schaudcr). Cho ánh xạ liên tục F : M M, trong đó M là tập lồi, đóng, khác rỗng trong
một khơng gian topo Hausdorff. Nếu F(M) chứa trong một tập compact thì F có điểm, bất động trong M.
Định lý 1.1.3 (Định lý Darbo). Cho M là tập lồi, khác rỗng, bị chặn trong không gian Banach X. Giả sử ánh
xạ F : M -> M là liên tục và tồn tại k € [0,1) sao cho với mọi B c M thì
a(F(BỴ) < kaỤT),
trong đó a(/l) là độ đo Kuratowski của tập A trong X.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Định lý 1.1.4 (Giới hạn dãy lặp). Trong không gian Banach X, cho phần tử uo và xây dựng dãy lặp:
Uo(t) = uo
un(t) = F^Un-i)^ :=u0+ I /(r,iAn_i(T))í/r, í e [0,T].n € N+, Jo
trong đó f : [0,T] X X —> X là liên tục. Giả sử trong E := C([O,T],X) chúng ta có
u = lim un.

n—too
thì u chính là điểm bất động của F trong E.

1
3


1
4

1.2 Khơng gian với thứ tự sinh bởi nón
Trong khơng gian vector X với ỡx là phần tú' không, tập K c X được gọi là nón nếu nó là tập lồi, đóng, thỏa
mãn các tính chất:
K n -K = {ớx}, XK c K, VA > 0.
Chúng ta định nghĩa thứ tự một phần trong X sinh bởi nón K là:
u < V V — u e K.

(1.1)

Do định nghĩa của nón, thứ tự này có các tính chất:
• au + bv > 9 Xi Vu,V > Sx, a,b > 0.
• linin-KX)un > 0x nếu giới hạn tồn tại và un > OxNu.
Một dãy {ưn}n c xs được gọi là tăng nếu:
«n+i > Un, Vn.
Dãy gọi là giảm nếu đổi chiều bất đẳng thức, và dãy gọi là đơn điệu nếu hoặc nó tăng, hoặc nó giảm.
Định nghĩa 1.2.1. Nón lí được gọi là
• Nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
• Nón chuẩn nếu tồn tại số N sao cho với mọi V > u > ỡx thì ||u|| < 7V||t’||.
BỔ đề 1.2.2. [19]
1. Nếu K là nón chính quy thì:

• K là nón chuẩn.
• Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
2. Giả sử K là nón chuẩn và dãy đơn điệu {ưn}n có dãy con hội tụ về u thì {«n}n cũng hội tụ về u


1
5
Sau đây là một số khái niệm khác. Cho X là không gian định chuẩn, ký hiệu không gian các hàm liên tục
trên I := [0, T], nhận giá trị trong X là E := cự, X), có chuẩn được định nghĩa là
|tz| := sup ||u(t)||.
ÍẼỈ

Từ thứ tự trong X, chúng ta định nghĩa thứ tự trong không gian Banach E như san:
u < V <=> w(í) < E I.

Cho o, /3 e E, chúng ta định nghĩa khoảng đóng là:
[a, 0] = {u € E\ơ < u < /3}.
Anh xạ f : X X được gọi là tăng nếu
/(s) < Có thể thấy rằng nếu f là ánh xạ tuyến tính thì tính chất tăng tương đương với tính chất f(K) c K.
QK
_/
-wo
Bô đê 1.2.3. Cho p E E và sơ A/ thỏa mãn tính chât:

z

p'(t) > -Mp(t)yt e I, p'(E) khả tích trên I.
Khi đó:
eMtp(t) > p(0), Ví e I.

Chứng minh. Đặt /ỉ(t) = eMíp(t), te/. Khi đó
/i'(t) = eMt{p'(t) + A/p(t)] > 0X, vt e /.
/ỉ(t) — /ỉ(0) — í h'(r)dT > Vt e /.

Jữ

Suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.2.4. Nếu bất đẳng thức trong giả thiết của bổ đề trên đổi chiều thì bất đẳng thức trong kết luận
cũng đổi chiều. Do đó nếu có đẳng thức p'(t) = —Mp(i),\/t E 1 thì sẽ suy ra pty — e-Míp(0), Vt e /.

