Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2017 - 2018 sở GD&ĐT Lai Châu - TOANMATH.com

_UBND TINH LAI CHAU
SO GIAO DUC VA DAO TAO

KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 11 CAP TINH
NAM HOC 2017-2018

ĐÈ THI CHÍNH THỨC |_ Mơn: Tốn
(Đề thi có 01 trang)

¬

Thời gian: 180 phút (không kê thời gian giao đê)

Ngày thi: 22/4/2018

Câu 1. (6,0 điểm)
a.Giải phương trình: sin x(sin x + COS x) =].

b.Tim s6-Á hang chira„8x° trong khai - triển E 1 +x
x

5)

eke a2
. biết
C2. = 7(øn+3).

Câu 2. (4,0 diém)
Cho hinh chép S.ABCD

cé day ABCD

la hinh cht nhat va SA vudng gdéc

với mặt phăng (ABCD). Biét AB =a,BC =aV3
4 vuông góc với 4C

va SD=aV5 Duong thang qua

cắt các đường thang CB,CD

lân lượt tại 7,J. Gọi / là

hình chiếu vng góc của 4 trên %C .Gọi K,¿ là giao điểm của S8,SÐ với (7)

a.Chứng minh rằng 4K L (SBC).

b.Tính khoảng cách từ điểm B đến (7/7)

Câu 3. (4,0 điểm)
Giải phương trình sau:V5x2
+ 14x + 9 — Vx2
— x— 20 = 5x +1

Câu 4. (4,0 điểm)
2nm+l

Cho day sỐ (u, ) xac dinh boi uw, > 1 va ue" n

Tính giới hạn

=u, +1 voi n=1,2,3,...

lim w,.
n—>+00

Câu 5. (2,0 diém)
Trên một đường thắng có n diém mau xanh và ø điểm màu đỏ. Chứng
minh rằng tông tất cả các khoảng cách giữa các cặp điểm cùng màu bé hơn hoặc
bang tong tat cả các khoảng cách giữa các cặp điểm khác mau.

--- Hét---

Trang 1/1


UBND TINH LAI CHAU
SO GIAO DUC VA DAO TAO

KY THI CHON HQC SINH GIOI LOP 11 CAP TINH
NAM HOC 2017-2018
DAP AN THANG DIEM
Mon:

Toan

A. Hướng dẫn chung:
- _ Bài thi chấm theo thang điểm 20; lẫy đến 0,25; khơng quy trịn điểm
- - HS trình bày theo phương pháp khác mà chính xác cho điểm tuyệt đối
B. Hướng dẫn cu the :
Áp dụng theo đáp án biểu điểm cho từng câu

Câu 1.(6 điểm)
Y

a

Nội dung

Diem

Ta có sin x(sinx + cosx) =1< sin’ x+sinxcosx-1=0

0,5

< sỉn xeoS x — coS” x =

0.5

& cos x(sin x — cos x) = 0

0,5

|S

oS

cosx =0

0,5

| sin x — COS x =0

x=—+Ýï

(ke)

1,0

x=—+ï
\

n+3)(n+2

Theo để bài ta có . Cố. = knot?)
n+3)(n+2

(MO)
Vay
b)

a a(n43) > n=12

Số hạng tong quat Ch.x “Px?
yes

5k

28

s

suy ra

0,5

0,5
0,5

ng

0,5

Số hạng chứa xŸ trong khai triển C° = 495

1,0


Câu 2.(4 điểm)
cn

Dap an

Diem

0.5

B

Trong (SĐC) gọi: K =SBnIH>K

Trong (SCD) gọiL =SDnJH

4
điểm

C

=S5Bn (HI))

>K=SDn(HI))

055

Taco:
IT LA

th ñ ey > IJ 1 (SAC)3 1) 1 SC.MaAH LSC >SCL(yH) |

Suyra: AK L 5C

Lại có : BC L (SAB)
Vậy AK L (SBC)
Tacé S4=

AK L BC

VSD’
— AD? =aV2; AH =

0,5

S4.AC

Vsa+4c?

