Bài giải đề thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện năm học 2012 - 2013

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2012 - 2013
(Giải bởi Lê Văn Hoan)
Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
4
+ 2013x
2
+ 2012x + 2013 = x
4
+ 2013x
2
+ 2013x – x + 2013
= x
4
– x + 2013x
2
+ 2013x + 2013
= x(x
3
– 1) + 2013(x
2
+ x + 1)
= x(x – 1)(x
2
+ x + 1) + 2013(x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
2

– x + 2013)
Câu 2. Rút gọn biểu thức:
2
2 2 3 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 1 2
1
2 8 8 4 2
( 2) 2 2
2( 4) 4(2 ) (2 )
( 2) 2 1 1
2( 4) (2 )(4 )
( 2) 2 ( 1)( 1) ( 1)
2( 4) ( 2)(4 )
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
M
 
−
 

− − −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
 
 
 
− − −
= −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
 
 
 
− − − −
= −
 ÷
 ÷
+ − +
 
 
 
− − + − +

= +
 ÷
+ − +

 
=
2 2
2
2
( 2)( 2) 2 .2 ( 1)( 1 1)
2( 2)( 4)
4 4 4 ( 1)( 2)
2( 2)( 4)
1 ( 1) 1
2 2
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x x

 ÷
 
− − + + − −
=
− +
− + + + −
=
− +
+ +
= =
Câu 3. Chứng minh rằng:
a) 8

5
+ 2
11
chia hết cho 17
b) 19
19
+ 69
19
chia hết cho 44
Giải:
a) Ta có: 8
5
+ 2
11
= (2
3
)
5
+ 2
11
= 2
15
+ 2
11
=2
11
(2
4
+ 1)=2
11

.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
b) Áp dụng đẳng thức: a
n
+ b
n
= (a+b)(a
n-1
- a
n-2
b + a
n-3
b
2
- …- ab
n-2
+ b
n-1
) với mọi n lẻ.
Ta có: 19
19
+ 69
19
= (19 + 69)(19
18
– 19
17
.69 +…+ 69
18
)

= 88(19
18
– 19
17
.69 + …+ 69
18
) chia hết cho 44 vì 88 chia hết cho 44.
Câu 4. Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
a)
ABM∆
đồng dạng
ACN
∆
b) góc AMN bằng góc ABC
2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là
trung điểm của AK.
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Giải:
1) a) chứng minh
∆
ABM đồng dạng
∆
CAN
b) Từ câu a suy ra:
AN
AM
AC
AB
=

⇒
∆
AMN đồng dạng
∆
ABC
⇒
·
AMN
=
·
ABC
( hai góc tương ứng)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
·
BAH
=
·
CHA
( so le trong, AB // CH)
mà
·
CAH
=
·
BAH
( do Ax là tia phân giác)
Suy ra:
·
CHA
=

·
CAH
nên
∆
CAH cân tại C
do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH
hay EF // Ax ( ĐPCM)
Hoặc có cách khác:
Gọi giao của Ax vad BC là I, Trên EB lấy điểm L sao cho E là trung điểm của IL
Vì Ax là phân giác của góc A nên
AC IC
AB IB
=
mà AC = BK =>
BK IC
AB IB
=
<=>
2AB AF LB
AB IB
−
=
(Vì EC = EB mà EI = EL => IC = LB)

AF AFAB LB
AB AB AB IB
− − =


AF AFAB LB
AB AB IB
−
− =

AFFB LB
AB AB IB
− =

AFFB LB
AB IB
−
=

BK LB
AB IB
=
=> KL//AI => tứ giác AKLI là hình thang có đáy là KL và AI mà F
là trung điểm của AK, E là trung điểm của IL => EF//AI (ĐPCM)
Câu 5. A = x
2
- 2xy+ 6y
2
- 12x+ 2y + 45
= x
2
+ y
2
+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y

2
- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)
2
+ 5( y- 1)
2
+ 4
4≥

Giá trị nhỏ nhất A = 4
Khi: y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x = 7