1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn
Cho X là một không gian vector trên trường K (thực hoặc phức).
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ p : X —> [0, +oo) được gọi là nửa chuẩn trên X nếu
1. p(kx) = |A|p(x) với mọi k € K và X € X.
2. p(x + ỳ) < p(F) + p(y) với mọi X, y G X.


1
6
Giả sử X được trang bị họ đếm được các nửa chuẩn {p n}neN+- Nó sẽ là một khơng gian vector topo lồi dịa
phương mà một cơ sở của lân cận điểm khơng gồm tồn các tập lồi có dạng
u£,k. = {x e X : pn(x) < E, \fn < A:}.
Sau đây, chúng ta chỉ sử dụng topo này cho khơng gian X.
Họ nửa chuẩn {pn}n được gọi là
• Tách nếu từ tính chất Pn(x) = 0 với mọi n kéo theo X = 0x• Đầy đủ nếu mọi dãy {xm}m c X là Cauchy theo Pn với mọi n thì nó hội tụ theo topo trong X.
Có thể thấy rằng, nếu {pn}n là tách thì topo trên X là khả metric và ta có (theo topo trên X):
1. lim xm - X o lim Ptt(xm — rr) — 0, Vn.
m—»oo

m—>oc

2. {zm}m là dãy Cauchy khi và chỉ khi {xm}m là dãy Cauchy theo mỗi pn.
DỊnh nghĩa 1.3.2. Ánh xạ F : c X -> X được gọi là co theo họ nửa chuẩn {í>n}n nếu với mỗi ne N + thì tồn tại
qn e (0,1) sao cho
p„(F(x) - F(y)) < qnPn(x -y),\/x,y e M.
Bổ đề 1.3.3. Cho không gian X với topo sinh bởi họ nửa chuẩn tách và đầy đủ {Pn}neN+> M c X là tập đóng,
khác rỗng. Nếu F : M M là ánh xạ co theo họ nửa chuẩn {pn}n, thì nó có duy nhất một điểm bất động trong M,
và điểm bất động đó là giới hạn của dãy lặp
ym = Fm(yữỵ Vyo € M.
Chứng minh. Nếu A là một tập hữu hạn trong N+ thì bằng cách đặt q — max{ợn : n € A}, chúng ta thấy
Pn(F(x) - F(yỴ) < qpn{x - y), Yx, y e M, n e A.
Do đó F hên tục theo topo trên X.
Cho các số tự nhiên n, m, k, chúng ta có
m+k—1

m+k—1

Pn(ym - ym+k)
i=m
, ((ỉnỴn - (qn)m+kn ,

< 22 Pn(yi~yi+ỉ)< 22 ^ýpn(yo - i=m
yi)

<----ĩ—7- - -Pn(yo -V1Ỵ

.

1 - qn

Vế phải bất đẳng thức là hội tụ về 0 khi k, m ra vô hạn với mỗi n. Do đó dây {ym}m là dãy Cauchy theo pn.
Nghĩa là nó hội tụ về giới hạn duy nhất y e M theo topo trên X. Mặt khác, F là liên tục cho nên
y = lim ym+i = F( lim ym) = F(y).
m—>oo
m—>oo


1
7
Vậy, y là điểm bất động của F. Cuối cùng, giả sử X, y là các điểm bất động của F. Thì với mỗi n, tính co của F
suy ra pn(x — y) = 0. Mà {pn}n là tách, cho nên X = y.
□