2a
= =;

V3

10

AC = VAB? + BC? = 2a; HC = VAC? — AH? = 2S

Trong (ABCD) : tan ACB = = = ACB = 30° = ATB = 60°
>lB=

IB_

d(PB;(JH))

dŒ;0Jm) > “

R

aV3

3

—=—————=d(@.,(JJH)

TC”

PS

WH)

IB_

av6

=cH.—=——

IC

6

Tổng điểm

0,5
4,0

Câu 3.( 4 điểm)
cm

Đáp án

Điểm

PT © v5x2 + 14x +9=vx^—-x—
20 +B5vx+1

4
x?—=x—20>0
điểm | ©‡Z+1>0

5x? + 14x4+9= x2 -—x-—204 25x +254 10/ (x2 — x — 20)(x + 1)

1,0


>5

S

0.5

2x? —Sx +2 =5,/ (x +4)(x?2 — 4x —5)

h

S

;

>5

2(x? — 4x —5) 4+ 3(x +4) = 5/(x
+ 4)(x2 — 4x
— 5)

Xét PT (1): Đặt u=
PT (1) có dạng:

2u*
+ 3v* =5uve

=|

VxˆT— 4x
— 5vàø

=vx+4,u,v>0

2u? + 3u? — 5uu =0 © |2

x*-4x-5=x+4

A(x? — 4x —5) = 9(x +4)

5 + vó1
x=——=—

So

(1)

0,5
1,0

— 2

lu = 3U

0.5
’

0,25

25 +1521
⁄=—————

KL: PT đã cho có hai nghiệm = s61 vax = —
Tổng điểm

0,25
4,0

Câu 4.(4 điểm)
Y

Noi dung

Ta có uw" =u +1>u, =2"u, +1

Diem

0,5

Áp dụng bất đăng thức Cơsi, ta có:

(uw, +1)+14+14...41
u =?"Nụ

"

"

+] <

2n+l

=

+2n+1
Hay uw, conte
2n+]
cu

0,5

< 2n+]

"

2n

Vậy 1.

0,5

.

va lim

A>tO

2n+]
2m

0,5
2n+]
nr

0,5

=1.

0,5

2n

Nên theo định lí “kẹp” suy ra lim ø„ =].
ATO

1,0


Câu 5 .(2 điểm)
Cầu

5

, os

Dap an

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo ø. Gọi X1; X;;...; X„ là các toa dé n

Thang

diém

điểm màu đỏ trên trục số.

Tương tự, ta gọi y;;y›;...; y„ là các tọa độ điểm của ø điểm màu

0,25

xanh trên trục số ( đường thắng thực)
Dat A, tổng các khoảng cách của những điểm cùng màu. „ tổng
các khoảng cách của những điểm khác màu.

0,25

Néu n=/ thi A, = 0; B, = |x, — y,|. RO rang : By > A,

0,25

Gia su: B,_1 > Ayn_1. Ta co:

n

An — Ana = ) [Gn — 1) + On - 0
i=1

n

—

2

điểm

By
— By-1

=

i=1

[Xn

— Vi) +

0.5

Wn - #¡)|

n

tn — nl +)

La

Cen — yil + Dn — 2d)

Suy ra: P„ạ — P„ạ_¡ > Ân — A„_¡. Ta có đpcm
Tong diém

0,5

0,25
2,0


A. UBND TINH LAI CHAU
B. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CAP TINH
NĂM HỌC 2017-2018

FAO

PHIEU CHAM VONG 1
Mon: Toan

Ma tii

Số phách..............................

Câu 1.(6 diém)
Y

Noi dung

Diem

Ta cé sin x(sinx + cosx)=1< sin’ x+sinxcosx-1=0

0,5

& sinxcosx—cos’
x =0

0,5

<> cos x(sin x —cosx)=0
a)

c©

Diem

cham

0,5

I cosx =0

05

| sin x —cosx =0
x= 5 + KT

&

(k c Z)

|

1,0

x=—+kn
4
:

n+3)(n+2

Theo dé bai tacé. C*,, = (rey?)
vậy

b)

n+3)(n+2
FV)

2

5053)

5k

Số hạng tổng quát C°
—3(12-k

x na:

Sk

9) v2

0,5

nat?

