Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2016 - 2017 sở GD&ĐT Lai Châu - TOANMATH.com

UBND TINH LAI CHAU
SO GIAO DUC VA DAO TAO
DE 01

KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 11 CAP TINH
NĂM HỌC 2016 — 2017

Mơn thi: Tốn

Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi:...../4/2017

Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình sau: sỉn2x + 2eos2x = l+ sỉnx — 4eosx.

Câu 2: ( 3 điểm) Cho số nguyên dương ø thỏa mãn điều kiện: C7”—C” =C! n—I C73.
"“n+3
`

nak

3

kK

r

~,

3

Tìm hệ sơ của sơ hạng chứa x” trong khai triên xỶ 3

n-

nN

t— 2
x

rs

voi x40.

Câu 3: (4 diém) Cho hinh chép S.ABCD c6 day ABCD 1a hinh vuéng canh a, mat
bên Š⁄4D là một tam giác cân tại S và nằm trong mặt phắng vng góc với đáy. Gọi
M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, 8C và CD. Biết góc giữa đường

thang SB va mat phang (ABCD) bang 30°.
a) Chứng minh rằng 8P L (AMN ) .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thắng „1ð và SC.
Câu 4: (4 điểm) Giải hệ phương trình

x+3\jxy+x— y`-y=5y+4
J4y —x-2+.,/y-l=x-1

Cau 5: (3 diém) Cho day s6 {u,} xdc định như sau:
,

Tinh:

.
lim

->+®

u. ou
[th Bae
u

dị

2

u

u,=l

„2

ui. = x07

-|

3

Câu 6: ( 3 điểm) Cho ba số thực dương 4, ở, e thỏa min a+b+c= =.

Chimgung

minhminh rang:
ring:

¬

Jun
——

Nhàn

lon
—>3

HÉT........................
- Thí sinh khơng sư dụng tài liệu

- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

(x.y< R).

n=1,2,...

.


UBND TINH LAI CHAU
SO GIAO DUC VA DAO TAO

KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 11 CAP TINH

NAM HOC 2016 - 2017

HUONG DAN CHAM
DE THISO 1
(Gom

Mon thi: Toan
Thoi gian: 180 phut (khong ké thời gian phái đê)

cé 05 trang)

Ngay thi:

4/2017

HUONG DAN CHAM
^
Cầu

có T
Đáp án

Câu 1

(3 3

điểdiém)

sin2x+2cos2x
= Ï+sinx— 4cos x

|

2sin xeosx—1+4cos?

2

Thang
điểm

0,5

,

x—2~— sin x+ 4cos x = 0

<©> sin x(2cos+x— l)+4cos” x+ 4cos x— 3 =

0.5

<=

0.5

sinx(2cos x— l) + (2cos x — I)(2cos x + 3) = 0

<> (2cos x — Ï)(sinx + 2cos x + 3) = 0

0.5

l
Z7
COSX=—<>x=+—+k2Z
2
3
sinx+2cosx+ 3= 0(VN)

Ox=

a+

0.5

k27

0.5

^
Cau
Câu 2
(3

.Ẩ

điêm)

rs
Dap an
C”3—C”.,=C'!..C"Z
n

n-1
nl
n+3

n!
(n—3)!3!

DK:

(n-1)!— (n-1)!
(n—3)!2! (ø—2)H!

Thang
điểm

neZ`
n>

3

0

(n +3)!
(n+2)H!

©(n-=2)(n—1)n—3(m—2)(n—1)=6(n—1)(n+3)

on

2

n=—l

—-1In-12=0<@

0.5

(L)

0.5

n=12 (TM)
4

Với n=12—+` v =

x

12

12

=x`>€j (x1)
k=l

Theo
bải ra ta có: 51—-5k=11<>k=8

Vậy hệ số cần tìm la: C¥,(4)

.

l2+(

—4

(=)
x

mm

L

=> Cj(-4) x””
k=l

0,5
0.5

0,5
Trang 1/5


Thang

Đáp án

diém

a) Gọi H là trung điểm của AD

Ta có:

(SAD) | (ABCD)
SH | AD

=> SH | (ABCD)

(*)

1,0

Goi 1=ANOBH

Ta có ABNH là hình chữ nhật nên I là trung điểm của BH

= MI//SH => MI L (ABCD) > MI L BP

(1)

Mat khac PBC + BNA = BAN + BNA =90° = BP
| AN

0,5

(2)

Tir (1), (2) va MI, AN <(AMN) => BP | (AMN)