1.4 Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc
Trong không gian định chuẩn (X, II,||x), cho Q là một tập bị chặn. Đường kính của Q được định nghĩa là số:
d(Q) = sup{||x - y||x : X, y e Q}.
Định nghĩa 1.4.1. [2] Độ đo Kuratowski a(Q) dược định nghĩa là inf của các số d > 0 sao cho Q được phủ bởi
họ hữu hạn các tập có đường kính khơng q d.
Về độ đo Kuratowski, chúng tôi tham khảo hai bổ đề cần thiết sau.
Bổ đề 1.4.2. [2] Dộ đo Kuratowski có các tính chất:
1. Chính quy, tức là = 0 khi và chỉ khi Q là tập compact tương đối;
2. Khơng kì dị, tức là cv({a:}) — 0, \/x & X;
3. Nửa thuần nhất, tức là a(tQ) = |í|a(fì) với mọi t e R;
lị. Dưới cộng tính, tức là o(Qi + Qă) < cr(íh) + O'(fì2);
5. Nửa cộng tính, tức là a(Q] UQ2) — niax{o(Qi),a(Q2)};
6. Nếu X là không gian vô hạn chiều và B là quả cầu với bán kính R thì a(B) = 2R;
7. Bất biến dịch chuyển, tức là a(Q + x) = a(Q), Va,- ẽ X.
Bổ đề 1.4.3. [6] Giả sử X là một không gian Banach. Q là tập bị chặn, đồng liên tục trong không gian C([o,
T],A), là khơng gian Banach với chuẩn ||tí|| = suPteịo.T] ||u(í)||x.
Khi đó a(£ì(.Ỵ) là hàm số liên tục trên t e [0, T] và thỏa mãn bất đẳng thức:

a I u(r)dr : u e Q < Ị a(Q(r))dr, Ví € [0,T],
trong đó Q(T) — {u(r) : u e Q}.
Tiếp theo chúng ta định nghĩa độ đo phi compact, tổng quát trong không gian lồi địa phương và ánh xạ cô
đặc tương ứng.
DỊnh nghĩa 1.4.4. [1] Cho E là một không gian lồi địa phương với topo sinh bởi họ nửa chuẩn {p n}n- Gọi M là
một họ các tập con của E sao cho nếu Q € M thì ẽõQ e M. Anh xạ ộ, xác (lịnh trên M nhận giá trị trong khơng
gian có thứ tự một phần (Q, <), được gọi là một độ đo phi compact (tổng quát) nếu:
ự>(ẽõQ) = 0(Q) > 0Q, VQ € A4.

(1.2)


1
8
Và ộ được gọi là
1. Chính quy nếu ự>(Q) = 0Q khi và chỉ khi Q là tập compact tương đối (tức là tập có bao đóng là
compact).
2. Nửa cộng tính nếu <Ị>(Q1 Ì2) = max{ự>(Qi), ự>(ỈÌ2)}3. Khơng kì dị nếu Có thể thấy rằng độ đo Kuratowski cũng là một độ do phi compact với giá trị số.
Định nghĩa 1.4.5. [1] Cho ộ là độ đo phi compact trên M là một họ các tập con của E. Ánh xạ F : D c E —> E
đrtợc gọi là ự>-cô đặc nếu với mọi Q c D sao cho Q e A4 thì F(fì) € M và:
</>(F(fì)) > Ộ(Q) kéo theo Q là tập compact tương đối.

(1-3)

Dựa trên một định lý trong [1] và [5], chúng ta có định lý sau.
Định lý 1.4.6. [5] Giả sử E là một không gian Frechet, B c E là một tập hợp lồi, đóng, khác rỗng, F : IS —> ổ
là ánh xạ liên tục và ộ là một độ đo phi compact trên j\4 là họ các tập con của E, thỏa, mãn các tính chất sau:
(i) Nếu Q e A4, {u} e A4 và Q1 c Q thì Q1 e Nỉ, Q u {«} e Ní, và chúng ta có:
ự>(Qu{«}) = 0(Q).