0,5

SUY ra

0,5

=x =k=8

05

Số hạng chứa +” trong khai triển CỔ = 495

Câu 2.(4 điểm)

1,0

Tổng điểm câu 1

4,0

ae

LÄ

Nội dung

Diém
J

0,5
A

D

B

Trong (SĐ%C) gọi: K =SBnIH>

K =SBñn

C

(HI])

Trong (SCD) gọi L = SD nJH > K = SDN (HI)

05

Điểm
chấm


Taco:
ITLA

i ñ ey = IJ 1 (SAC) 3 IJ 1 SC,MAAH 1 SC > SC 1 (IJH)

Suy ra: AK L SC

Lai cé: BC L (SAB) = AK L BC
Vay AK 1 (SBC)
Ta có S4=VSD”
— AD'

=aN2;

0,5

An=__-524

_

„24.

\%⁄4+AC?”

AC = VAB? + BC? = 2a; HC = VAC? — AH? = ?S5

v3

10

Trong (ABCD) : tan ACB = = = ACB = 30° = ATB = 60°
>]B

IB_
IC—

d(P;(IJH))
d(C;(IJH))

=

(B;

05

av3

3

—=————=.d(;(JH)

UH)

IB_
IC

av6
6

= CH.
= —

Tong diem

Câu 3.( 4 điểm)

0,5

0,5
4,0

Ae

oA

Nội dung

Diem

Diém

chấm

PT€©v5x+14x+9=vxˆ—-x—20+5vx+1

x“—=x—20>0

1,0

©jx+1>0

5x?
+ 14x +9 =x?—x—

E >5

S

20 + 25x + 25 + 10/(x2— x— 20)(x +1)

2x? —5x +2 =5,/ (x + 4)(x2 — 4x — 5)

,

( >5

S

2(x? — 4x —5) +3(x + 4) = 5V (x + 4) (x? — 4x —5)

Xét
PT (1): Dat u=
PT (1) co dang:

2u? + 3? = 5uu ©

vx2-—4x-S5Svav=vx+4,uve0

2u? + 3w? — 5u = 0 ©
=|

05

(1)

0,5
1,0

| ae?

2u = 3v

x*-4x-5=x+4
4(x7 — 4x — 5) = 9(x +4)

05
’

5 + v61

x=——=—

c©

0,25

25#+v1521

⁄x=——————

KL: PT đã cho có hai nghiệm = ==

Câu 4.(4 điểm)
Y

vax ==

Tong diem
Noi dung

Ta có wv" =u, +1>u,

=2"u, +1

—

0,25
4,0
Diem
0,5

Diem

cham


Áp dụng bất đăng thức Cơsi, ta có:

(uw, +1)+14+14+...4+1

w„ =?“Nlu +] <

2n+]

an

0,5

„+ 2n+]

Hay ”„ <————————
2n+]
2n+]

<>i1/<
"

2n

Vậy lvà lim

0,5

2+]

>+œ

2m

0,5

2n+]

0,5

2n
=].

0,5

Nên theo định lí “kẹp” suy ra lim ø„ =].

1,0

Tổng điểm câu 4

Cầu 5.(2 diém)

4,0

Nội dung

Diem

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo ø. Gọi X41; X2; ...; Xp là cac toa dO n điểm màu

đỏ trên trục sô.

Tương tự, ta gọi ;2;...;Yn là các tọa độ điểm của ø điêm màu xanh trên
trục sô ( đường thăng thực)
Đặt A„ tổng các khoảng cách của những điểm cùng màu. B„ tổng các khoảng
cách của những điêm khác màu.
Néu n=/ thi A, = 0; B, = |x, — y,|. RO rang: B, > A,
Gia su: B,_, > Aj,_,. Taco:
n

n

An = Ana = ) [Gn =) + On =] =) [Gn =) + On — xo)
i=1

Diem

cham

0.25

,

0.25
’
0,25

0,5

=1

n

By
— Baa =n —Inl +) (tn
— Yel + [a
— Hel)

0,5

i=1
Suy ra: B, — By_, > Án — Ân_¡. Ta có đpcm

0,25

Tổng điểm

2,0

Tổng điểm toàn bài:............................ điểm.
Bằng chữ:...........................-S
222 22E 2 Errersei
Lai Cháu, ngày................ tháng.............năm 2018

CAN BO CHAM THI LAN 1
(Ký, ghi rõ họ tên)