0,5

b) Ké AK LSD,
K €SD
, DC
1 AD
a CÓ
| = DCL (SAD) = DEL Ak = AK 1 (SDC)
DC
1 SH

1,0

_ AB//(SDC)
1

AK
SC c sa) = d(AB,SC) = d(AB,(SDC)) = d(A.(SDC))=

Ta c6(SB,(ABCD)) = SBH = 30°
2

= SH = BH.tanSBH =~ AB? + AH? .tan30° = | la + B

= SD = SH? + HD? = (88) (2)
Ta có SH.AD = AK.SD => AK =

Vay d(AB,SC) =

x

_ avis

6

0,5

ws

av15
SHAD —6 “a0
SD

av6

3

4

0,5

av10

4

Trang 2/5


^
Cầu

, T
Đáp án

Câu 4

Thang
điểm

xy+x—y °-y>0

(4 điên | bK:

lay?—x—2>0
yl

(1) x-y+3(x-y)(y
+1) -4(y+1)=0
Đặt

x-y

=u=0,

Jytl=v>

= H” +3uy— 4v” =0 ©

VỚI

0.5

V2

(w— v)(u+ 4v) =0 ©

`

u=—4v(L)

¿„=v>.Ajx—y=Ay+l—x=2y+l

0,5

Thay vao phuong trinh (2) ta duge:
l4y—2y~3+

ae

fy —

=2y

DK:

0.5

yet

eae
20-2)

0,5

yr?

05

\j4y?—2y~3+(2y—1) "HT,

-2|-—=——
4yˆ—2y— 3+( (2y- 1)
Ta có:

I+]

|= 00

2
J4y? —2y- 3+( (2y- 1) _

=> PT (*)

es

.

0, Vy

Toi

05
„ 1+13
4

0,5’

y=2>x=5

0.5

Vậy tập nghiệm của hệ PT là: S = {(2:5))

^
Cầu

°

có T
Đáp án

cae | Tạ aco:Gó:

(3 diém)

a
U,

My

u

ui = 2017”

1,2,3

MH7

N=1,24,2,...

Thang
điểm
=

9917) 7 uy
+

0,5

bề

h

Uy

Was

1
HH,

1

1

1

1

1

1

1

U,

Us

uy»

4,

Hà

May

Trang 3/5


¬ zor kt) ¬ zn[r-zS— |
HH

Hà

Hi

Từ công thức xác định của dãy {u„}. ta CĨ: Í=


Vậy dãy {u,} la day tang.

Giả sử dãy {u,} bị chặn trên. Khi đó tổn tại giới hạn hữu hạn

Dat:

0,25
0,25

limu,=a>1
ur

ur

Ta cé: u,,, =—++u,
> n—>+œ
limu,,, = n>+0|
lim|
2017
a

a=

2

+z<>z=0

2017

(vo

—~+u,

0,5

2017

(vơ lý

ly)

Do đó. {¿„} khơng bị chặn trên, mà nó lại đơn điệu tăng, nên
lim u, =+0>

lim -L =0

n—>+œ

lv

ø_->+œ

„ø#_>+®œ

va

H;

0,5

H

=! Jim 20r7[1-

H,

Hi

ø_>+œ

^
Cau

Câu

(6 điểm)

Hà

| 2017

rs
Dap an

0,5

Thang
điểm

Ap dụng bât đăng thức Cô sĩ cho 3 sơ dương ta có

(

x+y+z]

11

\š'ÿ!:J??3
—+—+-

=> 121,15
x y Z

1

|>34xyz

3

=9

2
@
4X+y+Z

1,0

Ap dung (*) ta cé

=

1

Yat3b

+

1

Vb+3c

+

1

Đc+3a

>

Áp dụng bất đăng thức Cơ sỉ ta có

9

Đa+3b+Đb+3c+Đc+3a

4(a+3b).1.1 ———__
(6+3) 1<

ST T—=š(6+3e+2)

1,0

l(c +3a).1.1 —.—_.=
Suy ra Vá+3b +

rắc +34

<2 [4(á+b+e)+6]

1,0

Trang 4/5


<4} 4346

3|

4

=3

Do đó P>3

Đăng thức xảy ra khi

d+b+e=S

4

a= b=c=T

1

a+3b=b+3c=c+3a=1

Luu y:
7 Diém bai thi la tong diém cua cac cau thanh phan. Thang diém tồn bài la
20 điêm, khơng được làm tròn (điêm lẻ từng ý trong một cáu nhỏ nhát là 0,25)
- Thí sinh làm bài băng cách khác, láp luận chặt chẽ, logic, ra kêt quả đúng
ván cho điêm tôi đa.

Trang 5/5