(1.4)

(ii) Ánh xạ F là ộ-cơ đặc và FỰ3) e Ní.
Thì khi đó F có ít nhất một điểm bất động trong 13.
Chứng minh. Chọn một điểm u G ẽỡ(F(B)) và gọi s là họ mọi tập con lồi, đóng Q của 13 mà thỏa mãn Q e M.u
e Q và F(Q) c Q. Dặt
B = Pl Q, K = ẽõ (FỤ3) u {«}). ÒeÈ
Chúng ta thấy ẽõ(F(ổ)) e s do các giả thiết định lý và. định nghĩa 1.4.4, B G Nt do giả thiết (i). Hơn nữa, do
F(Q) c Q, VQ G s cho nên F(B) c B và F(B) € A4. Vậy thì K € Ní theo giả thiết (i).
Tiếp theo, chúng ta chứng minh B = K. Thật vậy, vì u € B và F(B) c B, cho nên K c B. Suy ra F(/<) c FỰT) c
K, tức là chúng ta có K eE, và B c K.
Giả thiết (i) cho thấy:
0(B) = ự>(A) = ộ (F(B') u {«}) = ộ (F(BỴ) .
Mà F là ộ-cô đặc, cho nên B là tập compact. Áp dụng định lý Schauder- Tychonoff cho ánh xạ F trên tập B c
Ì3, chúng ta suy ra sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ F : 13 —> 13.
□


1
9

1.5 Một số kiến thức khác
Cho Y là không gian metric. Trong không gian C([o,T],V), tập M được gọi là đồng liên tục nếu với mọi £ > 0
thì tồn tại số ỗ đổ
d(ií(ti),ìí(to)) < E,
với mọi u G M và toVi e [0,T] mà |íi — íol < ỏ.
Định lý 1.5.1 (Arzela-Ascoli). Tập M là compact tương đối trong C([o, T],y) với metric d(ụ,v) — supfe[0 T]
dy(w(t), v(t)) nếu nó là
• đồng liên tục,

• compact tương đối từng điểm, tức là với mỗi t e [0, T] thì tập {u(t) : u e M} là compact tương đối trong
Y.
Bổ đề sau nêu một số tính chất quan trọng của hàm r:
P+OO

T z

r(l + z) = / e~ r dr.

Jữ

Bổ đề 1.5.2. [20], Nếu a,0 > 0 thì:
(a)

r(l + a) = aT(a), đặc biệt r(l + n) = n! với mọi n e N.
ft T$~l(t — T}a~xdr — vói mọi t > 0.

(b)
(c)

Khi a tiến ra vơ hạn thì r(l + a) ~ ự27ra(a/e)a.

(d)

n! ~ \/27rn(n/e khi n oo.


Chương 2

SỬ DỤNG DÂY LẶP TRONG NGHIÊN cứu BÀI

TOÁN
Trong chương này, các bài toán Cauchy bậc 1, bậc phân thứ và bài tốn có chậm được
đưa về bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ tích phân trong các khơng gian phù
hợp. Sau đó, chúng tơi sẽ tìm điểm bất động của ánh xạ bằng phương pháp lặp xấp xỉ.
Thuận lợi của phương pháp này là, nói chung, chúng tơi khơng quan tâm đến ảnh của
ánh xạ tích phân trên tồn khơng gian mà chỉ là trên một (lây phần tứ (dãy lặp xấp xỉ).
Điều đó cho phép chúng tôi xét ánh xạ tác động trên thang không gian mà không nhất
thiết cần xây dựng một không gian mới. Kết quả đạt được trong chương này là các sự
tồn tại duy nhất nghiệm dưới điều kiện dạng Lipschitz toàn cục.

2.1 Bài tốn với kì dị yếu
Xét bài tốn (1) trên các thang không gian Banach {Xs} S€[a,&]. Với T' < T,s' G (a, b]
cho trước và u € C([o,T'],XS'), đặt
Fu(t) = U() + [ f(T,u(TỴ)dr,t€ [0,T'].

(2.1)

Khi dó, v.s < s',t G [0, T] thì Fnu(t) G xs.\/n. Chúng ta sẽ giải bài tốn (1) bằng cách
tìm giới hạn của dãy lặp
Uo(t) = UQ, un+ỉ = Fun,t G [0, T'],

(2.2)

trong không gian C([o,T'],X9),S < b. Dịnh lý sau chứng minh sự tồn tại duy nhất
nghiệm bài toán trong C([o. T'],xs) mà T' độc lập với s < ờ, chúng tôi gọi nghiệm như
vậy là nghiệm toàn cục.
Định lý 2.1.1. Giả sử Uo G xb và:

2
0

2
1

sup
te[0,
llô(ớ) -đ(ớ)||ô < H||ôo - 1'tllll,
(2.3)
(2.4)


2
2

+ sup l|/(t,tz(í)|| .

So
n x ns < n<nỵ>
1
ự||ttn(t)
- uC
n-_i(t)||
||'Un(t)
Un-l(t)||s
M
t
nP(
>
(S

—
s)p(
)n!
(2.6)
s
t€[0,T]


2
3
Do đó u là điểm bất động của ánh xạ F, tức là u(t) = tío + ỊQ f(r, u(rỴ)dT với mọi t e
[0, T] trong XSo. Mặt khác, u : [0, T] —> XSo và f : [0, T] X XSo -> xs là các ánh xạ hên
tục, cho nên u'(.) = /(.,«(.)) : (0,T) -> xs là hên tục.
Vậy u G C([o,T],xs) là một nghiệm của bài toán (1).
Bước 2: Chứng minh tính duy nhất.
Giả sứ u,v cùng là nghiệm của bài toán (1) trong C([o,T],xs). Đặt
= sup ||tt(t) - v(t)||8 íe[0>]
Bằng một cách làm tương tự khi chứng minh (2.6), với So < s chúng ta suy ra
Nghĩa là với n đủ lớn thì
NsCnnnPtn
( Cte. nP-Ạ
I|M(Í) -M(Í)||SO <
\(s-S0)P
) khi n —>
n!(s —
oo.
ỰIMí)-’V)k
np <
So)
(s - S )P

0

vế phải bất đẳng thức trên hội tụ về 0 khi n ra vơ hạn. Do đó u = V trong khơng gian
C([0,T],XSo) và cũng là trong không gian C([0,T],X.s).
Bước 3: Chứng minh tính ổn định.
Gọi un,vn lần lượt là các dãy lặp xấp xỉ ứng với phần tử đầu tiên là UQ.VQ. Tức là
un,vn lần lượt hội tụ đều về u, V là các nghiệm bài toán tương ứng dữ liệu đầu UQ,VQ.
Đặt
A = ||«0 - vollb
Cũng bằng quy nạp, chúng ta chứng minh rằng nếu So < S1 < ... < sn và t 6 [0, T] thì:
(2.7)
Í=1

Chúng ta thấy
IMO - Mi(t)||So < ||«0 - Mok + / 11/(7-,«o) - f(j,Vo)\\Sodr
Jữ
c
/ Adr; Vso < S1 < b.
p
(«1 - «o) Jo
Tức là (2.7) đúng với n = 1. Giả sử nó đúng với n = k và cho trước So < S1
... < Sfc+1 < b. thì chúng ta có:
IMí) - Vfe(t)||S1 < A


Suy ra
c
Il«fc+i(í) - Vfc+i(t)||So < + ( s| _ J IM'’’) - Vk(r)\\S1dT

A

Diều này cho thấy (2.7) đúng với mọi n 6 N+.
Bỏi vì p < 1, nên chúng ta có thổ chọn 13 G (1,1/p). Khi đó ,dp < 1 và chuỗi số
sau hội tụ:
B:=

àJẶ<0°- 2=1

Đặt
6-50
■ - + Bj0 ■
s>

Thì chúng ta có

,
b- Sọ
5j<50 + 2_ Biị = b.yj = 1,2,....
Thế chúng vào (2.7), thì chúng ta suy ra
Do /3p < 1 cho nên:
Bhyiypcy BpCt
i\(b-s0)ip (b — So)p

0p-ỉ

—> 0 khi i —>

Do đó chúng ta suy ra bất đẳng thức sau mà trong đó, chuỗi số ở vế phải là hội tụ:
B'P^PCif

iỉ(b — s0)ip
Cho lì ra vơ hạn và chọn .So = s cho trước, chúng ta chứng minh xong định lý. □

B^p^ypớé i\
(b - soỵp